九年级数学上学期第一次月考·拔尖卷（沪教版，举一反三）

九年级数学上学期第一次月考·拔尖卷 【沪教版】 时间：100分钟 满分：150分 测试范围：相似三角形~锐角的三角比 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选6题，填空12题，解答7题，满分150分，限时100分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题4分） 1．（4分）（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，是斜边上的中线．已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（4分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，与四边形的面积的比是（    ）    A． B． C． D． 3．（4分）（2025·广东深圳·模拟预测）在中，，，分别是边，上的中线，且，那么的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 4．（4分）如图，中，，点D是AB的中点，连接CD，过点B作，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，下列结论正确地是（） A． B． C．AB D． 5．（4分）（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴上，将线段绕点逆时针旋转得线段，若点纵坐标为，则点横坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（4分）如图，在正方形 中， 是等边三角形，， 的延长线分别交于点 ，，连接 ，， 与 相交于点．给出下列结论，其中正确结论的个数是（   ） ； ； ； ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）如图，已知四边形中，平分，，，如果与相似，那么 ． 8．（4分）（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知：如图，中，，，，垂足为点，点关于直线、的对称点分别是点、．如果，那么的值为 ． 9．（4分）（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为 ． 10．（4分）如图，在中，，，，点，分别在边上，且，平分的面积，则的长为 ． 11．（4分）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为 ． 12．（4分）（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在正方形中，点E是上一点，连接，，连接，若．则的值为 ． 13．（4分）（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点D在线段上，过点A作于点E，交于点F．若且，，则线段的长为 ． 14．（4分）如图，取一张长方形纸片，长，宽，沿着对折，使点落在上，则 ， 度． 15．（4分）（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，于点D，点E在直线上运动，取的中点Q，连接，当的周长最小，且最小值为时，的面积为 ． 16．（4分）（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 17．（4分）在等边中，，射线交延长线于点，射线交于点，且，若，则 ． 18．（4分）（25-26九年级上·四川成都·开学考试）如图，四边形中，，，若，则的长为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 20．（8分）（2025·上海杨浦·一模）如图，已知在梯形中，，，，，． (1)求的长； (2)求的正切值． 21．（10分）（24-25九年级上·广东揭阳·期末）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”．下图中点A、B、C均为格点，请仅用无刻度的直尺按要求作图，不写作法，保留必要的作图痕迹． (1)在图1中，画出以B为顶点，为腰的等腰三角形； (2)在图2中，在线段上找一个点P，使； (3)在图3中，是格点三角形，找出一个格点D，连接，使平分． 22．（10分）（2025九年级下·浙江·专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 23．（12分）（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长及的值． 24．（12分）（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）某中学为了丰富同学们的课外实践活动，组织科技爱好者在斜坡A地进行无人机试飞．小明的无人机放飞到与水平地面距离为米的 P点，测得斜坡A地的俯角为，斜坡B地的俯角为，斜坡的斜面坡度为 (1)求斜坡A 地到B地的距离； (2)下课前，老师要求同学们在A地集合，小明对无人机P发出回收指令以后，他立即从山脚的C地跑回到A地，已知斜坡与水平地面夹角为，小明上坡的跑步速度为，无人机的速度为，在小明跑到A地时，无人机是否已经回到A地？请说明理由． （， ，，， ，结果精确到） 25．（14分）（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，BD是△ABC的高，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，是的中线，延长到点，使，连接，求证： (3)如图3，在（2）问的条件下，过点作，垂足为，交于点，若，的面积是，，求的长. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次月考·拔尖卷 【沪教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题4分） 1．（4分）（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，是斜边上的中线．已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求角的余弦值、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据斜边中线定理可得，得到，，再利用勾股定理求出的长，在中利用余弦的定义求出的值，等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：D． 2．（4分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，与四边形的面积的比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，熟练掌握三角形的判定和相似三角形的性质是解题的关键．