第21章 二次函数与反比例函数（高效培优单元测试·强化卷）数学沪科版九年级上册

第21章 二次函数与反比例函数单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．点在反比例函数（）的图象上，则该函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．将代入即可求出k的值，再根据解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数（）的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， A．，故此点不在反比例函数图象上， B．，故此点不在反比例函数图象上， C．，故此点不在反比例函数图象上， D．，故此点在反比例函数图象上， 故选：D． 2．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线顶点式（，a，h，k）的对称轴性质来即可求解． 【详解】解：在抛物线中，，， ∴对称轴为直线． 故选：A． 3．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键． 根据二次根式的顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数为， ∴顶点坐标是， 故选：． 4．在抛物线上有和三点，若抛物线与轴的交点在正半轴上，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键． 先将抛物线解析式化为顶点式求出对称轴，再根据抛物线与轴交点位置确定的正负，然后根据点到对称轴的距离结合二次函数的增减性判断的大小． 【详解】解：抛物线的对称牰为，且若抛物线与轴的交点在正半轴上， ， ， ∴当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小，且抛物线上的点离对称轴的水平距离越远，函数值越小， ， 故选B． 5．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 6．将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则得到平移后的函数解析式，再由顶点式二次函数解析式写出顶点坐标即可解决问题． 【详解】解：由题知， ， 则将抛物线的图象向右平移1个单位后，再将所得抛物线向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为， 此时抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 7．已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据一次函数、反比例函数的图象得到、的符号，从交点个数可以判断时有两个不相同的实数根，进而由判断出抛物线与坐标轴的交点位置、对称轴位置，开口方向，即可求解． 【详解】解：由反比例函数的图象可得 由一次函数图象与轴的交点在轴的正半轴上可得 反比例函数与一次函数的图象的交点有2个 有两个不相同的实数根 即有两个不相同的实数根 的图象与轴有两个交点 的图象与轴的交点为， 二次函数与轴的交点在轴的正半轴上 抛物线的对称轴 抛物线的对称轴位于轴的右侧 又 抛物线开口向上 故选：B． 8．如图是二次函数（为常数）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②③⑤ D．①④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及；当时，；然后由图象判断时，y的取值． 【详解】解：抛物线开口向下，与y轴的交点位于正半轴， ，， 对称轴在y轴右侧， a，b异号， ， ， 故①正确； 对称轴是直线， ， ， ， 故②正确； 抛物线与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线， 抛物线与x轴的另一交点在点和之间，如图： 当时，， ， 故③错误； 由图可知，当时，y有最大值， 即， （m为实数）； 故④正确； 如上图，当时，可能大于0，也可能小于0， 故⑤错误； 综上可知，正确的有①②④， 故选B． 9．如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】分别求出当和当时y与x的函数关系式，再由函数关系式判断即可解答． 【详解】解：设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y， ∴当时，如图： ∴； 当时，如图： ∴； ∴， 由分段函数可看出B选项中的函数图象与所求的分段函数对应， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象及二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，平移的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质并运用数形结合是解题关键． 10．如图，菱形中，，是边上一点，是边上一点，，连接交于点，若，则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．面积的最大值是 D．的最小值是3 【答案】D 【分析】先证明是等边三角形；得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出当时，最小，根据等边三角形性质和勾股定理求出最小值即可判断A选项；根据，为定值，得出当最小时，最大，根据时，最小，此时最大，根据等边三角形性质和勾股定理求出结果，即可判断B选项；根据，得出，说明当最小时，面积最大，根据为等边三角形，得出当边长最小时，面积最小，求出的最小值为，最后求出结果即可判断C选项；设，，根据，根据二次函数性质，说明有最大值，求出最大值为3，即可判断D选项． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∵为等边三角形， ∴此时， 根据勾股定理得：， ∴的最小值为，故A正确，不符合题意； ∵，为定值， ∴当最小时，最大， 当时，最小，此时最大， ∵是等边三角形， ∴当时，，， ∴， ∴此时平分， ∵为等边三角形， ∴此时， ∴此时， ∴， ∴此时， 根据勾股定理得：， ∴此时， 即的最大值为1，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，面积最大， ∵为等边三角形， ∴当边长最小时，面积最小， ∵的最小值为，此时上的高为3， ∴的最小值为， ∴面积的最大值为，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 设，， ∴ ， ∴当时，取最大值， ∴此时， ∴此时， ∵为等边三角形， ∴此时，， ∴此时， ∴平分， ∵为等边三角形， ∴此时， ∴此时， ∴， ∴， 即的最大值为3，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，二次函数的最值，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知反比例函数的图象上有三个点，，，，，大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质；根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数位于第二、四象限，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点和的纵坐标的大小即可． 【详解】解：反比例函数的比例系数为， 反比例函数图象位于第二、四象限； 第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点在第二象限，点和在第四象限， 最大， ，随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 12．双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交于点B．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据，列出方程，求出k的值． 【详解】解：如图，延长交x轴于点C， ∵过上任意一点作y轴的平行线交于点B． ∴，， ∵，， ∴， 解得，， ∵在第二象限内， ∴， ∴ 故答案为：． 13．廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于 米． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,注意利用函数对称的性质来解决问题． 利用待定系数法求得抛物线的解析式．已知抛物线上距水面高为8米的点E，F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把代入抛物线解析式,可求E、F两点的横坐标,根据抛物线的对称性求长． 【详解】解：如图，以所在直线为 x 轴、线段 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系， 由题意知，． 设过点A， B， C 的抛物线方程为， 把点的坐标代入，得 ， 解得： ， 则该抛物线的解析式为：， 把 代入,得 ， 即 ， ∴， 所以两盏警示灯之间的水平距离为： ， 故答案为： 14．若一个点的横坐标和纵坐标相等，则称该点为不动点．已知抛物线上有且只有一个不动点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，请探究下列问题： （1）的值是 ； （2）的取值范围是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与x轴交点问题等知识． （1）由不动点的概念和根的判别式求出和的值，即可求出的值； （2）再由抛物线的解析式求出顶点坐标和与坐标轴的交点坐标，根据函数值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：令，即， 由题意可得，图象上有且只有一个不动点， ∴，则， 又方程根为， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：，， ∴函数， 该二次函数图象如图所示，顶点坐标为， 与轴交点为， 根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点， 在左侧，随的增大而增大； 在右侧，随的增大而减小；且当时， 函数的最大值为，最小值为， ∴． 故答案为：． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知二次函数的顶点坐标为，其图象经过，求此二次函数的表达式． 【答案】． 【分析】本题考查二次函数的解析式求法；由函数顶点坐标可设二次函数的解析式为，再将点代入解析式中即可求a． 【详解】解：设二次函数的表达式为， 因为函数图象经过， ∴， ∴， ∴． 16．如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点和点． (1)求点的坐标及反比例函数的解析式； (2)结合图像，请直接写出当时，不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题、用待定系数法求反比例函数解析式，利用数形结合思想解决问题是解题关键． （1）先将点代入正比例函数中求得，再将点代入反比例函数中求得，联立两解析式求得，即可求解； （2）分析题意可得要求当时且反比例函数的值大于等于正比例函数的值时x的取值范围，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； 联立得：， 解得：或， ∴， （2）解： ∵，即反比例函数的值大于等于正比例函数的值，当时， ∴结合函数图象可知，此时． 17．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，当销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为x元，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)求出与x之间的函数关系式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键在于理解题意找出等量或不等关系． （1）根据“利润每件利润件数”列出关系式，即可解题； （2）根据题意列出不等式组，得到的取值范围，再利用（1）表达式结合二次函数的最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意得， 整理得． 答：与之间的函数关系式为； （2）解：由题意得， 解得． ，， 当时，函数取得最大值，且最大值为． 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 18．足球训练中球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行至与球门水平距离3米处时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】(1) (2)球能射进球门 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键． （1）根据题意可知抛物线的顶点坐标为，故可设抛物线的函数表达式为，把代入函数表达式即可解答； （2）把代入函数表达式即可求出y的值，然后做出判断即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）当时，， 球能射进球门． 19．已知抛物线经过点且与直线的一个交点为． (1)求的值； (2)判断抛物线的顶点是否在直线上； (3)平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 【答案】(1) (2)抛物线的顶点坐标在直线上 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数，待定系数法求解一次函数与二次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质，及二次函数的最值是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）把，代入，求出二次函数解析式，再求得其顶点坐标，判断此坐标是否在一次函数上即可； （3）设平移后的抛物线的解析式为，得出其顶点坐标为，代入可得，再利用二次函数的最值即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴将代入， 得：； （2）解：∵抛物线经过点，， ∴把，代入， 得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 对于一次函数，当时，， ∴抛物线的顶点坐标在直线上； （3）解：设平移后的抛物线的解析式为， 则其顶点坐标为， ∵顶点仍在直线上， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点的纵坐标为， ∴， ∴当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标有最大值，最大值为． 20．已知关于x的二次函数． (1)若该二次函数的图象经过三点中的一点． ①求a的值； ②若该二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，求直线BC的函数表达式； (2)当时，y有最小值，若将该二次函数的图象沿x轴平移m（）个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最小值，求a，m的值． 【答案】(1)①  ② (2)，或4 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数图象的性质， （1）①分别将三个点的坐标代入关系式，计算可得答案； ②，由①得出关系式，进而求出点的坐标，然后根据待定系数法求出关系式； （2）先根据在，y有最小值，则抛物线在对称轴处取得最小值，可求出抛物线的表达式， 再根据平移m个单位得出新抛物线的表达式，及其对称轴，然后根据抛物线在对称轴处取得最小值时，即时，得出方程，求出即可；当抛物线在时取得最小值时，此时，即，可得方程，求出解；当抛物线向左平移m个单位时得出新抛物线的表达式，其对称轴为直线，在抛物线的对称轴或时取得最小值，同理得出解. 【详解】（1）解：（1）①， 将分别代入上式，均无法求出的值，不符合题意， 将代入函数表达式得：， 解得 ②由①知，函数的表达式为：， 当时，，令，则或4， 即点B、C的坐标分别为：. 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， 则直线的关系式为； （2）解：当时，y有最小值，则抛物线在对称轴处取得最小值， 当时，， 解得：，     则抛物线的表达式为：， 当抛物线向右平移m个单位时，则新抛物线的表达式为：，其对称轴为直线， 在抛物线的对称轴或时取得最小值， 当抛物线在对称轴处取得最小值时，即时，，方程无解； 当抛物线在时取得最小值时，此时，即，即，解得：（不合题意，舍去）或； 当抛物线向左平移m个单位时，则新抛物线的表达式为：，其对称轴为直线， 在抛物线的对称轴或时取得最小值， 同理可得：. 综上，或4． 21．已知二次函数． (1)若，且函数图像经过，两点，求此二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值． (3)已知，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证． 【答案】(1) (2)2或8 (3)见解析 【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，画出函数图像，结合图像可求解； （2）分两种情况：①当C在B的左侧时，先根据三等分点的定义得：，由平移个单位可知：，计算点A和B的坐标可得的长，从而得结论．②当C在B的右侧时，同理可得结论； （3）由，得，得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出，最后注意利用条件判断，得证结论． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）当时，， ， ，， ∴，， ∴， ①如图，当C在B的左侧时， ∵B，C是线段的三等分点， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ②同理，当C在B的右侧时，， ∴， 综上，的值为2或8； （3）证明：由，得， 由题意，得，， 所以 ， 由条件，知．所以 ． 【点睛】本题查了二次函数的图像和性质，待定系数法求解析式，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用配方法判断代数式的取值范围，数形结合的思想的运用是解题的关键． 22．如图，反比例函数和一次函数的图象交于和两点． (1)求k，n的值： (2)求出关于x的不等式的解集： (3)在x轴上找出一点M使最小，并求点M坐标；在x轴上画出点N，使最大，并求点N坐标． 【答案】(1)； (2)或． (3)； 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握数形结合、“将军饮马”的数学思想是解题的关键． （1）将点代入反比例函数中，可得到k值，再将点代入反比例函数中，可得到n的值； （2）利用交点坐标以及函数图象得出反比例函数在一次函数上方的x的取值范围，即函数的自变量x的取值范围； （3）连接，交x轴于点M，由于三点共线，此时最小，求出直线的表达式，令即可得到点M坐标；过点做关于x轴对称点，连接交x轴于点N，此时，则有最大值，求得直线的表达式，令即可得到点N坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，代入得：， ∴， ∴反比例函数的表达式为： 又∵点也在反比例函数上，代入得：， ∴． （2）解：由（1）得：反比例函数与一次函数的图象交于和， 由图象可得：的解集为：反比例函数在一次函数上方部分的x的取值范围， ∴或． （3）解：连接，交x轴于点M，如图： ∵两点在x轴的两侧， ∴当三点共线时，最小， ∴点M为直线与x轴的交点， 设直线的表达式为：， ∵，， ∴ 解得： ∴直线的表达式为：， ∴当时， ∴； 过点做关于x轴对称点，连接交x轴于点N，如图： ∴此时，则有最大值， ∵，且，关于x轴对称， ∴ ∵， 设直线的表达式为：， ∴ 解得： ∴直线的表达式为：， ∴当时， ∴． 23．如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)请求出点，，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点（不与重合），过点作轴交于点，求线段长度的最大值； (3)若为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)存在；或 【分析】（1）令抛物线解析式中，解关于的一元二次方程即可得出点、的坐标，再令抛物线解析式中求出值即可得出点坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）假设存在，设点，分，和三种情况考虑，根据等腰直角三角形的性质结合点、点的坐标找出点的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于的一元二次方程，解方程求出的值，再代入点坐标中即可得出结论． 