精品解析：山西省运城市万荣王通中学2025-2026学年上学期开学摸底考试九年级数学试卷

山西省运城市万荣王通中学2025-2026学年上学期开学摸底考试九年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴把代入， 得， 解得， 故选：C 3. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2022年全国生活垃圾无害化处理能力约为4亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2024年提升到约4.4亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，掌握增长率模型，是解题的关键．设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，根据等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为， 由题意得：． 故选：C． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义可判断A，根据随机事件发生的机会大小，估计概率的大小可判断B，可判断C，不规则物体的概率只能通过大数次的实验，使频率达到稳定时用频率估计概率可判断D． 【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，故选项A不正确； 事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项B正确； 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是1%，可能会中奖，但一定会中奖机会很小，故选项C不正确； 图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项D不正确． 故选择B． 【点睛】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实验概率知识是解题关键． 5. 如图，是的直径，是弦，若，则等于（ ） A. 68° B. 64° C. 58° D. 32° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是90°，求出∠ADC，再根据圆周角的性质，求出∠ABC． 【详解】解：∵是的直径， ∴∠ADB=90°， ∵， ∴∠ADC=90°-32°=58°， ∴∠ABC=∠ADC=58°， 故选：C． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角是90°和圆周角的性质，解题关键是根据同弧把要求的角转化为与已知有关系的角． 6. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．求出，过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 在中，， 如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， ∴， ∴， 点O为跷跷板的中点， ∴， 是的中位线， ， 故选：D． 7. 如图，在中，为上一点，且，则（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为，圆的半径为，则与满足的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算． 【详解】解：扇形的弧长是：， 圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：=2πr， 即：R=4r， R与r之间的关系是R=4r． 故选：D． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 9. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，根据旋转的性质得出相等的角和边，再利用三角形内角和定理及角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中， … … … … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点坐标，利用交点式得到，从而得到二次函数解析式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得结论．掌握二次函数表达式的求法是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线过点、， ∴抛物线的对称轴为， 又∵抛物线过点，， ∴， ∴抛物线与轴的交点为、， 设抛物线解析式为， 整理得： 又∵二次函数 ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，最大值， ∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次函数的图象的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标．据此求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 已知关于的一元二次方程的两根为和，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为和， ∴， 故答案为：． 13. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有2000个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球．将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，则盒子中的黑球约有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键．根据图象及结合用频率估计概率即可进行求解． 【详解】解：由图象可知通过大量实验“摸出黑球”的概率稳定在0.2， 所以从布袋中“摸出黑球”的概率约为0.2； 则布袋中的黑球约有（个） 故答案为：． 14. 某立体图形是由相同的正方体拼成，该立体图形的三视图如图所示，则正方体共有 _____个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了由三视图确定小正方体的个数，能根据三视图确定小正方体的个数分布是解题的关键． 【详解】解：综合主视图，俯视图，左视图，底层有4个正方体，第二层有2个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是个．分布如下： 故答案为：6． 15. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，1为半径画圆，将绕点逆时针旋转得到，使得与轴相切，则的度数是____． 【答案】或 【解析】 【分析】分析可知：A在以O为圆心，为半径的圆上运动，分情况讨论，当A转到时，，作轴与点B，利用勾股定理可知，进一步可求出旋转角度为；当A转到时，，作轴与点C，利用勾股定理可知，进一步可求出旋转角度为． 【详解】解：∵，将绕点逆时针旋转得到 ∴A在以O为圆心，为半径的圆上运动， 当A转到时，，作轴于点B， ∵半径为1，与轴相切， ∴， 由勾股定理可得：， ∴为等腰直角三角形， ∴，，即旋转角度为； 当A转到时，，作轴于点C， ∵半径为1，与轴相切， ∴， 由勾股定理可得：， ∴为等腰直角三角形， ∴，，即旋转角度为； 故答案为：， 【点睛】本题考查圆与切线，旋转，等腰直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，旋转，理解A在以O为圆心，为半径的圆上运动． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，重点考查配方法的运用．先通过移项将常数项移到等号右侧，再在方程两边添加一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后利用直接开平方法求解未知数． 【详解】解：移项得； 配方，得，即； 开平方，得， ∴或； ∴，． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 【答案】（1） 解：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）该方程的另一个根为2 【解析】 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数的关系是解题关键． （1）判断即可证明； （2）设方程的另一个根为m，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为m，则， 解得， 故该方程的另一个根为2． 18. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为． （1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果； （2）若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．此游戏的规则对双方公平吗？试说明理由． 【答案】（1） 解：树状图如下： 此游戏共有6种结果． （2） 解：不公平，理由如下： 根据树状图可知： 共有2种结果； 共有3种结果； ∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为； 小刚胜的概率大； ∴游戏的规则对双方不公平． 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或树状图法求概率，概率的应用； （1）根据题意列树状图求解即可； （2）根据题意得到共有2种结果；共有3种结果；分别求出概率，分析结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，为的直径，为弦，点在外，，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接，记，， 为的直径，为弦， ，． ， ， ∵， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）2 【解析】 【分析】（1）连接OC，记，，由AB是直径得，证明，根据圆的切线的判定证明结论； （2）由，则它们的余弦值相等，利用的余弦值求出AB的长，再在中用勾股定理求出OD长，用OD长减去OE长即可得到DE的长． 【详解】（1）略 （2），， ， 在中，，，， ， ， 在中，，，， ， ． 【点睛】本题考查圆的切线的判定和解直角三角形，解题的关键是掌握圆的切线的判定定理，以及用锐角三角函数解直角三角形的方法． 20. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解即可求解； （2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，， ∴在中，由， 得：， ∴, 答：； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 答：物体上升的高度约为． 21. 如图，在四边形OABC中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点A（5，0），B（2，6），点D为AB上一点，且，双曲线y1＝（k1＞0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点E． （1）求双曲线的解析式； （2）一次函数y2＝k2x+b经过D、E两点，结合图象，写出不等式＜k2x+b的解集． 【答案】（1）；（2）＜x＜4． 【解析】 【分析】（1）作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，利用点A，B的坐标得到BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，AM＝3，再证明△ADN∽△ABM，利用相似比可计算出DN＝2，AN＝1，则ON＝OA﹣AN＝4，得到D点坐标为（4，2），然后把D点坐标代入反比例函数表达式中，求出k的值即可得到反比例函数解析式； （2）观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如图， ∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6）， ∴BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，AM＝3， ∵DN∥BM， ∴△ADN∽△ABM， ∴，即， 解得：DN＝2，AN＝1， ∴ON＝OA﹣AN＝4， ∴D点坐标为（4，2）， 把D（4，2）代入y1＝得，k＝2×4＝8， ∴反比例函数解析式为； （2）由（1）知，点D的坐标为（4，2）； 对于，当y＝6时，即6＝，解得x＝，故点E（，6）； 从函数图象看，＜k2x+b时，x的取值范围为＜x＜4， 故不等式＜k2x+b的解集为＜x＜4． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的关系及相似三角形的判定与性质，关键是根据题意及相似三角形的性质与判定得到反比例函数的解析式，然后利用反比例函数与一次函数的关系进行求解即可． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 在中，． （1）特例证明：如图，点分别在线段上，，求证：； （2）探索发现：将图中的绕点逆时针旋转（）到图位置，（）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展运用：如图，点在内部，当时，若，，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 成立，证明如下： 由旋转可知，， ∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（）根据等边对等角和平行的性质得，即得，即可求证； （）证明即可求证； （）把线段绕点逆时针旋转至，连接，由等腰直角三角形的性质得，再证明，得到，，，进而可得，最后利用勾股定理计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，把线段绕点逆时针旋转至，连接， 则，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求该拋物线的解析式； （2）点为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接，若，求点的坐标； （3）若点为线段上一动点，试求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题综合考查了二次函数的基本性质、几何图形中的角度与线段关系、最短路径问题的转化思想，核心是函数与几何的综合应用，需要灵活运用待定系数法、三角函数、坐标运算及几何模型(如将军饮马)解决复杂问题． ()利用抛物线与轴交于点，代入抛物线方程，求出的值，从而确定抛物线的解析式； ()通过，利用正切值相等建立方程，结合点在第二象限的条件，求出点的坐标； ()通过构造等腰直角三角形将转化为点到某条直线的距离，再利用“垂线段最短”原理，求出的最小值； 【小问1详解】 解：把点的坐标代入抛物线表达式， 得：， 解得：， 故该抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 过点作轴的垂线，交轴于点. 设：点的坐标为， 当时，， 解得：，， 即：，， ∴，， ∵点， ∴， ∵， ∴， 即：，， 解得：或， ∵点D在第二象限内， ∴，舍去， 当时，， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 过点作，交于点； 当三点共线时，的值最小， 由（）可知，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴， 则， ， ∴， 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省运城市万荣王通中学2025-2026学年上学期开学摸底考试九年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2022年全国生活垃圾无害化处理能力约为4亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2024年提升到约4.4亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得 5. 如图，是的直径，是弦，若，则等于（ ） A. 68° B. 64° C. 58° D. 32° 6. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，为上一点，且，则（ ） A. 6 B. 5 C. D. 8. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为，圆的半径为，则与满足的数量关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中， … … … … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次函数的图象的顶点坐标是_______． 12. 已知关于的一元二次方程的两根为和，则的值为______． 13. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有2000个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球．将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，则盒子中的黑球约有______个． 14. 某立体图形是由相同的正方体拼成，该立体图形的三视图如图所示，则正方体共有 _____个． 15. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，1为半径画圆，将绕点逆时针旋转得到，使得与轴相切，则的度数是____． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 18. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为． （1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果； （2）若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．此游戏的规则对双方公平吗？试说明理由． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，为的直径，为弦，点在外，，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的长． 20. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）． 21. 如图，在四边形OABC中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点A（5，0），B（2，6），点D为AB上一点，且，双曲线y1＝（k1＞0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点E． （1）求双曲线的解析式； （2）一次函数y2＝k2x+b经过D、E两点，结合图象，写出不等式＜k2x+b的解集． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 在中，． （1）特例证明：如图，点分别在线段上，，求证：； （2）探索发现：将图中的绕点逆时针旋转（）到图位置，（）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展运用：如图，点在内部，当时，若，，，求的长度． 23. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求该拋物线的解析式； （2）点为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接，若，求点的坐标； （3）若点为线段上一动点，试求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $