精品解析：广东潮州市潮安区韩附实验学校2025-2026学年上学期九年级数学开学考试试卷　

**基本信息** 2025-2026学年九年级数学开学质检，以基础巩固与实践应用为核心，涵盖几何（直角三角形、平行四边形）、代数（一元二次方程、函数）、统计（方差、加权平均）知识，通过芦苇测量（勾股定理）、销售利润（模型意识）等情境，考查抽象能力、推理意识与数据意识，适配开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|直角三角形判定、方程系数、四边形性质|第7题结合古代数学问题考查勾股定理应用| |填空题|5/15|二次根式意义、加权平均、矩形性质|第14题以垂直平分线为载体融合几何推理| |解答题（一）|3/24|实数运算、全等证明、根的判别式|第18题通过根与系数关系考查推理能力| |解答题（二）|3/27|统计图表、尺规作图、销售利润|第21题建立函数模型解决成本利润问题| |解答题（三）|2/24|一次函数与几何综合、动态几何|第23题正方形运动背景下考查空间观念与创新意识|

2025-2026学年度第一学期开学质检练习 九年级数学科 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组线段中，能够组成直角三角形一组是（ ） A. 1，1， B. 1，2，3 C. 2，2，2 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【详解】解：A．，不可以构成直角三角形，故A选项不符合题意； B． ，不可以构成三角形，故B选项不符合题意； C．，不可以构成直角三角形，故C选项不符合题意； D． ，可以构成直角三角形，故D选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，三角形三边关系的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2. 方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 2，5，4 B. 2，﹣5，4 C. ﹣2，﹣5，4 D. 2，﹣5，﹣4 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念及一般形式即可判断，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵方程2x2﹣5x＝4化成一般形式是2x2﹣5x﹣4＝0， ∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣4． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 3. 下列选项中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式运算法则和二次根式的性质计算即可判断． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）， 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故选：A． 5. 下列判断错误的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四条边都相等的四边形是菱形 C. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 D. 两条对角线相等且平分的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴该选项不符合题意； B、∵四条边都相等的四边形是菱形，∴该选项不符合题意； C、∵两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，∴该选项符合题意； D、∵两条对角线相等且平分的四边形是矩形，∴该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识；熟记矩形的判定方法是解题的关键． 6. 某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级（1）班选派的7名学生一次性垫球成绩（单位：个）如图所示．则下列结论中，正确的是（ ） A. 中位数为17 B. 众数为26 C. 平均成绩为20 D. 方差为0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数和方差概念．根据中位数、众数、平均数和方差概念即可解答． 【详解】解：A选项：将这组数据从小到大排列为：17、19、22、26、26、30、35， 从中可以看出，一共7个数据，第4个数据为26，所以这组数据的中位数为26； B选项：这组数据中26出现的次数最多，所以这组数据的众数为26； C选项：（个），所以这组数据的平均数为25； D选项：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，所以当方差等于0时，这组7个数据应相同，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　） A. 11尺 B. 12尺 C. 13尺 D. 14尺 【答案】C 【解析】 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长13尺． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，观察题目的信息是解题的关键． 8. 如图，用长为的栅栏围成一个面积为的矩形花圃，为方便进出，在边上留有一个宽的小门，设的长为，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中等量关系，列出方程．设的长为，则，根据面积为列出方程即可． 【详解】解：设的长为，则， 根据题意得：， 故选：． 9. 一辆行驶速度恒定的无人驾驶快递车从公司出发，到达A驿站卸完包裹后，立即前往B驿站，再卸完包裹后快递车按原路返回公司．已知公司和A、B两驿站在一条直线上，每个驿站卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s与时间t的函数关系如图所示，则快递车在每个驿站卸包裹的时间为（ ） A. 4分钟 B. 6分钟 C. 7分钟 D. 5分钟 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，求出快递车行驶的总时间是解题的关键．由图象可知，快递车行驶米所需时间为分钟，据此可得快递车行驶的总时间为（分钟），进而得出答案． 【详解】解：由题意可知，快递车行驶米所需时间为分钟， ∴快递车行驶米所需时间为分钟， 所以快递车行驶的总时间为（分钟）， 所以快递车在每个驿站卸包裹的时间为：（分钟）， 故选：D． 10. 如图，中，，顶点A在第一象限内，点B的坐标为，点C的坐标为，将沿AB翻折得到，此时点恰好落在x轴上，则顶点A的纵坐标为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形，反复运用勾股定理是解题的关键． 连接交于点，过点作轴于点，利用勾股定理逐步求出，，，，进而求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接交于点，过点作轴于点，如图， 的坐标为，点的坐标为， ，， 在中， 由勾股定理，得， 将沿翻折得到， ，，， ， 在中， 由勾股定理，得， ， 在中， 由勾股定理，得， 设，则， 在中， 由勾股定理，得，即， 解得， ， ，， ， 在中， 由勾股定理，得， 即顶点的纵坐标为． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 12. 某单位招聘员工，其中一名应聘者的笔试成绩是90分，面试成绩是80分. 若笔试成绩与面试成绩在综合成绩中的权重分别是70%、30%．则该应聘者的综合成绩是_______分． 【答案】87 【解析】 【分析】直接计算加权平均数即可解答． 【详解】解：根据题意知，该名应聘者的成绩为（分） 故答案为：87． 【点睛】本题考查加权平均数及其计算，熟练掌握其计算方法是解题的关键． 13. 如图，在中，点在上，于点是的中点，连接，若，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形中位线的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”的性质可得是的中点，又由是的中点，可得是的中位线，由此可得，即可求解． 【详解】∵中， ，， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ， ，， ， ． 故答案为：3 14. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，首先证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：63． 15. 如图，在中，为边上一动点（且点不与点、重合），于．则的最小值为___________． 【答案】4.8 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，矩形的判定与性质、垂线段最短的性质．利用“垂线段最短”找出时，取最小值是解答该题的关键．先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：如图，连接， ∵ ， 又于点，于点， ， 四边形是矩形． ， 当最小时，也最小， 即当时，最小， ， ， 线段的最小值为； 故答案为：． 三、解答题（一）（每小题8分，共24分） 16. 计算：（1）； 解方程：（2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算以及解一元二次方程． （1）先计算零指数幂，绝对值和二次根式的乘法，再计算加减即可 （2）先将方程左边进行因式分解，得到两个一元一次方程，求解即可． 【详解】解：（1） （2） 或 解得： 17. 如图，中，为的中点，连接并延长到，使．求证：． 【答案】 证明：方法一：连接， ∵为中点 ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ 方法二：∵为中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握平行四边形，全等三角形的判定和性质是关键． 方法一：根据题意可证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可求解； 方法二：根据题意可证，得，由平行线的判定和性质即可求解． 【详解】略 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根，满足，求实数的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根的判别式，熟记相关结论即可． （1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则． 【小问1详解】 解：由题意得：且 解得：且 【小问2详解】 解：由题意得： ∵， ∴， 解得：（舍） 经检验，是原方程的解 ∴ 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 为进一步加强学生体质，某中学推行“阳光体育活动”计划，要求学生在课后自主完成体育锻炼并记录，经过一段时间后，学校随机抽查了该校30名学生某一天课后体育锻炼时间（单位：分钟），如图是根据抽查结果绘制的统计图的一部分： 根据以上信息解决以下问题： （1）这一天课后体育锻炼时间为60分钟的人数为__________人，请补全条形统计图； （2）这一天课后体育锻炼时间的众数是__________； （3）若该校共有600名学生，请估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数． 【答案】（1） 7，补全条形统计图为 （2）55 （3）180人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，众数，样本估计总体． （1）将抽出学生的人数减去其他各时间的人数，即可解答； （2）根据众数的定义求解即可； （3）将全校学生人数乘以样本中体育锻炼时间不少于60分钟的学生的比例，即可求解． 【小问1详解】 解：体育锻炼时间为60分钟的人数为（人）； 补全条形统计图为 故答案为：7 【小问2详解】 解：由条形图可知，体育锻炼时间55分钟的人数最多，故众数为55． 故答案为：55 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生由180人． 20. 如图，四边形为平行四边形． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，，求线段的长． 【答案】（1） 如图，线段即为所求； （2）10 【解析】 【分析】（1）①以为圆心，适当长为半径画弧，交于，于，②分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于，③作射线，交于即可； （2）延长交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，求得，于是得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交的延长线于， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键． 21. 某商店销售一种成本为每千克30元的产品，据市场调查分析，若按每千克40元销售，一个月能出售500千克，当销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种情况，请解答以下问题： （1）设销售单价定为每千克元，月销售量为千克，求与之间的函数关系式． （2）该商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）y=−10x＋900；（2）销售单价定为70元 【解析】 【分析】（1）根据月销售量＝500−10×（销售单价−40），即可得出y与x之间的函数关系式； （2）先由月销售成本不超过10000元，得出月销售量不超过10000÷30＝千克．再根据月销售利润达到8000元列出方程，进而求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：y＝500−（x−40）×10＝−10x＋900； （2）由于月销售成本不超过10000元， 所以月销售量不超过10000÷30＝（千克）． 根据题意得：（x−30）（−10x＋900）＝8000， 解得：x1＝50，x2＝70． 当x1＝50时，−10×50＋900＝400＞，舍去； 当x2＝70时，−10×70＋900＝200＜，符合题意． 故销售单价定为70元． 【点睛】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 五、解答题（三）（每小题12分，共24分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． （1）求m和的值； （2）函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①11；②存在，或 【解析】 【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值； （2）①求出A的坐标为，点D的坐标为，得到，由题意得：，则，过点C作轴，垂足为点F，根据题意列出关于t的方程，解方程即可得到答案； ②先写出使得为直角三角形时的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的的值即可； 本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思相解答． 【小问1详解】 解：把点代入函数， 得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； 【小问2详解】 ①当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 由（1）得： ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ 由题意得：，则， 过点C作轴，垂足为点F， ∵， ∴ 当的面积为6时，即， ∴， 解之得：， 所以当t的值为11时，的面积为6 存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当或时，为直角三角形． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在右侧作正方形． （1）当点B在x轴正半轴上运动时，求点C的坐标（用m表示）； （2）当时，如图2，P为上一点，过点P作，过A作，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，求的值． 【答案】（1） （2） 如图，在上取点Q，使，连接， 正方形为对角线， ，，， ， ， ①，， ， ， ， ， ， ， ，② 由①②知：， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）如图1中，作轴于．利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）如图2中，在上取点Q，使，连接，先证明，再根据全等三角形的性质解决问题即可； （3）过M作交于F．证明，再根据全等三角形的性质解决问题即可； 【小问1详解】 如图1中，作轴于E． ， ，， ， ， ， ，， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过M作交于F． 正方形， ， ∴ ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或特殊四边形解决问题，学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期开学质检练习 九年级数学科 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组线段中，能够组成直角三角形一组是（ ） A. 1，1， B. 1，2，3 C. 2，2，2 D. 6，8，10 2. 方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 2，5，4 B. 2，﹣5，4 C. ﹣2，﹣5，4 D. 2，﹣5，﹣4 3. 下列选项中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（　　） A. B. C. D. 5. 下列判断错误的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四条边都相等的四边形是菱形 C. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 D. 两条对角线相等且平分的四边形是矩形 6. 某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级（1）班选派的7名学生一次性垫球成绩（单位：个）如图所示．则下列结论中，正确的是（ ） A. 中位数为17 B. 众数为26 C. 平均成绩为20 D. 方差为0 7. 如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　） A. 11尺 B. 12尺 C. 13尺 D. 14尺 8. 如图，用长为的栅栏围成一个面积为的矩形花圃，为方便进出，在边上留有一个宽的小门，设的长为，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 9. 一辆行驶速度恒定的无人驾驶快递车从公司出发，到达A驿站卸完包裹后，立即前往B驿站，再卸完包裹后快递车按原路返回公司．已知公司和A、B两驿站在一条直线上，每个驿站卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s与时间t的函数关系如图所示，则快递车在每个驿站卸包裹的时间为（ ） A. 4分钟 B. 6分钟 C. 7分钟 D. 5分钟 10. 如图，中，，顶点A在第一象限内，点B的坐标为，点C的坐标为，将沿AB翻折得到，此时点恰好落在x轴上，则顶点A的纵坐标为（ ） A. 10 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 12. 某单位招聘员工，其中一名应聘者的笔试成绩是90分，面试成绩是80分. 若笔试成绩与面试成绩在综合成绩中的权重分别是70%、30%．则该应聘者的综合成绩是_______分． 13. 如图，在中，点在上，于点是的中点，连接，若，则__________． 14. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则____． 15. 如图，在中，为边上一动点（且点不与点、重合），于．则的最小值为___________． 三、解答题（一）（每小题8分，共24分） 16. 计算：（1）； 解方程：（2） 17. 如图，中，为的中点，连接并延长到，使．求证：． 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根，满足，求实数的值． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 为进一步加强学生体质，某中学推行“阳光体育活动”计划，要求学生在课后自主完成体育锻炼并记录，经过一段时间后，学校随机抽查了该校30名学生某一天课后体育锻炼时间（单位：分钟），如图是根据抽查结果绘制的统计图的一部分： 根据以上信息解决以下问题： （1）这一天课后体育锻炼时间为60分钟的人数为__________人，请补全条形统计图； （2）这一天课后体育锻炼时间的众数是__________； （3）若该校共有600名学生，请估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数． 20. 如图，四边形为平行四边形． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，，求线段的长． 21. 某商店销售一种成本为每千克30元的产品，据市场调查分析，若按每千克40元销售，一个月能出售500千克，当销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种情况，请解答以下问题： （1）设销售单价定为每千克元，月销售量为千克，求与之间的函数关系式． （2）该商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 五、解答题（三）（每小题12分，共24分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． （1）求m和的值； （2）函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在右侧作正方形． （1）当点B在x轴正半轴上运动时，求点C的坐标（用m表示）； （2）当时，如图2，P为上一点，过点P作，过A作，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $