精品解析：安徽省合肥市中国科学技术大学附属中学2025-2026学年高一新生入学考试数学试题

2025年中国科学技术大学新生入学考试数学试题 一、填空题（每空5分，共40分） 1. 函数的图象如下，，则________． 2. 设，其中是自然对数的底数，是圆周率，则从小到大排序为________． 3. 若方程在区间内有唯一解，则实数的取值范围为________． 4. 设复数满足是虚数单位，则轨迹方程为________． 5. 在平面直角坐标系中，椭圆长轴方程为______ 6. 设是正整数，化简和式______（表示成的多项式） 7. 设无顶盖长方体盒子（共5个面）的表面积是1，则其容积的最大值为______ 8. 数列共有________项可被9整除． 二、解答题（每题15分，共60分，须写出必要的计算和证明过程） 9. 给定，设，动点分别在线段上，求的最小值（用表示） 10. 过空间四面体顶点分别作垂线平面平面平面平面，求证：若且，则直线相交于一点 11. 设，其中都是实数，求证：并给出上式取等号充分必要条件 12. 设随机变量相互独立并且分布列相同，的分布列是否可能为，证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中国科学技术大学新生入学考试数学试题 一、填空题（每空5分，共40分） 1. 函数的图象如下，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求导找到函数的极值点，利用函数在端点的极限确定参数的部分取值范围，再结合函数在特殊点的取值以及极值点处的函数值条件，对参数的可能组合进行逐一验证，从而确定符合条件的参数值. 【详解】根据图象时，， 则的值可能为. 对函数求导得， 令，得，则有， 且，又. 当，时，，满足条件； 当，时，，不满足条件； 当，时，，不满足条件； 当，时，，不满足条件； 当，时，，不满足条件； 综上，仅，满足条件. 故答案：2 2. 设，其中是自然对数的底数，是圆周率，则从小到大排序为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用在上单调递增，可得，利用函数在上单调递增，可得，根据，可得，进而可得结论. 【详解】因为在上单调递增，又，所以，即； 由，可得， 令，可得，解得， 当时，，所以函数在上单调递增， 又，所以，因为， 所以，所以，所以，即， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以，即， 综上有. 故答案为：. 3. 若方程在区间内有唯一解，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为函数与的图象在区间内有唯一交点，由导数求出函数与相切时的值,，结合函数与、的图象，分析直线分别经过和所对应的值即可求解. 【详解】方程在区间内有唯一解等价于函数与的图象在区间内有唯一交点， 由于，当函数与相切时，则, 在区间内解为或， 当时，，解得：， 当时，，解得：, 分别作出函数与、的图象， 结合图象分析，当直线经过点， 即时，函数与的图象有唯一交点， 当直线经过点，即时， 函数与的图象有唯一交点， 所以当时，函数与的图象有唯一交点； 综上：方程在区间内有唯一解， 则实数的取值范围为. 故答案为：. 4. 设复数满足是虚数单位，则的轨迹方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由已知推出，计算出，得到，，消元，求出轨迹方程. 【详解】设且，由已知得， 故，所以， 故，，故， 将其代入，得. 故答案为： 5. 在平面直角坐标系中，椭圆的长轴方程为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题知椭圆关于原点对称，则长轴过原点，长半轴长为椭圆上的点到原点的最大距离，令，整理得，根据判别式求出的最大值，从而得到及长轴方程. 【详解】因为， 所以椭圆关于原点对称，则长轴过原点，长半轴长为椭圆上的点到原点的最大距离， 令， 即，，解得， 易知，所以， ，此时， 所以长轴方程为. 故答案为：. 6. 设是正整数，化简和式______（表示成的多项式） 【答案】 【解析】 【分析】对已知式子进行变形，根据二项式定理进行求解即可. 【详解】下图三角形式为每行最右数为1，从右边起第2项的数为它肩上两数之和再乘以2，第3项为它肩上两数之和再乘以3，⋯，则 7. 设无顶盖的长方体盒子（共5个面）的表面积是1，则其容积的最大值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用长方体的表面积和体积公式，结合均值不等式即可求解. 【详解】设长宽高分别为， 则长方体的表面积为， 由均值不等式：， （当且仅当取等号） 所以长方体容积的最大值为， 故答案为： 8. 数列共有________项可被9整除． 【答案】 【解析】 【分析】采用枚举法列举出前项除以9的余数，可得斐波那契数列个位数是以为周期的循环数列，根据周期数列的性质求解即可. 【详解】斐波那契数列模的值会出现周期性变化：， ， ， ， ，一个周期内被整除的有两个，故项里总共有项可被整除 故答案为： 二、解答题（每题15分，共60分，须写出必要的计算和证明过程） 9. 给定，设，动点分别在线段上，求的最小值（用表示） 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】分为锐角或直角三角形或为钝角三角形讨论可得. 【详解】 ①为锐角或直角三角形： 作关于的对称点，连接， 则，． 当 ； ②钝角三角形： 若为钝角，由①得，但因点到的垂足不在线段上，当与重合时 ； 同理可得当为钝角时： ； 同理可得当为钝角时： . 10. 过空间四面体顶点分别作垂线平面平面平面平面，求证：若且，则直线相交于一点 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先利用向量证明，进而根据面面垂直的性质可得平面，平面，设这两条高线交于点，进而利用垂直关系证明平面，平面即可. 【详解】证明：设，其中为原点． 由已知得，， 联立得 综上知四面体的三组对边均互相垂直，这样的四面体为垂心四面体． 在垂心四面体中，从各顶点向对面所作的垂线共点．下证： 上取点，因，平面， 所以平面， 平面，平面，且平面平面，平面平面, 故则过分别作,则平面，平面， 故在平面内，设这两条高线交于点， 连接，因平面， 故平面，平面 故① 又平面，故平面， 平面，②， 由①②以及平面，得平面， 同理可得平面 综上，垂心四面体从各顶点向对面所作的垂线相交于一点． 11. 设，其中都是实数，求证：并给出上式取等号的充分必要条件 【答案】证明见解析，当且仅当存实数和非负实数有． 【解析】 【分析】利用向量的模长公式，以及三角不等式即可求证. 【详解】证明：设，则， 令， 由向量模三角不等式得, 等号成立当且仅当存在实数和非负实数有． 12. 设随机变量相互独立并且分布列相同，的分布列是否可能为，证明你的结论. 【答案】不可能，证明见解析 【解析】 【分析】假设成立，由题可知，再根据概率公式得到，最后由可推出矛盾. 【详解】不可能，理由如下：假设． 因， 令，由， 有，，， ； ； ， 检验，矛盾． 因此，不存在给定形式的分布列 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$