专题04 二次根式章末50道压轴题型专训（5大题型）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题04 二次根式章末50道压轴题型专训（5大题型） 题型一 复合二次根式的化简 题型二 分母有理化 题型三 二次根式的化简求值 题型四 二次根式的规律问题 题型五 二次根式的综合应用 【经典例题一 复合二次根式的化简】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知，求的值． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）请解答下列各题： （1）． （2）已知，，求的值． 3．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）观察下面的式子：，，， (1)类比上述式子，再写3个同类型的式子； (2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 5．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）观察下面的解法：为求的值，可设， 显然则． 仿照上面的解法，求的值． 6．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 7．（2025·四川巴中·模拟预测）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程． 解：设﹣＝m，与原方程相乘得： （＋）×（）＝5m， x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1， ∴﹣＝1，与原方程相加得： （＋）+（）＝5＋1， 2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根． 学习借鉴解法，解方程﹣＝1． 8．（24-25九年级上·四川简阳·期中）阅读理解题：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，我们来进行以下的探索： 设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法，请仿照上述方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n都为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　 　，b＝　 　． （2）若a﹣4＝（m﹣n）2且a，m，n都为正整数，求a的值． 9．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______； (2)若且a、m、n均为正整数，求a的值． (3)化简：． 10．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟悉掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有非负数都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察： ； 反之，； ∴； ∴. 仿上例，求： （1）； （2）若，则、与、的关系是什么？并说明理由. 【经典例题二 分母有理化】 11．（2025九年级上·四川遂宁·专题练习）定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： (1)若a与是关于6的共轭二次根式，则__； (2)若与是关于26的共轭二次根式，求m的值 12．（2025九年级上·四川资阳·专题练习）[核心素养]阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)试求的值． 13．（25-26九年级上·四川眉山·课后作业）化简． 解：． 请回答下列问题： (1)归纳：请直接写出下列各式的结果 ①________； ②________． (2)应用：化简． 14．（24-25九年级上·河南新乡·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式化简时，形如、这样的式子可以进一步化简： ；； 以上化简过程称为分母有理化，其中与，与互为有理化因式． (1)的有理化因式是 ；的有理化因式是 ； (2)化简：； (3)化简：． 15．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）阅读下面的材料，并解答问题： ； ； ； (1)填空： ， （为正整数； (2)利用（1）发现的规律计算： 16．（24-25九年级上·广西百色·期末）两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．例如：与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法． 例如：； ． (1)直接写出的有理化因式：_____． (2)请仿照上面的方法化简（且）． (3)已知，，求的值． 17．（24-25九年级上·福建厦门·期中）阅读下列运算过程，并完成各小题：；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：；． 模仿上例完成下列各小题： (1) ； (2)请根据你得到的规律计算下题：（n为正整数）． 18．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：，，，，，． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)________ ； ________． (2)化简：． (3)若，请按照小丽的方法求的值． 19．（24-25九年级上·四川巴中·期末）通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化． 如这些运算都称为分母有理化． (1)将下列二次根式分母理化：___________，___________ (2)甲、乙两人化简时，写出两种不同的解答过程． 甲： 乙： 请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（　　） A．甲对乙错    B．甲错乙对    C．甲、乙全对    D．甲、乙全错 (3)已知有理数a、b满足求a、b的值． 20．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题： (1)的有理化因式是_______，分母有理化得_______； (2)比较大小：_______（用“＜”“＞”或“＝”填空）； (3)计算：． 【经典例题三 二次根式的化简求值】 21．（24-25九年级上·四川内江·期末）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 22．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）定义：任意两个数，按规则扩充得到一个新数c，将所得的新数称为“如意数”． (1)若，，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，，证明“如意数”c是非负数． 23．（24-25九年级上·四川乐山·期中）先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮 解：原式 小芳 解：原式 (1)_____的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_______； (2)先化简，再求值：，其中． 24．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．例如：，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：已知，． (1)化简，； (2)求代数式的值． 25．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 26．（24-25九年级上·四川内江·期中）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小明根据二次根式的性质：． 联想到了以下的解题方法： 由得，则， 即，∴， 把作为整体，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． 27．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_________； (2)已知：，则_______； (3)计算：________ 28．（24-25九年级上·四川内江·期末）对于求三角形的面积，古今中外不少人都进行了研究，其中比较早且卓有成效的当属我国古代数学家秦九韶．他在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：①（其中为三角形的三边长，为面积）． （）若已知三角形的三边长分别为，试运用公式①，计算该三角形的面积； （）国外有求三角形面积的“海伦公式”：②（其中）．请你取一组你喜欢的值，验算公式①、公式②的结果是否一样？ 29．（24-25九年级上·四川攀枝花·阶段练习）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值. 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以. (1)化简：______； (2)化简： (3)若，按照小明的做法，求的值. 30．（24-25九年级上·四川巴中·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简； (2)若，求的值． 【经典例题四 二次根式的规律问题】 31．（24-25九年级上·四川简阳·期末）（1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证： ， ， （2）用字母n（n是正整数，）表示这一规律是：____________； 32．（24-25九年级上·四川内江·期中）观察下列各式：    (1)猜想的变形结果． (2)针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明． 33．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题． ， ， ……； （2）用，，表示上述规律为： ； （3）利用（2）中的结论，求的值； （4）设，，试用含，的式子表示； 34．（24-25九年级上·山西临汾·单元测试）-观察下列各式及其化简过程回答以下问题． (1)填空：＝______________＝______________＝； (2)化简：； (3)针对上述各式反映的规律，写出中m、n与a、b之间的关系． 35．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）观察下列各式： ； ； ． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m（m为正整数，）表示的等式：__________； (3)利用上述规律计算：． 36．（2025·四川宜宾·模拟预测）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 37．（24-25九年级上·四川内江·期末）观察下列运算 由，得； 由，得； 由，得； 由，得； (1)通过观察，请填空：_________________________． (2)利用你发现的规律，计算：． 38．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：．请完成下列问题： (1)的有理化因式是_____；_____． (2)利用这一规律计算：的值． 39．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． …… (1)按照以上规律，写出第6个等式：________________________． (2)按照以上规律，写出你猜想的第个等式：____________________________________（用含的等式表示，为正整数），并证明等式成立． (3)利用上述规律计算． 40．（24-25九年级上·四川巴中·期末）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在有什么样的关系？小南用自己的方法进行了验证：，而， ∴，即 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，请直接写出和之间的关系； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)运用上述规律解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【经典例题五 二次根式的综合应用】 41．（24-25九年级上·四川简阳·期末）（1）在如下6×6的正方形网格中（每个小正方形边长均为1），画出一个面积为17的正方形； （2）在如图所示的数轴上找到表示的点A（保留画图痕迹）． 42．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）一个三角形的边长分别为、、． (1)求它的周长（要求结果化简）； (2)请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长的值． 43．（24-25九年级上·四川简阳·期中）观察下列各等式： ， 根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题： (1)上面等式反映的规律用文字语言可描述如下： 存在带分数，它的____________等于它的整数部分与分数部分的____________的积． (2)填空： (3)请你再写一个带分数，使得它具有上述等式的特征（写出完整的等式）： _______________________________________________． (4)若用表示满足具有上述等式的带分数的整数部分，表示其分数部分的分母，则与之间的关系可以表示为____________________． 44．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）（1）填空：（只填写符号：，，） ①当时，_________； ②当时，_________； ③当时，_________； （2）观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明；（提示：） （3）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为16的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？ 45．（24-25九年级上·四川遂宁·单元测试）（1）如图，在直线m的同侧有A，B两点，在直线m上找点P，Q，使PA+PB最小，|QB-QA|最大（保留作图痕迹） （2）平面直角坐标系内有两点A（2，3），B（4，5），请分别在x轴，y轴上找点P，Q，使PA+PB最小，|QB-QA|最大，则点P，Q的坐标分别为 ， （3）代数式的最小值是 ，此时x= （4）代数式的最大值是 ，此时x= ． 46．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）【综合与实践】如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）． (1)原小正方形的边长为______ ； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由 (3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由． 47．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）． (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 48．（24-25九年级上·四川乐山·期中）阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 49．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解∵∴又∵，∴，即时取等号． ∴的最小值为4． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当__________时，有最小值__________． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 50．（2025·重庆·模拟预测）阅读下列两则材料，回答问题： 材料一：因为所以我们将与称为一对“有理化因式”，有时我们可以通过构造“有理化因式”求值 例如：已知，求的值 解：，∵ 材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），所以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝，反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝，所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离； （1）利用材料一，解关于x的方程：，其中x≤2； （2）利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式章末50道压轴题型专训（5大题型） 题型一 复合二次根式的化简 题型二 分母有理化 题型三 二次根式的化简求值 题型四 二次根式的规律问题 题型五 二次根式的综合应用 【经典例题一 复合二次根式的化简】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据非负数的意义求出、的值，再把进行变形，最后把、的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∵ ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查非负数的性质，代数式的化简求值，二次根式的性质，绝对值的性质．理解和掌握绝对值，二次根式的性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）请解答下列各题： （1）． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）-2；（2）12 【分析】（1）利用二次根式乘除法进行化简，最后进行加减运算即可求解； （2）将进行化简，最后代入x、y的值即可求解． 【详解】（1） ． （2），， ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，正确理解二次根式的性质是本题的解题关键． 3．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）观察下面的式子：，，， (1)类比上述式子，再写3个同类型的式子； (2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明． 【答案】(1)，， (2)猜想：，证明见解析 【分析】本题是数字规律题，分式的化简，二次根式的性质，考查学生把特殊归纳到一般的能力，解题关键是仔细观察，找出各式的内在联系， （1）先观察列举出的式子，再写出3个同类型的式子； （2）可找出它们的一般规律，用含有n的式子表示出来即可，再根据分式的性质化简证明即可． 【详解】（1）解：答案不唯一，如3个同类型的式子是： ，，； （2）猜想：（为自然数）． 证明：． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 ． （2）解：∵， ∴， 即，． 5．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）观察下面的解法：为求的值，可设， 显然则． 仿照上面的解法，求的值． 【答案】 【分析】先求出()2的值，再根据与()2的关系即可求出答案. 【详解】解：可设x= 显然则 x2=()2 = = =6, ∵x＞0, ∴=. 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，关键是找出规律再进行计算，要注意结果的符号. 6．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 7．（2025·四川巴中·模拟预测）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程． 解：设﹣＝m，与原方程相乘得： （＋）×（）＝5m， x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1， ∴﹣＝1，与原方程相加得： （＋）+（）＝5＋1， 2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根． 学习借鉴解法，解方程﹣＝1． 【答案】x＝7 【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解． 【详解】解：设+＝m，与原方程相乘得： （﹣）×（+）＝m， x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3， ∴+＝3，与原方程相加得： （﹣）+（+）＝3＋1， 2＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根． 【点睛】此题主要考查解无理方程，解题的关键是阅读理解，用新方法解决问题． 8．（24-25九年级上·四川简阳·期中）阅读理解题：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，我们来进行以下的探索： 设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法，请仿照上述方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n都为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　 　，b＝　 　． （2）若a﹣4＝（m﹣n）2且a，m，n都为正整数，求a的值． 【答案】（1）m2+5n2，2mn   （2）21或9 【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+5n2+2mn，而a，b，m，n都是正整数，则利用无理数和有理数的意义得到a＝m2+5n2，b＝2mn； （2）利用（1）的方法得到﹣2mn＝﹣4，a＝m2+5n2，再利用m，n都为正整数得到m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，然后计算对应的a的值即可． 【详解】解：（1）（m+n）2＝m2+5n2+2mn， ∴a＝m2+5n2，b＝2mn； 故答案为m2+5n2，b＝2mn； （2）∵a﹣4＝（m﹣n）2， ∴a﹣4＝m2+5n2﹣2mn， ∴﹣2mn＝﹣4，a＝m2+5n2， ∵a，m，n都为正整数， 而mn＝2， ∴当m＝1时，n＝2，此时a＝12+5×22＝21； 当m＝2时，n＝1，此时a＝22+5×12＝9； 综上所述，a的值为21或9． 【点睛】此题主要考查新定义运算的求解，解题的关键是熟知完全平方公式的运用. 9．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______； (2)若且a、m、n均为正整数，求a的值． (3)化简：． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解； （2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解； （3），据此即可求解． 【详解】（1）解： ∵ ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ∴， 由（1）中结论可知：， ∴， ∵m、n均为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； ∴a的值为或． （3）解：， ∴． 【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键． 10．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟悉掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有非负数都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察： ； 反之，； ∴； ∴. 仿上例，求： （1）； （2）若，则、与、的关系是什么？并说明理由. 【答案】（1）；（2），.理由见解析. 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料两边同时平方即可求解. 【详解】（1） ； （2），； ∵，∴， ∴， ∴，. 【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的运算法则. 【经典例题二 分母有理化】 11．（2025九年级上·四川遂宁·专题练习）定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： (1)若a与是关于6的共轭二次根式，则__； (2)若与是关于26的共轭二次根式，求m的值 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，分母有理化，平方差公式，并会用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值． 【详解】（1）解：∵a与是关于6的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （2）解：∵与是关于26的共轭二次根式， ∴， ∴， ∴． 12．（2025九年级上·四川资阳·专题练习）[核心素养]阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)试求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，运用平方差公式进行运算，分母有理化，关键是读懂题中材料提供的解法，并能正确应用． （1）根据运用平方差公式进行运算，将分母有理化； （2）对每一项分母有理化，再去括号，合并同类二次根式． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ． 13．（25-26九年级上·四川眉山·课后作业）化简． 解：． 请回答下列问题： (1)归纳：请直接写出下列各式的结果 ①________； ②________． (2)应用：化简． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练的进行计算是解题的关键． （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）先进行分母有理化，然后进行计算即可得到答案； 【详解】（1）解：①； ② （2）解：原式 ． 14．（24-25九年级上·河南新乡·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式化简时，形如、这样的式子可以进一步化简： ；； 以上化简过程称为分母有理化，其中与，与互为有理化因式． (1)的有理化因式是 ；的有理化因式是 ； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化以及二次根式的混合运算； （1）根据题意求得和的有理化因式，即可求解； （2）分子分母都乘以即可； （3）分子分母都乘以即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式是；的有理化因式是， 故答案为：；． （2）解：； （3）解： 15．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）阅读下面的材料，并解答问题： ； ； ； (1)填空： ， （为正整数； (2)利用（1）发现的规律计算： 【答案】(1) ； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式分母有理化，平方差公式，准确计算是解题的关键． （1）根据平方差公式分母有理化即可； （2）对每一个式子分母有理化，再进行合并计算即可； 【详解】（1）解：由题意知 ， ， 故答案为： ；； （2）解： ． 16．（24-25九年级上·广西百色·期末）两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．例如：与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法． 例如：； ． (1)直接写出的有理化因式：_____． (2)请仿照上面的方法化简（且）． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据有理化因式的定义即可解答； （2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简； （3）通过分母有理化可化简、，从而求出、，根据，将的值代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是的有理化因式， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：， ， ． 17．（24-25九年级上·福建厦门·期中）阅读下列运算过程，并完成各小题：；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：；． 模仿上例完成下列各小题： (1) ； (2)请根据你得到的规律计算下题：（n为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化， 对于（1），分子和分母都乘以，再运算即可； 对于（2），分子和分母依次乘以，再计算即可． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）解：原式 ． 18．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：，，，，，． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)________ ； ________． (2)化简：． (3)若，请按照小丽的方法求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分母有理化，整体代入法求代数式的值是解题的关键． （）根据例题可得：对每个式子的分子和分母同时乘以分母的有理化因式化简即可； （）将式子中的每一个分式进行分母有理化，即可求解； （）仿照题例求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ∴． 19．（24-25九年级上·四川巴中·期末）通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化． 如这些运算都称为分母有理化． (1)将下列二次根式分母理化：___________，___________ (2)甲、乙两人化简时，写出两种不同的解答过程． 甲： 乙： 请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（　　） A．甲对乙错    B．甲错乙对    C．甲、乙全对    D．甲、乙全错 (3)已知有理数a、b满足求a、b的值． 【答案】(1)， (2)C (3)， 【分析】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式． （1）根据乘以有理化因式或根据平方差公式因式分解化简计算即可； （2）根据（1）中方法进行判断即可； （3）根据方法一，进行分母有理化计算得出，根据为有理数，进而即可求得的值，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：，； （2）根据（1）中的方法进行计算可知，甲、乙都对 故选：C． （3）解： 是有理数 ． 20．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题： (1)的有理化因式是_______，分母有理化得_______； (2)比较大小：_______（用“＜”“＞”或“＝”填空）； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的应用，平方差公式，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）按照题干中的步骤进行有理化因式，分母有理化即可求解． （2）将和分母有理化，即可比较大小． （3）将原式分母有理化，化简就可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴分母有理化得， 故答案为：，； （2）解：∵，， 又， ∴， 故答案为：． （3）解：将分母有理化，可得 原式 ． 【经典例题三 二次根式的化简求值】 21．（24-25九年级上·四川内江·期末）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)18 【分析】此题考查了二次根式的化简求值及完全平方公式，掌握二次根式的加减法则和乘法法则是解题关键． （1）直接利用已知得出的值即可； （2）直接利用已知得出的值，再根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）， 则． 22．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）定义：任意两个数，按规则扩充得到一个新数c，将所得的新数称为“如意数”． (1)若，，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，，证明“如意数”c是非负数． 【答案】(1)8 (2)见解析 【分析】本题考查了代数式求值，整式混合运算，完全平方式的非负性，难度不大． （1）本题是一道自定义运算题型，根据题中给的如意数的概念，代入即可得出结果； （2）根据如意数的定义，求出代数式，分析取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴“如意数”c为非负数． 23．（24-25九年级上·四川乐山·期中）先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮 解：原式 小芳 解：原式 (1)_____的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_______； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮； (2)；8 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值是解题的关键． （1）根据二次根式的性质判断即可； （2）根据二次根式的性质将原式化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 故答案为：小亮； （2）解： ， ∵， ∴原式． 24．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．例如：，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：已知，． (1)化简，； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，代数式的求值，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据题干中提供的分母有理化的方法进行化简即可； （2）根据化简后的a、b的值得出，，将变形为，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 25．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到；将整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由得， 则， ∴， ∴． （2）解：由得，则， ∴， ∴ ． 26．（24-25九年级上·四川内江·期中）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小明根据二次根式的性质：． 联想到了以下的解题方法： 由得，则， 即，∴， 把作为整体，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值、完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到，，把代入得到，进而可得出结论． 【详解】（1）解：由，，则， ∴， ∴； （2）解：由得，则， ∴， ∴ ． 27．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_________； (2)已知：，则_______； (3)计算：________ 【答案】(1) (2)2 (3)9 【分析】本题考查了分母有理化的应用，能正确变形是解此题的关键． （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可； （2）根据题干中的步骤进行计算即可； （2）结合题干的方法进行分母有理化，再合并即可得结果． 【详解】（1）； （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∴； （3）根据题意得， ． 28．（24-25九年级上·四川内江·期末）对于求三角形的面积，古今中外不少人都进行了研究，其中比较早且卓有成效的当属我国古代数学家秦九韶．他在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：①（其中为三角形的三边长，为面积）． （）若已知三角形的三边长分别为，试运用公式①，计算该三角形的面积； （）国外有求三角形面积的“海伦公式”：②（其中）．请你取一组你喜欢的值，验算公式①、公式②的结果是否一样？ 【答案】（）；（）一样 【分析】（）把，，代入公式①计算即可求解； （）取，，，求出的值，再代入公式②计算求出结果，进而根据（）的结果比较即可判断求解； 本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）把，，代入公式①得， ； （）取，，， 则由公式②得，， ∴把，，，代入公式②得， ， ∴结合（）可知，公式①、公式②的结果是一样． 29．（24-25九年级上·四川攀枝花·阶段练习）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值. 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以. (1)化简：______； (2)化简： (3)若，按照小明的做法，求的值. 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算到最后，注意结果要化为最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． （1）利用分母有理化计算即可； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，根据完全平方公式将变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解：， ， ∴ ． 30．（24-25九年级上·四川巴中·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和代数式求值，正确理解题干给的信息、掌握求解的方法是关键； （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）仿照题干中给的方法解答即可 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴ ． 【经典例题四 二次根式的规律问题】 31．（24-25九年级上·四川简阳·期末）（1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证： ， ， （2）用字母n（n是正整数，）表示这一规律是：____________； 【答案】（1）成立，验证见解析；（2） 【分析】本题主要考查了规律探索，二次根式性质，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，验证即可； （2）根据， ，得出一般规律，写出答案即可． 【详解】解：（1）成立． 验证如下： ， ， ， ∴各式都成立； （2）∵， ， ∴用字母n（n是正整数，）表示这一规律是：． 32．（24-25九年级上·四川内江·期中）观察下列各式：    (1)猜想的变形结果． (2)针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律，二次根式的性质，解题的关键在于能够根据题意找到规律． （1）根据题意写出第五个式子即可； （2）根据式子间的规律可以发现第n个式子为． 【详解】（1）解：由题意得，第五个式子为． （2）解：第n个式子为，理由如下： ， ∴． 33．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题． ， ， ……； （2）用，，表示上述规律为： ； （3）利用（2）中的结论，求的值； （4）设，，试用含，的式子表示； 【答案】（1）=，=，=；（2）（，）；（3）2；（4） 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算， 对于（1），根据二次根式乘法得出结果判断即可； 对于（2），根据（1）中计算的结果得出结论； 对于（3），根据二次根式的乘法计算； 对于（4），根据规律得，即可得出答案. 【详解】解：（1），， ； ； ； 故答案为：； （2）（，）， 故答案为：（，）； （3）； （4），， 34．（24-25九年级上·山西临汾·单元测试）-观察下列各式及其化简过程回答以下问题． (1)填空：＝______________＝______________＝； (2)化简：； (3)针对上述各式反映的规律，写出中m、n与a、b之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，对于（1），将化为，再开方即可； 对于（2），将化为，再开方即可； 对于（3），两边平方，再整理可得答案． 【详解】（1） 故答案为:； （2） ； （3） 两边平方，得 ∴. 35．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）观察下列各式： ； ； ． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m（m为正整数，）表示的等式：__________； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）（2）根据已知等式的规律可得结论； （3），在根据已知等式的规律可得答案． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）． 36．（2025·四川宜宾·模拟预测）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【分析】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； （2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； （3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 【详解】解：（1）； （2）根据以上等式的规律可得，； （3）① ； ② ． 【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 37．（24-25九年级上·四川内江·期末）观察下列运算 由，得； 由，得； 由，得； 由，得； (1)通过观察，请填空：_________________________． (2)利用你发现的规律，计算：． 【答案】(1)（为正整数）； (2) 【分析】本题考查了分母有理化，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意得出规律即可得解； （2）根据（1）中的规律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：（为正整数）； （2）解：由（1）可得（为正整数）， ∴原式 ． 38．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：．请完成下列问题： (1)的有理化因式是_____；_____． (2)利用这一规律计算：的值． 【答案】(1)，． (2)2024 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则等知识点．掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）根据有理化因式和平方差公式求解即可； （2）先分母有理化，再把括号内合并，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴的有理化因式是； . 故答案为：，． （2）解： ． 39．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． …… (1)按照以上规律，写出第6个等式：________________________． (2)按照以上规律，写出你猜想的第个等式：____________________________________（用含的等式表示，为正整数），并证明等式成立． (3)利用上述规律计算． 【答案】(1) (2)，验证过程见详解 (3) 【分析】本题主要考查二次根式的化简，数字规律，理解材料提示的计算方法，掌握二次根式的性质，完全平方公式的计算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示方法计算，再运用完全平方公式，二次根式的性质化简即可验证； （3）结合材料提示方法进行化简计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，第6个等式为：， 故答案为：； （2）解：第个等式为：， 验证：等式左边， ∵， ∴等式左边， ∵等式右边， ∴左边右边， ∴上述猜想正确， 故答案为：； （3）解： ． 40．（24-25九年级上·四川巴中·期末）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在有什么样的关系？小南用自己的方法进行了验证：，而， ∴，即 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，请直接写出和之间的关系； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)运用上述规律解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1) (2)①20；②77 (3)16 【分析】本题考查了二次根式的乘法，求一个数的算术平方根，熟练掌握二次根式的乘法法则进行计算即可解答． （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：当时，； （2）①， ②； （3）由题意得：长方形的面积． 【经典例题五 二次根式的综合应用】 41．（24-25九年级上·四川简阳·期末）（1）在如下6×6的正方形网格中（每个小正方形边长均为1），画出一个面积为17的正方形； （2）在如图所示的数轴上找到表示的点A（保留画图痕迹）． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】（1）利用勾股定理画出长度为的线段，然后利用旋转画出边长为 的正方形即可； （2）先在数轴的负半轴上画出边长分别为1、2的矩形，然后在负半轴上截取矩形的对角线得到表示 的点． 【详解】解：（1）如图所示: （2）如图所示: 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 42．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）一个三角形的边长分别为、、． (1)求它的周长（要求结果化简）； (2)请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长的值． 【答案】(1)这个三角形的周长是： (2)当时，这个三角形的周长是． 【分析】（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并； （2）根据（1）中的结果，选择一个符合题意的x的值即可． 【详解】（1）解：一个三角形的三边长分别为为、、， 这个三角形的周长是： ； 这个三角形的周长是：； （2）解：当时，这个三角形的周长是：． ∴当时，这个三角形的周长是（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次根式的应用．解答本题的关键是掌握二次根式的性质与运算法则． 43．（24-25九年级上·四川简阳·期中）观察下列各等式： ， 根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题： (1)上面等式反映的规律用文字语言可描述如下： 存在带分数，它的____________等于它的整数部分与分数部分的____________的积． (2)填空： (3)请你再写一个带分数，使得它具有上述等式的特征（写出完整的等式）： _______________________________________________． (4)若用表示满足具有上述等式的带分数的整数部分，表示其分数部分的分母，则与之间的关系可以表示为____________________． 【答案】(1)算术平方根，算术平方根 (2)24，24 (3)（答案不唯一） (4) 【分析】（1）根据等式反映的规律求解即可； （2）根据等式反映的规律可得分数部分的分母等于整数部分的平方减一，进而求解即可； （3）根据等式反映的规律求解即可； （4）根据等式反映的规律求解即可． 【详解】（1）存在带分数，它的算术平方根等于它的整数部分与分数部分的算术平方根的积， 故答案为：算术平方根，算术平方根； （2）由上面等式反映的规律可得， 分数部分的分母等于整数部分的平方减一， ∴， ∴故答案为：24，24； （3）由题意可得，， 故答案为：（答案不唯一）； （4）∵表示满足具有上述等式的带分数的整数部分，表示其分数部分的分母， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质运用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 44．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）（1）填空：（只填写符号：，，） ①当时，_________； ②当时，_________； ③当时，_________； （2）观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明；（提示：） （3）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为16的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？ 【答案】（1）；；；（2）；证明见解析；（3）16 【分析】本题考查了二次根式非负性的应用，掌握二次根式的非负性是解题的关键． （）把各组的值分别代入和中计算，即可判断它们的大小关系； （）由，利用完全平方公式展开，变形后即可得到 ； （）设长方形的长宽分别为，则，利用()中的结论得到，则，进而可确定花坛周长的最小值； 【详解】解：（）当时，，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 故答案为：；；； （）． 证明：∵， ∴， ∴； （）设矩形花坛的长为，宽是，则， ∵， ∴， ∴， 即在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是． 45．（24-25九年级上·四川遂宁·单元测试）（1）如图，在直线m的同侧有A，B两点，在直线m上找点P，Q，使PA+PB最小，|QB-QA|最大（保留作图痕迹） （2）平面直角坐标系内有两点A（2，3），B（4，5），请分别在x轴，y轴上找点P，Q，使PA+PB最小，|QB-QA|最大，则点P，Q的坐标分别为 ， （3）代数式的最小值是 ，此时x= （4）代数式的最大值是 ，此时x= ． 【答案】(1)见解析；(2)，；(3)，；（4），-1. 【分析】（1）利用对称的性质即可解决问题．②利用三角形两边之差小于第三边即可解决问题． （2）点A关于x轴的对称点A′（2，-3），求出直线P′B即可解决问题．②求出直线AB的解析式即可解决问题． （3）欲求的最小值，可以看作在x轴上找一点P，使得点P到（4，5），（2，3）的距离之和最小． （4）欲求的最大值，可以看作在x轴上找一点Q，使得Q到A（2，3），B（4，5）的距离之差最大． 【详解】（1）①作点A关于直线m的对称点A′，连接A′B与直线m交于点P，此时PA+PB最小，点P如图所示． ②延长BA交直线m于Q，此时，|QB-QA|最大，点Q如图所示． （2）点A关于x轴的对称点A′（2，-3）， 直线A′B的解析式为y=4x-11，y=0时，x=， 所以点P坐标（，0）． 直线AB解析式为y=x+1，与y轴的交点为（0，1）， 所以点Q坐标（0，1）． （3）∵， 欲求的最小值， 可以看作在x轴上找一点P，使得点P到（4，5），（2，3）的距离之和最小， 由（2）可知x=，最小值=； （4）∵， 欲求的最大值， 可以看作在x轴上找一点Q，使得Q到A（2，3），B（4，5）的距离之差最大， ∵直线AB解析式为y=x+1，与x轴交于点Q（-1，0）， ∴x=-1时，此时最大值=2． 故答案为2，-1． 【点睛】本题考查轴对称、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用对称确定最值问题，学会转化的思想思考问题 46．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）【综合与实践】如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）． (1)原小正方形的边长为______ ； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由 (3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3)能，图见解析， 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、二次根式的实际应用等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据小正方形的面积是大正方形面积的一半可得小正方形的面积，即可解决问题； （2）设剪出来的长方形长为cm，宽为，根据面积为可得x的值，则长为，即可得出结论； （3）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为，据此画出示意图即可． 【详解】（1）解：小正方形的面积是大正方形面积的一半， 小正方形的面积为（cm2）， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（舍去负值）， ∴小正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：能剪出符合要求的长方形纸片，理由如下： 设剪出来的长方形长为，宽为， 依题意得， ∴或（舍去）， ∴长为， ∴能剪出符合要求的长方形纸片； （3）解：∵一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为， 画出示意图如图： 47．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）． (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的运算及自由落体运动中速度与高度关系公式的应用以及，解题关键是准确代入公式中各物理量的值，并熟练运用二次根式运算法则进行计算与化简 。 （）根据小亮家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果，。 （2）先根据小明家高度是小亮家2倍，算出小明家高度，再代入速度公式然后，与小亮家物品落地速度相比，即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意得，． 把，，代入得 ， ∴该楼层落地时的速度为． （2）解：不正确，理由如下： ∵小明住的高度是小亮家的倍， ∴． 将的值代入公式中，得： ∴，   即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是倍．因此，小明的说法不正确． 48．（24-25九年级上·四川乐山·期中）阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3) (4)这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解题意是解题的关键； （1）根据，当且仅当时取到等号．(，均为正数)即可求解． （2）根据例题的方法，，即可求解． （3）将看成整理，即，进而根据，代入即可求解； （4）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵ ∴ 故答案为：，． （2）解：∵， ∴ ∴当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：，． （3）解：∵ ∴ 设 ∴ 当时，即时，有最小值，最小值为 故答案为：． （4）设这个矩形的长为，所用的篱笆总长为， ∵围一个面积为的长方形花园， ∴宽为， ∴ ∵， ∴， 当且仅当时，即时有最小值，最小值为40． 时，=10， ∴当这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是． 49．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解∵∴又∵，∴，即时取等号． ∴的最小值为4． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当__________时，有最小值__________． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】(1)1；2 (2) (3)40米 【分析】（1）仿照阅读材料计算，即可求解； （2）先原式变形为，再仿照阅读材料计算，即可求解； （3）设垂直于墙的一边长为x米，其中，则平行于墙的一边长为米，可得需要用的篱笆长度为米，再仿照阅读材料计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 当，即时，取等号， ∴的最小值为2， 故答案为：1；2 （2）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，取等号， 即的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：设垂直于墙的一边长为x米，其中，则平行于墙的一边长为米， ∴需要用的篱笆长度为米， ∵， ∴当，即时，有最小值，为， 答：需要用的篱笆最少是米． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，理解阅读材料是解题的关键． 50．（2025·重庆·模拟预测）阅读下列两则材料，回答问题： 材料一：因为所以我们将与称为一对“有理化因式”，有时我们可以通过构造“有理化因式”求值 例如：已知，求的值 解：，∵ 材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），所以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝，反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝，所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离； （1）利用材料一，解关于x的方程：，其中x≤2； （2）利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围． 【答案】（1）x＝﹣2；（2）y＝x+5（﹣3≤x≤1）． 【分析】（1）根据材料一类比计算的值，利用换元法解方程，可得结论； （2）把根式下的式子转化成平方+平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式． 【详解】解：（1）， ， ； 设， 则，解得：， ∴， ∵x≤2， 解得：x＝﹣2； （2）， ， ， 所以可将看作点（x，y）到点（1，6）的距离； 可将看作点（x，y）到点（﹣3，2）的距离； ∴当代数式取最小值， 即点（x，y）与点（1，6），（﹣3，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位于点（1，6）、（﹣3，2）的中间， ∴的最小值=，且﹣3≤x≤1， 设过（x，y），（1，6），（﹣3，2）的直线解析式为：y＝kx+b， ∴，   解得：， ∴y＝x+5（﹣3≤x≤1）． 【点睛】本题属于新定义题，理解新定义的内容完成题目要求，并运用类比的方法熟练掌握两点的距离公式． 学科网（北京）股份有限公司 $$