1.1.2空间向量的数量积运算 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖夹角定义、数量积的概念性质运算律及应用。通过复习平面向量数量积，类比迁移至空间向量，以问题链引导构建知识，搭建从平面到空间的学习支架。 其亮点是类比迁移与问题驱动结合，以“平面到空间”抽象培养数学眼光，问题引导推理发展数学思维，典例（如平行六面体计算、线面垂直证明）与方法总结强化数学语言应用。学生能提升空间观念与推理能力，教师可直接用于教学提高效率。

第一章空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算 高二数学 复习回顾 一、空间向量(定义、表示、模、零/单位/相等/相反/共线/共面向量) 二、空间向量的线性运算及运算律 三、向量共线定理、向量共面定理 四、直线的方向向量 对于任意两个空间向量，()，//的充要条件是存在实数，使 我们把与向量 平行的非零向量称为直线l的方向向量.直线可以由其上一点和它的方向向量确定.  如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. 学习目标 1、掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2、掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律； 3、能用数量积解决几何问题； 导入 回忆平面向量的知识，我们当时是如何研究它的数量积运算？ 夹角 数量积的定义 运算律 应用 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 一、空间向量的夹角 问题1 类比平面向量，如何来定义两个非零空间向量的夹角呢？ 1、定义：如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作. 2、向量夹角范围： ＊当时，与同向； ＊当时，与反向. ＊当时，与垂直，记作. o B A 关键是共起点！ 问题2 平面向量的数量积是什么？能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？ 二、空间向量的数量积 已知两个非零向量 ，把数量 叫做向量 的数量积(或内积)，记作 ，即 特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. ①“·”不能省略不写，也不能写成“×”. 注意: ②数量积的结果为实数，不是向量. （数量积运算是非线性运算） 三、空间向量数量积的性质 问题3 如果空间向量 是两个非零向量,它们的数量积有哪些性质呢？ 平面向量的数量积 空间向量的数量积 证明垂直关系 求线段长度 求夹角大小 问题4 在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？ 四、空间向量的投影 (1) (2) 如图(1)所示,在空间,向量 向向量 投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量 共线的向量 . 且 问题4 在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？ 四、空间向量的投影 A B (3) 五、空间向量数量积的运算律 问题5 类比平面向量数量积运算的运算律，空间向量的数量积运算有哪些运算律？ （交换律）； , ； （分配律）. 数乘向量与向量数量积的结合律 注：结合律，不一定成立 消去律若，则，不一定成立 练习巩固 (1)对于向量，由，你能得到吗？ (2)对于向量，由，能不能写成的形式? (3)对于向量，成立吗？为什么？ × × × 向量没有除法运算，向量的除法没有意义 结论: 数量积①不可约分、 ②不可作商、 ③不满足结合律。 典例分析 例2：如图所示, 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中, AB=5, AD=3, AA′=7, ∠BAD=60°, ∠BAA′=∠DAA′=45°. 求: (1) (2) AC'的长(精确到0.1). A B C D 练习巩固 1. 棱长为2的正四面体中，分别是棱的中点，则________，________，________， 解：； ； 练习巩固 P9 T2 2. 如图，正方体的棱长为1，设，， 求：(1)； (2)； (3) 解：(1)； (2)； (3) B D A C 练习巩固 P9 T3 3. 如图，在平行六面体中，， ， 求：(1)； (2)的长； (3)的长； 解：(1)； (2)； (3) ； A C D B C′ D′ B′ A′ 练习巩固 P9 T4 4、如图，线段，在平面内，，,且，，，求，两点间的距离. 解： 所以 典例分析 例3：如图所示, 已知直线m, n是平面α内的两条相交直线, 如果直线l⊥m, l⊥n，求证：l⊥α. 证明： m n 因为直线m与n相交，所以向量 不平行，由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使 将上式两边分别与向量 作数量积运算，得 g 方法总结 空间向量数量积的应用 ①求两向量的数量积 ②求线段长度(即求向量的模) ③证线线垂直(即证两向量数量积为0) ④求异面直线所成角(即求向量的夹角或其补角) ⑤证线面垂直(即证两次线线垂直，同③) 【方法】目标向量用已知模和夹角的(同起点)向量表示 练习巩固 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，， 底面.求证： 证明：由题意知则 由底面，知则 又 ∴ 即. 课堂小结 一、向量的夹角 定义：如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作. 范围： 二、向量的数量积 定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 运算律： $$