精品解析：吉林省长春市赫行实验学校2025--2026学年八年级上学期开学考试数学试题

数学学科调研 满分：120分，时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子一定正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值，根据数轴得到a，b的取值范围，逐个判断选项的正误即可． 【详解】解：由数轴得：，， A、，故A选项正确，不合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、的正负不确定，故与的大小不确定，故C选项错误，不符合题意； D、，由得，即，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 3. 用下列一种正多边形瓷砖铺设地面，不能镶嵌整个平面的图形是（ ） A. 正六边形 B. 正五边形 C. 正四边形 D. 正三角形 【答案】B 【解析】 【分析】看哪个正多边形的一个内角的度数不是的约数，就不能密铺平面． 【详解】解：A、正六边形的一个内角度数为，是的约数，能密铺平面，不符合题意； B、正九边形的一个内角度数为，不是的约数，不能密铺平面，符合题意； C、正四边形的一个内角度数为，是的约数，能密铺平面，不符合题意； D、正三角形的一个内角为，是的约数，能密铺平面，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，用到的知识点为：一种正多边形能密铺平面，这个正多边形的一个内角的度数是的约数；正多边形一个内角的度数边数． 4. 三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 三角形的任意两边之和大于第三边 D. 三角形的内角和等于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性 故选：B． 5. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中《盈不足》卷记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，每人出钱，则多钱；每人出钱，则差钱，问人数和物品价格各是多少？设有人．根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程即可求解． 【详解】解：设有人， 则． 故选：A． 6. 如图，在四边形中，已知．添一个条件，使，则不能作为这一条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意，分别对每一项进行分析判断即可． 【详解】解：A.已知，，添加，利用可得，此项不符合题意； B.已知，，添加，利用可得，此项不符合题意； C.已知，，添加，利用可得，此项不符合题意； D.已知，，添加不能得出，此项符合题意． 故选：D． 7. 用直尺和圆规作的中线，作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图，熟练掌握垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图是解题的关键；因此此题可根据垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图进行排除选项． 【详解】解：A、由图可知：是的中线，故符合题意； B、由图可知：不是的中线，故不符合题意； C、由图可知：不是的中线，故不符合题意； D、由图可知：不是的中线，故不符合题意； 故选A． 8. 如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质和平行线的性质，先由等边对等角和三角形内角和定理求出，再由平行线的性质得到，则可由折叠的性质得，再根据平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 实数2的算术平方根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的概念，掌握概念即可解题． 【详解】解：2的算术平方根为， 故答案为：． 10. 已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集的意义，熟练掌握解一元一次不等式组及一元一次不等式组的解集的意义是解题的关键．解两个不等式得，，再根据不等式组的整数解的个数，即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 关于x的不等式组的整数解有且只有2个， ． 故答案为：． 11. 如图，三角形的周长为，现将三角形沿方向平移至三角形的位置，连接，则四边形的周长是__________. 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质：平移前后两图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点；连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到则利用等线段代换得到四边形的周长，然后利用三角形的周长为进行计算． 【详解】解：∵三角形沿方向平移至三角形的位置， ∴， ∵三角形的周长为， ∴ ∴四边形的周长． 故答案为：48． 12. 在中，的平分线相交于，过点且，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，利用平行线的性质和角平分线的定义可得，即得，同理可得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， 故答案为：． 13. 如图所示的花朵图案，至少要旋转______度后，才能与原来的图形重合． 【答案】45 【解析】 【分析】该图形被平分成8部分，因而每部分被分成的圆心角是45°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转45度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】花朵图案，至少要旋转360÷8=45度后，才能与原来的图形重合． 故答案为：45 考点：旋转角． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 14. 如图，在中，．将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别为D、E，延长交边于点F．给出下面五个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，图形的旋转前后边的长度与角的大小不变是解决本题的关键． 首先由旋转前后，即可判断①和②；根据旋转角度可得，再根据三角形内角和即可判断③；由③的结论可判断④；根据内错角的概念判断⑤即可． 【详解】解：①：因为绕点C顺时针旋转得到， 所以，①正确； ②：因为绕点C顺时针旋转得到， 所以，而， 所以，②错误； ③：记与的交点为H， 因为绕点C顺时针旋转得到， 所以， 在中，，， 所以， 所以， 在中，，③正确； ④：由③知，， 所以，④正确； ⑤：因为，但的度数不确定，不一定为， 所以与不一定平行，⑤错误， 所以正确结论的序号有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题 15. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用加减消元法成为解题的关键． 直接运用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 由①得：③， 把③代入②得：，解得：， 把代入③得：， 所以方程组的解为：． 16. 解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来. 【答案】； 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】先把两个不等式分别求出来，然后根据不等式的解的口诀得到不等式的解集，然后把解集表示在数轴上即可. 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式的解集为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是正确解出每一个不等式，然后掌握求解集的口诀. 17. 如图，点在线段上，，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， ，， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由，，可得，利用“”即可得证； （2）根据全等三角形的性质得到，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，， ． 18. 定义：不大于实数x的最大整数称为x的有效部分，记作，如，，按照此规定， （1）=_______； （2）若，求x的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先估算的范围，再根据有效部分的定义确定的值； （2）根据有效部分的定义列出关于的不等式组，进而求解的取值范围． 本题主要考查了新定义运算以及不等式的求解，熟练掌握新定义的含义是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 19. 图①、②、图③均是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，点和的顶点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的边与网格线交于点，画出，使与关于所在的直线成轴对称，并确定点的对称点． （2）在图②中画出，使与关于点成中心对称． （3）在图③中，点在网格线上，且不在格点上，在线段上确定点，使． 【答案】（1） 如图，和点即为所求． （2） 如图，即为所求． （3）如图， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、中心对称，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图可得与网格线的交点为点． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）连接并延长，交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接并延长，交于点，则点即为所求． 20. 如图，在中，平分，于点．若． （1）求的度数． （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义； （1）利用三角形的内角和定理解答即可； （2）根据角平分线的定义得到的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余解答即可． 【小问1详解】 解：在中，． ． ，， ． 【小问2详解】 解：平分， ． ， ． 于点， ． 在中，，． ． ． 21. 某服装店用20000元购进甲，乙两种新式服装共450套，这两种服装的进价，标价如表所示： 类型价格 甲型 乙型 进价（元/件） 40 50 标价（元/件） 60 80 （1）求这两种服装各购进的件数； （2）如果甲种服装按标价的8折出售，乙种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店共盈利多少元？ 【答案】（1）甲250件；乙200件 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． （1）设种服装购进件，种服装购进件，由总价单价数量，总件数甲的数量+乙的数量，建立方程组求出其解即可； （2）分别求出打折后的价格，总利润=打折后种服装的利润+打折后中服装的利润，求出其解即可． 【小问1详解】 解：设种服装购进件，种服装购进件，由题意，得 ， 解得：． 答：种服装购进250件，种服装购进200件； 【小问2详解】 由题意，得： （元）． 答：全部售完后，服装店共盈利3200元． 22. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】 （1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______________．（填序号）． （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 【答案】（1）③ （2） 【解析】 【分析】（1）解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，解各方程求得对应的解，然后根据定义进行判断即可； （2）解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，然后求得其整数解，将其代入中解得m的值即可． 【小问1详解】 解：， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ①， 解得：， ∵，故①不符合题意； ②， 解得：， ∵，故②不符合题意； ③， 解得：， ∵，故③符合题意； 综上所述，不等式组的关联方程是③， 故答案为：③； 【小问2详解】 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∴其整数解为， ∵不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是， ∴， 解得：， ∴常数的值为． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，解一元一次不等式组，正确理解关联方程的定义是解题的关键． 23. 综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【解析】 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 24. 如图，中，，，．点从点出发沿路径向终点运动；点从点出发沿路径向终点运动．点和分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于于． （1）如图1，当时，设点运动时间为，当点在上，点在上时， ①用含的式子表示和，则____，______； ②当时，与全等吗？并说明理由； （2）设点运动时间为，请问：当时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形，有没有可能全等？若能，请求出符合条件的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）①，； ②全等， 当时，与全等，理由如下： 当时，，， ∴， ∵， ∴， 又∵于E，于F， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）有可能，的值为或或 【解析】 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，直角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论． （1）①由题意得：，，即可得出答案； ②首先求出，然后由证明即可； （2）分三种情况：①当点P在上，点Q在上时；②当点P与点Q重合，与全等；③当点Q到点A时停止，点P运动到上时，然后分别列方程即可得出结论． 【小问1详解】 解：①由题意得：，， 则，， 故答案为：，； ②略 【小问2详解】 解：当时，与有可能全等，分三种情况： ①当点P在上，点Q在上时，，如图1所示： 则， ∴， 解得：； ②如图2所示： ∵点P与点Q重合， ∴与全等，　 ∴， ∴． 解得：； ③当点P在上，点Q到点A时，，如图3所示： 则， ∴， ∴； 综上所述，符合条件的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科调研 满分：120分，时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子一定正确的为（ ） A. B. C. D. 3. 用下列一种正多边形瓷砖铺设地面，不能镶嵌整个平面的图形是（ ） A. 正六边形 B. 正五边形 C. 正四边形 D. 正三角形 4. 三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 三角形的任意两边之和大于第三边 D. 三角形的内角和等于 5. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中《盈不足》卷记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，每人出钱，则多钱；每人出钱，则差钱，问人数和物品价格各是多少？设有人．根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，已知．添一个条件，使，则不能作为这一条件的是（ ） A. B. C. D. 7. 用直尺和圆规作的中线，作图正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 实数2的算术平方根为______． 10. 已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是________． 11. 如图，三角形的周长为，现将三角形沿方向平移至三角形的位置，连接，则四边形的周长是__________. 12. 在中，的平分线相交于，过点且，若，，则______． 13. 如图所示的花朵图案，至少要旋转______度后，才能与原来的图形重合． 14. 如图，在中，．将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别为D、E，延长交边于点F．给出下面五个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤． 上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题 15. 解方程组： 16. 解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来. 17. 如图，点在线段上，，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 定义：不大于实数x的最大整数称为x的有效部分，记作，如，，按照此规定， （1）=_______； （2）若，求x的取值范围． 19. 图①、②、图③均是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，点和的顶点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的边与网格线交于点，画出，使与关于所在的直线成轴对称，并确定点的对称点． （2）在图②中画出，使与关于点成中心对称． （3）在图③中，点在网格线上，且不在格点上，在线段上确定点，使． 20. 如图，在中，平分，于点．若． （1）求的度数． （2）求的度数． 21. 某服装店用20000元购进甲，乙两种新式服装共450套，这两种服装的进价，标价如表所示： 类型价格 甲型 乙型 进价（元/件） 40 50 标价（元/件） 60 80 （1）求这两种服装各购进的件数； （2）如果甲种服装按标价的8折出售，乙种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店共盈利多少元？ 22. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】 （1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______________．（填序号）． （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 23. 综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 24. 如图，中，，，．点从点出发沿路径向终点运动；点从点出发沿路径向终点运动．点和分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于于． （1）如图1，当时，设点运动时间为，当点在上，点在上时， ①用含的式子表示和，则____，______； ②当时，与全等吗？并说明理由； （2）设点运动时间为，请问：当时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形，有没有可能全等？若能，请求出符合条件的值；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $