精品解析：吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷

东北师大附中初二年级上学期数学综合练习（一） 时间：60分钟 满分：100分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若x>y，则下列不等式不一定成立的是( ) A. x＋1>y＋1 B. 2x>2y C. > D. x2>y2 3. 三条线段，c的值为正整数，则由a，b，c为边可组成的三角形有（ ） A. 9个 B. 10个 C. 11个 D. 12个 4. 如图，第1张透明纸上画有，第2张透明纸上画有直线l及直线l外一点P．进行如下操作： ①折叠第1张纸，可折出的平分线； ②折叠第2张纸，可折出经过点P的直线l的垂线．可以实现的是（ ） A. 只有① B. 只有② C. ①②都可以 D. ①②都无法实现 5. 如图，是由绕点B 按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 6. 将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板的边数均为5，则第三块木板的边数为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 7. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，，要根据“”证明则还需要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，三角形的周长为，将三角形沿方向平移至三角形（点的对应点分别为点）的位置，则图中阴影部分的周长为（   ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D是△ABC外一点，E，F分别在AB，AC上，ED与AC交于点G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，则∠EGF的度数为（ ） A. 180°﹣2α B. 60°α C. 90°α D. 30°α 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知方程，若用含的代数式表示，则________． 12. 不等式的非正整数解有______个． 13. 如图，在中，于平分与交于点，则的大小为__________度． 14. 幻方最早起源于中国、宋代数学家杨辉称之为纵横图．分别以正方形的四条边为边向外作等边三角形，得到如图1所示的图形，参照幻方原理在图1中每个顶点处分别写上一个数字，如图2．使得图中所作的每个等边三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，“厚德载物”这四个汉字分别盖住了一个数字，则“德”盖住的数字是________． 15. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度． 16. 如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，．给出下列四个结论： ①； ②； ③： ④． 上述结论中，正确的结论的序号有__________． 三、解答题（共52分） 17. 解方程（组）． （1）； （2） 18. 解一元一次不等式组． （1） （2） 19. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）． （1）将先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度后得到．画出平移后的图形； （2）将绕点顺时针旋转后得到．画出旋转后的图形； （3）借助网格，利用无刻度直尺画出的中线（画图中要体现找关键点的方法）． 20. 已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED． 21. 把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． （1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”； （2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值； （3）是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”：若不存在，请说明理由． 22. 【背景问题】老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长__________（写一个即可）； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图②，是的中线，交于，交于．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】（3）如图③，在和中，，且，连接为中点，连接并延长交于，则__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师大附中初二年级上学期数学综合练习（一） 时间：60分钟 满分：100分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. 若x>y，则下列不等式不一定成立的是( ) A. x＋1>y＋1 B. 2x>2y C. > D. x2>y2 【答案】D 【解析】 【详解】A选项：两边都加1，不等号的方向不变，故A不符合题意； B选项：两边都乘以2，不等号的方向不变，故B不符合题意； C选项：两边都除以2，不等号的方向不变，故C不符合题意； D选项：0＞x＞y时，x2＜y2，故D符合题意； 故选D． 3. 三条线段，c的值为正整数，则由a，b，c为边可组成的三角形有（ ） A. 9个 B. 10个 C. 11个 D. 12个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可得出c的取值范围，进而可得出答案． 【详解】解：根据题意：， 即， ∵c的值为正整数， ∴c可能取值为：4，5，6，7，8，9，10，11，12 则由a，b，c为边可组成的三角形有9种， 故选：A 4. 如图，第1张透明纸上画有，第2张透明纸上画有直线l及直线l外一点P．进行如下操作： ①折叠第1张纸，可折出的平分线； ②折叠第2张纸，可折出经过点P的直线l的垂线．可以实现的是（ ） A. 只有① B. 只有② C. ①②都可以 D. ①②都无法实现 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的对称性，垂线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．由角平分线所在的直线是这个角的对称轴可判断①；根据垂直的性质可判断②． 【详解】解：都可以实现． ①只需过点O折叠，使与重合，折痕即为角平分线，故①能通过折叠透明纸实现； ②只需过点P折叠，使直线l的两端重合，折痕即为所求，故②能通过折叠透明纸实现． 故选：C 5. 如图，是由绕点B 按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，则，因为，所以，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板的边数均为5，则第三块木板的边数为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌及正多边形的知识，掌握多边形镶嵌成平面图形的条件是解决本题的关键． 正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．求出第三块木板的内角即可解答． 【详解】解：正五边形每个内角是， 两块木板2个内角的和是， 所以第三块木板的一个内角是， 所以第三块木板的边数是． 故选C． 7. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 8. 如图，，，，要根据“”证明则还需要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答． 【详解】解：如图，，，， 要根据“”证明， 需再有斜边对应相等， 即． 故选：D． 9. 如图，三角形的周长为，将三角形沿方向平移至三角形（点的对应点分别为点）的位置，则图中阴影部分的周长为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平移的性质，根据平移的性质得到，，则，即可得到图中阴影部分的周长．利用平移的性质求解即可 【详解】解：∵将三角形沿方向平移至三角形， ，， ， 图中阴影部分的周长为： （）． 故选：B． 10. 如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D是△ABC外一点，E，F分别在AB，AC上，ED与AC交于点G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，则∠EGF的度数为（ ） A. 180°﹣2α B. 60°α C. 90°α D. 30°α 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠B＝∠C＝90°，求得∠D＝∠B＝90°，得到∠2＝90°α，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵∠A＝α，∠B＝∠C， ∴∠B＝∠C（180°﹣α）＝90°， ∴∠D＝∠B＝90°， ∵∠AGE＝∠DGF， ∴∠A+∠1＝∠D+∠2， ∵∠1＝2∠2， ∴α+2∠2＝90°∠2， ∴∠2＝90°α， ∴∠EGF＝∠D+∠2＝90°90°α＝180°﹣2α， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知方程，若用含的代数式表示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程，熟知解二元一次方程的基本步骤是解答此题的关键．先移项，再把的系数化为，即可用含的代数式表示． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 不等式的非正整数解有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解问题，正确地解不等式，求出解集是解答本题的关键． 去括号，移项，合并同类项，系数化为1解不等式，根据解集找出非正整数解的个数即可． 【详解】解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1得， ∴非正整数解有，，0，共3个． 故答案为：3． 13. 如图，在中，于平分与交于点，则的大小为__________度． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义，求出的度数，垂直得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：110 14. 幻方最早起源于中国、宋代数学家杨辉称之为纵横图．分别以正方形的四条边为边向外作等边三角形，得到如图1所示的图形，参照幻方原理在图1中每个顶点处分别写上一个数字，如图2．使得图中所作的每个等边三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，“厚德载物”这四个汉字分别盖住了一个数字，则“德”盖住的数字是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了幻方的计算，理解题目中幻方的计算是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：图中所作的每个等边三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴， ∴“德”盖住的数字是3， 故答案为：3 ． 15. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 16. 如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，．给出下列四个结论： ①； ②； ③： ④． 上述结论中，正确的结论的序号有__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，则可得，再根据等腰三角形的判定可得，根据等腰三角形的三线合一可得，，则④正确；先证出，再根据全等三角形的性质可得，，则①正确；根据线段的和差可得，则②错误；根据垂直的定义可得，则可得，则③正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴，，结论④正确； 在和中， ， ∴， ∴，，结论①正确； ∵， ∴，结论②错误； ∵， ∴， ∴，结论③正确； 综上，正确的结论的序号有①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题（共52分） 17. 解方程（组）． （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程和二元一次方程组，熟练掌握解一元一次方程的步骤，消元法解方程组，是解题的关键： （1）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，解方程即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； 【小问2详解】 解：， ，得：， 解得：； 把代入①，得：， 解得：； ∴方程组的解为：． 18. 解一元一次不等式组． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键： （1）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 19. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）． （1）将先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度后得到．画出平移后的图形； （2）将绕点顺时针旋转后得到．画出旋转后的图形； （3）借助网格，利用无刻度直尺画出的中线（画图中要体现找关键点的方法）． 【答案】（1）如图，△即为所求： （2）如图，△即为所求； （3）如图，线段即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型； （1）分别作出，，的对应点，，即可． （2）分别作出，，的对应点，，即可． （3）取格点，连接交于，线段即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED． 【答案】 证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD， ∴∠CAB=∠DAE， 在△ABC与△AED中，∠B=∠E，AB=AE，∠CAB=∠DAE， ∴△ABC≌△AED， ∴BC=ED． 【解析】 【分析】由∠1=∠2可得∠CAB =∠DAE，再根据ASA证明△ABC≌△AED，即可得出答案． 【详解】略 21. 把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． （1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”； （2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值； （3）是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 不存在，理由如下： 根据定义，得到，， 解得， 假设存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同， 则，无解， 不存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同； 【解析】 【分析】本题考查了新定义二元一次方程，一元一次方程的解法，正确理解新定义，熟练转化为一元一次方程求解是解题的关键． （1）根据定义，得到，解方程即可； （2）根据定义，得到，再把代入，解方程即可； （3）根据定义，得到，，假设存在，则，方程无解，进而可判断结果； 【小问1详解】 根据定义，得到， 解得， “雅系二元一次方程”的“完美值”为6． 【小问2详解】 根据定义，得到， 是“雅系二元一次方程”的“完美值”， ， 解得； 【小问3详解】 略 22. 【背景问题】老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长__________（写一个即可）； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图②，是的中线，交于，交于．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】（3）如图③，在和中，，且，连接为中点，连接并延长交于，则__________． 【答案】（1）3或5； （2）解：，理由如下： 延长到M，使，连接，如图2所示： 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， ； （3）6 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质得出，证出； （3）由“SAS”可证，可得，，由“”可证，可得，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：（1）延长至点E，使，连接， 则， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴ 即； 边的长度为奇数， 或5； （2）略 （3）延长到R，使得，连接、 点Q是的中点， ， 又，， ∴， ，， ∴， ∴， ，，， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 即， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $