重难点培优01 立体几何中的外接球与内切球、棱切球问题（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 立体几何中的外接球与内切球、棱切球问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 5 题型一 墙角模型（★★★★★） 5 题型二 三棱锥的三组对棱长分别相等模型（★★★★） 6 题型三 其他补成长方体模型（★★★★★） 6 题型四 直棱柱、圆柱的外接球模型（★★★） 7 题型五 正棱锥、圆锥模型（★★★★★） 8 题型六 垂面模型（★★★★★） 8 题型七 棱台、圆台外接球（★★★★） 9 题型八 棱柱、圆柱内切球（★★★） 10 题型九 圆锥、圆台、棱台内切球（★★★★） 11 题型十 棱锥内切球（★★★★） 12 03 实战检测・分层突破验成效 13 检测Ⅰ组 重难知识巩固 13 检测Ⅱ组 创新能力提升 16 知识点01 外接球模型一：墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 知识点02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 知识点04 外接球模型四：垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 知识点05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点06 内切球思路： 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 5、棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 题型一 墙角模型 1．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 . 2．在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州铜仁·三模）在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 题型二 三棱锥的三组对棱长分别相等模型 1．在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径 ． 题型三 其他补成长方体模型 1．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·云南·开学考试）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，面，四边形是边长为的正方形．若，求的面积．（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·宁夏银川·月考）银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于（    ）    A． B． C． D． 5．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为 . 6．在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为 . 题型四 直棱柱、圆柱的外接球模型 1．（2025·河北石家庄·一模）已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知一个圆柱的底面半径为3，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为 . 4．已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为 . 5．已知直三棱柱的体积为24，，若直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为 . 题型五 正棱锥、圆锥模型 1．（2025·湖南益阳·三模）已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（   ） A．3π B．6π C．9π D．12π 2．将直径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为 . 6．已知一个底面半径为的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，则圆锥的体积为 . 题型六 垂面模型 1．在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东湛江·期末）在三棱锥中，，其他棱长都是，则三棱锥外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 5．《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图，已知三棱柱是一“堑堵”，，，点为的中点.则①所在直线与平面所成线面角为 ；②三棱锥的外接球表面积为 . 6．在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 题型七 棱台、圆台外接球 1．（24-25高三下·河北承德·月考）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（   ） A．3 B．5 C． D．6 3．（2025·山东聊城·三模）已知某圆台的轴截面中有一个角为，且下底是上底的2倍，若该圆台的外接球的表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 . 5．（2025·河南南阳·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是 . 6．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为5cm，12cm，高为17cm，则该灯罩外接球的表面积为 . 题型八 棱柱、圆柱内切球 1．已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津红桥·模拟预测）一个正方体的棱长为，若一个球内切于该正方体，此球的体积是，则 . 3．有一个底面边长分别为的直三棱柱，如果该三棱柱存在内切球，即该球与三棱柱的各个面都相切.则该三棱柱的体积为 . 4．若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 . 5．已知EF为圆柱的下底面圆的一条直径，D为上底面圆上任意一点，，球O内切于圆柱，则球O的体积为 ，平面DEF截球O所得截面面积的最小值为 6．如图，球内切于正三棱柱，则球与正三棱柱的体积比为多少？    题型九 圆锥、圆台、棱台内切球 1．已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知球O内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，，则球O与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分的体积比为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·重庆北碚·月考）正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（   ） A． B． C． D． 5．如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则 ．    6．（2025·山东·模拟预测）已知底面半径均为的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为（内切球分别与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若，则圆锥和圆台的体积比为 ． 题型十 棱锥内切球 1．若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（    ） A． B．4 C． D． 2．已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ） A． B．9 C． D． 3．在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 4．（2024·湖南·二模）一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为 . 题型十一 棱切球 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知三棱锥的各条棱都与同一个球面相切，若，则三角形的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 3．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是 . 4．已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为 . 5．已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比 ． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（24-25高三上·福建龙岩·月考）已知某圆柱的内切球半径为1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为的球面上，该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知直三棱柱中，，则其外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．已知直三棱柱的各顶点都在以O为球心的球面上，且，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏徐州·模拟预测）圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥内切球半径为（   ） A． B． C． D． 10．已知球的表面积为，若球与正四面体的六条棱均相切，则此四面体的体积为（    ） A． B． C． D．8 11．《九章算术》是我国古代数学名著，该书商功一章中介绍了方亭（即正四棱台）：“今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈”，翻译为白话文为“已知正四棱台，下底面边长为5丈，上底面边长为4丈，高为5丈”，设该正四棱台的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A．平方丈 B．平方丈 C．平方丈 D．平方丈 12．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面ABC，则球O的体积为（    ） A．7π B． C． D． 13．已知一个正四棱锥的高为16，且其外接球的半径为10，则该正四棱锥的表面积为（   ） A．512 B．256 C．128 D．64 14．（2025·贵州黔南·三模）在正四棱台中，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 15．如图，在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的体积为（   ）    A． B． C． D． 16．若半径为的球与正六棱柱的各个面均相切，则该正六棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 17．已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 18．已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 19．已知球O的半径为3，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高三上·江西吉安·月考）已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 21．在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 22．已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高三上·上海·月考）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为、、，则此球的直径为 24．在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为 . 25．一个正方体的表面积为6，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是 26．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，若，则该四棱锥的内切球的体积为 ． 27．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为 . 28．已知一底面边长为的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为 . 29．已知圆锥的底面半径为2，且内切球球心与外接球球心重合，则圆锥外接球表面积为 30．（2025·辽宁鞍山·一模）正四面体内切球与其外接球表面积之比为 ． 31．（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 32．在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，面，，三棱锥外接球与内切球球心分别为，则 . 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·海南·模拟预测）在正三棱锥中，，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥内部，其球心与的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥的三个侧面均相切，则半球球面面积（不包括底面积）和小球表面积之和最小时，小球的半径为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·天津南开·月考）欧阳南德与上官琐艾即将毕业，为了纪念美好的高中时代，二人来到南开工坊共同制作了属于他们的艺术品：该艺术品包括内外两部分，外部为一个正四棱锥形状的中空水晶，其侧面分别镌刻“欧”、“阳”、“上”、“官”四字，内部为一个正四面体形状的水晶，表面上分别镌刻“南”、“德”、“琐”、“艾”四字，当其在四棱锥外壳内转动时，好似折射出可穿越时空的永恒光芒．已知外部正四棱锥的底面边长为3，侧棱长为，为使内部正四面体在外部正四棱锥内（不考虑四棱锥表面厚度）可绕四面体中心任意转动，则该正四面体体积最大为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为R的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为.设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为，则以下关系正确的是（    ）    A． B． C． D．的最大值为 5．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）正三棱台的上､下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上､下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为 . 6．（2025·浙江金华·三模）已知四棱锥的底面为菱形，三棱锥为正四面体，则三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为 . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优01 立体几何中的外接球与内切球、棱切球问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 5 题型一 墙角模型（★★★★★） 5 题型二 三棱锥的三组对棱长分别相等模型（★★★★） 7 题型三 其他补成长方体模型（★★★★★） 9 题型四 直棱柱、圆柱的外接球模型（★★★） 13 题型五 正棱锥、圆锥模型（★★★★★） 15 题型六 垂面模型（★★★★★） 19 题型七 棱台、圆台外接球（★★★★） 24 题型八 棱柱、圆柱内切球（★★★） 29 题型九 圆锥、圆台、棱台内切球（★★★★） 32 题型十 棱锥内切球（★★★★） 37 03 实战检测・分层突破验成效 45 检测Ⅰ组 重难知识巩固 45 检测Ⅱ组 创新能力提升 67 知识点01 外接球模型一：墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 知识点02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 知识点04 外接球模型四：垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 知识点05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点06 内切球思路： 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 5、棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 题型一 墙角模型 1．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 . 【答案】 【分析】利用长方体和外接球的关系可求球的半径，利用面积公式可得答案. 【详解】因为长方体的三条棱的长分别为，所以其对角线的长为， 因为长方体的各顶点均在同一球的球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，即半径为， 所以球表面积为. 故答案为： 2．在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的体对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积． 【详解】将三棱锥补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球， 设球半径为，则， 所以，所以球的表面积为. 故选：B． 3．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 在直角中，可得， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 故选：B. 4．（2025·贵州铜仁·三模）在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱锥两两垂直的特性将三棱锥补为长方体，三棱锥外接球的半径为所补长方体的直径，计算求出半径，代入体积公式可得结果. 【详解】因为平面，，，，所以，即． 把三棱锥补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径． 根据长方体体对角线公式 ，则， 球的体积. 故选：C． 题型二 三棱锥的三组对棱长分别相等模型 1．在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对棱相等的特征，可以将四面体放入长方体中，再求其外接球半径即可. 【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线， 设这个长方体各棱长分别为，则有， 各式相加得， 设外接球半径为，则有， 外接球表面积. 故选：C． 2．在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径 ． 【答案】 【分析】将四面体补形为为一个面对角线长分别为，，5的长方体，则长方体外接球即四面体外接球. 【详解】四面体中，三组对棱的棱长分别相等， 可将其补形为一个面对角线长分别为，，5的长方体． 设长方体长宽高为，由题有：， 即长方体体对角线长为，则长方体外接球半径，即四面体外接球半径为. 故答案为： 题型三 其他补成长方体模型 1．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】由，，，∴，即有， 又平面，所以，，两两互相垂直，该瞥臑如图所示：     图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线， 也是外接球的直径，设外接球半径为R，则， 所以瞥臑的外接球表面积为. 故选：B． 2．（25-26高三上·云南·开学考试）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥补形为长方体，得长方体的体对角线即为其外接球的直径，由此求得外接球半径即得体积. 【详解】，，且平面， 可将三棱锥补形为长方体，如图， 则长方体的体对角线即三棱锥的外接球的直径， 因 则三棱锥的外接球半径为. 故外接球体积为：. 故选：A 3．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，面，四边形是边长为的正方形．若，求的面积．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因侧棱垂直于底面，故将其补成直棱柱即可. 【详解】因面且四边形是正方形，故将其补成长方体. 如图，球心O为长方体的中心，， 则等腰的高为， 故的面积为. 故选：B. 4．（23-24高三上·宁夏银川·月考）银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 因条件满足“墙角”模型，故可构建长方体模型求解外接球半径，利用公式即得. 【详解】   如图，因平面，,故可以构造长方体,易得：长方体的外接球 即鳖臑的外接球，设球的半径为，，由， 且,解得: ,又因四边形为正方形，阳马的外接球即以 为三条两两垂直的棱组成的正四棱柱的外接球，设其半径为，则有,解得： 故阳马的外接球的表面积为 故选：C. 5．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为， 显然有，，， 因此两两互相垂直，补成长方体如图所示： 该长方体的对角线长为， 所以该三棱锥的外接球的半径为， 因此该三棱锥的外接球表面积为， 故答案为：    6．在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意，可得平面，将三棱锥补全成长方体，进而可求外接球半径，代入球的体积公式求解即可. 【详解】根据题意，底面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 将三棱锥补全成长方体，如图，    则此三棱锥的外接球的半径为， 其三棱锥外接球的体积为. 故答案为： 题型四 直棱柱、圆柱的外接球模型 1．（2025·河北石家庄·一模）已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出轴截面，利用长度关系求出圆柱半径和母线，进而得到答案. 【详解】如图，轴截面为   ， 所以圆柱的侧面积为， 故选：B. 2．已知直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设分别取的中点，连接，判断直三棱柱的外接球球心在的中点，借助于求得外接球半径，代入公式即得其体积. 【详解】 如图，，，分别取的中点，连接， 则点分别是的外心，故直三棱柱的外接球球心在的中点， 连接，则，， 故直三棱柱的外接球半径，则其体积为. 故选：B. 3．已知一个圆柱的底面半径为3，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为 . 【答案】 【分析】利用圆柱的体积公式，结合圆柱的外接球球心在圆柱的中心，即可得到外接球半径，从而可求外接球的表面积. 【详解】 如图为圆柱上下底面圆圆心，已知圆柱的底面半径，由其体积为， 可得， 该圆柱的外接球记为球，则为的中点， 根据勾股定理有：，即外接球的半径为， 所以该外接球的表面积为， 故答案为：. 4．已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理求底面等边三角形的外接圆半径，结合正三棱柱的结构特征求半径和体积. 【详解】由题意可知：底面等边三角形的外接圆半径， 则外接球的半径， 所以该三棱柱的外接球的体积为. 故答案为：. 5．已知直三棱柱的体积为24，，若直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据三棱柱几何特征结合外接球公式求出半径，最后应用基本不等式求出最小值结合球的表面积公式计算求解. 【详解】设，，又， 所以直三棱柱的体积，解得. 设球O的半径为R，由题意知， 当且仅当时等号成立，所以球O表面积的最小值为. 故答案为：. 题型五 正棱锥、圆锥模型 1．（2025·湖南益阳·三模）已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（   ） A．3π B．6π C．9π D．12π 【答案】C 【分析】由外接球的体积公式可得其半径，然后作出圆锥及其外接球的轴截面，由勾股定理列出方程，代入计算，即可得到底面圆的半径，再由圆锥的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球体积为，则， 即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得， 则此圆锥的表面积为. 故选：C 2．将直径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到折成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径，圆锥的高，由此能求出圆锥的外接球的表面积． 【详解】∵圆心角为，半径为3，∴扇形的弧长为， ∴折成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为，底面半径，圆锥的高， 易知圆锥外接球的球心在圆锥的高线上，设球的半径为， 则，解得． ∴外接球的表面积为． 故选：D 3．若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在底面的投影为，确定球心的位置，求，由此可求底面棱和侧面三角形的高，进而可求表面积. 【详解】如图，在正四棱锥中，设点在底面的投影为，则为正方形的中心， 正四棱锥的外接球球心在上， 则，， 所以， ，， 中边上的高为， 故该正四棱锥的表面积为． 故选：C. 4．已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作面，因为三棱锥为正三棱锥，所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接.由，求出 ，设外接球半径为，由，解得，即可求解． 【详解】 如图所示，作面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接. 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，即， 所以， 设外接球半径为，则，， 所以在中，可得， 解得，则外接球体积为. 故选：B. 5．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为 . 【答案】 【分析】由题意推出球心到四个顶点的距离相等，利用直角三角形，求出球的半径，即可求出外接球的体积． 【详解】如图，为正三角形的中心，为三棱锥外接球球心， 因为正三棱锥中，底面边长为3，侧棱长为2， 所以，则， 所以高． 由球心到四个顶点的距离相等， 在直角三角形中，，， 由，所以，解得， 所以外接球的半径为，所以它的外接球的体积为. 