【详解】（1）解：当时， 解得：，， ，                            当时，， ，                      ， ； （2）解：设直线解析式为， 由得， 解得， 直线的解析式为，                     轴， 、的横坐标相同，并且、分别在抛物线和直线上， 设， 在第二象限， ， ，                     ，抛物线开口向下， 时，长度最大，最大值为； （3）解：在抛物线上存在点，使得为等腰直角三角形，理由如下： 假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况： 当时，设与轴交于，如图2， ，， ， ， ，， ， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去），， 此时点的坐标为； 当时， 为等腰直角三角形， ， 又， 在上， 过作于，如图， 则， ， ， ， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去），， 此时点的坐标为； 当时，，如图， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去），， 此时点的坐标为，， ， 综上所述，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，顶点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程等知识点，解答本题的关键是能够熟练运用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次函数与反比例函数单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．点在反比例函数（）的图象上，则该函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．在抛物线上有和三点，若抛物线与轴的交点在正半轴上，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 6．将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 7．已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（    ） A．B． C． D． 8．如图是二次函数（为常数）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②③⑤ D．①④⑤ 9．如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A．B．C．D． 10．如图，菱形中，，是边上一点，是边上一点，，连接交于点，若，则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．面积的最大值是 D．的最小值是3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知反比例函数的图象上有三个点，，，，，大小关系是 ． 12．双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交于点B．若，则 ． 13．廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于 米． 14．若一个点的横坐标和纵坐标相等，则称该点为不动点．已知抛物线上有且只有一个不动点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，请探究下列问题： （1）的值是 ； （2）的取值范围是 ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知二次函数的顶点坐标为，其图象经过，求此二次函数的表达式． 16．如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点和点． (1)求点的坐标及反比例函数的解析式； (2)结合图像，请直接写出当时，不等式的解集． 17．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，当销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为x元，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)求出与x之间的函数关系式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 18．足球训练中球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行至与球门水平距离3米处时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 19．已知抛物线经过点且与直线的一个交点为． (1)求的值； (2)判断抛物线的顶点是否在直线上； (3)平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 20．已知关于x的二次函数． (1)若该二次函数的图象经过三点中的一点． ①求a的值； ②若该二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，求直线BC的函数表达式； (2)当时，y有最小值，若将该二次函数的图象沿x轴平移m（）个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最小值，求a，m的值． 21．已知二次函数． (1)若，且函数图像经过，两点，求此二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值． (3)已知，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证． 22．如图，反比例函数和一次函数的图象交于和两点． (1)求k，n的值： (2)求出关于x的不等式的解集： (3)在x轴上找出一点M使最小，并求点M坐标；在x轴上画出点N，使最大，并求点N坐标． 23．如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)请求出点，，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点（不与重合），过点作轴交于点，求线段长度的最大值； (3)若为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出坐标． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$