学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（安徽专用，沪科版第21章 二次函数与反比例函数）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪科版二次函数与反比例函数。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4分）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查二次函数的定义．一般地，形如（a，b，c为常数，且）的函数是二次函数．据此对各选项的函数化简后进行判断即可． 【详解】解：A、函数不符合二次函数的形式，故不是二次函数； B、函数化简为，不符合二次函数的一般形式，故不是二次函数； C、函数化简为，是二次函数； D、函数不符合二次函数的形式，故不是二次函数． 故选：C 2．（4分）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查反比例函数图象与性质求参数范围，当时，反比例函数的图象在第二、四象限，得到求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：若反比例函数的图象分布在第二、四象限， 则， 解得， 故选：A． 3．（4分）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了把二次函数的解析式化为顶点式，二次函数图象的平移，先将原二次函数的解析式化为顶点式，再根据二次函数的平移法则：左加右减，上加下减，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线的解析式为，即． 故选：D． 4．（4分）已知二次函数满足，则该二次函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，坐标满足二次函数解析式的点一定在二次函数图象上，据此进行解答即可. 【详解】解：∵二次函数满足， ∴ ∴二次函数的图象一定经过点， 故选：B 5．（4分）二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】根据纵坐标相等的两个点是对称点，对称点的横坐标和的一半是对称轴解答即可． 考查了对称点的判定，对称轴的计算，熟练掌握对称点的判定和对称轴的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和是对称点， 故抛物线的对称轴为直线， 故选：D． 6．（4分）已知关于x的二次函数的图象经过，，，四点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查二次函数图象点的坐标特征由图象中存在，两个对称点可得是抛物线与x轴右侧交点，作出图象求解． 【详解】解：如图， 设点与关于抛物线对称轴对称， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．（4分）已知抛物线与轴有唯一的一个交点，则的值为（   ） A． B．4 C．2或 D．或4 【答案】D 【分析】考查抛物线与x轴的交点，解答的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据抛物线与x轴有唯一的一个交点，对于一元二次方程来说，，从而可以求得k的值． 【详解】解：∵抛物线与x轴有唯一的一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：D． 8．（4分）二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决的关键． 根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】A.由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项错误； B. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； C. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项正确； D. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； 故选：C． 9．（4分）已知点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】D 【分析】主要考查二次函数的平移及性质，当点C的横坐标取到最小值时，抛物线的顶点平移到点上，此时对称轴为直线，由对称性可知此时点D的坐标为，当点D横坐标最大时，抛物线的顶点平移到点上，顶点从点A平移至点B，向右平移3个单位长度，所以点D也向右平移3个单位长度，即可求出点D的横坐标最大值． 【详解】解：如图， 当点C的横坐标取到最小值时，抛物线的顶点平移到点上， 此时对称轴为直线， 由对称性可知此时点D的坐标为， 当点D横坐标最大时，抛物线的顶点平移到点上，顶点从点A平移至点B，向右平移3个单位长度， 所以点D也向右平移3个单位长度， 此时点D坐标为，横坐标最大， 故选：D. 10．（4分）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，先根据开口方向判断出，结合对称轴位置判断出，再根据与y轴的交点位置，判断，进而得出结论①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，判断出②正确；利用抛物线的对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，判断出③正确，根据两点与对称轴的距离判断出④错误；根据对称轴得出，进而得出，即可判断⑤错误；综上即可得答案． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ， 故①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ②正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， ③正确； 点到直线的距离比点到直线的距离小，且抛物线开口向上， ， 故④错误； ， ， 故⑤错误． 综上所述，正确的有②③，一共2个． 故选：A． 二、填空题（共20分） 11．（5分）已知是二次函数，则实数 ． 【答案】 【分析】考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 12．（5分）已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，则 ． 【答案】 【分析】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征得，然后求出的值即可，解题的关键是正确理解反比例函数（为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 【详解】解：∵和是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（5分）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，则小球飞出 s时，达到最大高度． 【答案】2 【分析】考查二次函数的应用，解答的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 把函数关系式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：， ∵， 当时，h的最大值为20， 即时，h的值最大， 故答案为：2． 14．（5分）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． （1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为进行解答即可； （2）根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积进行解答即可． 【详解】（1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为， 故答案为： （2） ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积． 故答案为： 三、解答题（共90分） 15．（8分）求二次函数图象顶点坐标、对称轴． 【答案】顶点坐标为，直线 【分析】考查了二次函数的性质，把化为顶点式，即可作答． 【详解】解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线． 16．（8分）某抛物线过点并且与直线的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 【答案】 【分析】考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：；顶点式，其中顶点坐标为；交点式． 设抛物线的解析式为，求出抛物线与直线的交点为，将代入抛物线解析式可得a的值． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线与直线的交点的纵坐标为5， ∴， 解得， ∴抛物线与直线的交点坐标为， 将代入抛物线解析式可得， ∴， ∴抛物线的解析式为，即． 17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系． (1)在坐标系中画出抛物线与直线． (2)根据（1）中所作图象，直接写出方程的根． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】考查二次函数和一次函数图象即性质， （1）根据二次函数和一次函数的解析式画图即可； （2）找出两个图象的交点即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴二次函数的对称轴为：，顶点为， 当时，，， ∴二次函数过点，，， 一次函数过点，， ∴二次函数和一次函数的图象如下图所示， （2）解：的解为两个图像的交点，即，， ∴． 18．（8分）为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） (2)若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 【答案】(1) (2)气体的体积应不小于 【分析】此题考查了反比例函数的应用． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数解析式，求出，根据反比例函数的增减性进行解答即可 【详解】（1）解：设，由题意知 ，即； （2）当时，． 在第一象限，随的增大而减小， 当时，， 为了安全起见，气体的体积应不小于． 19．（10分）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了二次函数的图象性质，与与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数与轴有两个不同交点，则，代入数值计算，即可作答． （2）先由得，分析函数的图象性质得开口向上，在对称轴处，有最小值，即，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点， ∴， 解得； （2）解：依题意，把代入， 得， ∴对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， 在对称轴处，有最小值，即， 把代入， 把代入， ∴当时，该函数的范围为． 20．（10分）新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为． (1)图像数为的二次函数表达式为__________． (2)求证：“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】考查了抛物线与轴的交点： （1）根据新定义得到二次函数的解析式即可； （2）根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到，从而求证. 【详解】（1）解：图像数为的二次函数表达式为：. （2）解：“图象数”为的二次函数表达式为：. 当时， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 即“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的函数表达式； (2)过点作轴，垂足为． ①点在轴正半轴上，且，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线经过点，求的值； ②若直线与轴交于点，连接交轴于，求的长及的面积． 【答案】(1)， (2)①；②， 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题，待定系数法和数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①求出点坐标为，设直线的函数表达式为由直线经过点，代入即可求出的值；②求出直线的解析式，得到点坐标为，点坐标为，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 得 ∴反比例函数表达式为 点在反比例函数的图象上， ，得 ∴点坐标为 点，点都在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数表达式为； （2）①由（1）得点坐标为， 根据题意，点坐标为， 点在轴正半轴上，且， 点坐标为， 设直线的函数表达式为 ∵直线经过点， ，得； ②设直线，根据题意得 解得 ∴， 当时，， 点坐标为， 当时， ∴点坐标为， ∴的面积． 22．（12分）某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量（单位件）关于时间（单位：天）的函数关系式为：，这20天中，该产品每天的价格（单位：元）与时间t（单位；天）的函效关系式为；（为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）设日销售利润为（元），直接写出关于的函数关系式； （2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？ （3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠元给希望工程，通过销售记录发现．这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）当时，最大的销售利润是612.5元；（3）． 【分析】（1）设日销售利润为（元），可得，化简即可求解； （2）将（1）中二次函数化成顶点式，即可求得最值； （3）根据销售利润减去捐赠数等于单件利润乘以销售量列出解析式，并结合二次函数的性质和即可求解． 【详解】解：（1）设日销售利润为（元）， 则， 即， （2）由（1）可得， ∵， ∴当时，有最大值为612.5元， 答：这20天中15天的日销售利润最大，最大的销售利润是612.5元． （3）根据题意，得 ， ， ∵， ∴二次函数开口向下，对称轴是， 要使每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增大而增大，且由已知得 ∴， ∴， 又， ∴ 答：的取值范围是． 23．（14分）已知二次函数，其中． (1)当该二次函数的图像经过原点，求此函数图像的顶点的坐标； (2)求证：二次函数的顶点在第三象限； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数图像与轴的负半轴的交点为，点是平移后抛物线、两点间的动点．当面积最大值时，求面积是否有最大值？若有请求出；如没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)有；面积最大值为 【分析】主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于即可； （3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，进而求解的面积，由此即可求解； 【详解】（1）解：将代入， 解得， 由，则符合题意， ， ； （2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为 ， ， ， ， ， 二次函数的顶点在第三象限； （3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点； 当时，， ， 将代入， 解得：； 在轴的负半轴上， ， ； 过点作，垂足为， ， ， 在中， ∴当时，此时，面积有最大值，最大值为； 此时当时，； ，， 根据题意，过点作轴的垂线，垂足为，过作，垂足为点，连接，作图如下； ， 设， 则； 当时，达到最大值为． 16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B D C D C D A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11． 12． 13．2 14． 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（8分） 【详解】解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线．（8分） 16．（8分） 【详解】解：∵抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线与直线的交点的纵坐标为5， ∴， 解得， ∴抛物线与直线的交点坐标为， 将代入抛物线解析式可得， ∴， ∴抛物线的解析式为，即．（8分） 17．（8分） 【详解】（1）解：， ∴二次函数的对称轴为：，顶点为， 当时，，， ∴二次函数过点，，， 一次函数过点，， ∴二次函数和一次函数的图象如下图所示， （4分） （2）解：的解为两个图像的交点，即，， ∴．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：设，由题意知 ，即；（3分） （2）当时，． 在第一象限，随的增大而减小， 当时，， 为了安全起见，气体的体积应不小于．（8分） 19．（10分） 【详解】（1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点， ∴， 解得；（4分） （2）解：依题意，把代入， 得， ∴对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， 在对称轴处，有最小值，即， 把代入， 把代入， ∴当时，该函数的范围为．（10分） 20．（10分） 【详解】（1）解：图像数为的二次函数表达式为：.（3分） （2）解：“图象数”为的二次函数表达式为：. 当时， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 即“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点．（10分） 21．（12分） 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 得 ∴反比例函数表达式为（2分） 点在反比例函数的图象上， ，得 ∴点坐标为 点，点都在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数表达式为；（4分） （2）①由（1）得点坐标为， 根据题意，点坐标为， 点在轴正半轴上，且， 点坐标为， 设直线的函数表达式为 ∵直线经过点， ，得；（8分） ②设直线，根据题意得 解得 ∴， 当时，， 点坐标为， 当时， ∴点坐标为， ∴的面积．（12分） 22．（12分） 【详解】解：（1）设日销售利润为（元）， 则， 即，（3分） （2）由（1）可得， ∵， ∴当时，有最大值为612.5元， 答：这20天中15天的日销售利润最大，最大的销售利润是612.5元．（7分） （3）根据题意，得 ， ， ∵， ∴二次函数开口向下，对称轴是， 要使每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增大而增大，且由已知得 ∴， ∴， 又， ∴ 答：的取值范围是．（12分） 23．（14分） 【详解】（1）解：将代入， 解得， 由，则符合题意， ， ；（3分） （2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为 ， ， ， ， ， 二次函数的顶点在第三象限；（7分） （3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点； 当时，， ， 将代入， 解得：； 在轴的负半轴上， ， ； 过点作，垂足为， ， ， 在中， ∴当时，此时，面积有最大值，最大值为； 此时当时，； ，， 根据题意，过点作轴的垂线，垂足为，过作，垂足为点，连接，作图如下； ， 设， 则； 当时，达到最大值为．（14分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、单项选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．） 11.________________ 13. ________________ 12. ________________ 14. ________________ 三、解答题（本题共 9小题，共 90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分） 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 学科网（北京）股份有限公司 16．（8分） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 18．（8分） 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 20．（10分） 21．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( 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9．（4分）已知点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（   ） A． B． C．2 D．5 10．（4分）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（5分）已知是二次函数，则实数 ． 12．（5分）已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，则 ． 13．（5分）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，则小球飞出 s时，达到最大高度． 14．（5分）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（8分）求二次函数图象顶点坐标、对称轴． 16．（8分）某抛物线过点并且与直线的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系． (1)在坐标系中画出抛物线与直线． (2)根据（1）中所作图象，直接写出方程的根． 18．（8分）为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） (2)若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 19．（10分）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 20．（10分）新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”，如： 的“图象数”为． (1)图像数为的二次函数表达式为__________． (2)求证：“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的函数表达式； (2)过点作轴，垂足为． ①点在轴正半轴上，且，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线经过点，求的值； ②若直线与轴交于点，连接交轴于，求的长及△BDE的面积． 22．（12分）某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量（单位 件）关于时间（单位：天）的函数关系式为：，这20天中，该产品每天的价格（单位：元）与时间t（单位；天）的函效关系式为；（为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）设日销售利润为（元），直接写出关于的函数关系式； （2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？ （3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠元给希望工程，通过销售记录发现．这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增大而增大，求的取值范围． 23．（14分）已知二次函数，其中． (1)当该二次函数的图像经过原点，求此函数图像的顶点的坐标； (2)求证：二次函数的顶点在第三象限； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数图像与轴的负半轴的交点为，点是平移后抛物线、两点间的动点．当△AOB面积最大值时，求面积是否有最大值？若有请求出；如没有，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪科版二次函数与反比例函数。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4分）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（4分）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 3．（4分）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 4．（4分）已知二次函数满足，则该二次函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 5．（4分）二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．直线 D．直线 6．（4分）已知关于x的二次函数的图象经过，，，四点，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（4分）已知抛物线与轴有唯一的一个交点，则的值为（   ） A． B．4 C．2或 D．或4 8．（4分）二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 9．（4分）已知点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（   ） A． B． C．2 D．5 10．（4分）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（5分）已知是二次函数，则实数 ． 12．（5分）已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，则 ． 13．（5分）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，则小球飞出 s时，达到最大高度． 14．（5分）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（8分）求二次函数图象顶点坐标、对称轴． 16．（8分）某抛物线过点并且与直线的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系． (1)在坐标系中画出抛物线与直线． (2)根据（1）中所作图象，直接写出方程的根． 18．（8分）为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） (2)若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 19．（10分）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 20．（10分）新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”，如： 的“图象数”为． (1)图像数为的二次函数表达式为__________． (2)求证：“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的函数表达式； (2)过点作轴，垂足为． ①点在轴正半轴上，且，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线经过点，求的值； ②若直线与轴交于点，连接交轴于，求的长及△BDE的面积． 22．（12分）某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量（单位 件）关于时间（单位：天）的函数关系式为：，这20天中，该产品每天的价格（单位：元）与时间t（单位；天）的函效关系式为；（为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）设日销售利润为（元），直接写出关于的函数关系式； （2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？ （3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠元给希望工程，通过销售记录发现．这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增大而增大，求的取值范围． 23．（14分）已知二次函数，其中． (1)当该二次函数的图像经过原点，求此函数图像的顶点的坐标； (2)求证：二次函数的顶点在第三象限； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数图像与轴的负半轴的交点为，点是平移后抛物线、两点间的动点．当△AOB面积最大值时，求面积是否有最大值？若有请求出；如没有，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空题 （ 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． ） 1 1 ． ____________________ 1 2 ． ____________________ 1 3 ． ____________________ 1 4 ． ____________________ 三 、解答题 （ 本题共 9 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 5 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6 ．（ 8 分） 1 7 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 8 分） 19 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 10 分） 21 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 ．（ 14 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（8分） 17．（8分） 18．（8分） 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、单项选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10[A] [B] [C] [D] 二、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 三、解答题（本题共 9小题，共 90分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．） 15．（8分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 21．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 23．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 11 ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、填空题 （ 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． ） 1 1 . ________________ 1 3 . ________________ 1 2 . ________________ 1 4 . ________________ 三 、解答题 （ 本题共 9 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 5 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16 ．（ 8 分） 17 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 8 分） 19 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ．（ 10 分） 2 1 ．（ 12 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（ 12 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（1 4 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$