先利用比例性质得出，结合，判定，再利用相似三角形的性质得出，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（4分）（2025·广东深圳·模拟预测）在中，，，分别是边，上的中线，且，那么的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设、交于点，连接并延长，交于，连接，过点作于，利用证明，根据及全等三角形的性质得出是等腰直角三角形，，根据三角形三条中线交于一点得出，根据中位线的性质得出，即可得出，根据正切的定义即可得答案． 【详解】解：如图，设、交于点，连接并延长，交于，连接，过点作于， ∵，分别是边，上的中线， ∴，， ∵， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵、交于点，，分别是边，上的中线， ∴是边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题关键． 4．（4分）如图，中，，点D是AB的中点，连接CD，过点B作，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，下列结论正确地是（） A． B． C．AB D． 【答案】B 【分析】A选项：由△AFG≌△AFD可得FG=FD＞FE，可确定结论A错误； B选项：由△ABG≌△BCD，△AFG≌△AFD，可确定结论B正确； C选项：由△AFG≌△AFD可得AG=AB=BC，进而由△AFG∽△BFC确定点F为AC的三等分点，可确定结论C错误； D选项：因为F为AC的三等分点，所以S△ABF=S△ABC，又S△BDF=S△ABF，所以S△ABC=6S△BDF，由此确定结论D错误． 【详解】如图： ∵BG⊥CD ∴∠1+∠3=90。， 在Rt△ABC，∠1+∠4=90。 ∴∠3=∠4， 在△ABG与△BCD中， ∵∠3=∠4，AB=BC，∠BAG=∠CBD， ∴△ABG≌△BCD(ASA) ， ∵点D是AB的中点， ∴AD=BD ∴ 在△AFG与△AFD中 ∵AG=AD，∠FAG=∠FAD=45。， AF=AF， ∴ 故结论B正确 ∴ 在中， ∴， 故结论A错误． 设，则． ∵AG∥BC ∴ ∴CF=2AF ， 故结论C错误， ∵AF=AC， ∴S△ABF=S△ABC， 又点D是AB的中点 ∴S△ABF=S△ABC ∴， ∴S△ABC=6S△BDF 故结论D错误． 故答案为：B 【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度.对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用. 5．（4分）（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴上，将线段绕点逆时针旋转得线段，若点纵坐标为，则点横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，连接，过作轴于点，过作，交延长线于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交轴于点，则，，，，所以，，得，，然后证明，，由旋转性质可知：，，则是等边三角形，然后通过中位线定理可得，点坐标为，点纵坐标为，求得，，，设，，则，代入得，求出，，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作轴于点，过作，交延长线于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交轴于点， 则，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即为中点， ∴，， ∴， ∴，即为中点， ∴，， ∵点坐标为，点纵坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴，解得：，， ∴， ∴点横坐标为， 故选：． 6．（4分）如图，在正方形 中， 是等边三角形，， 的延长线分别交于点 ，，连接 ，， 与 相交于点．给出下列结论，其中正确结论的个数是（   ） ； ； ； ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质可证，根据两角对应相等的三角形相似，可证，故正确；根据正方形的性质和等边三角形的性质可证，，根据等腰三角形的性质可得：，可知，根据等边三角形的性质和正方形的对角线平分一组对角可知可得，又因为，可证，根据相似三角形对应边成比例可得：，故错误；根据，，可证，根据相似三角形对应边成比例可证，故正确；过作，，设正方形的边长是，利用锐角三角函数可以求出 ，，从而可得：，根据平行线的性质可知，可知，故正确． 【详解】解：是等边三角形， ，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 是正方形的对角线， ， ， ， ， ； 故正确； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故错误； ，， ， ， ， ， ， 故正确； 如下图所示，过作，， 设正方形的边长是， 为正三角形， ，， ， ，， ， ， ， 由可知 ， ， 故正确； 综上所述，正确的结论有个． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、三角函数定义，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出及的长． 二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）如图，已知四边形中，平分，，，如果与相似，那么 ． 【答案】 【分析】根据平分，得到，再结合图形可以确定如果与相似，可能有或者两种情况，分类得到相似比代值求解即可得到结论． 【详解】解：已知四边形中，平分， ， 如果与相似，则有或者两种情况， ①当时，， ，， ，即，解得或（舍去）； ②当时，，， ，即是等腰三角形， ， ，， ，即，解得或（舍去）； 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用相似求线段长，熟练掌握相似的性质，准确把握对与相似的表示进行分类讨论是解决问题的关键． 8．（4分）（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知：如图，中，，，，垂足为点，点关于直线、的对称点分别是点、．如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角函数、勾股定理，根据对称的性质可证，，利用勾股定理可以求出，根据对称的性质可以求出，在根据正弦的定义即可求出结果． 【详解】解：如下图所示， 由对称可知，，，，， ， ， 在中，， ， ， 由对称可知， 在中，，， ． 故答案为：． 9．（4分）（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，矩形的性质，根据平行线分线段成比例定理，可得．再由矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作于点F，交于点E． 由已知可得，，， ， ， ∵， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴， ∴． 10．（4分）如图，在中，，，，点，分别在边上，且，平分的面积，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于F，根据已知求出的面积，进而求出，证明，根据相似三角形的性质求出，进而求出，然后在中根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过D作于F， ∵，，， ∴， ∵平分的面积， ∴， 又 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 11．（4分）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为 ． 【答案】 【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得． 【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键． 12．（4分）（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在正方形中，点E是上一点，连接，，连接，若．则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质得，，，由等腰三角形的性质得，，再证明，则，即，在中，把数值代入，进行整理得，，再证明，把数值代入，解得，再计算出把数值代入进行计算化简，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， 即，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 则， 设， 在中，， ∴， 即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 13．（4分）（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点D在线段上，过点A作于点E，交于点F．若且，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作延长线于点，延长，交于点，通过证明，得出，，设，再证明，再证明，得出，设，则，，，利用，求出，（负值舍），则可求出，，再利用，得，即可求解． 【详解】解：过点作延长线于点，延长，交于点， ，，， ∴， ∴，， 设， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ，（负值舍）， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（4分）如图，取一张长方形纸片，长，宽，沿着对折，使点落在上，则 ， 度． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，解直角三角形等知识，先根据翻折变换的性质及矩形的性质得到，由勾股定理即可求出的长，进而可求出的长，再设 ，在中，利用勾股定理即可求出的长，再利用锐角三角函数的定义求出的正切值即可求出的度数，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：是沿直线翻折而成， ，， 在中，， ， 设 ，则，在中，， 即， 解得：， ， ， 是直角三角形， ， 故答案为：． 15．（4分）（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，于点D，点E在直线上运动，取的中点Q，连接，当的周长最小，且最小值为时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是正确作辅助线，掌握相关知识的灵活运用． 连接交于E，，可推出，，从而得出当B、Q、E共线时，最小，作于H，设，则，，利用勾股定理求出，根据相似三角形的判定和性质求出，由即可得解． 【详解】解：如图，连接交于E， ∵于D， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵Q是的中点， ∴是定值，当B、Q、E共线时，最小，即的周长最小， 作于H，设， ∵， ∴， ∵Q是的中点，，， ， ∴， 在中，， ∵的周长最小值为， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 16．（4分）（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 17．（4分）在等边中，，射线交延长线于点，射线交于点，且，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质．分别过点A，B，E作，垂足分别为F，G，H，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得，，从而得到，再由，可得，从而得到，然后证明，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点A，B，E作，垂足分别为F，G，H， ∵在等边中，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为：3． 18．（4分）（25-26九年级上·四川成都·开学考试）如图，四边形中，，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，利用数形结合的思想是解题关键．过点作，过点作交延长线于点，利用特殊角的三角函数值，求出，，设，证明，，得出，从而得到，在直角三角形中，分别表示出，，从而推出，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：如图，过点作，过点作交延长线于点， ，， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 的长为， 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ， ， ， ， 即， 由（1）知， ， ， ． 20．（8分）（2025·上海杨浦·一模）如图，已知在梯形中，，，，，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两直线平行同旁内角互补可得，在中，根据即可求出的长，在中，由勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）由（1）可得，，由勾股定理可得，可求得，过点作，垂足为点，则，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，在中，根据可求得的长，由勾股定理可得，由此可求得的长，在中，根据可求得的长，然后根据即可求出的正切值． 【详解】（1）解：梯形，，， ， 在中， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得： ； （2）解：由（1）可得：，， ， ， 如图，过点作，垂足为点， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，求角的正切值，已知余弦求边长，已知正弦值求边长，勾股定理，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，线段的和与差等知识点，熟练掌握勾股定理及解直角三角形的相关计算是解题的关键． 21．（10分）（24-25九年级上·广东揭阳·期末）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”．下图中点A、B、C均为格点，请仅用无刻度的直尺按要求作图，不写作法，保留必要的作图痕迹． (1)在图1中，画出以B为顶点，为腰的等腰三角形； (2)在图2中，在线段上找一个点P，使； (3)在图3中，是格点三角形，找出一个格点D，连接，使平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题是四边形综合题，考查作图一应用与设计作图等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求的长，即，同理得，结合等腰三角形的判定：画图即可； （2）与（1）同理得，取格点E，格点F，连接，交于点P，结合网格，，所以，，即，则点P为所求点． （3）在的延长线上取格点E，使，结合等腰三角形的性质，再取的中点D，运用三线合一，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：以B为顶点，为腰的等腰三角形如图所示： （2）解：在线段上找一个点P，使，如图所示： （3）解：平分，如图所示： 22．（10分）（2025九年级下·浙江·专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，为顶角为的等腰三角形，从而可以求得的值； （2）根据中，，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据中，， ，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形， ∴． （2）解：作于点，如图所示： 中，， ， ， ， 即． （3）解：如图③所示，在上截取，作于点E， 中，，， 设，，则． ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 23．（12分）（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长及的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，锐角三角函数等知识． （1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，然后根据菱形的面积 求出，再结合锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵平分， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ，， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， 而， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（12分）（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）某中学为了丰富同学们的课外实践活动，组织科技爱好者在斜坡A地进行无人机试飞．小明的无人机放飞到与水平地面距离为米的 P点，测得斜坡A地的俯角为，斜坡B地的俯角为，斜坡的斜面坡度为 (1)求斜坡A 地到B地的距离； (2)下课前，老师要求同学们在A地集合，小明对无人机P发出回收指令以后，他立即从山脚的C地跑回到A地，已知斜坡与水平地面夹角为，小明上坡的跑步速度为，无人机的速度为，在小明跑到A地时，无人机是否已经回到A地？请说明理由． （， ，，， ，结果精确到） 【答案】(1)斜坡A地到B地的距离为100米 (2)小明跑到A地时，无人机已经回到A地 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，过点作，解直角三角形求出的长，根据坡度求出，进而推出为等腰直角三角形，得到即可； （2）分别求出的长，根据时间等于路程除以速度求解即可． 【详解】（1）解：过点作，过点作， 由题意，得：，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵斜坡的斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故斜坡A地到B地的距离为100米； （2）解：是，理由如下： 在中，， ∴， 在中，， ∴小明跑到A地时需要秒； ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴无人机到达A地时需要秒， ∵， ∴小明跑到A地时，无人机已经回到A地． 25．（14分）（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，BD是△ABC的高，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，是的中线，延长到点，使，连接，求证： (3)如图3，在（2）问的条件下，过点作，垂足为，交于点，若，的面积是，，求的长 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）如图1中，作于．首先证明，再证明即可解决问题； （2）延长到，使得，连接、．只要证明四边形是平行四边形，，即可推出； （3）作于．由（2）可知．只要证明，可得，又，推出，由题意，推出，，在中，，易知，在中，，再证明，可得，由此即可求出； 【详解】（1）证明：如图1中，作于． ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ． （2）证明：延长到，使得，连接、． ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． （3）解：作于． 由（2）可知． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， ，， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $