专题26.2 特殊二次函数的图像与性质（第1课时）（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题26.2 特殊二次函数的图像与性质(第1课时) 教学目标 1. 会用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）； 2. 知道二次函数y=ax2的图像特点； 3. 掌握二次函数y=ax2的图像与性质及应用； 4. 会用描点法画出二次函数y=ax2+c（a≠0）； 5. 掌握二次函数y=ax2+c的图像与性质及应用。 教学重难点 1.重点 （1）学习二次函数y=ax2（a≠0）的图像与性质； （2）掌握二次函数y=ax2+c（a≠0）的图像与性质； （3）学会列表、描点、作图，画出抛物线；并根据图像总结其特点与性质； （4）二次函数y=ax2+c（a≠0）与y=ax2（a≠0）联系与区别。 2.难点 （1）含参数的特殊二次函数图像与性质综合分析； （2）特殊二次函数图像与性质的几何应用。 知识点1 二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质 1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法 用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确. 要点：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而增大； x<0时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而减小； x<0时，y随x增大而增大. 当x=0时，y最大=0 抛物线y=ax²(其中a是常数，且a≠0)的对称轴是y轴，即直线x=0;顶点是原点.抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当a>0时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点. 要点：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 【即学即练】 1．函数的图象是 ，对称轴是 ，顶点是 ；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小；当 时，y有最 值． 2．函数的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 3．抛物线沿着轴正方向看，在轴的左侧部分是 ．（填“上升”或“下降”） 4．已知抛物线与的形状相同，则 ． 5．已知抛物线经过三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 知识点2 二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象与性质 一、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 抛物线y=ax²+c(其中a、c是常数，且a≠0)的对称轴是y轴，即直线x=0;顶点坐标是(0,c).抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当a>0时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点. 二、二次函数与之间的关系；（上加下减）. 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象. 要点： ①抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同． ②函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． ③抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 【即学即练】 1．二次函数的图象的顶点坐标是 ． 2．抛物线的顶点在（   ） A．y轴上 B．x轴上 C．原点 D．第二象限 3．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 4．关于二次函数y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（　　） A．开口方向向上 B．顶点坐标是（﹣2，1） C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＝0时，y有最大值﹣ 5．已知抛物线的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则m的取值范围是 ． 题型01 画出二次函数y=ax2的图像，并总结其特点、性质 【典例1】．观察二次函数的图象，并填空． （1）图象与x轴的交点也是它的 ，这个点的坐标是 ； （2）二次函数的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ； （3）当时，随着x值的增大，y的值 ；当时，随着x值的增大，y的值 ． 【变式1】．在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象并回答下列问题： x … 0 1 … … … … … … … … … （1）抛物线的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______； （2）抛物线与抛物线的图象关于______轴对称； （3）抛物线，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点． 【变式2】．分别指出抛物线与的开口方向、对称轴、顶点坐标和随的增大而变化的情况，并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象． 题型02 二次函数y=ax2的图像、性质辨析、填空 【典例1】．若二次函数的图象经过，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【变式1】．二次函数的图象一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【变式2】．抛物线 开口 ，顶点坐标是 ，当x 0时，． 【变式3】．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的开口向上，且关于轴对称 B．它与的图象关于x轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与轴只有一个交点 【变式4】．抛物线不具有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值 【变式5】．下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【变式6】．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，y的值随x值得增大而减小 B．y有最大值，最大值为0 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．y的值随x值得增大而减小 【变式7】．下表是二次函数中，x，y的部分对应值： x … 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … 则下列说法不正确的是（   ） A．图象开口向上 B．图象对称轴是y轴 C．图象顶点是原点 D．图象经过点 题型03 二次函数y=ax2求参问题 【典例1】．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 【变式1】．已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的的值； (2)m为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点的坐标，这时，抛物线的增减性如何？ 【变式2】．已知函数是二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，抛物线开口向上； (3)当m为何值时，抛物线有最大值． 【变式3】．已知抛物线与抛物线的形状相同，并且时，随的增大而减小，求二次函数的解析式． 题型04 二次函数y=ax2与一次函数图像综合 【典例1】．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A．B． C． D． 【变式1】．下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（　　） A． B． C． D． 题型05 根据二次函数y=ax2的图像比较a的大小 【典例1】．图中与抛物线，，，，的图象对应的是（    ） A．①②④③ B．②①④③ C．①②③④ D．②①③④ 【变式1】．如图所示，四个二次函数的图象对应的表达式分别是：①；②；③；④，则，，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【变式2】．在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ． 题型06 画出二次函数y=ax2+c的图像，并总结其特点、性质 【典例1】．（1）在同一直角坐标系中，画出函数的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题： ①抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ②抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ③抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________． 【变式1】．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【变式2】．已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 题型07 平移问题 【典例1】．二次函数的图象可以由二次函数的图象向 平移 个单位得到． 【变式1】．将抛物线向上平移4个单位后得到新抛物线，其对应的函数表达式是 ． 【变式2】．将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是 ． 【变式3】．抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 题型08 二次函数y=ax2+c的图像与性质辨析、填空 【典例1】．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【变式1】．对于二次函数，下列说法不正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象的顶点坐标为 D．当时，y有最大值 【变式2】．抛物线的开口方向（   ） A．向上 B．向左 C．向右 D．向下 【变式3】．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 【变式4】．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5】．二次函数的图象开口向 ． 【变式6】．函数的图象开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，图象有 （填“最高”或“最低”）点，函数有最 值，当时，y随x的增大而 ． 题型09 根据二次函数的性质比较函数值或自变量的大小 【典例1】．已知点，都在函数的图象上，则 （填“”，“”或“” ）． 【变式1】．已知二次函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 ． 【变式2】．抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 题型10 含参数问题二次函数y=ax2+c图像的判断 【典例1】．当时，二次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【变式1】．若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 题型11 二次函数y=ax2+c求参问题，其他应用 【典例1】．已知抛物线的开口向下，且，则 ． 【变式1】．若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是 ． 【变式2】．将抛物线绕原点O旋转，则旋转后抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．对于抛物线，若y的最小值是5，则（    ） A． B． C．5 D． 【变式4】．对于二次函数，当时，的取值范围是 ． 【变式5】．二次函数的图象都在x轴的下方，则k的取值范围是 ． 【变式6】．已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是 ． 一、单选题 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象与轴交点的坐标是 B．对称轴是轴 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 3．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．在二次函数：①；②；③中，图像开口大小顺序用序号表示为（    ） A． B． C． D． 5．若是二次函数，最大值为0，则m的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线与抛物线和抛物线分别交于点、，直线轴，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，则（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线解析式 ． 8．抛物线 y=2x2+1的对称轴 ． 9．抛物线位于轴左侧的部分是 的．（填“上升”或“下降”） 10．若抛物线的顶点在y轴上，则 ． 11．函数与直线交于点，当的取值范围是 时，随的增大而增大． 12．二次函数 ，当时，y的取值范围为 ． 13．在平面直角坐标系中，二次函数的图象上两点A，的横坐标分别为，2．若为直角三角形，则的值为 ． 14．若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0），B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角形”，特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为倒抛物三角形，那么，当△ABC为倒抛物三角形时，a，c应分别满足条件 ． 三、解答题 15．已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 16．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 17．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.2 特殊二次函数的图像与性质(第1课时) 教学目标 1. 会用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）； 2. 知道二次函数y=ax2的图像特点； 3. 掌握二次函数y=ax2的图像与性质及应用； 4. 会用描点法画出二次函数y=ax2+c（a≠0）； 5. 掌握二次函数y=ax2+c的图像与性质及应用。 教学重难点 1.重点 （1）学习二次函数y=ax2（a≠0）的图像与性质； （2）掌握二次函数y=ax2+c（a≠0）的图像与性质； （3）学会列表、描点、作图，画出抛物线；并根据图像总结其特点与性质； （4）二次函数y=ax2+c（a≠0）与y=ax2（a≠0）联系与区别。 2.难点 （1）含参数的特殊二次函数图像与性质综合分析； （2）特殊二次函数图像与性质的几何应用。 知识点1 二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质 1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法 用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确. 要点：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而增大； x<0时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而减小； x<0时，y随x增大而增大. 当x=0时，y最大=0 抛物线y=ax²(其中a是常数，且a≠0)的对称轴是y轴，即直线x=0;顶点是原点.抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当a>0时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点. 要点：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 【即学即练】 1．函数的图象是 ，对称轴是 ，顶点是 ；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小；当 时，y有最 值． 【答案】 抛物线 y轴（或直线） 0 小 【分析】根据抛物线的图象是抛物线，开口向上，结合图象逐一作答即可. 【详解】解：如图， 函数的图象是抛物线，对称轴是轴（或直线），顶点是； 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，y有最小值． 故答案为：抛物线，轴（或直线），，，，0，小 【点睛】本题考查的是抛物线的图象与性质，掌握抛物线的对称轴，顶点坐标，增减性，最值是解题的关键. 2．函数的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 【答案】 向下 y轴 【分析】根据中的符号确定开口方向，进而得出对称轴以及顶点坐标． 【详解】解：函数， ∵， ∴开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为：， 故答案为：向下；y轴；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握的性质是解题的关键． 3．抛物线沿着轴正方向看，在轴的左侧部分是 ．（填“上升”或“下降”） 【答案】上升 【分析】根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵当x＜0时，y随x的增大而增大 ∴在轴的左侧部分是上升的． 故填：上升． 【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键． 4．已知抛物线与的形状相同，则 ． 【答案】 【分析】两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线y=ax2与y=2x2的形状相同， ∴|a|=2， ∴a=±2． 故答案为±2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等． 5．已知抛物线经过三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．根据所给函数解析式，结合二次函数的图象与性质,得抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大．根据，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上， 则抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大． ∵抛物线经过三点， 则，，， ∵， ∴ 故选：D． 知识点2 二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象与性质 一、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 抛物线y=ax²+c(其中a、c是常数，且a≠0)的对称轴是y轴，即直线x=0;顶点坐标是(0,c).抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当a>0时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点. 二、二次函数与之间的关系；（上加下减）. 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象. 要点： ①抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同． ②函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． ③抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 【即学即练】 1．二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据的顶点坐标是求解，即可解题． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是； 故答案为：． 2．抛物线的顶点在（   ） A．y轴上 B．x轴上 C．原点 D．第二象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质．根据抛物线的顶点式确定顶点坐标，进而判断其位置即可. 【详解】解：抛物线的顶点为， 顶点在轴上， 故选：A． 3．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 4．关于二次函数y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（　　） A．开口方向向上 B．顶点坐标是（﹣2，1） C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＝0时，y有最大值﹣ 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣2x2+1， ∴该函数图象开口向下，故选项A错误； 顶点坐标为（0，1），故选项B错误； 当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C正确； 当x＝0时，y有最大值1，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5．已知抛物线的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的顶点坐标，解题的关键是抛物线的顶点在y轴的负半轴上，即横坐标为0，纵坐标小于0． 因为抛物线的顶点在y轴的负半轴上，所以可得，即可得到，又因为抛物线开口向上，所以，从而得解． 【详解】解：抛物线的顶点在y轴的负半轴上， ，解得． 抛物线开口向上， ， 的取值范围是． 故答案为：． 题型01 画出二次函数y=ax2的图像，并总结其特点、性质 【典例1】．观察二次函数的图象，并填空． （1）图象与x轴的交点也是它的 ，这个点的坐标是 ； （2）二次函数的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ； （3）当时，随着x值的增大，y的值 ；当时，随着x值的增大，y的值 ． 【答案】 顶点 抛物线 上 y轴（或直线） 减小 增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】解：（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大． 【变式1】．在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象并回答下列问题： x … 0 1 … … … … … … … … … （1）抛物线的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______； （2）抛物线与抛物线的图象关于______轴对称； （3）抛物线，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点． 【答案】列表、画图象，如图所示,见解析；（1）向上  y轴    向下  y轴  ；（2）x；（3）≠  >  低 > 高． 【分析】根据画函数图像的步骤：列表，根据表中提示先填好表格的数，再描点，根据表中提供的对应数值作为点的坐标描点，最后用平滑的曲线连接各点可得函数的图像； （1）根据所画的与图像可得答案； （2）根据所画的与图像可得答案； （3）根据所画的与图像可得答案； 【详解】列表如下： x … 0 1 … … 4 0 4 … … 0 … … 0 … … 0 … 描点：将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点． 连线：用平滑的曲线连接，如图所示： （1）根据所画的函数与的图像可得： 抛物线的开口方向向上，对称轴是轴，顶点坐标是．抛物线的开口方向向下，对称轴是y轴，顶点坐标是； 故答案为：向上  y轴   向下  y轴   （2）由图像可得： 抛物线与抛物线的图象关于轴对称； 故答案为：x． （3）由图像可得： 抛物线，当x≠ 0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x>0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最低点．抛物线，当x>0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最高点． 故答案为：≠  >  低  >  高． 【点睛】本题考查的是画函数的图像，及根据图像总结函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【变式2】．分别指出抛物线与的开口方向、对称轴、顶点坐标和随的增大而变化的情况，并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象． 【答案】两个函数的对称轴都是轴，顶点坐标都是，，，故函数图象开口向上，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；，，故函数图象开口向下，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；图见解析 【分析】根据函数的图象及性质解答． 【详解】两个函数的对称轴都是轴，顶点坐标都是， ，，故函数图象开口向上，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小； ，，故函数图象开口向下，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小； 二次函数的与的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … … 0 … 根据表格描点绘图： 【点睛】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握各类型的二次函数的图象及性质是解题的关键． 题型02 二次函数y=ax2的图像、性质辨析、填空 【典例1】．若二次函数的图象经过，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键．先确定出二次函数图象的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴，且图象经过， 该图象必经过点， 故选：A． 【变式1】．二次函数的图象一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为原点，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为原点， ∴二次函数的图象一定经过第一、二象限， 故选：A． 【变式2】．抛物线 开口 ，顶点坐标是 ，当x 0时，． 【答案】 向下 【分析】本题考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题． 根据二次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，． 故答案为：向下，，． 【变式3】．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的开口向上，且关于轴对称 B．它与的图象关于x轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与轴只有一个交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：、由，，则它的开口向上，且关于轴对称，原选项说法正确，不符合题意； 、它与的图象关于x轴对称，原选项说法正确，不符合题意； 、由，，则它的开口向上，它的顶点是抛物线的最低点，原选项说法错误，符合题意； 、它与轴只有一个交点，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 【变式4】．抛物线不具有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 【详解】解：A、∵，∴开口向下，故不符合题意； B、抛物线，对称轴是y轴，故不符合题意； C、时y随x增大而减小，故不符合题意； D、顶点坐标，有最高点是原点，即有最大值，选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式5】．下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数，正比例函数的图象与性质，根据正比例函数，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，二次函数，时，开口向上，在上，y随x的增大而减小，在上，y随x的增大而增大，时，开口向下，在上，y随x的增大而增大，在上，y随x的增大而减小，解答即可． 【详解】解：A、正比例函数的y随x的增大而增大，故A错误； B、正比例函数的y随x的增大而减小，故B正确； C、二次函数的对称轴为，且开口向上，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，故C错误； D、二次函数的对称轴为，且开口向下，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，故D错误； 故选：B． 【变式6】．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，y的值随x值得增大而减小 B．y有最大值，最大值为0 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．y的值随x值得增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质逐选项判断即可． 【详解】解： ， 时，y的值随x值得增大而增大；A不正确； 当时，y有最大值，最大值为0，B正确； 当时，y的值随x值得增大而增大； 当时，y的值随x值的增大而减小，C不正确；D不正确； 故选：B． 【变式7】．下表是二次函数中，x，y的部分对应值： x … 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … 则下列说法不正确的是（   ） A．图象开口向上 B．图象对称轴是y轴 C．图象顶点是原点 D．图象经过点 【答案】D 【分析】本题考查了的图象和性质，依据函数性质解题即可 【详解】解：由题意，把代入解得 ∴函数解析式为 ∴函数图像开口向上，对称轴是轴，图象顶点就是原点， ∴A，B，C的说法都正确，不符合题意 把代入函数解析式，左右不相等，故D选项说法错误，符合题意 故选： D． 题型03 二次函数y=ax2求参问题 【典例1】．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 【答案】(1)或 (2)当时，该函数图像的开口向下 (3)当时，原函数有最小值 (4)见解析 【分析】(1)由二次函数的定义可得故可求m的值． (2)图像的开口向下，则，结合（1）中的结果，即可得m的值； (3)函数有最小值，则，结合（1）中的结果，即可得m的值；； (4)根据（1）中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定． 【详解】（1）根据题意，得， 解得， ∴当或时，原函数为二次函数． （2）∵图像开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴当时，该函数图像的开口向下． （3）∵函数有最小值， ∴， 则， ∴， ∴当时，原函数有最小值． （4）当时，此函数为，开口向下，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，此函数为，开口向上，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的纵坐标，当时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察． 【变式1】．已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的的值； (2)m为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点的坐标，这时，抛物线的增减性如何？ 【答案】(1)或 (2)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 【分析】本题考查了二次函数的二次函数的性质，以及二次函数的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据二次函数的定义得到且，进而可得到满足条件的m的值； （2）根据二次函数的性质得到当时，抛物线开口向下，函数有最大值，则，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性． 【详解】（1）根据题意得，且， 解得或 （2）当时，，抛物线开口向上，该抛物线有最低点， 当时，抛物线开口向下，该抛物线有最高点． 此时抛物线解析式为，则最高点坐标为， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 【变式2】．已知函数是二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，抛物线开口向上； (3)当m为何值时，抛物线有最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的定义，可得且，即可求解； （2）根据抛物线开口向上，可得，即可求解； （3）根据题意可得抛物线开口向下，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵抛物线开口向上， ∴， ； （3）解：∵抛物线有最大值， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式3】．已知抛物线与抛物线的形状相同，并且时，随的增大而减小，求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】先根据两条抛物线的形状相同可得，再根据二次函数的增减性可得的值，由此即可得． 【详解】解：∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴， ∴或． 又时，随的增大而减小， ∴，即， ∴． ∴二次函数的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 题型04 二次函数y=ax2与一次函数图像综合 【典例1】．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解： A. 函数图形可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B. 函数图形可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为,故选项B正确； C. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选B． 【变式1】．下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中的函数解析式，讨论a＞0 和a＜0时，两个函数的函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：当a＞0时， y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第一、二、三象限， 当a＜0时， y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第二、三、四象限， 故选项A、C、D错误，选项B正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型05 根据二次函数y=ax2的图像比较a的大小 【典例1】．图中与抛物线，，，，的图象对应的是（    ） A．①②④③ B．②①④③ C．①②③④ D．②①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象．抛物线的形状与和有关，根据的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 【详解】解：∵①②开口向上，则， ∵②的开口最宽， ∴是②，是①， ∵③④开口向下，则， ∵④的开口最宽， ∴是④，是③， 综上，依次②①④③， 故选：B． 【变式1】．如图所示，四个二次函数的图象对应的表达式分别是：①；②；③；④，则，，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小. 【详解】解：如图，因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次， 所以. 【变式2】．在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ． 【答案】# 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向和开口大小由的值决定的，越大，开口越小，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键． 【详解】解：由抛物线开口方向可知，为正数， 又由开口大小可得，， 故答案为：． 题型06 画出二次函数y=ax2+c的图像，并总结其特点、性质 【典例1】．（1）在同一直角坐标系中，画出函数的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题： ①抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ②抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ③抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________． 【答案】（1）画图见解析；（2）①上，直线，；②上，直线，；③上，直线，． 【分析】（1）先列表，再描点并连线即可； （2）①根据（1）中的二次函数的图象填空即可．②根据（1）中的二次函数的图象填空即可．③根据（1）中的二次函数的图象填空即可． 【详解】解：（1）列表如下： 0 1 2 2 0 5 3 5 再描点连线， ∴的图象如图所示：    （2）①抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； ②抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； ③抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是． 【点睛】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数的性质，熟练的利用五点画图的方法画二次函数的图象是解本题的关键． 【变式1】．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可． 【详解】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 轴 向上 轴 向上 轴 【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键． 【变式2】．已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)向下；y轴；；减小； (3) 【分析】本题考查二次函数的基础知识点， （1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可； （3）观察函数图象求解即可； 解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 【详解】（1）解：如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：向下；y轴；；减小； （3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 题型07 平移问题 【典例1】．二次函数的图象可以由二次函数的图象向 平移 个单位得到． 【答案】 下 / 【分析】此题主要考查了二次函数的平移．直接利用二次函数的平移规律得出答案即可． 【详解】解：根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，可知： 函数的图象可以由函数的图象向下平移个单位得到； 故答案为：下，． 【变式1】．将抛物线向上平移4个单位后得到新抛物线，其对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移．利用平移规则直接作答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移4个单位后得到新抛物线 故答案为：． 【变式2】．将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是： ， 故答案为：． 【变式3】．抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线平移仅改变位置，不改变开口方向及大小，即二次项系数不变．原抛物线的，选项中仅D的，故无法通过平移得到． 【详解】解：原抛物线为，其二次项系数．平移后抛物线的值必须保持不变． 验证选项： A：，，可能通过平移得到． B：，，可能通过平移得到． C：，，可能通过平移得到． D：，，与原抛物线不同，无法通过平移得到． ∴仅选项D的二次项系数改变，故不可能由原抛物线平移得到． 故答案选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，由平移规律得出值不变是解题的关键． 题型08 二次函数y=ax2+c的图像与性质辨析、填空 【典例1】．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1】．对于二次函数，下列说法不正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象的顶点坐标为 D．当时，y有最大值 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．将二次函数解析式化为顶点式，结合开口方向、对称轴、顶点坐标及最值逐一分析选项。 【详解】解：A：∵ ， ∴抛物线开口向下，选项正确，不符合题意； B：函数图象的对称轴是直线，选项错误，符合题意； C：∵顶点式直接得出顶点为，选项正确，不符合题意； D：∵开口向下， ∴当时，y有最大值，选项正确，不符合题意； 故选：B。 【变式2】．抛物线的开口方向（   ） A．向上 B．向左 C．向右 D．向下 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下是解题的关键． 根据，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线， ∴， ∴抛物线的开口向下， 故选：D． 【变式3】．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：根据二次函数的图象与性质可知： 抛物线的对称轴是直线，即轴， 故选：． 【变式4】．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解∶ 抛物线的顶点坐标是， 故选∶B． 【变式5】．二次函数的图象开口向 ． 【答案】下 【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即可． 【详解】∵为二次函数， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下． 故答案为：下． 【变式6】．函数的图象开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，图象有 （填“最高”或“最低”）点，函数有最 值，当时，y随x的增大而 ． 【答案】 向上 直线 最低 小 增大 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：函数的图象开口方向向上，顶点坐标是，对称轴是直线，图象有最低点，函数有最小值，当时，y随x的增大而增大， 故答案为：向上，，直线，最低，小，增大． 题型09 根据二次函数的性质比较函数值或自变量的大小   【典例1】．已知点，都在函数的图象上，则 （填“”，“”或“” ）． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质可直接进行求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为轴， ， 点到轴距离小于点到轴距离， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式1】．已知二次函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性．由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为轴，图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，据此求解即可． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为轴，开口向上， 可知，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】．抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据，得到抛物线开口向下，对称轴为y轴，根据，得到当点A、B都在y轴左侧时，，当点A、B都在y轴右侧时，，当点A、B分布在y轴两侧时，，或，且． 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，对称性． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∵， 如图1，当点A、B都在y轴左侧时， ∵y随x的增大而增大， ∴， 如图2，当点A、B都在y轴右侧时， ∵y随x的增大而减小， ∴， 当点A、B分布在y轴两侧时，作点A关于y轴的对称点， 如图3，∵， ∴，且， 或如图4，∵， ∴，且． 故选：D． 题型10 含参数问题二次函数y=ax2+c图像的判断 【典例1】．当时，二次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为：， 故选D． 【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式1】．若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 题型11 二次函数y=ax2+c求参问题，其他应用 【典例1】．已知抛物线的开口向下，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的性质，绝对值的意义，利用抛物线开口向下得出，是解决问题的关键． 由抛物线的开口向下，得出，再由，，由此得出答案即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】．若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数 (a，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】．将抛物线绕原点O旋转，则旋转后抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求得旋转后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式求解即可． 【详解】解：的顶点坐标为， ∵抛物线绕原点O旋转， ∴旋转后的抛物线的顶点坐标为， ∴旋转后的抛物线的解析式为， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键． 【变式3】．对于抛物线，若y的最小值是5，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，确定，问题随之得解． 【详解】∵，且， ∴， ∵y的最小值是5， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4】．对于二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由抛物线解析式可得对称轴为直线，且开口向上，再由可知，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键． 【变式5】．二次函数的图象都在x轴的下方，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可知抛物线的开口向下，且最大值小于0，得出不等式组，求出取值范围即可． 【详解】∵二次函数的图像都在x轴的下方， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像和性质，理解二次函数图像的性质是解题的关键． 【变式6】．已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴开口向下，当x时，函数值随着自变量的增大而增大， 又∵直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴为：直线是解题的关键．直接根据二次函数对称轴的计算方法求解即可． 【详解】解：∵， 抛物线的对称轴为：，即y轴； 故选：D． 2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象与轴交点的坐标是 B．对称轴是轴 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】利用二次函数的图象及其性质即可求解． 【详解】、图象与轴交点的坐标是，此选项判断错误，不符合题意； 、图象的对称轴是轴，此选项判断错误，不符合题意； 、图象的顶点坐标为，此选项判断错误，不符合题意； 、当时，随的增大而增大，此选项判断正确，符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数图象性质，掌握相关性质利用数形结合思想解题的关键． 3．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称轴为轴，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，等于，由解析式可知开口向上，则时，随的增大而减小，即可判断，，的大小关系． 【详解】解：由二次函数可得，对称轴为轴， 即时的函数值与时的函数值相等，等于， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．在二次函数：①；②；③中，图像开口大小顺序用序号表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可得，的绝对值越大，开口越小，求解即可． 【详解】解：二次函数：①；②；③中 ，， ∵，，，即 ∴①的开口小于③的开口小于②的开口， 即， 故选：C 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握的绝对值越大，开口越小． 5．若是二次函数，最大值为0，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义（形如，为常数，且的函数叫做二次函数）可得，由最大值为0，可得，由此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 6．如图，直线与抛物线和抛物线分别交于点、，直线轴，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据待定系数法求出函数，的解析式；设直线为，直线经过函数，，可求出，的值，即可求出的值． 【详解】∵抛物线和抛物线分别交于点、， ∴，， ∴，， 设直线为， ∵直线经过函数，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，掌握数形结合的解题方法． 二、填空题 7．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线解析式 ． 【答案】y=x2-2（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可． 【详解】解：抛物线y=x2-2开口向上，且与y轴的交点为（0，-2）． 故答案为：y=x2-2（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0． 8．抛物线 y=2x2+1的对称轴 ． 【答案】直线x=0（或y轴） 【分析】根据抛物线的顶点式即可求得． 【详解】解：∵抛物线y=2x2+1， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，1），对称轴为y轴，即直线x=0， 故答案为：直线x=0． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 9．抛物线位于轴左侧的部分是 的．（填“上升”或“下降”） 【答案】上升 【分析】根据二次函数图象的性质解答即可． 【详解】解：∵二次项系数-1<0， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴是直线y=0， ∴抛物线位于轴左侧的部分是上升的． 故答案为：上升． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解答本题的关键．对于二次函数y=ax2+k (a，k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 10．若抛物线的顶点在y轴上，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意可知抛物线对称轴为，然后可求得的值． 【详解】解：∵抛物线的顶点在y轴上， ∴对称轴， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的性质，判断对称轴为是解题的关键． 11．函数与直线交于点，当的取值范围是 时，随的增大而增大． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． 求出该函数对称轴，由可知该函数开口向下，则在对称轴右侧随的增大而增大，进而即可解答． 【详解】解：将代入中，得， 将代入中，得， 函数的解析式为， 当时，随的增大而增大， 故答案为：． 12．二次函数 ，当时，y的取值范围为 ． 【答案】 【分析】当时，在取得最大值，当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为， ∴当时，y取得最大值3， 又∵当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数值的取值范围，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 13．在平面直角坐标系中，二次函数的图象上两点A，的横坐标分别为，2．若为直角三角形，则的值为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，如图，当时，利用 建立方程求解即可；当 利用建立方程求解即可；从而可得答案. 【详解】解：如图，当时，    A，的横坐标分别为，2, ， 过作于 则 解得： （负根舍去） 当 同理可得： 解得：（负根舍去） 综上：或 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，二次函数的性质，掌握“利用勾股定理求解两点之间的距离”是解题的关键. 14．若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0），B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角形”，特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为倒抛物三角形，那么，当△ABC为倒抛物三角形时，a，c应分别满足条件 ． 【答案】a<0，c>0 【分析】根据m、n关于y轴对称，则mn<0，则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x轴有交点，则可以确定开口方向，从而确定a的符号． 【详解】∵抛物线y=ax2+c的对称轴是y轴， ∴A（m，0）、B（n，0）关于y轴对称， ∴mn<0， 又∵mnc<0， ∴c>0，即抛物线与y轴的正半轴相交， 又∵抛物线y=ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0）， ∴函数开口向下， ∴a<0． 故答案是：a<0，c>0． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确确定二次函数的开口方向是本题的关键． 三、解答题 15．已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 【答案】(1)函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 (2)8 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的图象性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m； （1）先把代入，求出函数解析式，再根据函数的解析式，，可得出抛物线开口向上，并找出抛物线的对称轴及顶点坐标． （2）把代入（1）中所求的解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得 解得： ∴ ∵ ∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：把代入，得 ． 16．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)， (2)开口方向向上，对称轴轴，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“与抛物线的形状相同，开口方向相反”，得，再结合“图象上离轴最近的点与轴的距离为3”，得，即可作答． （2）由（1）得，对称轴轴，开口方向向上，顶点坐标为，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴， 则抛物线为， ∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上 ∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且 ∴； （2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上， 解析式为 把代入，得 即顶点坐标． 17．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． （2）一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$