故答案为：． 6．已知一个底面半径为的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，则圆锥的体积为 . 【答案】或 【分析】分析圆锥的轴截面，由圆锥的外接球半径可得轴截面的外接圆半径，求得轴截面的顶角，进而得出圆锥的高，从而得出体积. 【详解】 设圆锥的轴截面为如图等腰三角形，是圆锥的高， 由题意，，的外接圆半径是， 设，由正弦定理，，即， 则或，则或， 于是圆锥的高或， 则圆锥的体积为或. 故答案为：或 题型六 垂面模型 1．在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合球的截面性质求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】由为的外心，，得是的中点，又， 则，由平面，得三棱锥的外接球球心在射线上， 设该球半径为，则，由，得， 解得，所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D 2．已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，找到球心的位置，设，连接，利用半径相等得到方程，求出，进而求出外接球半径和表面积. 【详解】取的中点，连接，， 因为底面与侧面均是边长为2的正三角形， 所以⊥，⊥， 因为平面平面，交线为，且平面， 所以⊥平面， 在上取点，使得，故为等边三角形的中心， 该三棱锥外接球的球心在平面上的投影为， 其中，，， 设，连接，过点作⊥于点， 则，，， 设，则， 即，解得， 所以，该三棱锥外接球的表面积是. 故选：C 3．（24-25高三上·广东湛江·期末）在三棱锥中，，其他棱长都是，则三棱锥外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而，结合勾股定理和球的表面积公式计算即可求解. 【详解】如图，取棱的中点，连接，则，且， 设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为， 连接，作，垂足为． 由题意得． 因为，所以，所以． 又，平面， 所以平面，则． 设三棱锥外接球的半径为，则， 即，解得， 故三棱锥外接球的表面积是． 故选：D 4．如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，取的中点，找到的外心，然后平面，根据二面角的平面角为找到球心，然后计算长度求出，最后根据球的体积公式计算即可. 【详解】如图，取的中点，连接，    设为正的外心，则点在上，且． 设为四面体的外接球球心，则平面． ，则为的外心，平面． 二面角的大小为，则直线与平面成角，． 是边长为3的正三角形，则，． 在中，． 在中，，则， 四面体的外接球半径，. 故选：B． 5．《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图，已知三棱柱是一“堑堵”，，，点为的中点.则①所在直线与平面所成线面角为 ；②三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 / / 【分析】通过线线垂直证明线面垂直，求得线面所成角；由等边三角形的中心，找到三棱锥的外接球球心，借助于直角梯形即可求得外接球半径，从而得到其表面积. 【详解】在三棱柱中，平面，因平面，则， 因面，，则平面， 故所在直线与平面所成线面角为； 由图，三棱锥即三棱锥，因， 即底面是边长为2的等边三角形，设其中心为点， 设三棱锥的外接球球心为点，半径为，连，则平面， 连，则，则， 由图可得：，解得，则外接球表面积. 故答案为：；. 6．在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】 根据已知条件易得为等边三角形，为等腰三角形，进而确定外接圆圆心及半径，再证面面，利用面面垂直模型求外接球半径，即可求面积. 【详解】 由，，由余弦定理可得， 又，所以为等边三角形，令其外接圆圆心为， 等腰的外接圆半径，令其外接圆圆心为，在射线上， 则是中点，连接，且，，又， 所以，则，又， ，面，则面，面， 所以面面，若是三棱锥的外接球的球心，如上图， 易知为矩形，故，而， 所以外接球半径为，该三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 题型七 棱台、圆台外接球 1．（24-25高三下·河北承德·月考）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设球心到上底面圆心的距离为h，由题意可得，求解即可. 【详解】由题意可知圆台的高为. 设球心到上底面圆心的距离为h，则，解得. 则，所以圆台的外接球的表面积为. 故选：D. 2．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（   ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】作出辅助线，得到棱台的高为1，设该棱台的外接球球心到下底面的距离为，当球心在棱台内时，列出方程，求出，不合要求，当球心在棱台外时，列出方程，求出，得到答案. 【详解】因为正六棱台的上、下底面边长分别为3和4， 如图，为等边三角形，边长分别为3和4， 所以，过点分别作⊥于点，于点， 故，故， 侧棱长是，即，由勾股定理得， 即棱台的高为1， 设该棱台的外接球球心到下底面的距离为， 当球心在棱台内时，即，则， 由勾股定理得， 则，解得（舍）， 当球心在棱台外时，同理可得，解得， 故棱台的外接球半径为； 故选：B． 3．（2025·山东聊城·三模）已知某圆台的轴截面中有一个角为，且下底是上底的2倍，若该圆台的外接球的表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知条件求出圆台的高，然后根据外接球的表面积求出上底和下底半径，然后根据圆台体积公式求出其体积. 【详解】设圆台的上底半径为，则下底半径. 轴截面为等腰梯形，两底边长分别为和，腰与下底的夹角为. 则圆台的高，即梯形的高为. 因为外接球的表面积为，所以球半径为. 设球心到上底圆心距离为，则到下底圆心距离为. 根据球心到上下底面圆周的距离均为2，得方程： ，解得. 所以圆台体积为： . 故选：C. 4．已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据正四棱台的结构特征和性质求出球的半径，进而可求出球的表面积. 【详解】 设正四棱台上、下底面所在截面圆的半径为，则， 若球心到上底面距离为，球体半径为，则球心到下底面距离为， 所以，可得，则， 所以球体的表面积为. 故答案为： 5．（2025·河南南阳·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出正三棱台高的范围，再利用球的截面性质建立方程，求出球半径的范围即可. 【详解】如图，令正三棱台上下底面正三角形中心分别为， 则，， 设正三棱台的高为，则，解得， 设球的半径为，显然球心在线段上（不含端点） 因此，，解得， 且，而，当且仅当时取等号，得， ，解得， 因此，， 所以外接球表面积的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 6．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为5cm，12cm，高为17cm，则该灯罩外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】如图，设圆台上下底面圆心为，上下底面圆周上两点为E，F.上下底面圆半径为，外接球半径为.分球心在如图，，可分别得关于R的方程，即可得答案. 【详解】如图，设圆台上下底面圆心为，上下底面圆周上两点为E，F.上下底面圆半径为，外接球半径为. 若球心在如图，则， 整理得：，不合题意； 若球心在如图，则， 整理得：， 则，从而外接球面积为：. 故答案为： 题型八 棱柱、圆柱内切球 1．已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆柱内切球的特性可知，然后求体积计算比值即可. 【详解】根据题意，设圆柱内切球半径为，底面半径为，高为， 又圆柱存在内切球，所以， ， 所以. 故选：C. 2．（2025·天津红桥·模拟预测）一个正方体的棱长为，若一个球内切于该正方体，此球的体积是，则 . 【答案】2 【分析】正方体内切球的直径即为正方体的棱长，即可得到内切球的半径，进而结合球的体积公式列方程求解即可. 【详解】依题意，正方体内切球的直径即为正方体的棱长，则内切球的半径为， 所以，解得. 故答案为：2. 3．有一个底面边长分别为的直三棱柱，如果该三棱柱存在内切球，即该球与三棱柱的各个面都相切.则该三棱柱的体积为 . 【答案】 【分析】由等面积法求得底面内切圆的半径，进一步结合已知可得三棱柱的高，从而即可进一步求解. 【详解】因为，所以底面是斜边为5的直角三角形， 设其内切圆半径为，三棱柱的高为， 由等面积法有，，解得， 如果该三棱柱存在内切球，这意味着， 所以该三棱柱的体积为. 故答案为：12. 4．若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 . 【答案】 【分析】由题意可得内切球的半径，进而可得正六棱柱的高，结合球的体积公式计算即可求解. 【详解】如图，在过球心与棱柱棱垂直的截面中，内切球的半径为，为边长是2的正三角形， 则，即内切球的半径为，所以正六棱柱的高为. 其外接球半径为， 则其体积为. 故答案为： 5．已知EF为圆柱的下底面圆的一条直径，D为上底面圆上任意一点，，球O内切于圆柱，则球O的体积为 ，平面DEF截球O所得截面面积的最小值为 【答案】 【分析】由球内切于圆柱得到球的半径可得第一空答案；过点在平面内作，垂足为点，分析可知当平面时，截面圆的半径最小，求解可得第二空答案. 【详解】如图：因为圆柱的高为2，且球O内切于圆柱， 所以球O的半径，故球O的体积. 设过点D的圆柱的轴截面为ABCD，过点O在平面ABCD内作，垂足为G，如图： 易知，，，由勾股定理可得， 因为与相似，所以，即， 设O到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为， 因为平面DEF，当平面DEF时，取最大值OG，即， 所以， 所以平面DEF截得球的截面面积最小值为. 故答案为：；. 6．如图，球内切于正三棱柱，则球与正三棱柱的体积比为多少？    【答案】/ 【分析】设球的半径为，根据球的体积和正三棱柱体积公式求得答案. 【详解】设正三棱柱底边长为，高为，则底面内切圆半径为， 设球的半径为. . 故答案为：. 题型九 圆锥、圆台、棱台内切球 1．已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆台的几何性质确定内切球半径从而得圆台的高度，结合圆台的几何性质求解上下底面半径，从而可得圆台体积. 【详解】由于圆台的内切球体积为，设其内切球半径为， 所以，则半径， 所以圆台的高度， 设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面如下图：为球心，为上下底面圆圆心 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得： ，所以，可得， 则该圆台的体积为. 故选：A. 2．正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，结合圆的切线性质求得到正三棱台的高. 【详解】由正三棱台的上、下底边长分别为和， 得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 为侧面等腰梯形上下底边中点，则， 设内切球半径为r，所以正三棱台的高. 故选：B 3．如图，已知球O内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，，则球O与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分的体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相切可得母线，进而得到圆台的高即为内切球直径，利用边的关系得到，再得到，根据球的截面问题得到截面半径，利用台体体积公式分别得到两圆台的体积即可得到比值. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆， 设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底分别切于点，， 又圆台上、下底面的半径为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E， 所以， 在中，因为，所以，则， ，则， 因为球O内切于圆台，所以， 设QP与交于点，则， ，． 故圆台体积为， 圆台体积为， 故切痕所在平面分圆台上、下两部分的体积比为．    故选：B. 4．（24-25高三下·重庆北碚·月考）正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设所求为，用表示出正六棱台的体积、表面积，设内切球半径为，可用等体积法表示出，另外一方面等于正六棱台的高，由此可构建方程求解. 【详解】如图所示，设所求为，是正六棱台的底面的中心， 因为正六边形的每一个内角为， 所以，又因为， 所以三角形是等边三角形，所以，同理， 所以， 所以正六棱台的体积为， 由， 表面积为， 设内切球半径为，则由等体积法可得，， 所以，又， 所以，即， 所以，即，解得. 故选：C. 5．如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则 ．    【答案】 【分析】画出轴截面，根据列方程求解即可. 【详解】画出圆锥的轴截面如图      设内切球的球心为，半径为， 则，， 所以， 又， 即， 解得. 故答案为：. 6．（2025·山东·模拟预测）已知底面半径均为的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为（内切球分别与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若，则圆锥和圆台的体积比为 ． 【答案】/ 【分析】利用圆台的性质求得上底面的关径与内切球的半径的关系，进而求得圆台的体积，求得圆锥的高与内切球的半径的关系，求得圆锥的体积，可求体积比. 【详解】设圆台的高为，上底面半径为，圆台的轴截面是等腰梯形，则两腰长之和是两底长之和， 由圆台的内切球半径也均为，则， 则，则，解得， 则圆台的体积为， 圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆即为圆锥的内切球的大圆， 设等腰三角形底边上的高为，则腰长为， 则，解得， 则圆锥的体积为， 所以. 故答案为：. 题型十 棱锥内切球 1．若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由正四棱锥体积先求出外接球半径，进而得到正四棱锥的底面边长与高，再利用等体积法可求出四棱锥内切球的半径. 【详解】因为正四棱锥内接于球O，且底面过球心O， 设球的半径为， 所以， 所以， 于是正四棱锥的体积，解得， 所以正四棱锥的表面积， 设正四棱锥内切球的半径为， 则，解得. 故选：A. 2．已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相切问题求解作答. 【详解】 在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点， 过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，得对应球的截面大圆，如图： 依题意，，， 令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即， 由，得，， 设球与球相切于点T，则， 设球的半径为，同理可得，则， 所以球与球的表面积之比. 故选：A 3．在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 【答案】 【分析】设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为，连接，由已知条件求出，然后根据可求出，从而可求出三棱锥的内切球的表面积. 【详解】由题意得， 设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为， 连接，则点在上，且， ， 因为平面，平面，所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，解得， 所以三棱锥的内切球的表面积为 . 故答案为：. 4．（2024·湖南·二模）一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为 . 【答案】/ 【分析】根据三角形相似求出内切球半径，再利用球的表面积公式求其表面积. 【详解】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图， 为内切球的球心，是棱锥的高，分别是的中点， 连接是球与侧面的切点，可知在上，， 设内切球半径为， 则， 由△∽△可知，即，解得， 所以内切球表面积. 故答案为：. 题型十一 棱切球 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知三棱锥的各条棱都与同一个球面相切，若，则三角形的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】由过球外一点与球面相切的切线长相等，求出的长，可得三角形的周长. 【详解】 由已知，设球与棱的切点分别为， 则，设， 因为， 则， 又，所以，解得， 则，， 所以三角形的周长为. 故选：D. 2．已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中心，再求出三棱锥的高，利用勾股定理即可求解外接球半径. 【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切， 所以平面截球得到的截面圆与的三边均相切， 所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上， 又因为底面边长为， 所以底面正三角形的内切圆的半径为， 又因为球的半径为1， 所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点，连接PO，即为三棱锥的高， 如图，过球心作的垂线交于，则， 又因为，所以, 又与相似， 所以，则，即. 因为外接圆的半径为，正三棱锥外接球的球心在上， 设半径为，则，即, 解得. 故选：D. 3．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是 . 【答案】 【分析】将正四面体放置在正方体中，由此可得正方体的内切球即满足条件的球，根据正方体的性质求球的半径，结合球的表面积公式求结论.. 【详解】设题中正四面体为，将它放置于正方体内，使、位于上、下底面的异面的面对角线处， 如图所示．由正方体的性质可得，该正方体的内切球恰好与正四面体的六条棱都相切， 设该正方体的棱长为， 正四面体的棱长为， ，解得， 可得正方体的内接球直径，得， 故球的表面积为． 故答案为：.    4．已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为 . 【答案】 【分析】设棱柱的下底面和上底面的中心分别为，可得的中点即球的球心，取中点，则为棱与球的切点，为球的半径，而点到棱的距离等于，利用勾股定理即可求得棱切球的半径，利用对称性，可得点也是该棱柱的外接球的球心，借助于即可求出外接球的半径，进而求得体积. 【详解】由题意,三棱柱是正三棱柱，设点分别为棱柱的下底面和上底面的中心， 由对称性知，的中点即球的球心，取中点(为切点)，则（等于点到棱的距离）， 设球的半径为，由正三角形的性质，与底面垂直， 则必与底面上直线垂直，故,解得. 又由对称性知，该直三棱柱的外接球球心即点，连接,因, 则即该直三棱柱的外接球的半径， 故该球的体积为：. 故答案为：.    5．已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比 ． 【答案】 【分析】将四面体补成正方体，则正四面体的棱切球即正方体的内切球，求出正方体的棱长，即可得球的半径，由题意得球的球心到正四面体的各个面的距离都相等，且为半径，由等体积法即可求出，利用球的体积公式即可求解. 【详解】将四面体补成正方体，则四面体的棱长全是该正方体的面对角线， 球与正四面体六条棱相切，则球为正方体的内切球，且切点为面对角线的中点， 正四面体的棱长为， 设正方体的棱长为，则， 则， 故正方体内切球的半径， 正四面体的棱长为， 设底面三角形的高为，则， 即， 底面三角形的面积 顶点在底面的投影位为底面三角形高的处， 设正四面体的高为， 由勾股定理得， 则正四面体的体积为， 球与正四面体四个面相切， 则球心到正四面体的各个面的距离都相等，且为半径， 则正四面体的体积为， 则由等体积法得， 可得， 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于正四面体的棱切球，可以转化为正方体的内切球，方便理解与运算. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（24-25高三上·福建龙岩·月考）已知某圆柱的内切球半径为1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为2，从而可求出其体积. 【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为2， 所以该圆柱的体积为. 故选：B 2．已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因两两垂直， 故三棱锥的外接球即是以，，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 故选：A. 3．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为的球面上，该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球的体积公式求出球的半径，结合圆柱半径可得圆柱的高，然后可解. 【详解】球的体积为，可得其半径， 圆柱的底面直径为2，半径为，在轴截面中，可知圆柱的高为， 所以圆柱的侧面积为. 故选：A． 4．已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把正三棱锥放置在一个棱长为的正方体内，得到正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，结合正方体的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，正三棱锥，满足，且三个侧面两两垂直， 可以把正三棱锥放置在一个棱长为的正方体内， 可得正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球， 设正三棱锥的外接球的半径为，则，即， 所以正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 5．已知直三棱柱中，，则其外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补形法求得外接球的半径，结合球的表面积公式即可得解. 【详解】由题意，该直三棱柱可补形为长方体， 如图，则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球， 所以体对角线的长为其外接球的直径，解得， 则， 故选：C． 6．已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理得，再补成正方体得外接球得半径，最后根据球体积公式得结果. 【详解】因为所以，， 即， 因为，，所以平面，同理可得平面， 所以可作为边长为1的正方体的四个顶点， 因为正方体的外接球直径为，所以外接球的半径为， 因此球的体积为， 故选：A. 7．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥补形为长方体，由勾股定理求出长方体的半径即可，得到表面积. 【详解】将三棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 如图，的中点即为外接球的球心，为直径， 由勾股定理得， 故半径为，球的表面积为. 故选：B 8．已知直三棱柱的各顶点都在以O为球心的球面上，且，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可得所在的截面圆的半径，再结合勾股定理求出球O的半径，结合球的体积公式计算即可. 【详解】在中，由正弦定理得所在的截面圆的半径为 ， 则直三棱柱的外接球的半径为， 则直三棱柱的外接球的体积为. 故选：A. 9．（2024·江苏徐州·模拟预测）圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥内切球半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等面积法先求出圆锥底面圆的半径，再由等面积法求出圆锥轴截面内切圆的半径即可得解. 【详解】若圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为， 则，其中为圆锥底面圆的半径， 根据对称性，圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆的半径， 设内切圆圆心为点，圆锥底面圆心为点，为圆锥的母线， 设，由题意， 由等面积法有. 故选：C. 10．已知球的表面积为，若球与正四面体的六条棱均相切，则此四面体的体积为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切，再利用割补法求出体积. 【详解】由球的表面积为，得，球半径， 以正四面体的棱为正方体的面对角线，将该正四面体放到正方体中，则正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切， 正方体的棱长为，所以此四面体的体积为. 故选：B 11．《九章算术》是我国古代数学名著，该书商功一章中介绍了方亭（即正四棱台）：“今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈”，翻译为白话文为“已知正四棱台，下底面边长为5丈，上底面边长为4丈，高为5丈”，设该正四棱台的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A．平方丈 B．平方丈 C．平方丈 D．平方丈 【答案】A 【分析】设该正四棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为，，半径分别为，，记球心为O，半径为R，分球心O在线段上时与球心O不在线段上时讨论求解. 【详解】设该正四棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为，，半径分别为，， 记球心为O，半径为R，由题设可得，，，， 当球心O在线段上时，， 解得，，则； 当球心O不在线段上时，，舍去． 故选：A． 12．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面ABC，则球O的体积为（    ） A．7π B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，应用线面垂直的判定及性质定理证明、，进而确定外接球球心，再求出球体半径，即可得. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 因为，所以， 又平面，平面，所以，， 由且都在平面内，得平面， 由平面，则，故的外接圆圆心为的中点， 在中，，故的外接圆圆心为的中点， 故三棱锥的外接球球心为的中点．则为球的直径， 设球的半径为，则， 故球的体积为. 故选：C 13．已知一个正四棱锥的高为16，且其外接球的半径为10，则该正四棱锥的表面积为（   ） A．512 B．256 C．128 D．64 【答案】A 【分析】根据正四棱锥及其外接球的特征，利用勾股定理求得底面对角线的一半的长，再求得底面正方形的边长和正四棱锥的侧棱长，利用余弦定理求得侧面的顶角余弦值，计算正弦值，利用三角形面积公式计算一个侧面的面积，进而求得全面积. 【详解】如图，在正四棱锥中，设底面的中心为，外接球的球心为， 则，，则， 在中，， 则在正方形中，，则， 又， 则， 所以， 则， 正方形的面积为， 则正四棱锥的表面积为. 故选：A. 14．（2025·贵州黔南·三模）在正四棱台中，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取、的中点分别为、，连接，过点作平面的垂线，垂足为，设正四棱台外接球的球心为，半径为，则点在直线上，又，利用勾股定理求出，即可求出，从而得解. 【详解】在正四棱台中，取、的中点分别为、，连接， 由，，所以，， 过点作平面的垂线，垂足为，则在上，且，则， 设正四棱台外接球的球心为，半径为，则点在直线上，又， 所以，即，解得， 所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 15．如图，在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理求出的外接圆的圆心，确定球心的位置，利用勾股定理列式求出球的半径，再根据球的体积公式即可求解. 【详解】如图，设三棱锥外接球的球心为点，的外接圆的圆心为点， 连接，则，设的外接圆的半径为， ，可得，即， 因为平面，， 所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的体积为.    故选：. 16．若半径为的球与正六棱柱的各个面均相切，则该正六棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半径为的球与正六棱柱的各个面均相切，可得正六棱柱的高和底面正六边形的内切圆半径，可求出底面正六边形的外接圆半径，即可求出外接球的半径和表面积. 【详解】因为半径为的球与正六棱柱的各个面均相切， 所以正六棱柱的高，底面正六边形的内切圆半径为， 如图所示，正六边形外心和内心是同一点，根据内切圆半径和外切圆半径的关系， 可得底面正六边形的外接圆半径， 所以该正六棱柱外接球半径为， 所以外接球的表面积为. 故选：D. 17．已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用的面积计算边，利用正弦定理得 外接圆的半径，最后利用勾股定理求得外接球的半径，进而得球队表面积. 【详解】设 ，因为 ， 所以 ， ， 而 ，所以 于是是 外接圆的半径， ， 如图所示 记点为的外接圆的圆心．且， 过点作平面，作的中垂线交于点， 故点为三棱锥的外接球的球心， 所以 所以， 故选：C． 18．已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当三棱锥体积最大时，平面平面，分别取和的外接圆圆心，进而找到三棱锥的外接球的球心，求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式即可得解. 【详解】当三棱锥体积最大时，平面平面， 取的中点，连接， 因为四边形为菱形， 所以， 因为平面平面， 所以， 如图，过上靠近的三等分点作平面的垂线， 过上靠近的三等分点作平面的垂线， 两条垂线的交点即为三棱锥的外接球的球心，连接， 因为，， 所以为等边三角形， 所以， 所以， 同理可得， 所以， 所以. 故选：D. 19．已知球O的半径为3，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径为，圆锥的体积，求导判断单调性求出的值，再根据圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径求解内切球半径. 【详解】设圆锥的底面半径为，在中可得到， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积， 令，则，所以. 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为4，母线长为. 因为圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径， 所以圆锥内切球的半径. 故选：D 20．（24-25高三上·江西吉安·月考）已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：作出该圆台的轴截面，利用圆台的母线长为，再利用勾股定理求出，由球表面积可得答案；解法二：作出该圆台的轴截面，利用求出，即，再由球表面积可得答案. 【详解】解法一：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为 所以圆台的母线长为，故， 故球的表面积为. 解法二：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为， ，所以， 即，又，所以， 可得，即， 则球的半径， 故球的表面积为. 故选：B. 21．在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求解棱台的高,进而根据相切，由勾股定理求解球半径，即可由体积公式求解. 【详解】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的体积为. 故选：D 22．已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等体积可求得内切球半径，再取截面并根据比例求得球的半径，则可求得球的表面积． 【详解】取三棱锥过内切球球心的截面，如图所示： 依题意得， 底面的外接圆半径为，解得； 点到平面的距离为， 所以， 所以， 设球的半径为， 所以， 则，得， 设球的半径为，则，又，得， 所以球的表面积为． 故选：A． 23．（24-25高三上·上海·月考）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为、、，则此球的直径为 【答案】. 【分析】长方体的外接球直径为其体对角线长，根据勾股定理可求得. 【详解】长方体的外接球直径为其体对角线长，根据题意可得： 体对角线长为. 故答案为：. 24．在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为 . 【答案】/ 【分析】将四面体放入长方体中，利用长方体的处接球即为四面体的外接球，求解即可. 【详解】将四面体放入长方体中，如图所示： 设长方体的长，宽，高分别为，则，所以， 设长方体的外接球半径为，则，解得， 又长方体的处接球即为四面体的外接球， 所以四面体的外接球的体积为. 故答案为：. 25．一个正方体的表面积为6，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是 【答案】/ 【分析】求出正方体的棱长，进而求出其内切球的半径即可得解. 【详解】正方体的表面积为6，则该正方体的棱长为1，内切球半径为， 所以所求球的体积为. 故答案为： 26．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，若，则该四棱锥的内切球的体积为 ． 【答案】 【分析】先求出四棱锥的表面积和体积，再利用等体积法求出内切球的半径，最后根据球的体积公式计算出内切球的体积. 【详解】如图所示，因为四边形为正方形，所以， 因为底面，底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，故为直角三角形， 同理为直角三角形． 因为，，所以， 所以四棱锥的表面积， 体积． 设内切球半径为，则，得， 故四棱锥内切球的体积为． 故答案为：. 27．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为 . 【答案】 【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，由此作出圆锥的外接球的草图，根据勾股定理即可求出外接球半径，然后再根据球的体积公式，即可求出结果． 【详解】由于圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆， 所以圆锥的底面圆周长为，母线长为2， 所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面为边长为2的正三角形， 作出圆锥的外接球的草图，如下： 则，设外接球的半径为，则， 在中，， 所以，解得， 所以圆锥的外接球的体积为． 故答案为：. 28．已知一底面边长为的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】分析可知该正三棱柱内切球的半径等于其底面等边三角形内切圆的半径，利用等面积法可求得内切球半径，进而可得出棱柱的高，结合正棱柱的几何特征求出其外接球半径，再结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正三棱柱中，分别取三条侧棱的中点、、，如图所示： 易知是边长为的等边三角形，则该三棱柱内切球球心为的中心， 连接、、， 设球的半径为，则， 即，解得， 由正棱柱的几何性质可知， 易知该正三棱柱的外接球球心也为，设正三角形的中心为，连接、、，    则平面，，， 故，即该三棱柱外接球半径为， 因此，该三棱柱外接球表面积为. 故答案为：. 29．已知圆锥的底面半径为2，且内切球球心与外接球球心重合，则圆锥外接球表面积为 【答案】/ 【分析】根据圆锥的轴截面为正三角形，可求轴截面的外接圆半径，即为圆锥外接球半径，进而可求圆锥外接球表面积. 【详解】如图： 作圆锥的轴截面，因为等腰的内切圆与外接圆圆心相同，为，所以为等边三角形. 又. 所以，即为圆锥外接球半径. 所以圆锥外接球表面积为：. 故答案为： 30．（2025·辽宁鞍山·一模）正四面体内切球与其外接球表面积之比为 ． 【答案】 【分析】分别找到外接球球心和内切球球心，利用勾股定理求解外接球半径，三角形相似知识求解内切球半径，求出内切球半径与外接球半径之比，进而求出表面积之比． 【详解】如图1，过点A作底面于点F，则F为正三角形的中心，连接并延长，交于点E，则E为中点，且，在上取点O，此点为正四面体的外接球球心，则，设正四面体棱长为a，则，故，由勾股定理得：，设，由得：，解得：， 如图2，作出正四面体的截面，则正四面体的内切球与，相切，设内切球球心为，半径为r，则作于点G，则，，其中，，由得：，即， 解得：，则， 所以内切球的表面积与外接球表面积之比为， 故答案为：． 31．（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 【答案】 【分析】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值. 【详解】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为： 32．在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，面，，三棱锥外接球与内切球球心分别为，则 . 【答案】 【分析】取等边的中心为，根据球的截面的性质，求得，再由体积法，求得内切球的半径为，在上取一点，过点作平面，使得，得到点即为三棱锥的内切球的球心，在直角中，即可求解. 【详解】如图所示，取等边的中心为， 因为的边长为，可得，则， 连接，根据球的性质，可得平面， 又由平面，且，所以， 由， 连接，因为为中点，且， 所以，且，所以， 所以棱锥的表面积为，体积为 设内切球的半径为，可得，解得， 即到平面和平面的距离为， 因为的中点，且，所以， 又因为平面且，平面，所以， 因为且平面，所以平面， 在上取一点，使得，过点作，可得平面， 在直角中，可得，即点到平面的距离为， 过点作平面，使得，则点即为三棱锥的内切球的球心， 过点作，可得， ， 在直角中，可得， 故答案为：.    【点睛】方法点睛：解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径：根据作出截面中的几何元素，利用球的截面的性质，运用公式（为底面多边形的外接圆的半径，为几何体的外接球的半径，表示球心到底面的距离）求得球的半径，建立关于球半径的方程，进行求解，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中心，连接，即可得到平面，且与棱均相切的球的球心在上，连接并延长交于，连接，过作，交于点，设球的半径为，则，设，再利用勾股定理得到方程求出，即可得解. 【详解】取的中心，连接，则平面，且与棱均相切的球的球心在上. 连接并延长交于，则为的中点，，连接， 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 过作，交于点，设球的半径为， 则，因为，，所以，，， 由勾股定理得， 在中，，所以， 设，则， 因为，从而， 所以（负值已舍去），所以； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 2．（2025·海南·模拟预测）在正三棱锥中，，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥内部，其球心与的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥的三个侧面均相切，则半球球面面积（不包括底面积）和小球表面积之和最小时，小球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设半球的球心为点，连接，连接并延长交于点，判断小球球心在线段上， 设球的半径为，半球的半径为，利用三角形相似求得，依题得，列出题中的面积之和表示式，消元后得到关于的一元二次函数，利用其图象性质即可求得时，所求面积之和最小. 【详解】 如图，设半球的球心为点，连接，连接并延长交于点， 因另一小球在该半球正上方，且与正三棱锥的三个侧面均相切，故其球心在线段上， 连接，则球必与相切，设切点为，连接. 设球的半径为，半球的半径为. 因，， ，， 易得与相似，故有，即得， 因，即， 由题意，半球球面面积（不包括底面积）和小球表面积之和为： ， 该二次函数的开口向上，对称轴为直线， 故当时，取得最小值. 故选：A. 3．（24-25高三下·天津南开·月考）欧阳南德与上官琐艾即将毕业，为了纪念美好的高中时代，二人来到南开工坊共同制作了属于他们的艺术品：该艺术品包括内外两部分，外部为一个正四棱锥形状的中空水晶，其侧面分别镌刻“欧”、“阳”、“上”、“官”四字，内部为一个正四面体形状的水晶，表面上分别镌刻“南”、“德”、“琐”、“艾”四字，当其在四棱锥外壳内转动时，好似折射出可穿越时空的永恒光芒．已知外部正四棱锥的底面边长为3，侧棱长为，为使内部正四面体在外部正四棱锥内（不考虑四棱锥表面厚度）可绕四面体中心任意转动，则该正四面体体积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用等体积法可求得正四棱锥的内切球半径，可知正四面体即在正四棱锥的内切球内转动，若正四面体体积最大，该球即为正四面体的外接球，将正四面体体嵌套在正方体中，则该球即为正方体的外接球，结合正方体的性质运算求解即可. 【详解】对于正四棱锥，可知， 则， 可得正四棱锥表面积为， 因为顶点在底面的投影为正方形的中心， 则，可得， 设正四棱锥的内切球半径为，则， 因为正四面体在正四棱锥内转动，可知正四面体即在正四棱锥的内切球内转动， 若正四面体体积最大，该球即为正四面体的外接球， 将正四面体体嵌套在正方体中，则该球即为正方体的外接球， 设正方体的边长为，则，即， 所以正四面体体的体积. 故选：D. 4．（多选题）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为R的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为.设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为，则以下关系正确的是（    ）    A． B． C． D．的最大值为 【答案】AD 【分析】对于A，由已知结合球和圆柱的体积公式、表面积公式即可依次求出、、、，从而得解；对于B，设圆台上下底面的半径和母线长分别为，由三角形全等得，求证得，进而由台体体积公式计算得，由台体表面积公式得，从而 得和即可得解；对于C，设圆锥的底面半径、高和母线长为、和，由得①，由和，得②，进而得和，再由锥体体积公式和表面积公式即可求出和，从而得；对于D，由C结合基本不等式即为的最大值. 【详解】对于A，由题得，，，， 所以，所以，故A正确； 对于B，设圆台上下底面的半径和母线长分别为，圆台容球的轴截面如图所示，    因为， 所以， 所以，且， 所以， 又，所以，所以， 所以， ， 所以， 所以，故B错误； 对于C，设圆锥的底面半径、高和母线长为、和，圆锥容球的轴截面如图所示，    则由得， 整理得即①， 因为, 所以，故， 所以，所以即②， 由①②得即，整理得， 所以由①得， 所以，， 所以， 所以，故C错误； 对于D，由题意可知，所以由C得， 当且仅当即时等号成立，故的最大值为，故D正确. 故选：AD. 【点睛】思路点睛：对于圆台的体积和表面积，先由三角形全等得，接着由得，进而由台体体积公式和表面积公式计算求出和即可得和；对于圆锥的体积和表面积，先由得①，接着由和得②，从而由①②得和，再由锥体体积公式和表面积公式即可求出和，进而得. 5．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）正三棱台的上､下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上､下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为 . 【答案】 【分析】利用内切球的性质，从截面形状分析数量关系，进而求出棱台表面积. 【详解】 如图，上底面边上中线为，下底面边上的中线为. 根据内切球的性质可知，球与三个平面的切点分别在、、上. 考察截面 . 根据勾股定理易知，，. 圆与相切于,其中 分别为棱台上下底面的中心，为斜高， 因，， 由切线长定理，易得，，则, 上底面面积为，下底面面积为， 因此三棱台的表面积为. 故答案为： 6．（2025·浙江金华·三模）已知四棱锥的底面为菱形，三棱锥为正四面体，则三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为 . 【答案】/ 【分析】作出辅助线，得到三棱锥的外接球球心为，三棱锥的外接球球心为，设，利用半径相等，求出两个三棱锥外接球半径，得到答案. 【详解】设的中心为G，三棱锥的外接球球心为， 因为三棱锥为正四面体，所以三点共线， 设，取的中点为，则， 所以，同理， 由勾股定理得， 设，则， 由勾股定理得， 因为，所以，解得， 所以三棱锥的外接球半径为， 设的中心为H，则四点共线， 三棱锥的外接球球心为， 且，则， 过点作⊥于点，则，， 设，则， 其中， 其中，， 因为，所以，解得， 所以三棱锥的外接球半径为， 即三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$