13.1-13.2 三角形的概念、有关的线段【十大考点+十大题型】-2025-2026学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》讲与练高分突破（人教版2024）

13.1-13.2 三角形的概念、有关的线段 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 知识点二、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。 知识点三、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 知识点四、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 知识点五、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 知识点六、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。 【题型归纳】 题型一：三角形的认识 【例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A．B．C． D． 【跟踪训练2】．（22-23八年级上·河北廊坊·期中）下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（    ） A．B．C． D． 题型二：三角形的分类 【例2】．（24-25七年级下·全国）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A．B．C．D． 【跟踪训练1】（25-26八年级上·全国）已知的三边长为，，，且满足，则此三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【跟踪训练2】（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）在中，，则此三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 题型三：构成三角形的条件 【例3】（24-25八年级上·广东东莞·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪训练1】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知一个等腰三角形的一边长等于，一边长等于，那么它的周长为（　　） A． B． C．或 D． 【跟踪训练2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（    ） A．2 B．3 C．6 D．10 题型四：三角形三边关系的应用 【例4】（2025八年级上·全国·专题练习）若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】24-25八年级上·全国·期末）等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 【跟踪训练2】（24-25八年级上·内蒙古乌海）已知是的三条边，化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 题型五：三角形的稳定性及其应用 【例5】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【跟踪训练1】（25-26八年级上·全国）椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．三脚架 B．篮球架 C．活动衣架 D．太阳能热水器 题型六：画三角形的高 【例6】（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）下面四个图形中，线段是的高的图形是（　　） A．B．C．D． 【跟踪训练1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示的边上的高的是（   ） A．B．C． D． 【跟踪训练2】（24-25八年级上·全国·期末）下面四个图形中，线段是的高的是（　　） A．B．C．D 题型七：与三角形高有关的计算问题 【例7】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 【跟踪训练1】（25-26八年级上·全国·周测）如图，在中，是边上的高．在中，是边上的中线．若，且，则的值为（   ） A．16 B．24 C．28 D．32 【跟踪训练2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，交的延长线于点，，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 题型八：根据三角形的中线求长度或者面积问题 【例8】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，是上的中线，是的中点，的面积是，则的面积是（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 【跟踪训练2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D． 题型九：三角形的角平分线 【例9】（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【跟踪训练1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 【跟踪训练2】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 题型十：三角形线段的综合问题 【例10】（23-24八年级上·湖北武汉·单元测试）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【例10】（23-24八年级河北保定）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． (1)______；A点的坐标是______； (2)写出点B、C的坐标：B______，C______；（用含m的式子表示） (3)若的面积是10，求m的值； (4)若交y轴于点N，的长度为1，请直接写出m的值． 【跟踪训练1】（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【跟踪训练2】（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在中，是中线，是高，且，，． (1)_____； (2)求和的周长差． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国）若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 3．（20-21八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，图中三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，以D为顶点的三角形的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为整数，则这样的三角形的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（22-23八年级上·全国·期中）已知四组线段：第①组长度分别为5，6，11；第②组长度分别为1，4，4；第③组长度分别为4，4，4； 第④组长度分别为3，4，5，其中不能成为一个三角形的三条边的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 7．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 D．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 8．（24-25八年级上·西藏山南·期末）如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 10．（21-22八年级上·四川德阳·阶段练习）若表示的三边长，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）中，如图选项正确画出边上的高的图形是（    ） A．B．C．D． 二、填空题 12．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，共有 个三角形；在中，所对的角是 ；在中，所对的边是 ；以为边的三角形有 ． 13．（24-25七年级下·上海·期中）在中，若，则此三角形按角分类是 三角形． 14．（24-25七年级下·上海·期中）若的三个内角的比为，则的形状是 三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 15（21-22八年级上·江苏宿迁·阶段练习）工人师傅在做完门框后，为避免变形，常常如图所示钉上两根斜拉的木条（即图中的两根木条），如此做的数学原理是： ． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为 ． 17．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 18．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则 ． 三、解答题 19．（21-22八年级上·云南曲靖·期中）在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 20．（25-26八年级上·全国）如图，已知，，． (1)在中，边上的高是________； (2)在中，边上的高是________； (3)在中，边上的高是________． 21．（25-26八年级上）如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： (1)； (2)； (3)； (4)若，则______，______． 22．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 23．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）“等面积法”是数学中常用的、重要的解题方法，在下题中也有所体现． 在平面直角坐标系中有，点，在轴上，，点在轴上，交延长线于点，． (1)如图，请直接写出的面积为______，点的坐标为______． (2)如图，若点坐标为，点在轴上点右侧，点在延长线上，连接，，若：：，求点的坐标补充并完成下面解答过程： 解：过作延长线于，， 由：：，可得：______． 在和中，， ______． (3)如图，在（2）的条件下，点在线段上，连接，过作于若，求点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1-13.2 三角形的概念、有关的线段 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 知识点二、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。 知识点三、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 知识点四、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 知识点五、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 知识点六、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。 【题型归纳】 题型一：三角形的认识 【例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【跟踪训练1】．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【跟踪训练2】．（22-23八年级上·河北廊坊·期中）下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的定义：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形，即可进行解答． 【详解】 解：符合三角形概念的是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形是三角形，这三点称为三角形的顶点；三条线段称为三角形的边． 题型二：三角形的分类 【例2】．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况： 等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 分类混乱，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D． 【跟踪训练1】（25-26八年级上·全国）已知的三边长为，，，且满足，则此三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的分类（按边分），平方式和绝对值的非负性等知识点，根据非负性求出三角形的边长是解题关键．由非负数的性质可知，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零时，每个部分都为零，从而求出各边的值，再根据三角形形状的判定条件得出结论． 【详解】解：由题意得，， 因为平方项和绝对值项均非负，且它们的和为0， 所以，，， 解得，， 因此，的三边长均为2，满足等边三角形的定义． 故选：B． 【跟踪训练2】（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）在中，，则此三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和为，难度较小．设，因为，所以，，根据三角形内角和为进行列式即可解答． 【详解】解：设， 因为， 所以，， 在中，， 即， 解得， 那么，，， 所以此三角形是直角三角形， 故选：B． 题型三：构成三角形的条件 【例3】（24-25八年级上·广东东莞·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据两边之和大于第三边判断即可． 本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵，与两边之和大于第三边一致， ∴A符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴B不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴C不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴D不符合题意； 故选：A． 【跟踪训练1】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知一个等腰三角形的一边长等于，一边长等于，那么它的周长为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形及三角形三边关系．解题的关键是分情况讨论． 分两种情况讨论，当为底边长时和当为底边长时两种情况讨论． 【详解】解：当为底边长时，腰长为， ∵， ∴满足三角形的三边关系， ∴周长为； 当为底边长，腰长为时， ∵， ∴满足三角形的三边关系， ∴周长为， 故它的周长为或． 故选：C． 【跟踪训练2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（    ） A．2 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边之间关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．先根据三角形三边之间关系求出第三条边的范围，再看四个选项中哪一个符合条件即可． 【详解】解：设第三边长为，由题意得：， ， A，B，C，D四个选项中只有C选项符合， 故选：C． 题型四：三角形三边关系的应用 【例4】（2025八年级上·全国·专题练习）若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三角形的三边关系得出之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：由三角形的三边关系得，，，， ∴，，， ∴原式， 故选：． 【跟踪训练1】24-25八年级上·全国·期末）等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确分两种情况讨论是解题关键．分①腰长为和②腰长为两种情况，根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系即可得． 【详解】解：①当腰长为时， 则这个等腰三角形的三边长分别为，，， 因为， 所以满足三角形的三边关系， 所以此时它的周长为； ②当腰长为时， 则这个等腰三角形的三边长分别为，，， 因为， 所以不满足三角形的三边关系； 综上，这个等腰三角形的周长为， 故选：C． 【跟踪训练2】（24-25八年级上·内蒙古乌海）已知是的三条边，化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的化简，利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内表达式的符号，进而化简绝对值即可． 【详解】解：a，b，c是的三边长， ，， 则，， ， ， 原式， 故选：B． 题型五：三角形的稳定性及其应用 【例5】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：根据题意得：这样做的数学依据是三角形的稳定性． 故选：B 【跟踪训练1】（25-26八年级上·全国）椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形稳定性逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，C选项椅子的设计中利用了“三角形稳定性”， 故选：C． 【跟踪训练2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．三脚架 B．篮球架 C．活动衣架 D．太阳能热水器 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的性质，根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意； B、应用到三角形的稳定性，不符合题意； C、没有应用到三角形的稳定性，符合题意； D、应用到三角形的稳定性，不符合题意； 故选：C． 题型六：画三角形的高 【例6】（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）下面四个图形中，线段是的高的图形是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形的高的定义进行判断即可，理解三角形的高的定义是解题的关键． 【详解】解：由三角形的高的定义可知，四个选项中，只有D选项中， 故选：D． 【跟踪训练1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示的边上的高的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据概念逐一判断即可． 【详解】解：A、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； B、图形中，能表示的边上的高，本选项符合题意； C、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； D、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪训练2】（24-25八年级上·全国·期末）下面四个图形中，线段是的高的是（　　） A．B．C．D 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：B、C、D选项中线段不能表示任何边上的高， A选项中线段表示中边上的高． 故选：A． 题型七：与三角形高有关的计算问题 【例7】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故选：A． 【跟踪训练1】（25-26八年级上·全国·周测）如图，在中，是边上的高．在中，是边上的中线．若，且，则的值为（   ） A．16 B．24 C．28 D．32 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线和高的性质以及三角形的面积公式，根据三角形的中线平分三角形的面积求解是解题的关键. 先根据中线性质求出的面积，再根据求出的面积，再根据面积公式求出的值. 【详解】解：是边上的中线， ， 是边上的高线， 故选：D ． 【跟踪训练2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，交的延长线于点，，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】本题考查三角形面积公式的应用及等量关系的建立．解题关键在于利用同一三角形面积的不同表达方式建立关于未知边长的等式，从而求解．具体地，根据面积公式：，再代入已知值，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 故选：A． 题型八：根据三角形的中线求长度或者面积问题 【例8】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵， ∴，D说法错误，符合题意． 故选：D． 【跟踪训练1】（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，是上的中线，是的中点，的面积是，则的面积是（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的求法，三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵是边上的中线 ∴， ∵是的中点，则是中边上的中线， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 【跟踪训练2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高的知识点，熟练掌握三角形中线、高、角平分线的性质是解题的关键.根据三角形角平分线、中线和高的定义进行分析即可. 【详解】解：选项A：是中线，点是中点，，选项A正确，不符合题意. 选项B：的边上的高为，根据三角形面积公式可得，选项B正确，不符合题意. 选项C：的角平分线为，，选项C错误，符合题意. 选项D：的底边为的一半，二者高相等，根据三角形面积公式可得，选项D正确，不符合题意. 故答案为：C ． 题型九：三角形的角平分线 【例9】（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 【跟踪训练1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的角平分线、中线和高， 根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线，，C、D选项正确． ∵， ∴是的角平分线；没有条件能证明是的角平分线；A选项错误． ∵， ∴是的高． 故选：A． 【跟踪训练2】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得，，逐项判断即可判定是的角平分线． 【详解】解：A∵的角平分线、中线相交于点O， ∴，， 在中，不一定等于， ∴不一定是的角平分线，A错误； B∵不一定等于，那么不一定是的角平分线，B错误； C在中，，不一定是的中线，C错误； D∵， ∴是的角平分线，D正确； 故选：D． 题型十：三角形线段的综合问题 【例10】（23-24八年级上·湖北武汉·单元测试）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的面积，中线；掌握三角形的中线分出的两个三角形的面积相等是解题的关键． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）先求出的面积，然后根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解答即可． 【详解】（1）解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴的长度为． （2）解：∵是直角三角形，， ∴， 又∵是边的中线， ∴． 【例10】（23-24八年级河北保定）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． (1)______；A点的坐标是______； (2)写出点B、C的坐标：B______，C______；（用含m的式子表示） (3)若的面积是10，求m的值； (4)若交y轴于点N，的长度为1，请直接写出m的值． 【答案】(1)1，； (2)，； (3)； (4)． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了两条直线相交或平行问题、坐标与图形变化中的平移、三角形的面积，解题的关键是根据点的坐标利用三角形的面积公式得出的方程； （1）由点在轴上可求出值，将其代入点的坐标中即可得出点的坐标； （2）依据点的平移可得出点、的坐标； （3）设直线与轴的交点为，则点的坐标为，可求出，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （4）连接，根据可得出，再列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，点在轴上， ， 解得：， 点． 故答案为：1，； （2）解：将将点向右平移5个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，将点向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点， 点，点，，即，， 故答案为：，； （3）解：设直线与轴的交点为，如图1，则点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：；理由如下； 设直线与轴的交点为，连接，如图2， ， ， ， ． 【跟踪训练1】（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形中线的定义； 根据中线的定义结合已知可得，求出，再根据边上的中线把的周长分成60和40两部分列式计算即可． 【详解】解：∵中线把的周长分成60和40两部分，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【跟踪训练2】（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在中，是中线，是高，且，，． (1)_____； (2)求和的周长差． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两部分，所以可直接得出的值． （2）的周长为，的周长为，因为，所以周长差为，再根据三角形面积公式求出的长度，进而求出周长差． 本题主要考查了三角形中线和高的性质，熟练掌握中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 【详解】（1）解： ∵BE是中线 ∴ ∵ ∴ 故答案为： （2）解：∵BE是中线 ∴ ∵， ∴ ∵AD是高，， ∴ 即 解得 ∵ ∴ 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国）若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的分类，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．根据三角形内角和定理及三角形按角分类的标准判断即可． 【详解】验证内角和：，符合三角形内角和为的性质； 判断角类型：和均小于，为锐角，大于，为钝角； 分类三角形：若三角形中有一个角是钝角，则为钝角三角形； 综上，该三角形是钝角三角形． 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 【答案】A 【分析】根据三角形的分类情况可得答案． 此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握三角形的分类一种是按边分类，另一种按角分类． 【详解】解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， 故选：A． 3．（20-21八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，图中三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的个数． 找出图中所有的三角形，即可得三角形的个数． 【详解】解：图中的三角形有：，，，，， ∴图中共有个三角形， 故选：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，以D为顶点的三角形的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以D为顶点的三角形有共4个三角形， 故选：B． 5．（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为整数，则这样的三角形的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边之差，而小于两边之和．根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， ∵x为整数， ∴、、， 则这样的三角形的个数为3， 故选：B． 6．（22-23八年级上·全国·期中）已知四组线段：第①组长度分别为5，6，11；第②组长度分别为1，4，4；第③组长度分别为4，4，4； 第④组长度分别为3，4，5，其中不能成为一个三角形的三条边的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系逐一判断即可求解，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：①5，6，11， ， 5，6，11不能构成三角形； ②1，4，4， ，， 1，4，4，能构成三角形； ③4，4，4， ，， 4，4，4，能构成三角形‘； ④3，4，5， ，， 3，4，5，能构成三角形‘； 则不能构成三角形的是第①组， 故选A． 7．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 D．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．也考查了三角形的角平分线、中线和高．根据三角形的角平分线的定义和三角形重心的定义进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的角平分线是线段，所以本选项不符合题意； B、三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形顶点，所以本选项不符合题意； C、三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形，所以本选项不符合题意． D、三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心，所以本选项符合题意； 故选：D． 8．（24-25八年级上·西藏山南·期末）如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，且的面积是1， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：C． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【答案】D 【分析】本题考查了中线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论以及运用数形结合思想，结合三角形的周长之间的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 依题意，当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为2或12， 故选：D 10．（21-22八年级上·四川德阳·阶段练习）若表示的三边长，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值．由三角形的三边关系，得到，，，化简绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：表示的三边长， ，，， ，，， ， 故选C． 11．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）中，如图选项正确画出边上的高的图形是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高，由三角形的高的定义可知，过点B作边上的垂线段即可． 【详解】解：A．不是边上的高，不合题意； B．不是边上的高，不合题意； C．不是边上的高，不合题意； D．是边上的高，符合题意； 故选D． 二、填空题 12．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，共有 个三角形；在中，所对的角是 ；在中，所对的边是 ；以为边的三角形有 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了与三角形有关的概念，理解这些概念是关键；由三角形相关概念即可完成． 【详解】解：图中共有3个三角形：； 在中，所对的角是；在中，所对的边是；以为边的三角形有； 故答案为：3；；；． 13．（24-25七年级下·上海·期中）在中，若，则此三角形按角分类是 三角形． 【答案】锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据已知条件和三角形内角和定理求出这个三角形三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角． 14．（24-25七年级下·上海·期中）若的三个内角的比为，则的形状是 三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，先根据三角形的内角和定理求出中最大角的度数，然后根据三角形的分类求解即可． 【详解】解：∵的三个内角的比为， ∴中最大角为， ∴的形状是直角三角形， 故答案为：直角． 15（21-22八年级上·江苏宿迁·阶段练习）工人师傅在做完门框后，为避免变形，常常如图所示钉上两根斜拉的木条（即图中的两根木条），如此做的数学原理是： ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟知三角形稳定性的特点．根据三角形具有稳定性进行解答即可． 【详解】解：这样做是运用了三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 连接，利用、是中点的性质，得出多组等面积三角形，通过面积的等量代换，结合四边形的面积，推导出的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 17．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，利用三角形的面积公式列出等式是解题关键． 根据三角形的面积公式即可得． 【详解】由题意得： ， 解得． 故答案为：． 18．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 故答案为：3． 三、解答题 19．（21-22八年级上·云南曲靖·期中）在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算和中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用三角形的等面积法即可求得的长； （2）根据中线的性质可得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 又，，， ， 解得：， 则的长为； （2）解：的边上的中线是，，， ， ， 则的面积为． 20．（25-26八年级上·全国）如图，已知，，． (1)在中，边上的高是________； (2)在中，边上的高是________； (3)在中，边上的高是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形的高的定义．根据从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高进行判断即可． 【详解】（1）解：在中，边上的高是； 故答案为：； （2）解：在中，边上的高是； 故答案为：； （3）解：在中，边上的高是． 故答案为：． 21．（25-26八年级上）如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： (1)； (2)； (3)； (4)若，则______，______． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)， 【分析】此题考查了三角形的中线、角平分线、高，用到的知识点是三角形的中线、角平分线、高的定义和面积公式， （1）根据三角形中线的性质即可得出答案； （2）根据三角形角平分线的性质即可得出答案； （3）根据三角形高的定义与性质即可得出答案； （4）根据三角形的面积公式及三角形中线的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：是的中线， ， 故答案为：，； （2）解：是中的角平分线， ， 故答案为：，； （3）解：是中边的高， ， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是的中线， ， 故答案为：，． 22．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线和高线． （1）根据中线的定义可知，结合已知求出，由此即可求解； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的中点 ． （2）解：过作于，如图： 点到的距离为． 23．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）“等面积法”是数学中常用的、重要的解题方法，在下题中也有所体现． 在平面直角坐标系中有，点，在轴上，，点在轴上，交延长线于点，． (1)如图，请直接写出的面积为______，点的坐标为______． (2)如图，若点坐标为，点在轴上点右侧，点在延长线上，连接，，若：：，求点的坐标补充并完成下面解答过程： 解：过作延长线于，， 由：：，可得：______． 在和中，， ______． (3)如图，在（2）的条件下，点在线段上，连接，过作于若，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)：，：：，补充见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键. （1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）过作延长线于，根据三角形面积公式得到，推出，求得，于是得到； （3）过作轴于点，设，，连接，根据三角形的面积公式得到，求得，得到，根据三角形和梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ． ； 故答案为：，； （2）过作延长线于，， 由，可得， 在和中，， ， ； ， ， 故答案为：，； （3）过作轴于点，设，，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$