10.3.4三垂线定理（教学课件）数学沪教版2020必修第三册

10.3直线与平面的位置关系 4 三垂线定理 第10章 空间直线与平面 沪教版2020必修第三册·高二 一条直线与一个平面相交，但不垂直，称之为斜交。此时直线称为平面的斜线，直线与平面的交点称为斜足. 过斜线上斜足以外的一点，过点作平面的垂线，垂足记为连接，直线叫作斜线在平面上的投影（也称射影）. 斜线 斜足 垂足 射影 旧知回顾 于是关于平面的斜线及其在平面上的投影，我们有下面的定理． 三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是：它和这条斜线在平面上的投影垂直． ,直线为平面的一条斜线，为在内的射影， 若则 反之，若平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，又会有什么结论呢？ 可表述为： 新知初探 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它也和这条斜线的射影垂直。 ,直线为平面的一条斜线，为在内的射影， 若则 可表述为： 接下来验证定理. 已知：如图，是平面外一点是平面的斜线，交于点．过点作平面的垂线，垂足是，直线是在平面上的投影． 求证：对平面上的任一直线是的充要条件． 证明:先证充分性，即证明从可以推出． 因为平面，所以． 这样，连同假设条件，直线垂直于两条相交直线， 从而平面． 而直线，于是． 分析：利用直线与平面垂直的判定定理和性质定理，通过证明直线与平面垂直，进而得到直线与直线垂直，分别证明充分性和必要性。 接下来验证定理. 已知：如图，是平面外一点是平面的斜线，交于点．过点作平面的垂线，垂足是，直线是在平面上的投影． 求证：对平面上的任一直线是的充要条件． 再证必要性，即反过来从可以推出． 同上，我们有，这个条件连同假设条件，推出平面． 而直线 a l P O A 三垂线定理涉及的几何元素： 一面； 四线: ①平面的斜线; ②平面的垂线; ③斜线在平面内的射影; ④平面内的一条直线. 三垂直: ①直线与平面垂直; ②平面内直线与斜线在平面内的射影垂直; ③平面内的一条直线与斜线垂直. 直线与射影垂直⇔直线与斜线垂直 7 典例分析 例8.如图，已知正方体.求证:． 证明：直线在平面上的投影是，显然有． 由三垂线定理，就得. 分析：可运用三垂线定理，找到斜线的射影，利用射影与平面内直线的垂直关系，得出斜线与该直线垂直。 例9.如图，小河的一侧有一条笔直的道路，对岸有电塔，已知其高为．现只有自制的可用于测量水平角度的简易仪器和皮尺作为测量工具，请说明还需测量的数据，然后运用三垂线定理给出求电塔顶与道路的距离的公式． 分析：核心思路：通过构造合适的几何图形，利用三垂线定理确定垂直关系，将所求距离转化为直角三角形的斜边，再用勾股定理计算。 解题步骤： 1.确定测量数据：在道路上取一点，使，再用测量工具在上另取一点，使，用皮尺测得． 2.利用三垂线定理确定垂直关系：利用三垂线定理计算斜线的长度. 3.计算相关长度； 4.得出距离公式. 例9.如图，小河的一侧有一条笔直的道路，对岸有电塔，已知其高为．现只有自制的可用于测量水平角度的简易仪器和皮尺作为测量工具，请说明还需测量的数据，然后运用三垂线定理给出求电塔顶与道路的距离的公式． 解：在道路上取一点，使，再用测量工具在上另取一点，使，用皮尺测得． 因为在地面上的投影，且由三垂线定理，得 从而斜线的长度就是电塔顶与道路的距离． 在中，，． 而在中，由勾股定理得：，故=​， 即电塔顶与道路的距离是: = 练习1.在四面体中，已知求证 ， 证明：作于点，连接 O A D C B 同理， 于是是的垂心， 则分别为在平面上的射影. 同理， 于是是的垂心， . 课堂检测 11 解：连接 当时,′,理由如下: 练习2.如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，？ ∵在直四棱柱中， 若，而 则 因此 D A C A' B' C' D' B 12 练习3.过所在平面外的一点，作，垂足为，连接 ． (1)若，则点是的______心； (2)若，则点是边的______点； (3)若，则点是的______心． 分析：(1)因为，所以 已知，且为公共边，根据勾股定理，，，可得 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，所以点是的外心。 外 练习3.过所在平面外的一点，作，垂足为，连接 ． (1)若，则点是的______心； (2)若，则点是边的______点； (3)若，则点是的______心． 分析：(2)由(1)知，所以点。 又因为，直角三角形的外心在斜边的中点上， 为的斜边，所以点是边的中点。 外 中 练习3.过所在平面外的一点，作，垂足为，连接 ． (1)若，则点是的______心； (2)若，则点是边的______点； (3)若，则点是的______心． 分析：(3）因为，所以.又因为，所以 ， 又，而， 同理可证. 能使三角形三条高都经过的点是三角形的垂心，所以点的垂心。 外 中 垂 练习4.如图，已知是矩形，． （1）求证：；（2）若，求证：四边形是正方形． 分析：要证明即证明根据直线与平面垂直的性质，如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线.所以可先证明垂直于平面,进而得到 （1）证明：因为， . 又因为四边形是矩形，. 而，根据判定定理， 可得 因为，，即. 练习4.如图，已知是矩形，． （1）求证：；（2）若，求证：四边形是正方形． 分析：要证明四边形是正方形，已知它是矩形，只需证明邻边相等，即.可通过线面垂直的性质，结合已知来推导。 （2）证明:连接，，， 又 ， 又因为四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形，所以四边形是正方形。 课堂小结 三垂线定理及逆定理 感谢聆听! $$