第09讲直线与平面所成的角与三垂线定理-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

第09讲直线与平面所成的角与三垂线定理 【知识梳理】 一、直线与平面所成的角 1、直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]． 2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节： （1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角； （2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角； （3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角． （4）答﹣﹣回答求解问题． 在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想． 3、斜线和平面所成角的最小性： 斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角． 用空间向量直线与平面所成角的求法： （1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得． （2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝． 二、三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 【考点剖析】 题型一：线与面所成角的概念及辨析 例1．（2022秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考阶段练习）点为平面外的一个点，点是棱上的动点（包含端点），记异面直线与所成角为，直线PM与平面所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2022秋·上海闵行·高二闵行中学校考期末）在空间内，直线与平面所成角的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（2022秋·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）一条直线与一个平面所成角的取值范围是___________.（用区间表示） 【变式3】（2021秋·上海虹口·高二上外附中校考期中）如图，在坡面与水平面所成二面角为的山坡上，有段直线型道路与坡脚成的角，这段路直通山顶，已知此山高米，若小李从沿着这条路上山，并且行进速度为每分钟30米，那么小李到达山顶需要的时间是_____分钟. 例2.（2022秋·上海浦东新·高二校考期中）如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点. (1)求证：MN平面PAD； (2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD? 例3.（2023·上海·高二专题练习）如图，直线l是平面的斜线，且与平面斜交于点M， l上异于点M的一点A在平面上的射影为O，在平面内过点M作一条直线m，直线m和直线MO不重合，设直线l和直线m的夹角为θ，求证∶∠AMO < θ. 题型二：求直线与平面所成的角 例4.在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图所示，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 　　． 【变式1】在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为 　　． 【变式2】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切值约为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，长方体中，，，点为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正切值. 【变式4】已知长方体中，，，E，F分别是，的中点. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【变式5】（2022秋·上海静安·高二上海市市西中学校考期中）如图，在