专题02 二次根式的加减乘除混合重难点题型专训（5个知识点+12大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题02 二次根式的加减乘除混合运算重难点题型专训 （5个知识点+12大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 最简二次根式的判断 题型二 化为最简二次根式 题型三 已知最简二次根式求参数 题型四 同类二次根式 题型五 二次根式的乘法 题型六 二次根式的除法 题型七 二次根式的加减运算 题型八 二次根式的乘除混合运算 题型九 分母有理化 题型十 比较二次根式的大小 题型十一 已知字母的值化简求值 题型十二 已知条件式化简求值 拓展训练一 二次根式的混合运算 拓展训练二 二次根式的新定义运算 拓展训练三 利用分母有理化比较大小 拓展训练四 二次根式的应用 知识点一：二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 1．（24-25九年级上·广西崇左·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键 根据二次根式的乘法法则，两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变即可求解 【详解】解：根据二次根式的乘法法则，（，）， ∴， 故选：D 2．（2025·四川眉山·模拟预测）计算的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的乘法，解题关键是熟悉二次根式的乘法法则． 根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：3 ． 知识点二：二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的除法运算法则直接计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·课后作业）一般地，二次根式的除法法则是； ，反过来，可得； ． 【答案】 （）； （）． 【分析】根据二次根式的除法法则填空即可． 【详解】二次根式的除法法则是；（），反过来，可得；（）． 故答案为：（）；（）． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则，掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 知识点三： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即时训练】 1．（24-25九年级上·贵州黔西·阶段练习）下列各式中能与合并的二次根式是（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的概念，求解即可，二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同，则为同类二次根式． 【详解】解：，与的被开方数相同，都为2，为同类二次根式，可以合并，D选项符合题意； A、B、C选项与的被开方数不相同，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念． 2．（24-25九年级上·四川乐山·单元测试）如果两个最简二次根式 和 是同类二次根式，那么 ， ． 【答案】 【分析】由于给出的两个根式既是最简根式又是同类根式．那么他们就是同类二次根式，被开方数就应该相等，由此可得出关于a、b的方程，进而可求出a、b的值． 【详解】解：由最简二次根式 和 是同类二次根式，得 ， 解得， 故答案为：1，1 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 知识点四： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）计算：的结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键，根据二次根式的减法运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2025·四川简阳·模拟预测）计算： ． 【答案】1 【分析】先化简二次根式，再计算减法． 【详解】解：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的性质． 知识点五：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 1．（2025·四川攀枝花·模拟预测）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简即可得出答案． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 2．（24-25九年级上·河南许昌·期末）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【经典例题一 最简二次根式的判断】 【例1】（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母；③分母中不含根号．由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、，是最简二次根式，故符合题意； C、，不是最简二次根式，故不符合题意； D、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B． 1．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，先根据有意义得到，再根据二次根式的性质化成最简二次根式即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴且， 解得， ∴， 故选：B． 2．（2025·四川遂宁·模拟预测）二次根式、、、、、中，最简二次根式的概率是 ． 【答案】 【分析】根据最简根式的定义可得最简根式的个数，再根据概率公式随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案． 【详解】解：由题可知：＝，＝，＝，＝＝， 最简根式有，， ∴最简二次根式的概率是＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义及概率公式，根据二次根式的定义判断出最简二次根式的个数是解题的关键． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）最简二次根式：如果一个二次根式满足下列两个条件： （1）被开方数不含有能 的因数或因式； （2）被开方数中的因数是 ，字母因式是 ． 我们把这个二次根式叫最简二次根式，注：二次根式的运算结果应化为最简二次根式． 【答案】 化为平方数或平方式 整数 整式 【分析】直接根据最简二次根式的定义进行填空即可． 【详解】解：最简二次根式满足以下两个条件： （1）被开方数不含有能化为平方数或平方式的因数或因式； （2）被开方数中的因数是整数，字母因式是整式； 故答案为：化为平方数或平方式；整数，整式． 【点睛】本题考查最简二次根式的知识，解题关键是掌握最简二次根式的定义． 4．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 【分析】根据最简二次根式定义：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，先利用二次根式性质化简，再结合最简二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：， 不是最简二次根式； （2）解：， 不是最简二次根式； （3）解：， 不是最简二次根式． 【点睛】本题考查二次根式性质及最简二次根式的概念，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 【经典例题二 化为最简二次根式】 【例2】（24-25九年级上·四川内江·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式要满足的条件（1.被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2；2.被开方数不含分母）是解题的关键． 根据最简二次根式的定义分别判断即可． 【详解】解：A.，不是最简二次根式； B.无法化简，是最简二次根式； C.，不是最简二次根式； D.，不是最简二次根式； 故选：B． 1．（24-25九年级上·四川资阳·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 2．