1.1.2 空间向量的数量积运算（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量的夹角、数量积、投影向量及应用，通过“力做功”物理情境导入，联系平面向量数量积知识，以问题链引导学生将平面概念推广到空间，搭建知识衔接的学习支架。 其特色是围绕数学抽象、直观想象与数学运算核心素养，结合正方体等几何模型设计例题与分层训练，融入三垂线定理拓展。课堂小结梳理知识、强调思想方法与易错点，助力学生深化理解，也为教师提供系统教学支持。

1.1.2　空间向量的数量积运算 1 1. 了解空间向量的夹角，掌握空间向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2. 了解空间向量投影的概念及投影向量的意义（直观想象）. 3. 能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 情境导入 如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝ F·S＝｜F｜｜S｜ cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我 们引入了“数量积”的概念，那么在空间中向量的数量积又是如何定义的 呢？这就是这节课我们要学习的内容. 知识点一　空间向量的夹角 01 知识点二　空间向量的数量积 02 知识点三　投影向量 03 提能点　空间向量数量积的应用 04 目录 课时作业 05 4 01 PART 知识点一 空间向量的夹角 目 录 问题1　（1）回忆一下，两个平面向量a和b的夹角的定义是什么？ 提示：已知两个非零向量a，b，在平面任取一点O，作 ＝a， ＝ b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作＜a，b＞. （2）两个平面向量夹角的定义能推广到空间中吗？为什么？ 提示：能.因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的 向量. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 ＝a， ＝b，则 叫做向量a，b的夹角，记作 ⁠ 范围 ⁠ 向量 垂直 如果＜a，b＞＝ ，那么向量a，b互相垂直，记 作 ⁠ ∠AOB　 ＜a，b＞　 [0，π] 　 a⊥b　 数学·选择性必修第一册 目 录 【例1】（1）＜a，b＞与＜b，a＞，＜－a，b＞与＜a，－b＞，＜a， b＞与＜－a，b＞，＜a，b＞与＜－a，－b＞，之间分别有什么关系？ 解：＜a，b＞＝＜b，a＞，＜－a，b＞＝＜a，－b＞，＜－a，b＞ ＝π－＜a，b＞，＜－a，－b＞＝＜a，b＞. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求向量 分别与向量 ， ， ， ， 的夹角. 解：连接BD（图略）， 则在正方体ABCD-A'B'C'D'中，AC⊥BD， ∠BAC＝45°，AC＝AD'＝CD'， 所以＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝45°， ＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝135°， ＜ ， ＞＝∠D'AC＝60°， ＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝180°－60°＝120°， ＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝90°. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 对两个空间向量夹角的理解 （1）求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错； （2）两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向时，夹角为0；反向 时，夹角为π. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练1　（1）对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“＜a，b ＞＝0”的（　B　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：因为a∥b包括向量a和b同向共线和反向共线两种情况，所以当 a∥b时，有＜a，b＞＝0或＜a，b＞＝π，不能得到＜a，b＞＝0，充 分性不成立；＜a，b＞＝0，则a和b方向相同，有a∥b，必要性成立， 故“a∥b”是“＜a，b＞＝0”的必要不充分条件.故选B. B 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）在正四面体ABCD中， 与 的夹角等于 ； 与 的 夹角等于 ⁠. 解析：由正四面体每个面都是正三角形可知，＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝180°－60°＝120°；＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝ 60°. 120° 60° 数学·选择性必修第一册 目 录 02 PART 知识点二 空间向量的数量积 目 录 问题2　平面向量的数量积的定义是什么？平面向量的数量积运算满足哪 些运算律？能将其推广到空间中吗？ 提示：已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞叫做a，b 的数量积，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜· cos ＜a，b＞；平面向量的 数量积运算满足：（1）数乘向量与向量数量积的结合律：（λa）·b＝λ （a·b），λ∈R；（2）交换律：a·b＝b·a；（3）分配律：（a＋ b）·c＝a·c＋b·c；能. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 定义：已知两个非零向量a，b，则 ⁠叫 做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝ ⁠. 2. 性质：（1）若a，b为非零向量，则a⊥b⇔ ⁠； （2）a·a＝ ＝ ＝a2； （3）a·e＝｜a｜ cos ＜a，e＞（其中e为单位向量）； （4）若a，b为非零向量，则 cos ＜a，b＞＝ ； （5）特别地，零向量与任意向量的数量积为0. ｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞　 ｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞　 a·b＝0　 ｜a｜｜a｜ cos ＜a，a＞　 ｜a｜2　 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 运算律：（1）（λa）·b＝ ，λ∈R； （2）交换律：a·b＝ ⁠； （3）分配律：（a＋b）·c＝ ⁠. 　　提醒：向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab. λ（a·b）　 b·a　 a·c＋b·c　 数学·选择性必修第一册 目 录 【例2】（1）思考下列问题：①由a·b＝0，能否得到a＝0或b＝0？ ②对于向量a，b，c，由a·b＝a·c能得到b＝c吗？如果不能，请举出反 例？对于非零向量a，b，c，由a·b＝a·c能得到b＝c吗？ ③对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝ （ 或b＝ ）的形式？ ④对于向量a，b，c，（a·b）c＝a（b·c）成立吗？也就是说，向量的 数量积满足结合律吗？ 数学·选择性必修第一册 目 录 解：①不一定.因为a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝0，所以｜a｜＝0 或｜b｜＝0或 cos ＜a，b＞＝0.即a＝0或b＝0或a⊥b. ②不能.数量积运算不满足消去律，例如a＝0；不一定，只能得到｜b｜ cos ＜a，b＞＝｜c｜ cos ＜a，c＞. ③不能.数量积不是单纯的乘法，向量没有除法. ④不满足.（a·b）和（b·c）都是实数，而a和c方向也不一定相同. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）（链接教材P9习题4题）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边 和对角线长都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，计算： ① · ； ② · ； ③ · ； ④ · . 数学·选择性必修第一册 目 录 解：① · ＝ · ＝ ｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝ ×1×1× cos 60°＝ . ② · ＝ · ＝ ｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝ ×1×1× cos 0°＝ . ③ · ＝ · ＝ ｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝ ×1×1× cos 120°＝－ . 数学·选择性必修第一册 目 录 ④ · ＝ （ ＋ ）· （ ＋ ） ＝ [·（－ ）＋ ·（－ ）＋ · ＋ · ]＝ [－ · － · ＋（ － ）· ＋ · ] ＝ ×（ － － ＋ － ＋ ）＝－ . 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 求空间向量数量积的步骤 （1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清； （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的 乘积； （3）代入a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞求解. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练2　（1）（2025·扬州月考）如图，在棱长为 的正方体ABCD- A1B1C1D1中， · ＝（　A　） A. 2 B. 1 C. 2 D. A 解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，所以 AB⊥AD1，所以 · ＝（ ＋ ）· ＝（ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＝0＋ ×2× cos 45°＝2.故选A. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若a，b，c为空间中两两夹角为 的单位向量， ＝2a－2b， ＝b－c，则 · ＝ ⁠. 解析：由题意得，a·b＝b·c＝c·a＝12× cos ＝ ，则 · ＝2（a－ b）·（b－c）＝2（a·b－a·c－b2＋b·c）＝2（ － －1＋ ）＝－1. －1 数学·选择性必修第一册 目 录 03 PART 知识点三 投影向量 目 录 问题3　如图，在平面向量中，我们学习了向量的投影向量，类似地， 对于空间任意两个非零向量a，b，怎样得到向量a在向量b上的投影向 量呢？ 　 提示：在空间中，由于向量a与向量b是自由向量，可将向量a与向量b平 移到同一个平面内，进而利用平面上求投影向量的方法， 得到向量a在向 量b上的投影向量. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 作法 图形表示 符号表示 向量a在向量b上的投影向量 将向量a，b（直线l）平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b（直线l的方向向量）共线的向量c c＝｜a｜· cos ＜a，b＞ 向量a在直线l上的投影向量 数学·选择性必修第一册 目 录 作法 图形表示 符号表示 向量a在 平面β上 的投影向 量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量 数学·选择性必修第一册 目 录 【例3】（2025·温州月考）已知向量a，b，｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜ a，b＞＝120°，则a在b上的投影向量为 ，b在a上的投影向量 为 ⁠. 解析：由题可得与向量a，b同方向的单位向量分别为 ， ， 由｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，根据投影向量的定义，则a 在b上的投影向量为｜a｜ cos ＜a，b＞ ＝ ＝－ b，b在a上 的投影向量为｜b｜ cos ＜a，b＞ ＝ ＝－ a. － b － a 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 投影向量中的两点注意 （1）在投影向量公式中， 是向量b的单位向量，不可以省去； （2）向量a在向量b上的投影向量也可以表示为 · . 数学·选择性必修第一册 目 录 训练3　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝ BC＝a，PA＝b. （1）确定 在平面ABC上的投影向量； 解：因为PA⊥平面ABC，所以 在平面ABC上的投影向量为 . 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）确定 在 上的投影向量. 解：因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， 可得PA⊥AB，所以 · ＝0. 因为CB⊥AB，所以 · ＝0， 所以 · ＝（ ＋ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＋ · ＝0＋a2＋0＝a2， 又｜ ｜＝a，所以 在 上的投影向量为 ｜ ｜· cos ＜ ， ＞· ＝｜ ｜· · ＝ · ＝ · ＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 04 PART 提能点 空间向量数量积的应用 目 录 角度1　利用数量积求夹角和模 【例4】　（1）已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AA1＝AB＝AD＝ 1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为（　B　） A. 6 B. C. 3 D. 解析：设 ＝a， ＝b， ＝c，则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，且 ＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝ .由 ＝a＋b＋c，得｜ ｜2＝ ＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a ＝6.所以｜ ｜＝ . B 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＜ ， ＞＝（　B　） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° B 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：不妨设正方体的棱长为1，则 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ · ＋ ＋ · ＋ · ＝0＋ ＋0＋0＝ ＝1，又∵｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，∴＜ ， ＞ ＝60°. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 1. 利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 利用数量积求两点间的距离或线段的长度的步骤 （1）将此线段用向量表示； （2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量； （3）利用｜a｜＝ ，计算出｜a｜，即得所求距离. 数学·选择性必修第一册 目 录 角度2　利用数量积证明垂直问题 【例5】　如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a， M，N分别是AB，CD的中点.证明：MN⊥AB. 数学·选择性必修第一册 目 录 证明：由题意可知，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝a，且向量 ， ， 两两的夹角均为60°，连接AN（图略）， 则 ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ， 所以 · ＝ （ · ＋ · － ）＝ （a2 cos 60°＋a2 cos 60°－a2）＝0， 所以 ⊥ ，即MN⊥AB. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 利用数量积证明垂直问题的步骤 （1）把几何问题转化为向量问题； （2）用已知向量表示所证向量； （3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0； （4）将向量问题回归到几何问题. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练4　（1）已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别 为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为 ⁠； 解析：由已知得 ＝ （ ＋ ）， ＝ － ＝ － ，因 此｜ ｜＝ ｜ ＋ ｜＝ ＝ ，｜ ｜ ＝｜ － ｜ ＝ ＝ .又因为 · ＝ （ ＋ ）·（ － ）＝ ×2－ ×2＋ ×2－2＝－2，所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ .故异面直线OE与BF所成角的余弦值为 . ​ 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中 点，正方体的棱长为1.求证： ⊥ . 证明： ＝ ＋ ＝ － ＋ ， ＝ ＋ ＝－ （ ＋ ）， 所以 · ＝－ （ · ＋ · － － · ＋ · ＋ ）＝－ ×（0＋0－1－0＋0＋1）＝0， 所以 ⊥ . 数学·选择性必修第一册 目 录 三垂线定理 　通过教材P10习题8题的证明，我们可得到三垂线定理：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直. 该定理用数学语言描述为：如图，已知点P是平面α外一点，PA是平面α 的斜线，交α于点A，过点P作平面α的垂线PO，垂足是O，直线OA是 PA在平面α上的投影，对平面α上的任一直线l，若直线l⊥OA，则直线 l⊥PA. 数学·选择性必修第一册 目 录 【问题探究】 1. 保持上述定理的已知条件不变，若已知直线l⊥PA，能否得到直线 l⊥OA？ 提示：能.取直线l的方向向量a，同时取向量 ， ， .因为 l⊥PA，所以a ⊥ ，所以a· ＝0.又因为PO⊥平面α，所以l⊥PO， 所以a⊥ ，所以a· ＝0.所以a· ＝a·（ － ）＝a· － a· ＝0，所以l⊥OA. 2. 保持上述定理的已知条件不变，你认为直线l⊥OA是直线l⊥PA的什么 条件？ 提示：充要条件. 数学·选择性必修第一册 目 录 【迁移应用】 1. 已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面 ABC上的射影一定是△ABC的（　　） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 解析：　如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连 接OA，OB，OC. 所以PO⊥平面ABC. 因为PA＝PB＝ PC，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以 △PAO≌△PBO≌△PCO，所以AO＝BO＝CO. 即点O到 三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P 到BC的距离是 ⁠. 解析：由PA⊥平面ABC，在△ABC中，作AD⊥BC于点D，连接PD（图 略），由三垂线定理知，PD⊥BC，即PD就是点P到BC的距离.在 △ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝ 4，所以PD＝ ＝4 . 4 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 等腰直角△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则 斜边上的中线CM与α所成的角为 ⁠. 解析：如图，设C在平面α内的射影为点O，连接AO， MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角.设 AC＝BC＝1，则AB＝ ，所以CM＝ ，CO＝ ，所以 sin ∠CMO＝ ＝ ，所以∠CMO＝45°. 45° 数学·选择性必修第一册 目 录 1. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45° 的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 解析：选项A中向量的夹角为45°，选项B、C、D中的向量的夹角为135°. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 已知空间向量｜a｜＝ ，｜b｜＝5，且a与b夹角的余弦值为－ ，则a在b上的投影向量为（　　） A. － b B. b C. b D. － b 解析：　a在b上的投影向量为 · ＝ · ＝－ · ＝－ b. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 在三棱锥P-ABC中，∠PAB＝∠ABC＝ ，＜ ， ＞＝ ，PA＝ 2，AB＝1，BC＝3，则｜ ｜＝（　　） A. B. 2 C. D. 1 解析：　由已知得 ＝ ＋ ＋ ，所以｜ ｜2＝（ ＋ ＋ ）2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋2 · ＋2 · ＋2 · ＝22＋12＋32＋2×2×1×（ － ）＋2×2×3×（ － ）＋2×1×3×（ － ）＝3，所以｜ ｜＝ .故选C. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是 C1D1的中点，则 与 所成角的大小为 ； · ＝ ⁠. 解析：法一　连接A1D（图略），则∠PA1D就是 与 所成的角， 连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝ ，即△PA1D为等边三 角形，从而∠PA1D＝60°，即 与 所成角的大小为60°，因此 · ＝ × × cos 60°＝1. 60° 1 数学·选择性必修第一册 目 录 法二　根据向量的线性运算可得 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ＝1.由题意可得PA1＝B1C＝ ，则 × × cos ＜ ， ＞＝1， cos ＜ ， ＞＝ ，从而＜ ， ＞＝60°. 数学·选择性必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）空间向量的夹角； （2）空间向量的数量积； （3）投影向量； （4）空间向量数量积的应用. 2.应体会 （1）求空间向量的夹角、数量积及投影向量时常用到数形结合思想； （2）空间向量数量积的应用中注意转化与化归思想的应用. 3.避易错 当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 05 PART 课时作业 目 录 1. 在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则 与 的 夹角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：　由题意，可得 ＝ ，所以＜ ， ＞＝＜ ， ＞ ＝180°－＜ ， ＞＝180°－60°＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 已知向量a和b的夹角为120°，且｜a｜＝2，｜b｜＝5，则（2a－ b）·a＝（　　） A. 12 B. 8＋ C. 4 D. 13 解析：　（2a－b）·a＝2a2－b·a＝2｜a｜2－｜a｜｜b｜· cos 120° ＝2×4－2×5×（ － ）＝13. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD，则 在 上的投影向量为（　　） A. B. 解析：　在空间四边形ABCD中，因为∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝ 2BD，设AC＝2，BD＝1，且 · ＝ · ＝0， ＝ ＋ ＋ ，则 · ＝（ ＋ ＋ ）· ＝｜ ｜2， 在 上的投 影向量为 · ＝ · ＝ .故选B. √ C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（ ＋ － 2 ）·（ － ）＝0，则△ABC是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 解析：　因为 ＋ －2 ＝（ － ）＋（ － ）＝ ＋ ，所以（ ＋ ）·（ － ）＝｜ ｜2－｜ ｜2＝0，所以｜ ｜＝｜ ｜，即△ABC是等腰三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 5. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AC＝AB＝AA1＝ ，BC＝2AE ＝2，则向量 与 的夹角是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　∵A1A⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC. ∵AC＝AB＝ ，BC＝2，∴AB2＋AC2＝ BC2，∴AB⊥AC，又BC＝2AE＝2，∴E为BC的中点，∴ ＝ （ ＋ ）.∵AC＝AA1＝ ，∴A1C＝2.∵ · ＝ （ ＋ ）·（ － ）＝ ＝1，∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，又0°≤＜ ， ＞≤180°，∴＜ ， ＞＝60°.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 6. 〔多选〕设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出 下列命题，其中正确的是（　　） A. （a·b）·c－（c·a）·b＝0 B. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜ C. （b·a）·c－（c·a）·b一定不与c垂直 D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：A项，∵（a·b）·c是表示与向量c共线的向量，而（c·a）·b是表示与向量b共线的向量，∴A错误；B项，∵a，b是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜，∴B正确；C项，∵[（b·a）·c－（c·a）·b]·c＝（b·a）·c·c－（c·a）·b·c＝0可能成立，∴C错误；D项，∵向量的运算满足平方差公式，∴（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2，∴D正确，故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 7. 〔多选〕如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，E， F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是 （　　） A. 2 · B. 2 · C. 2 · D. 2 · √ √ 解析：对于A，2 · ＝2a2 cos 120°＝－a2，错误；对于B，2 · ＝2 · ＝2a2 cos 60°＝a2，正确；对于C，2 · ＝ · ＝a2，正确；对于D，2 · ＝ · ＝－ · ＝－ a2，错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 8. 已知｜a｜＝13，｜b｜＝19，｜a＋b｜＝24，则｜a－b｜＝ ⁠. 解析：∵｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝ 46，｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故｜a－b｜＝22. 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 9. 已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则 cos ＜a，b ＞＝ ⁠. 解析：由条件知（a＋3b）·（7a－5b）＝7｜a｜2－15｜b｜2＋16a·b＝ 0，（a－4b）·（7a－2b）＝7｜a｜2＋8｜b｜2－30a·b＝0，两式相减 得46a·b＝23｜b｜2，所以a·b＝ ｜b｜2，代入上面两个式子中的任意 一个，得｜a｜＝｜b｜，所以 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC＝4， ∠ABC＝∠BCP＝∠DCP＝120°. （1）利用空间向量证明PA⊥BD； 解：证明：设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝ － ＝b－a， ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋c，所以 · ＝（b－a）·（a＋b＋c）＝b2－a2＋b·c－ a·c＝32－32＋3×4× cos 60°－3×4× cos 60°＝0，所以 ⊥ ，故PA⊥BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）求AP的长. 解：由（1）知 ＝a＋b＋c， 所以 ＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋ 2a·c ＝32＋32＋42＋2×3×3× cos 60°＋2×3×4× cos 60°＋ 2×3×4× cos 60°＝9＋9＋16＋9＋12＋12＝67. 所以AP＝｜ ｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 11. 已知a，b是异面直线，点A，B∈a，点C，D∈b，AC⊥b， BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 解析：　∵ ＝ ＋ ＋ ，∴ · ＝（ ＋ ＋ ）· ＝ · ＋ ＋ · ＝0＋12＋0＝1，又｜ ｜＝2，｜ ｜＝ 1.∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ .∵异面直线所成的角是锐 角或直角，∴a与b所成的角是60°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 12. 〔多选〕在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列说法，其中正确的有 （　　） A. （ ＋ ＋ ）2＝3 B. ·（ － ）＝0 C. 与 的夹角为60° D. 正方体的体积为｜ · · ｜ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　如图，（ ＋ ＋ ）2＝（ ＋ ＋ ）2＝ ＝3 ，故A正确； ·（ － ） ＝ · ＝（－ ＋ ＋ ）· ＝0，故B正确； 与 的夹角是 与 夹角的补角，而△ACD1为正三角形，所以 与 的夹角为60°，故 与 的夹角为120°，故C错误；正方体的体积为｜ ｜·｜ ｜·｜ ｜，故D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 13. 在四面体OABC中，已知OA，OB，OC两两垂直，且OA＝3，OB＝ 6，OC＝9，若G是△ABC的重心，则OG＝ ⁠. 解析： 如图所示，取BC的中点D，根据三角形重心的性 质，可得AG＝ AD，根据向量的运算法则，可得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ［（ － ）＋ （ － ）］＝ （ ＋ ＋ ），所以｜ ｜2＝ （ ＋ ＋ ＋2 · ＋2 · ＋2 · ）＝ （9＋36＋81＋0＋0＋0）＝14，所以｜ ｜＝ ，即OG＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 14. 如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是BC上的动点，点P是 B1C1上的动点，AB＝BC＝2，AA1＝1. （1）求 · ； 解： · ＝（ ＋ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＋ · ， 因为AD⊥AB，AD⊥AA1， 所以 ⊥ ， ⊥ ， 即 · ＝0， · ＝0， 因此 · ＝ ＝｜ ｜2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）求 · 的取值范围. 解： · ＝（ ＋ ＋ ）·（ ＋ ） ＝ · ＋ · ＋ · ＋ · ＋ · ＋ · ， 因为AA1⊥AB，C1P⊥AB，AA1⊥BQ， AB⊥BQ， 所以 · ＝0， · ＝0， · ＝0， · ＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 因此 · ＝ · ＋ · ＝｜ ｜2－｜ ｜·｜ ｜， 设｜ ｜＝x，｜ ｜＝y， 0≤x≤2，0≤y≤2， 则 · ＝4－xy， 由于0≤xy≤4，所以－4≤－xy≤0， 所以0≤4－xy≤4， 故 · 的取值范围为[0，4]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 15. 如图，在矩形ABCD和ABEF中，AB＝4，AD＝AF＝3，∠DAF＝ ， ＝λ ， ＝λ ，0＜λ＜1，记 ＝a， ＝b， ＝c. （1）将 用a，b，c表示出来，并求｜ ｜的最小值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解： ＝ － ＝ －（ ＋ ）＝ λ －（ ＋λ ）＝λ（a＋c）－[b＋λ（a－b）]＝（λ－1）b＋λc. 所以｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝3 ， 故当λ＝ 时，｜ ｜有最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）是否存在λ使得MN⊥平面ABCD？若存在，求出λ的值，若不存 在，请说明理由. 解：假设存在λ使得MN⊥平面ABCD，故 MN⊥AB，MN⊥AD. 因为 · ＝[（λ－1）b＋λc]·a＝0， 所以MN⊥AB恒成立； 由 · ＝0，得[（λ－1）b＋λc]·b＝0， 即（λ－1）b2＋λb·c＝0， 所以9（λ－1）＋ λ＝0，解得λ＝ ，满足条件. 故存在λ＝ 使得MN⊥平面ABCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $