4.1 成比例线段 导学案 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.1 成比例线段 第1课时 素养目标 1.在具体情境中体会图形的放大与缩小,由图形的比例来理解线段的比. 2.知道线段的比的概念,应用线段的比解决实际问题. 3.知道线段的比和成比例线段;掌握比例的基本性质及其简单应用. ◎重点::比例线段及性质的应用. 【预习导学】 知识点一：线段的比 阅读教材本课时“做一做”以上内容,回答下列问题. 1.两条线段的长度　　　　一致时,可直接求线段的比;2.若给出的线段长度单位不同,则必须化为　　　　后再求线段的比;3.两线段的长度比值总是　　　　,如在运算过程中出现负数,必须舍去,结果一般化为最简整数比.  知识点二：比例线段 阅读教材本课时“做一做”,回答下列问题. 1.在四条线段中,若两条线段的比等于另外两条线段的比,则这四条线段叫作　　　　,简称　　　　.就是说在四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,那么四条线段a、b、c、d是成比例线段,即=,不能写成其他形式,即比例线段有顺序性.  2.(1)线段的比是指　　　　条线段之间的比的关系,比例线段是指　　　　条线段间的关系.(2)线段的比有　　　　,四条线段成比例也有　　　　.如=是指线段　　　　成比例,而不是线段a、c、b、d成比例.  知识点三：比例线段的基本性质   阅读教材本课时“议一议”及“例1”,完成下列填空. 1.基本性质:如果a∶b=c∶d,那么　　　　,比例的基本性质反过来也成立,即如果ad=bc,那么a∶b=　　　　(b,d≠0);特别地,如果a∶b=b∶c,那么b2=ac,反过来也有如果b2=ac,那么 　　　　(b,c≠0).  2.(1)由a∶b=c∶d 可变为a∶c=　　　　,(2)反比性质:由a∶b=c∶d 可变为b∶a=　　　　.  1.如果2m=3n(n≠0),那么下列比例式中正确的是 (　　) A.= B.= C.= D.= 2.已知a,b,c,d是成比例线段,其中a=3 cm,b=2 cm,c=6 cm,则d=　　　　cm.  【合作探究】 任务驱动一：如图,下面右边的四个图形中,与左边的图形形状相同的是 (　　) 　　　　　　 A　　　B　　 C　　 D 任务驱动二：A,B两地的实际距离为2 500 m,在一张平面图上的距离是5 cm,那么这张平面地图的比例尺是 (　　) A.1∶50 B.1∶500 C.1∶5 000 D.1∶50 000 任务驱动三：下列四组线段中,不能组成比例线段的是 (　　) A.a=3,b=6,c=2,d=4 B.a=1,b=,c=,d=　 C.a=4,b=6,c=5,d=10 D.a=2,b=,c=,d=2 任务驱动四：小明家有一个矩形相框,其边长为10 cm,20 cm,小明还想做一个与该相框形状完全相同的相框,但手中只有一根作为一边的30 cm长的框料,那么小明还要准备多长的框料? 　　　　 　　　　 　　方法归纳交流　判断四条线段是否成比例,应先将四条线段的长度单位统一,然后将四条线段按从小到大的顺序排列,再判断前两条线段的长度比是否等于后两条线段的长度比. 　矩形ABCD和矩形A'B'C'D'如图所示,若AB=8 cm,BC=12 cm,A'B'=4 cm,B'C'=6 cm,则线段A'B',AB,B'C',BC是成比例线段吗? 　 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.单位　同一长度单位　正数 知识点二 1.成比例线段　比例线段 2.两　四　顺序性　顺序性　a、b、c、d 知识点三 1.ad=bc　c∶d　a∶b=b∶c 2.b∶d　d∶c 对点自测 1.A　2.4 【合作探究】 任务驱动一 C 任务驱动二 D 任务驱动三 C 任务驱动四 解:因为两个矩形形状完全相同,所以对应边成比例.设相框另一边长为x cm,根据线段成比例的特征有 ①=,解得x=15 cm,所以还需准备的框料为(30+15×2)=60 cm; ②=,解得x=60 cm,所以还需准备的框料为(30+60×2)=150 cm. 综上所述,小明还要准备60 cm或150 cm的框料. 素养小测 解:∵AB=8 cm,BC=12 cm,A'B'=4 cm,B'C'=6 cm, ∴==,==,∴=, ∴线段A'B',AB,B'C',BC是成比例线段. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 成比例线段 第2课时 素养目标 1.掌握等比性质,并运用于简单的比例变形与计算. 2.能将等比、合比性质用于分析与解决简单的实际问题. ◎重点::等比性质及应用. 【预习导学】 知识点一：等比性质 阅读教材本课时“例2”前面的内容,回答以下问题. 若==…=(b+d+…+n≠0),则　　　　=.  知识点二：探究合比性质 阅读教材本课时“习题4.2”第3题,完成以下填空. 1.由=根据等式的性质,得到+1=+1,等式两边通分得　　　　.  2.由=根据等式的性质,得到-1=-1,等式两边通分得　　　　.  1.已知==,且b≠d,则=　　　　.  2.若=,则的值是　　　　.  【合作探究】 任务驱动一：已知 ==,求的值. 任务驱动二：已知=,则=　　　　.  变式训练　若x∶y=5∶6,则下列运算不正确的是 (　　) A.= B.= C.=5 D.=11 任务驱动三：已知===k,求k的值. 　　　　　 任务驱动四：已知线段a、b、c,且==. (1)求的值. (2)如果线段a、b、c满足a+b+c=27.求a、b、c的值. 变式训练　已知a、b、c是△ABC的三边,且满足==,a+b+c=30.试判断△ABC的形状. 　　　　　 　　1.已知3x-5y=0. 求:(1);(2);(3). 2.若===3. (1)求(b-d-f≠0). (2)求(3b-4d+5f≠0). (3)请结合(1)(2)的结论写出你发现的规律. 参考答案 【预习导学】 知识点一 知识点二 1.= 2.= 对点自测 1.　2. 【合作探究】 任务驱动一 解:由等比性质得= . 任务驱动二 变式训练　B 任务驱动三 解:①当a+b+c≠0时,∵===k, ∴=k,∴k=2. ②当a+b+c=0时,a+b=-c,∴k=-1. 故答案为2或-1. 任务驱动四 解:(1)∵=,∴=,∴=. (2)设===k,则a=2k,b=3k,c=4k, ∵a+b+c=27,∴2k+3k+4k=27, ∴k=3,∴a=6,b=9,c=12. 变式训练 解:∵=,∴a=b-4. ∵=,∴c=2b-11. ∵a+b+c=30,∴+b+(2b-11)=30,∴b=12,∴a=×12-4=5,c=2×12-11=13. ∵a2+b2=52+122=169,c2=132=169,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形. 素养小测 1.解:(1)∵3x-5y=0,∴3x=5y,∴=. (2)==. (3)∵=,∴=,∴==. 2.解:(1)∵===3,∴a=3b,c=3d,e=3f, ∴===3. (2)∵===3, ∴===3, ∴==3. (3)由(1)、(2)可发现, ==. 学科网（北京）股份有限公司 $$