专题01 三角形 7大高频考点（期中真题汇编，江苏专用）八年级数学上学期

专题01 三角形 7大高频考点概览 考点01 全等三角形的性质 考点02 全等三角形的判定 考点03 线段的垂直平分线的性质和判定 考点04 角平分线的性质和判定 考点05 等腰三角形的性质和判定 考点06 等边三角形的性质和判定 考点07 直角三角形斜边中线等于斜边一半+30度角的直角三角形 地 城 考点01 全等三角形的性质 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，若，四个点、、、在同一直线上，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 3．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，，当时，则度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，点B、C、D在同一直线上，若，则 ． 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知，若，，则 度． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知图中的两个三角形全等，则 °． 9．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为 ． 10．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知 ， 若， 则的周长是 ． 地 城 考点02 全等三角形的判定 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）的个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，与都是等腰三角形，，且，交于点E，点A、M、B在同一条直线上，若，则α和β之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）根据下列条件能画出唯一确定的的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在和中，，，则添加下列条件不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，，点M在上，且，点M到射线的距离为a，点P在射线上，，若的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 7．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，点，在上，，，下列5个条件中选择一个条件，①；②；③；④；⑤，能够使得的条件个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，，．要使，可添加的条件是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成四块，他要带其中一块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他应该带去的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 10．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，，要使还需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在直角三角形中，，点D是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接、．下列判断：①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）中，，，在外，且．若要求的面积，则需要添加的条件是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 13．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点B在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（    ） A．21 B．23 C．24 D．28 14．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（    ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④ 二、填空题 15．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，，则 ． 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，，，若，再增加条件 ，则． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，三角形的面积为，平分，，则三角形的面积是 ． 18．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，添加一个条件 ，使．（填一个即可） 19．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知，要使，还需要添加一个条件： ．（写出一种） 三、解答题 20．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，，求证：． 22．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知：如图，，，垂足分别为，，且．求证：． 23．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）某中学计划为新生军训时配备如图所示的折叠凳，图是折叠凳撑开后的侧面示意图（钢管等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，是、的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为．由以上信息求出的长度，并说明理由． 24．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若的面积为，，，则______． 25．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，点在一条直线上， (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 26．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，于，于． (1)求证：． (2)，，求的长度． 27．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）某数学兴趣小组用数学知识测一池塘两端之间的长度，他们所绘示意图如图所示，点B、F、C、E（其中点F、C为池塘的两端，之间的长度不能直接测量）在直线l上，点A，D在l的异侧，且，，测得． (1)求证：； (2)若，，求池塘两端F、C之间的长度． 28．（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 29．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足． 【积累经验】 （1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，请求出与的面积之和． 30．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，，，三点共线，于点，于点，，且． (1)求证： (2)若，则______． 地 城 考点03 线段的垂直平分线的性质和判定 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．，，则的周长是（   ） A．13 B．11 C．12 D．9 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，四边形中，，在、上分别有一动点、，当周长最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，的垂直平分线交边于D点，交边于E点，若与的周长分别是，，则的长度为（　　）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的长是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、D，连接，若的周长为，的周长为，则的长为（ ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）在中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为9cm，则的周长是（   ） A．13cm B．17cm C．19cm D．22cm 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长 交的延长线于点．若，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是 ． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是 ． 11．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于D、E两点，且，，则的周长为 ． 12．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交于D、E两点．若，则的周长是 ． 13．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图所示，是边的垂直平分线，周长为，则 ． 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、中于点、，若的周长为9，，则的长为 ．    三、解答题 15．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）请确定一个点P，使得点P到和的距离相等，且满足它到点A和点C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹．） 17．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺在正方形网格纸中完成以下画图：    (1)在边上找一点P，使得点P到两边距离相等； (2)在射线上找一点Q，使得．（保留画图痕迹） 18．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 19．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，的平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别是、． (1)求证：； (2)若在中，，，求的长． 20．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）尺规作图，（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹．） (1)如图①，已知P是直线l外一点，在直线l上求作一点Q，使得直线，垂足为Q． (2)如图②，在直线上找一点C点，使点C到射线和的距离相等． (3)如图③， 在上找一点P，使点P到M、N两点的距离相等． (4)如图④，在边上找一点E，使点E到点C的距离等于E 到边的距离． 21．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，为的中点，交的平分线于点，交于点，交的延长线于点． (1)连接，求证：； (2)若，，求的长； (3)在（）的条件下，中连接，直接写出的取值范围； (4)在（）的条件下，若与相交于，当时，直接写出 的值． 22．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点、交于点，的周长等于．    (1)证明：； (2)求的长． 23．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F． (1)若长为16，求的周长； (2)若，求的度数． 24．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为，请你解答下列问题： (1)求的长； (2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 25．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． (1)求证：直平分； (2)已知，，求的面积． 地 城 考点04 角平分线的性质和判定 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知在中，是边上的高，平分，交于点E，且，则点E到的距离等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E，的面积为70，，，则的长为（    ） A．10 B．3 C．6 D．5 5．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，中，的平分线交于点P，下列结论：①平分；②；③；④若点M、N分别为点P在、上的作垂线的垂足，则．其中正确的是（     ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 6．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）点M在的平分线上，点M到边的距离等于3，点N是边上的任意一点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，过点O作于点D，下列四个结论：①；②点O到各边的距离相等；③；④设，，则．正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（    ）    A．15 B．20 C．25 D．30 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是 ． 10．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，是的平分线，，垂足为，，则点到的距离是 ． 11．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，平分，，的面积为，则 ． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，，是的中点，平分，若，则 ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）请确定一个点P，使得点P到和的距离相等，且满足它到点A和点C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹．） 14．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，的平分线交于点D；于点E，点F在边上，． (1)求证：； (2)若，则______． 15．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)则 °； (2)求证：平分； (3)若，且，则的面积为 ． 16．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺在正方形网格纸中完成以下画图：    (1)在边上找一点P，使得点P到两边距离相等； (2)在射线上找一点Q，使得．（保留画图痕迹） 17．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形中，平分于点F，的延长线于点． (1)求证：． (2)若，请你求出的长． 18．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，的平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别是、． (1)求证：； (2)若在中，，，求的长． 19．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，为的中点，交的平分线于点，交于点，交的延长线于点． (1)连接，求证：； (2)若，，求的长； (3)在（）的条件下，中连接，直接写出的取值范围； (4)在（）的条件下，若与相交于，当时，直接写出 的值． 20．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 地 城 考点05 等腰三角形的性质和判定 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则是度数为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，点I为的角平分线的交点，，，，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知等腰中，，则它的底角度数为（   ） A． B． C． D．或 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知，，，要使满足条件的唯一确定，那么边长度x的取值范围是（   ） A．5 B．10 C． D．或 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，点D在上，且．则的度数是 10．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，若，边和边相交于点P，边和边相交于Q，假设，当为等腰三角形时，则 ． 三、解答题 12．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 13．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，边、的垂直平分线分别交于D、E． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 14．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，． (1)在平面内找一点E，使，且点E到两边的距离相等．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若点E恰好落在上，则______． 15．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知，已知，点D、E分别在上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 16．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，是中线，是角平分线，． (1)______．（直接填空） (2)求的度数． 17．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知：和都是等腰三角形，且和都是顶角且．求证：． 18．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，交于、两点，与相交于点F． (1)若的长为，则的周长为________； (2)若，求的度数； (3)判断点F是否在的垂直平分线上，并说明理由． 地 城 考点06 等边三角形的性质判定 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知：点O与等边三角形在同一平面内，且满足，有下列说法： ①点O可能在该的内部、外部或边上；②点O是该三角形的两条中线的交点；③点O是该三角形的一条高线的中点；④点O是该三角形的三边垂直平分线的交点．其中正确的说法是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．④ 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，等边三角形的边长为8，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，为等边的高，E、F分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，点是射线上一个定点，点是射线上的一个动点，，以线段为边在右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（   ） ①；②； ③直线与射线所夹的锐角的度数不变； ④随点的移动，线段的值逐渐增大． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 5．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知点在同一直线上，和都是等边三角形．交于点，交于点、交于点．①；②；③是等边三角形；④连接，则平分，以上结论正确的有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 7．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为 ． 8．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，是的边上的两个点，，，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的取值范围是 ． 9．（24-25八年级上·江苏常州·期中）在中，，，以为边作等边三角形，连接，则 °． 10．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在等边中，于D，E是线段上一点，连接并延长，交于点G，F是边上一点，且满足，则 ． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则 ． 三、解答题 12．（24-25八年级上·江苏南通·期中）（1）如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，求证：； （2）如图2，，N分别为上的点，且，求证：； （3）如图3，是等边三角形，点D、F分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C的过程中，的度数是否发生变化？如果不变，求出的度数：如果改变，请说明理由．    13．（24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究 如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接） (3)理解与应用 如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？请写出结论并证明． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）等边，D是边上任意一点（不与端点重合），连接，在下方作，再作于点M． (1)当点D是的中点时，如图1，则_______；和的数量关系是_______； (2)当点D在边上运动时， ①证明：； ②直接写出线段、、之间的数量关系式． 15．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图1，在等边中，点E、F分别为边上的动点，且，直线交于点O．    (1)如图1，当F是的中点时，______． (2)在E、F运动的过程中，的大小是否变化？请利用图2，证明你的结论． (3)若将题目中的条件：“点E、F分别在边上的动点”改为“点E、F分别在边的延长线上的动点”（如图3所示），其余条件不变，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 16．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当______时，与的面积相等； (2)点P在折线运动过程中，当是等边三角形时，求的度数； (3)点P在折线运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 17．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，点、、在一条直线上，、均为等边三角形．求证：．    18．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点O是等边内一点，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，α为多少度？ 19．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在等边中，，相交于点F． (1)求的度数； (2)过点B作，垂足为G．若，，则的长为 地 城 考点07 直角三角形斜边中线等于斜边一半+30度角的直角三角形 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，D是的中点，，则的长是（   ） A．3 B．6 C． D．4 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，，点B是射线上的一个动点，点C是射线上的一个动点，且线段的长度不变，D是点A关于直线的对称点，连接，若．则的度数是（    ） A． B． C．或 D．不确定 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被小湖泊隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，公路、互相垂直，公路的中点与拐点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，为的中点，与相交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知，，，要使满足条件的唯一确定，那么边长度x的取值范围是（   ） A．5 B．10 C． D．或 10．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 11．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，点分别在上，将沿折叠，点恰好与点重合．若，则的长度为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 二、填空题 13．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接．若，．则的长为 ． 14．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）若直角三角形斜边上的高和中线长分别是3，4，则它的面积是 ． 15．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，D为边中点，连接，若，则 ． 16．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）若直角三角形斜边上的高是，面积是，则斜边的中线长是 ． 17．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是 ． 18．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 ． 19．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为 ． 20．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，为平分线，于，于，，，则 ． 21．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，，P是上任意一点，于点M，于点N，则的值为 ． 22．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，是的边上的两个点，，，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的取值范围是 ． 三、解答题 23．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，是高，分别是的中点． (1)若，，求四边形的周长； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． 24．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，是上的一点，过点作，垂足为点，为的中点，连接、． (1)写出与的关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若，求的度数． 25．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）【课本再现】（）苏科版数学八年级上册课本第页思考：如图，中，，，那么与有怎样的数量关系？试证明你的结论． 【尝试探究】（2）点是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接． ①判断的形状，并说明理由； ②求证：； 【探究应用】（3）若点是直线上一动点，“尝试探究”中其他条件不变，若，直接写出点到点的最小距离． 26．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）等边，D是边上任意一点（不与端点重合），连接，在下方作，再作于点M． (1)当点D是的中点时，如图1，则_______；和的数量关系是_______； (2)当点D在边上运动时， ①证明：； ②直接写出线段、、之间的数量关系式． 27．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 28．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图所示，在直角中，，，平分．    (1)求的度数； (2)延长到E，使得，求证：． 29．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，点D是边上一点，于点E，点F是线段的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求C、E两点之间的距离． 30．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）已知：如图，M、N分别是、的中点． (1)求证：． (2)若，线段与满足的数量关系是__________． 试卷第1页，共3页 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形 7大高频考点概览 考点01 全等三角形的性质 考点02 全等三角形的判定 考点03 线段的垂直平分线的性质和判定 考点04 角平分线的性质和判定 考点05 等腰三角形的性质和判定 考点06 等边三角形的性质和判定 考点07 直角三角形斜边中线等于斜边一半+30度角的直角三角形 地 城 考点01 全等三角形的性质 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题本主要考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等． 设第一个图中边所对的角为，根据三角形内角和定理计算出的度数，然后再根据全等三角形的对应角相等可得，即可求出结果． 【详解】设第一个图中边所对的角为， 则， 两个三角形全等， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，若，四个点、、、在同一直线上，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得，由线段的和差得，即可求解；掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得：； 故选：A． 3．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，，当时，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质．根据全等三角形的性质得出，，则，设，根据平行线的性质得出，，根据，列出方程求出x的值，最后根据直角三角形两锐角互余，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理．直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 5．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，，若，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要三角形内角和定理以及全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．由题意得出，由即可得到答案． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，点B、C、D在同一直线上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差，根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知，若，，则 度． 【答案】60 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理求得，再根据全等三角形的对应角相等得到求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知图中的两个三角形全等，则 °． 【答案】50 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键． 根据全等三角形对应角相等可知是a、c边的夹角，然后写出即可． 【详解】解 ∶两个三角形全等， 的度数是， 故答案为：50． 9．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据定理，判定三角形全等，得到的对边是a，再在第一个三角形中计算的度数，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设第一个三角形中a的对角为， 由两个三角形全等，根据定理，判定三角形全等，得到的对边是a， 故， 根据题意，得， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知 ， 若， 则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由，，可得，根据的周长是，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的周长是， 故答案为：． 地 城 考点02 全等三角形的判定 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）的个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．由全等三角形的判定可求解． 【详解】解：由“”可证图乙和全等，由“”可证图丙和全等． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，与都是等腰三角形，，且，交于点E，点A、M、B在同一条直线上，若，则α和β之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，先根据“边角边”证明，可得，再根据三角形外角的性质得，进而得出，最后根据平角定义得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴. ∵是的外角， ∴， 即, ∴， ∴， 即. 故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）根据下列条件能画出唯一确定的的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形三边的关系等知识，解题的关键在于熟练掌握相关判定定理．根据全等三角形的判定及构成三角形的条件逐项判断即可． 【详解】解：A、， 不构成三角形，不能画出唯一确定的，不符合题意； B、不是，边的夹角，得不到三角形全等， 不能画出唯一确定的，不符合题意； C、 “”能得到三角形全等， 能画出唯一确定的，符合题意； D、 “”得不到三角形全等， 不能画出唯一确定的，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在和中，，，则添加下列条件不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，利用判定两个三角形全等的方法、、、、进行分析． 【详解】解：A、添加，可利用定理判定，故此选项不合题意； B、添加，可利用定理判定，故此选项不合题意； C、添加，可利用定理判定，故此选项不合题意； D、添加，不能判定，故此选项符合题意． 故选：D． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定定理，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：已知，且， 如果添加，不能根据判断，选项A符合题意； 当添加，根据能判断，选项B不符合题意； 当添加，根据能判断，选项C不符合题意； 当添加，根据能判断，选项D不符合题意； 故选：A． 6．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，，点M在上，且，点M到射线的距离为a，点P在射线上，，若的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是分情况讨论．分情况讨论，结合图形，即可得到答案． 【详解】解：当时，，是直角三角形，的形状，大小是唯一确定的； 当时，如图，有两种情况； 当时，的形状，大小是唯一确定的． 或． 故选：A． 7．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，点，在上，，，下列5个条件中选择一个条件，①；②；③；④；⑤，能够使得的条件个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用全等三角形判定方法依次判断，可求解． 【详解】解：∵，， ∴添加条件时，无法判断，故①不符合题意； 添加条件时，可利用判断，故②符合题意； 添加条件时，有，则利用判定，故③符合题意； 添加条件，得时，无法判断，故④不符合题意； 添加条件，得时，无法判断，故⑤不符合题意； 故选B． 8．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，，．要使，可添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 由条件可得，结合，则还需要一边或一角，再结合选项可求得答案． 【详解】解：， ， 添加条件，结合，利用可以证明，故A符合题意； 添加条件，结合不可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合不可以证明，故C不符合题意； 添加条件，不可以证明证明，故D不符合题意； 故选：A． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成四块，他要带其中一块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他应该带去的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法，结合实际情况分析即可求解． 根据题意，运用边角边判定①，结合边长无法确定得出结论；根据②③的特点，无法得到一块与原来一样的三角形模具，由角边角判定④，即可求解． 【详解】解：∵可以运用边角边判定三角形全等，但①中角的两边可以无限延长，无法判定边长， 故A选项不符合题意； ②③不具备边角的关系，无法得到与原来一样的三角形，故B、C选项不符合题意； 可以运用角边角的方法判定三角形全等，④中的两边延长可以交于一点，得到三角形， 故他要带碎片④到商店去配一块与原来一样的三角形模具， 故选：D ． 10．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，，要使还需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添加条件证明三角形全等．根据题目条件可知证明的条件已经具备“一组边相等”和“一组对应角相等”，所以只需增加“邻边相等”或者“一组对应角相等”即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴添加，不能证明，故A符合题意； 添加，不能证明，故B符合题意； 添加，能利用证明，故C符合题意； 添加，则是，无法证明，故D不符合题意； 故选：C． 11．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在直角三角形中，，点D是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接、．下列判断：①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，证明是解题的关键． 利用证明，即可判断①正确；根据全等三角形的性质得出，，即可判断②正确；由，等量代换得出，即可判断③正确；根据三角形的中线将三角形的面积平分得出，而，那么，即可判断④错误． 【详解】解：，点是的中点， ． 是等腰直角三角形， ，， ， ， ． 在与中， ， ，故①正确； ，，故②正确； ， ， ，故③正确； 点是的中点， ， ， ， ， ，故④错误． 故选：C． 12．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）中，，，在外，且．若要求的面积，则需要添加的条件是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，合理构造全等三角形是解题的关键． 根据题意过点作延长线与点，则，可证，得到，由，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作延长线与点，则， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴若要求的面积，则需要添加的条件是的长度， 故选： ． 13．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点B在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（    ） A．21 B．23 C．24 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判断和性质，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 故选：B． 14．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（    ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据是的高，，结合是的角平分线， 平分，得到即可得到，判断①正确；先证明，再证明，可判定②正确；根据得到，结合得到，结合，等量代换即可得到，可判定③正确；延长交于点N，得到，得到，可以判断④错误． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， 平分， ∴ ∴， ∴，故①正确； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，是的角平分线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 延长交于点N， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误， 故选：B 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的定义，同一三角形中，大角对大边，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键． 二、填空题 15．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先根据“角角边”证明，可得，再根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 故答案为：6. 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，，，若，再增加条件 ，则． 【答案】（或或） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法；根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 由已知条件具备一角一边分别对应相等，还缺少一个条件，可添加，两边夹一角判定其全等． 【详解】解：，， ， 又， 可添加； ． 故答案为:（或或）． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，三角形的面积为，平分，，则三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，延长交于点，可证，得到，即得，，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，添加一个条件 ，使．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据已知，，故只需要添加第三边对应相等或者夹角相等即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，； ∵，， ∴当时，， 故答案为：或． 19．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知，要使，还需要添加一个条件： ．（写出一种） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了判定三角形全等的方法，判定两个三角形全等的常用方法有：、、、，本题中已知中，，若想利用证明两个三角形全等，可以补充；若想利用证明两个三角形全等，可以补充；若想利用证明两个三角形全等，可以补充． 【详解】解：如下图所示， 在和中，， 若， 则可利用证明； 若， 则可利用证明； 若， 则可利用证明． 故答案为：(答案不唯一 ) ． 三、解答题 20．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再运用SSS证明； （2）根据三角形内角和定理可求，由（1）知，从而可得结论． 【详解】（1） 在与中 （2） 21．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明即可证明结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 22．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知：如图，，，垂足分别为，，且．求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键． 根据垂直得到，由平行得到，运用“角角边”可证，由此即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）某中学计划为新生军训时配备如图所示的折叠凳，图是折叠凳撑开后的侧面示意图（钢管等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，是、的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为．由以上信息求出的长度，并说明理由． 【答案】的长度为，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意，得，结合，证得，得，从而完成求解． 【详解】解：的长度为，理由如下： ∵凳腿和的长度相等，是它们的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长度为． 24．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若的面积为，，，则______． 【答案】(1)证明详见解析； (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质； （1）证明即可得证； （2）先算出的面积，得出的面积，从而算出． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 又， ∴， ∴； （2）解：∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 25．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，点在一条直线上， (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，结合题意，运用角角边即可求证； （2）根据全等三角形的性质得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 26．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，于，于． (1)求证：． (2)，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用，得出，利用，得出，则可得，结合，，即可证明； （2）利用全等性质得出，，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． 27．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）某数学兴趣小组用数学知识测一池塘两端之间的长度，他们所绘示意图如图所示，点B、F、C、E（其中点F、C为池塘的两端，之间的长度不能直接测量）在直线l上，点A，D在l的异侧，且，，测得． (1)求证：； (2)若，，求池塘两端F、C之间的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由平行线的性质得到，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ； （2）解：， ， ， 池塘两端F、C之间的长度是 28．（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 根据线段的和差及平行线的性质得出，，由“”可证，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】证明：， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ． 29．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足． 【积累经验】 （1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，请求出与的面积之和． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由得到，，进而得到，然后结合得证，推出，，即可求解； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，推出，，即可证明； （3）由，，得出，证明，得出，根据，得出，即可得出结果． 【详解】解：（1）， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）仍然成立，理由如下： ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3），， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， 与的面积之和为． 30．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，，，三点共线，于点，于点，，且． (1)求证： (2)若，则______． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是由证出． （1）由证出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，再根据等量代换即可求出． 【详解】（1）证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， ， 故答案为：6． 地 城 考点03 线段的垂直平分线的性质和判定 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．，，则的周长是（   ） A．13 B．11 C．12 D．9 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用三角形周长公式解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线，交于点D， ∴， ∴的周长是：． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，四边形中，，在、上分别有一动点、，当周长最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平面内利用轴对称求最短路线问题，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用．作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值，如图所示，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值，如图所示． ，， 且，， ． ， ， ， 故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，的垂直平分线交边于D点，交边于E点，若与的周长分别是，，则的长度为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的周长，先由的垂直平分线交边于D点，得出，，结合与的周长分别是，，得，即可作答． 【详解】解：∵的垂直平分线交边于D点， ∴，， ∴与的周长分别是，， ∴， ∴， 则， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的长是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出．由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，即可求出的长． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长， ， ． 故选：A． 6．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、D，连接，若的周长为，的周长为，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长， ， 的周长， ， ， ， 故选：D． 7．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）在中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为9cm，则的周长是（   ） A．13cm B．17cm C．19cm D．22cm 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由题意得，是边的垂直平分线，可得，，结合的周长为9cm可得，最后通过等量代换即可得出结论． 【详解】解：是边的垂直平分线， ，， 的周长为9cm， ， ， 即， 又， ， 的周长是． 故选：B． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长 交的延长线于点．若，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质．首先根据证明，根据全等三角形对应边相等可证，再根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到． 【详解】解：如下图所示， 点是的中点， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 又， 是的垂直平分线， ． 故选：C． 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握锐角三角形，直角三角形，钝角三角形三边垂直平分线交点的位置是解题的关键． 根据锐角三角形，直角三角形，钝角三角形三边垂直平分线交点的位置，即可解答． 【详解】解：如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角三角形． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是 ． 【答案】/18厘米 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角性质周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长是， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于D、E两点，且，，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解决问题的关键． 首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线分别交、于D、E两点 ∴ ∴的周长为． 故答案为：10． 12．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交于D、E两点．若，则的周长是 ． 【答案】 【分析】此题考查了垂直平分线的性质．先求出，再根据垂直平分线的性质得到，利用等量代换得到的周长即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长； 故答案为： 13．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图所示，是边的垂直平分线，周长为，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，利用垂直平分线的性质后进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 根据垂直平分线的性质得到；然后由周长为，可得，然后等量代换后即可求得答案． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，， ∴， ∵周长为， 即 ∴． 故答案为：8． 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、中于点、，若的周长为9，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得，再结合的周长为9，，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为9，， ∴， ∴， 故答案为：5． 三、解答题 15．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确记忆线段垂直平分线的性质是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）请确定一个点P，使得点P到和的距离相等，且满足它到点A和点C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和角平分线的性质．利用基本作图作的平分线和的垂直平分线，它们相交于点P，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可判断点P满足条件． 【详解】解：如图，点P为所作． 17．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺在正方形网格纸中完成以下画图：    (1)在边上找一点P，使得点P到两边距离相等； (2)在射线上找一点Q，使得．（保留画图痕迹） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合小网格的特征，作出的角平分线与的交点，即为点P，进行作答； （2）结合小网格的特征，作出的垂直平分线与射线的交点，即为点Q，进行作答； 【详解】（1）解：点P如图所示：    （2）解：点Q如图所示： 18．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，，于是结论得证； （2）由的周长为可得，再结合，可得，即，由（1）可得，再结合，可得，于是得解． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ， 由（1）可得：， 又， ， 即：， 长为． 19．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，的平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别是、． (1)求证：； (2)若在中，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接，， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）尺规作图，（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹．） (1)如图①，已知P是直线l外一点，在直线l上求作一点Q，使得直线，垂足为Q． (2)如图②，在直线上找一点C点，使点C到射线和的距离相等． (3)如图③， 在上找一点P，使点P到M、N两点的距离相等． (4)如图④，在边上找一点E，使点E到点C的距离等于E 到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和垂线的基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的基本作图． （1）根据垂直平分线的作图方法，作图即可； （2）作的平分线，则的平分线与的交点，即为所求作的点； （3）作线段的垂直平分线即可； （4）过点C作的垂线，交的延长线于点F，作的平分线，交于一点E，则点E即为所求． 【详解】（1）解：如图，点Q即为所求作的点； （2）解：如图，点C即为所求作的点； （3）解：点P即为所求作的点，如图所示： （4）解：过点C作的垂线，交的延长线于点F，作的平分线，交于一点E，则点E即为所求作的点． 21．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，为的中点，交的平分线于点，交于点，交的延长线于点． (1)连接，求证：； (2)若，，求的长； (3)在（）的条件下，中连接，直接写出的取值范围； (4)在（）的条件下，若与相交于，当时，直接写出 的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）由题意可知垂直平分，故有，利用角平分线的性质可得 ，故可推出，即可求证； （）证，得，根据，通过等量代换可得，即可求解； （）如图，延长到，使，连接，根据证明，再根据三角形的三边关系解答即可； （）如图，过点作于，设，则，根据勾股定理列等式可得，，过点作于，作于，先根据角平分线的性质得，最后由面积法解答即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵，为的中点， ∴， ∵，，是的角平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （4）解：如图，过点作于，设，则， 由勾股定理得：， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 过点作于，作于， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的面积等知识点，掌握知识点的应用及正确作辅助线构建全等三角形和三角形的高线是解题的关键． 22．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点、交于点，的周长等于．    (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16cm 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质， （1）根据垂直平分线的性质得即可证明； （2）根据题意可知求得，由（1）知：即可． 【详解】（1）证明： 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长等于． ， ， ， 由（1）知：， ． 23．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F． (1)若长为16，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据对顶角相等、直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质计算即可． 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】（1）解：∵分别垂直平分和 ∴， ∴的周长 ． ∵， ∴的周长为； （2）∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为，请你解答下列问题： (1)求的长； (2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)； (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（）根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据的周长为即可得到结论； （）连接，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论； 本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由， 连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点在边的垂直平分线上． 25．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． (1)求证：直平分； (2)已知，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)19 【分析】此题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识． （1）由角平分线性质得到，证明，则，即可证明直平分； （2）由（1）可知．根据，，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分； （2）解：由（1）可知． ∵，， ∴． 地 城 考点04 角平分线的性质和判定 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：在的平分线上，、、不在的平分线上， 到两边距离相等． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质以，角平分线的性质与判定等知识，由角平分线的定义、三角形的内角和定理得与的关系，判定①正确；过作于点于点，由三角形的面积证得②正确；在上取一点，使，证，得，再证，得，判定③正确，即可得出结论，正确作出辅助线证得是解题的关键． 【详解】解：①∵和的平分线相交于点， ，， ∴，故①符合题意； ②过作于点，于点，如图： 和的平分线相交于点， ∴点在的平分线上， ， ，故②符合题意； ③∵， ∴， ∵分别是与的平分线， ， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知在中，是边上的高，平分，交于点E，且，则点E到的距离等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点E作于F，根据角平分线的性质求出即可． 【详解】解：如图，过点E作于F， ∵是边上的高， ∴， ∵平分， ∴， 即点E到的距离为3． 故选：B． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E，的面积为70，，，则的长为（    ） A．10 B．3 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作于点，由角平分线的性质可得，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 是的角平分线，， ， ， ， ， 故选：D． 5．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，中，的平分线交于点P，下列结论：①平分；②；③；④若点M、N分别为点P在、上的作垂线的垂足，则．其中正确的是（     ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用与写出关系式整理即可得到④正确． 【详解】解：如图，连接，过点P作，垂足为D， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴点P在的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）， ∴平分， 故①正确； ∵， ∴， ∴， 很明显， ∴错误， 故②错误； ∵点M、N分别为点P在上的作垂线的垂足，的平分线交于点平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故④正确； ∵平分平分， ∴，， ∵， ∴， 故③题正确． 综上所述，①③④正确． 故选：B． 6．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）点M在的平分线上，点M到边的距离等于3，点N是边上的任意一点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等和垂线段最短的性质，熟记相关性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点M到的距离为3，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：∵点M在的平分线上，点M到边的距离等于3， ∴点M到距离为3， ∵点N是边上的任意一点， ∴． 故选：B． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，过点O作于点D，下列四个结论：①；②点O到各边的距离相等；③；④设，，则．正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的定义及性质，平行线的性质，三角形的面积．①先由角平分线的定义得，再由得，由此得，进而得，，据此可对结论①进行判断；②过点O作于M，作于N，连接，根据角平分线的性质得， ，由此可得，据此可对结论②进行判断；③根据②的结论可证三角形全等得到，，，即可得到等于，变形即可得到③正确；④由②得，则，进而得，据此可对结论④进行判断． 【详解】解：在中， 和的平分线相交于点O， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 过点O作于M，作于N，连接， ， 在中，是的平分线，是的平分线， ， ， ， ∴点O到各边的距离相等，故②正确； ，，， ∴， 同理，，， ∴， ∵， ∴，故③正确； ，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的结论有①②③④，共4个， 故选：D． 8．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（    ）    A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的作图和性质，过点D作于点H，根据作图可得平分，再根据角平分线的性质可得，即可求解，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点H， 由作图可得，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选：A． 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出是解此题的关键； 过作于，由，，即可求得的长，然后由角平分线的性质，求得的长，继而求得答案． 【详解】解：过作于， 平分，， ， ，， ， ∵在中，，的平分线交于， ， ， 的面积是：． 故答案为： 10．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，是的平分线，，垂足为，，则点到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质，过点作于点，根据角平分线性质得到，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 是的平分线，，， ， 点到的距离是， 故答案是：． 11．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，平分，，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，由角平分线的性质可得，进而由三角形的面积即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 又∵，平分， ∴， ∵的面积为， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，，是的中点，平分，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据平行线的性质求出，根据角平分线的判定定理得到，计算即可． 【详解】解：作于． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分，，， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴． 故答案为:． 三、解答题 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）请确定一个点P，使得点P到和的距离相等，且满足它到点A和点C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和角平分线的性质．利用基本作图作的平分线和的垂直平分线，它们相交于点P，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可判断点P满足条件． 【详解】解：如图，点P为所作． 14．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，的平分线交于点D；于点E，点F在边上，． (1)求证：； (2)若，则______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质； （1）先由角平分线的性质得到，再证明得到即可； （2）证明，得到，结合即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)则 °； (2)求证：平分； (3)若，且，则的面积为 ． 【答案】(1)40 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过E作于M，于N，由角平分线的性质推出，，得到，即可证明平分； （3）由三角形面积公式得到，即可求出的出，即可求出△ABE的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， （2）证明：过E作于M，于N， ，， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴平分； （3）解：∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：3． 16．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺在正方形网格纸中完成以下画图：    (1)在边上找一点P，使得点P到两边距离相等； (2)在射线上找一点Q，使得．（保留画图痕迹） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合小网格的特征，作出的角平分线与的交点，即为点P，进行作答； （2）结合小网格的特征，作出的垂直平分线与射线的交点，即为点Q，进行作答； 【详解】（1）解：点P如图所示：    （2）解：点Q如图所示： 17．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形中，平分于点F，的延长线于点． (1)求证：． (2)若，请你求出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出答案． （2）由（1）中全等三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质得出，再根据代入计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：平分于点 ． 在和中， （2）解 ， 又 ∴ ， 18．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，的平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别是、． (1)求证：； (2)若在中，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接，， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，为的中点，交的平分线于点，交于点，交的延长线于点． (1)连接，求证：； (2)若，，求的长； (3)在（）的条件下，中连接，直接写出的取值范围； (4)在（）的条件下，若与相交于，当时，直接写出 的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）由题意可知垂直平分，故有，利用角平分线的性质可得 ，故可推出，即可求证； （）证，得，根据，通过等量代换可得，即可求解； （）如图，延长到，使，连接，根据证明，再根据三角形的三边关系解答即可； （）如图，过点作于，设，则，根据勾股定理列等式可得，，过点作于，作于，先根据角平分线的性质得，最后由面积法解答即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵，为的中点， ∴， ∵，，是的角平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （4）解：如图，过点作于，设，则， 由勾股定理得：， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 过点作于，作于， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的面积等知识点，掌握知识点的应用及正确作辅助线构建全等三角形和三角形的高线是解题的关键． 20．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）如图，过点分别作，，，由角平分线的性质可得，，进而得，再根据角平分线的判定即可求证； （）由的面积为可得，再根据可得，进而即可求解； 本题考查了角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， 即平分； （2）解：∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的周长． 地 城 考点05 等腰三角形的性质和判定 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，，由线段的数量关系可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则是度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质、折叠变换的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴不存在； 综上所述，或， 故选：D． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，点I为的角平分线的交点，，，，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据点I为的角平分线的交点，可得和分别平分和，再根据平移，使其顶点与点重合，可得，，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周长． 【详解】解：如图，连接，， 点I为的角平分线的交点， 和分别平分和， ，， 将平移，使其顶点与点重合， ，， ，， ，， ，， ． 所以图中阴影部分的周长为． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线的性质及平移的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线的性质及平移的性质． 6．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知等腰中，，则它的底角度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的基本性质是解题关键． 首先得到是顶角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴是顶角， ∴它的底角度数为：． 故选：B． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质分类讨论是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质，分已知角是顶角和底角两种情况分别即可． 【详解】解：∵已知三角形是等腰三角形， ∴当是底角时，顶角； 当是顶角时，符合题意； 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或． 故选D． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知，，，要使满足条件的唯一确定，那么边长度x的取值范围是（   ） A．5 B．10 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是要确定点C的位置．过B点作垂直于于D点，则是含30度角的直角三角形；再延长到E点，使，再分别讨论C点的位置即可． 【详解】解： 过B点作垂直于于D点，则是含30度角的直角三角形；再延长到E点，使， ①当C点和D点重合时，是含30度角的直角三角形，这个三角形是唯一的； ②当C点和E点重合时，是等腰三角形，，这个三角形也是唯一的； ③当C点在线段的延长线上时，即x大于，也就是x大于10，这时，也是唯一的； 综上所述，，，要使唯一确定，那么的长度x满足的条件是：或． 故选：D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，点D在上，且．则的度数是 【答案】/36度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角性质．设，根据等边对等角的性质求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和用x表示出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据三角形的外角性质，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后根据等腰三角形的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴， ∵为的平分线，， ∴直线为底边上的中线和高线所在的直线， 即垂直平分， ∴， ， 将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴， ， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，若，边和边相交于点P，边和边相交于Q，假设，当为等腰三角形时，则 ． 【答案】或 【分析】过B作于D，过B作于E，根据全等三角形的性质得出，，，进而得到平分，，再根据三角形内角和定理得出，确定，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于，即可得到关于的方程，进而得到结果． 【详解】解：如图，过B作于D，过B作于E， ∵， ∴，，， ∴平分，， 又∵， ∴， ∴， 分三种情况： ①当时，， ∵， ∴， 解得； ②当时，， 即， 解得； ③当时，， 又∵， ∴（不合题意）， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出平分，解题时注意分类思想的运用． 三、解答题 12．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理和平行线的性质： （1）角平分线的性质，平行线的性质，推出，即可得出结论； （2）三角形的内角和定理，求出的度数，平行线的性质，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 13．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，边、的垂直平分线分别交于D、E． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形周长公式计算即可得解； （2）由线段垂直平分线的性质可得，，由等边对等角得出，，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长； （2）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 14．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，． (1)在平面内找一点E，使，且点E到两边的距离相等．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若点E恰好落在上，则______． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查的作线段的垂直平分线，作角平分线，等腰三角形的性质； （1）如图，作的角平分线与线段的垂直平分线交于点，则即为所求； （2）当在上，证明，设，再进一步利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线与线段的垂直平分线交于点，则即为所求； （2）解：如图，当在上， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则． ∵， ∴， ∴，即． 15．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知，已知，点D、E分别在上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，再结合等边对等角的性质，得到，即可判断的形状． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：是等腰三角形， 理由如下：， ，     ， ，     ， ， ，     是等腰三角形． 16．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，是中线，是角平分线，． (1)______．（直接填空） (2)求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查等腰三角形的性质，三角形的外角性质，角平分析定义，关键是根据等腰三角形的三线合一解答． （1）根据等腰三角形的性质求出，进而解答即可． （2）由角平分线定义得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ，是中线， ，即． ， 故答案为：； （2）解：，是的平分线， ． ∵， ∴， 是的外角， ． 17．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知：和都是等腰三角形，且和都是顶角且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，由等腰三角形的性质可得，，求出，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：∵和都是等腰三角形，且和都是顶角且， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，交于、两点，与相交于点F． (1)若的长为，则的周长为________； (2)若，求的度数； (3)判断点F是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点F在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质计算即可； （3）连接，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴的周长 ． ∵， ∴的周长为； （2）解：∵， ∴， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：点F在的垂直平分线上，理由如下： 连接， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上． 地 城 考点06 等边三角形的性质判定 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知：点O与等边三角形在同一平面内，且满足，有下列说法： ①点O可能在该的内部、外部或边上；②点O是该三角形的两条中线的交点；③点O是该三角形的一条高线的中点；④点O是该三角形的三边垂直平分线的交点．其中正确的说法是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质．根据等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质即可判断． 【详解】解：∵点O与等边三角形在同一平面内，且满足， ∴点O是该三角形的三边垂直平分线的交点，故说法④正确； 点O也一定是该三角形的三条中线的交点，故说法②不正确； 点O一定在该的内部，故说法①不正确； 如图，由题意得是的一条高线，且， ∴， ∴点O不是该三角形的一条高线的中点，故说法③不正确； 综上：只有说法④正确； 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，等边三角形的边长为8，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质、等边三角形的性质、轴对称的最短路径问题，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题， 连接交于点E，点C、关于直线对称，推出当点D与B重合时，的值最小，最小值为线段的长． 【详解】解：连接交于点E，过点B作直线， ∵， 是等边三角形，边长为8， ∴是等边三角形，， ∵A、B、三点在同一直线上， ∴和关于直线l的对称， ∵， ∴ ， ∵， ∴，， ∴点C、关于直线对称， ∴当点D与点B重合时，的值最小， 最小值为线段， 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，为等边的高，E、F分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，最短路径问题，作出辅助线，当取最小值时点的位置是解题的关键．作，使，连接交于点，连接，证明，根据两点间线段最短确定点的位置，即可求出答案． 【详解】解：作，使，连接交于点，连接， 等边，，， ， , ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当为与的交点时，的值最小， 此时， ． 故选D． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，点是射线上一个定点，点是射线上的一个动点，，以线段为边在右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（   ） ①；②； ③直线与射线所夹的锐角的度数不变； ④随点的移动，线段的值逐渐增大． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”证明，可判断①正确；由，，得，可判断②正确；延长交轴于点，由三角形外角的性质可判断③正确；由全等三角形的性质可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴ ∵， ∴，故②正确； 延长交轴于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线与轴的夹角恒为，故③正确； ∵点是轴上一个定点， ∴的长为定值， ∵， ∴， ∴的长为定值， ∴随点的移动，线段的值不变，故④错误， 故选：B． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，作E点关于的对称点，过作于点F，交于点P，连接，则当，，三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，可求，即可求解． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作于点F，交于点P，连接， ， ， 此时的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 6．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知点在同一直线上，和都是等边三角形．交于点，交于点、交于点．①；②；③是等边三角形；④连接，则平分，以上结论正确的有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由等边三角形的性质可证明，从而得，，则可判定①与②；证明，得，则可判定③；过点C作，垂足分别为M，N，则可证明，则有，从而可判定④，则最后可确定答案． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴； 故②正确； ∵ ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形； 故③正确； 如图，过点C作，垂足分别为M，N， 则； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴平分； 故④正确； 综上，全部正确； 故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 过D点作于点G，则，先证明，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：过D点作于点G，则， 在中，，， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：14． 8．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，是的边上的两个点，，，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会特殊位置解决问题．作线段的垂直平分线交于点，连接，，则，是等腰三角形，另外当是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，求出此时a的值即可． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接，，则，是等腰三角形， 过点M作于H，当，即时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 当时， ∵， ∴， ∴当时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 另外当是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时，， ∴， ∴， ∴此时， 故答案为：或． 9．（24-25八年级上·江苏常州·期中）在中，，，以为边作等边三角形，连接，则 °． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，熟练掌握等边对等角是解题的关键．分两种情况讨论：当与无重叠时，当与有重叠时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 当与无重叠时，如图所示： 此时， ∵， ∴； 当与有重叠时，如图所示： 此时， ∵， ∴； 故答案为：或． 10．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在等边中，于D，E是线段上一点，连接并延长，交于点G，F是边上一点，且满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识．连接，则，垂直平分，进一步得到，，由即可得到的度数． 【详解】解：连接， ∵在等边中，于D， ∴，，垂直平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵于D， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形和等腰直角三角形的选择，由题意得，，即可求解； 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴ 故答案为： 三、解答题 12．（24-25八年级上·江苏南通·期中）（1）如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，求证：； （2）如图2，，N分别为上的点，且，求证：； （3）如图3，是等边三角形，点D、F分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C的过程中，的度数是否发生变化？如果不变，求出的度数：如果改变，请说明理由．    【答案】（1）见解析（2）见解析（3），理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形和全等三角形综合．熟练掌握等腰三角形性质，等边三角形性质，全等三角形判定和性质，是解题的关键． （1）证明，可得，即得； （2）在上截取，连接，证明和，可得，得，即可得； （3）在上截取，连接，证明，根据是等边三角形，证明，可得，得，即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接，如图2，    ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3），理由如下：    如图3，在上截取，连接， ∵，且， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究 如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接） (3)理解与应用 如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？请写出结论并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握，是解题的关键．（1）替代，中的即可；（2）连接，利用计算即可；（2）连接，利用计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）等边，D是边上任意一点（不与端点重合），连接，在下方作，再作于点M． (1)当点D是的中点时，如图1，则_______；和的数量关系是_______； (2)当点D在边上运动时， ①证明：； ②直接写出线段、、之间的数量关系式． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，证明，，得出，，再证明，得出，，最后由直角三角形的性质即可得解； （2）①作于，证明，得出，，证明，即可得证；②由全等三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，点D是的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图，作于， ， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图1，在等边中，点E、F分别为边上的动点，且，直线交于点O．    (1)如图1，当F是的中点时，______． (2)在E、F运动的过程中，的大小是否变化？请利用图2，证明你的结论． (3)若将题目中的条件：“点E、F分别在边上的动点”改为“点E、F分别在边的延长线上的动点”（如图3所示），其余条件不变，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)的大小不会变化，理由见解析 (3)（2）中的结论还成立，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． （1）通过证明得到，再利用三角形外角的性质即可求解； （2）同理（1）即可证明； （3）通过证明得到，再利用三角形外角的性质结合对顶角相等即可求解； 【详解】（1）解：在等边中，，， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的外角， ∴； （2）解：的大小不会变化，证明如下： 在等边中，，， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的外角， ∴； （3）解：（2）中的结论还成立，理由如下： 在等边中，，， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的外角，， ∴． 16．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当______时，与的面积相等； (2)点P在折线运动过程中，当是等边三角形时，求的度数； (3)点P在折线运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)6 (2) (3)或或或 【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，等边三角形的性质，熟练掌握相关性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据题意可推出上的高和上的高相等，所以； （2）根据等边三角形的性质，得到，利用角的和差关系求出的度数即可； （3）根据题意可分为三种情况，对三种情况分类讨论即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴点D到和的距离相等， ∴当时，与的面积相等， 故答案为：6； （2）∵， ∴， 当是等边三角形时，如图，则：， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：如图1， ， 当时，（点P在处）， ∴， 当时，（点P在处）， ∴， ∵， ∴， 当时，（点P在处时）， ∵， ∴， 综上所述：或或或． 17．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，点、、在一条直线上，、均为等边三角形．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质． 由等边三角形的性质得到，，，进而得到，从而，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点O是等边内一点，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，α为多少度？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟记等边三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质、等边三角形的性质求出，根据等边三角形的判定推出即可； （2）根据全等三角形的性质及等边三角形的性质求出，，则，，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 19．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在等边中，，相交于点F． (1)求的度数； (2)过点B作，垂足为G．若，，则的长为 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得，由外角的性质可求解； （2）由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）， ∴， ∴， 故答案为：7． 地 城 考点07 直角三角形斜边中线等于斜边一半+30度角的直角三角形 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，D是的中点，，则的长是（   ） A．3 B．6 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，，点B是射线上的一个动点，点C是射线上的一个动点，且线段的长度不变，D是点A关于直线的对称点，连接，若．则的度数是（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 分两种情况，取的中点E，连接，，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到是等边三角形，进而依据轴对称的性质得出的度数． 【详解】解：分两种情况： 如图，当时，取的中点E，连接，， 则．即， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵D是点A关于直线的对称点， ∴垂直平分， 又， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，同理可得， 又∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被小湖泊隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可，熟练掌握直角三角形性质是解此题的关键． 根据直角三角形性质，得到，即可求解； 【详解】解：公路、互相垂直， ， 为中点， ， ， ， 故选：B 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，公路、互相垂直，公路的中点与拐点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵公路、互相垂直， ∴， ∵公路的中点，测得的长为， ∴， 故选：A． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直角三角形斜边上中线的性质、等边对等角等知识．根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由等边对等角得到，即可求出的度数． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，为的中点，与相交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理：根据直角三角形的性质可得，从而得到，，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，，由线段的数量关系可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 9．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知，，，要使满足条件的唯一确定，那么边长度x的取值范围是（   ） A．5 B．10 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是要确定点C的位置．过B点作垂直于于D点，则是含30度角的直角三角形；再延长到E点，使，再分别讨论C点的位置即可． 【详解】解： 过B点作垂直于于D点，则是含30度角的直角三角形；再延长到E点，使， ①当C点和D点重合时，是含30度角的直角三角形，这个三角形是唯一的； ②当C点和E点重合时，是等腰三角形，，这个三角形也是唯一的； ③当C点在线段的延长线上时，即x大于，也就是x大于10，这时，也是唯一的； 综上所述，，，要使唯一确定，那么的长度x满足的条件是：或． 故选：D． 10．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，过点作，交的延长线于，和交于点，当点与点重合时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，再证明是等边三角形，进而可得的值，然后计算的周长即可． 【详解】解：如下图，连接，过点作，交的延长线于，和交于点， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴， ∴点在射线上运动， 当点与点重合时，取最小值，此时点重合， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 11．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，作E点关于的对称点，过作于点F，交于点P，连接，则当，，三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，可求，即可求解． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作于点F，交于点P，连接， ， ， 此时的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 12．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，点分别在上，将沿折叠，点恰好与点重合．若，则的长度为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、折叠的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握角所对的直角边等于斜边的一半成为解题的关键． 如图：连接，根据等腰三角形的性质可得，进而得到；再根据折叠的性质可得，，根据直角三角形的性质可得；再说明结合可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 13．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接．若，．则的长为 ． 【答案】3 【分析】由和 均为直角三角形，可得．再根据等边对等角，三角形外角的性质，证明，推出为等边三角形，即可得解． 【详解】解：于点D，于点E， 和 均为直角三角形， 又 F为的中点，， ． ， ， ，， ，， ，， ， ， 又， 为等边三角形， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，能够综合运用上述知识点，证明为等边三角形是解题的关键． 14．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）若直角三角形斜边上的高和中线长分别是3，4，则它的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形的性质求出斜边长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，   直角三角形斜边上的中线是3， 斜边长为：， 它的面积． 故答案为：12． 15．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，D为边中点，连接，若，则 ． 【答案】110 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为在中，D为边中点，所以，则，即可作答． 【详解】解：在中，D为边中点， ∴ ∴， 则， 故答案为：110． 16．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）若直角三角形斜边上的高是，面积是，则斜边的中线长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式、直角三角形的性质，解决本题的关键是根据三角形的面积公式求出直角三角形的斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出直角三角形斜边的中线长． 【详解】解：设直角三角形斜边的长为， 直角三角形斜边上的高是，面积是， ， 解得：， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长是． 故答案为： ． 17．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出斜边长为，再根据三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长是， ∴斜边长为， ∵直角三角形斜边上的高是， ∴直角三角形的面积为． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 ． 【答案】4 【分析】过点E作于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出，，根据直角三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可． 此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，边长为1，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 19．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 过D点作于点G，则，先证明，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：过D点作于点G，则， 在中，，， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：14． 20．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，为平分线，于，于，，，则 ． 【答案】 【分析】先由垂直的定义及三角形内角和定理得出，根据三角形外角的性质得出，再由角平分线定义求得，则，，设，则，，进而根据，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ，， ， 为平分线， ， 于， ，， 设，则，， ，即， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质，掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键． 21．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，，P是上任意一点，于点M，于点N，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，如图，连接，过点B作于点T，利用三角形的面积公式证明，求出即可解决问题，解题的关键是学会利用面积法解决问题． 【详解】连接，过点B作于点T， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2． 22．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，是的边上的两个点，，，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会特殊位置解决问题．作线段的垂直平分线交于点，连接，，则，是等腰三角形，另外当是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，求出此时a的值即可． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接，，则，是等腰三角形， 过点M作于H，当，即时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 当时， ∵， ∴， ∴当时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 另外当是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时，， ∴， ∴， ∴此时， 故答案为：或． 三、解答题 23．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，是高，分别是的中点． (1)若，，求四边形的周长； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】(1) (2)垂直，证明见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，以及中垂线的性质，熟练掌握这些性质是解题关键． （1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出，的长，进而可以求出周长； （2）根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可． 【详解】（1）解：是的高， 和均为直角三角形， 又、分别是、的中点 ， 四边形的周长为 （2）结论：垂直，证明如下： 由（1）可知，， 、在的垂直平分线上， 垂直． 24．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，是上的一点，过点作，垂足为点，为的中点，连接、． (1)写出与的关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）由等腰直角三角形的性质可得，在中，由直角三角形斜边中线的性质可得，从而有，同理在中，可得，，继而可得，再由三角形外角的性质以及角的和差可得，即可得； （2）由，可得，再由，可得，，继而可得是等边三角形，从而有，继而可得，再利用等边对等角即可求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：，，理由如下： 中，，， ， ， ， 在中，，为中点， ， ， 在中，，为中点， ， ， ， ，，， ， 即， ； （2）解：，， ， ， ， ，，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ． ． 25．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）【课本再现】（）苏科版数学八年级上册课本第页思考：如图，中，，，那么与有怎样的数量关系？试证明你的结论． 【尝试探究】（2）点是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接． ①判断的形状，并说明理由； ②求证：； 【探究应用】（3）若点是直线上一动点，“尝试探究”中其他条件不变，若，直接写出点到点的最小距离． 【答案】（1），理由见解析；（2）①是等腰三角形，理由见解析；②见解析；（3）． 【分析】（1）设的中点，连接，根据，得是等边三角形，则，由此可得出与的数量关系； （2）①设的中点，连接，证明和全等得，进而得是线段的垂直平分线，则，由此可判定的形状∶②设，则，根据，得，进而根据是等腰三角形，，由此即可得出结论； （3）作的垂直平分线，垂足为，过点作于，由知点在直线上运动时，点在上运动，根据“垂线段最短"得点到上所有点的距离中，为最短，因此点和点重合时，为最小，最小距离是线段比的长，然后求出的长即可得出答案． 【详解】解：（1）与的数量关系是∶，证明如下∶ 设的中点，连接，如图所示， 在中，∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴； （2）①是等腰三角形，理由如下： 设的中点，连接，，如图2所示， 由(1)知∶是等边三角形 ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴ 在和中 ∴， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴是线段的垂直平分线 ∴ ∴ ∴是等腰三角形 ②证明∶设， ∵ ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， 由①知∶是等腰三角形， ∴， ∴， 即； （3）作的垂直平分线，垂足为，连接，过 点作于，如图所示， 由①知∶点在直线上运动时，点在上运动， 根据“垂线段最短”∶点到上所有点的距离中为最短， ∴点和点重合时，为最小，最小距离是线段的长， 由知∶是等边三角形 ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴点到点的最小距离． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识点，理解直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等角形，并得出点在线段的垂直平分线上运动是解决问题的难点． 26．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）等边，D是边上任意一点（不与端点重合），连接，在下方作，再作于点M． (1)当点D是的中点时，如图1，则_______；和的数量关系是_______； (2)当点D在边上运动时， ①证明：； ②直接写出线段、、之间的数量关系式． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，证明，，得出，，再证明，得出，，最后由直角三角形的性质即可得解； （2）①作于，证明，得出，，证明，即可得证；②由全等三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，点D是的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图，作于， ， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． 27．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质等知识点， （1）根据角的和差及直角三角形的性质求出，  再根据“等角对等边”即可得证； （2）根据线段垂直平分线的判定与性质求出．再根据等边三角形的判定与性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出，再根据线段的和差求解即可； 熟练掌握等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】（1）∵平分交于点E， ∴， ∵， ∴，          ∵于点D， ∴，                             ∴，   ∴，   ∴； （2）∵于点D，， ∴垂直平分， ∴，            由（1）可知， ∴．     ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴，    ∴． 28．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图所示，在直角中，，，平分．    (1)求的度数； (2)延长到E，使得，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题是考查了三角形内角和定理、含的直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握直角三角形的性质． （1）根据和的度数得出的度数，根据角平分线的性质得出的度数； （2）根据含的直角三角形得出，结合，即可证明． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴． 又∵平分， ∴， 即； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，点D是边上一点，于点E，点F是线段的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求C、E两点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，，进而求解； （2）连接，求，结合三角形外角的性质可求解，利用等边三角形的性质可求解的长． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， 点是斜边的中点， ，， ； （2）解：连接，由（1）得， ，， ， 是等边三角形， ， ，两点间的距离是6． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 30．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）已知：如图，M、N分别是、的中点． (1)求证：． (2)若，线段与满足的数量关系是__________． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质、三角形外角的性质．熟记各性质能正确识图是解题的关键． （1）依据直角三角形斜边上中线的性质，可得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到． （2）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，再依据直角三角形斜边上中线的性质可得． 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ∴在中，，在中，， ∴， 又∵是的中点， ∴； （2）解：∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 即， ∵点是的中点， ∴． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 1 / 152 学科网（北京）股份有限公司 $$