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若最简二次根式与二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据最简二次根式与二次根式可以合并，得出最简二次根式与二次根式是同类二次根式，将化简为最简二次根式，得出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式可以合并， ∴最简二次根式与二次根式是同类二次根式， 又∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川攀枝花·阶段练习）观察下列二次根式的化简： ； ； ； … 则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，规律探究，根据规律确定，然后计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ； ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）计算： (1)； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)0； (2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质把各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）根据完全平方公式、二次根式的加法法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）当时， 【经典例题三 已知最简二次根式求参数】 【例3】（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知最简二次根式与2可以合并成一项，则a，b的值分别为（　　） A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2 【答案】C 【分析】根据最简二次根式和合并同类二次根式的法则得出方程组，求出方程组的解即可． 【详解】∵最简二次根式与2可以合并成一项， ∴， 解得：a＝1，b＝0， 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式和同类二次根式，二元一次方程组的解法，掌握这些知识点是关键. 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【详解】解：依题意，， 解得：， 且，符合题意， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 4．（2025九年级上·四川遂宁·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算,二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键． （1）根据同类二次根式的定义得出，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可； （2）先根据新运算求出，再根据新运算求出的值即可． 【详解】（1）最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， 的平方根是； （2）， ， ． 【经典例题四 同类二次根式】 【例4】（24-25九年级上·四川乐山·期末）下列二次根式，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式合并的条件是化简后为同类二次根式（即被开方数相同）．先将各选项化简，再判断是否与的被开方数一致． 【详解】解：，被开方数为． A．，被开方数为，不符合． B．，被开方数为，不符合． C．，被开方数为，符合条件． D．无法进一步化简，被开方数为，不符合． 综上，只有选项C能与合并． 故选C． 1．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先把各二次根式化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】A、与被开方数不同，故不是同类二次根式； B、与被开方数相同，故是同类二次根式； C、与被开方数不同，故不是同类二次根式； D、与被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川巴中·期中）若两个最简二次根式，与是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】根据同类二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：∵最简二次根式，与是同类二次根式， ∴ 解得：a=2 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·单元测试）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ， . 【答案】 1 1 【分析】根据同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案． 【详解】由最简二次根式与是同类二次根式， 得， 解得． 故答案是：1，1． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 4．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）嘉嘉和淇淇同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数，现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就加上球上的数；若摸到灰色球，就减去球上的数． (1)若嘉嘉摸到如图①所示的两个小球，请计算出结果； (2)如图②，若嘉嘉摸出全部的球，计算结果为，淇淇说的值能与合并，你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)淇淇的说法正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，同类二次根式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可列出式子计算求解即可； （2）根据题意结合二次根式的加减计算法则求出x的值，再判断x与是否为同类二次根式即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：淇淇的说法正确，理由如下： ， ∴， ∵， ∴的值能与合并， ∴淇淇的说法正确． 【经典例题五 二次根式的乘法】 【例5】（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知实数，则a所在的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，把化为，再估算出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 即． 故选：C 1．（2025·四川宜宾·模拟预测）已知，且．则A 的值为（   ） A．5 B．6 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把变形为，再把化简为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式乘法法则（）和二次根式的化简是解题的关键．利用二次根式乘法法则，将被开方数相乘后化简求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）我们赋予“”一个实际意义，规定，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算、根据新定义运算，理解新定义运算的法则是解题的关键，将代入新定义计算即可． 【详解】解：由新定义运算性质得： ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川内江·期末）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； 【答案】(1)，； (2)13或7 ． 【分析】本题考查二次根式的计算，完全平方公式，读懂阅读材料中的方法是解题的关键． （1）仿照例题计算即可得； （2）仿照例题计算，得出，，根据m，n均为正整数确定m和n的值，代入即可求解； 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，， ， m，n均为正整数， ，，或，， 当，时，， 当，时，， 综上可知，a的值为13或7； 【经典例题六 二次根式的除法】 【例6】（24-25九年级上·四川乐山·期末）矩形的宽为，面积为，则矩形的长为（   ） A． B．6 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式除法，根据矩形面积公式，长等于面积除以宽． 【详解】∵矩形的宽为，面积为，则长为： ， 故选：A． 1．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质，逐一分析各式的成立条件解答即可． 本题考查了二次根式的公式计算的使用条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：① ：当且时成立， 故①错误； ② ：当且时成立， 故②错误； ③ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立；故③正确； ④ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立， 故④正确． 综上，正确的有③和④，共2个． 故选：B． 2．（2025·四川资阳·模拟预测）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的除法运算，先算除法再化简即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 3．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在矩形纸片中，，点E在AB上，若点B关于直线CE的对称点落在AD上时，．则： （1） °； （2）BE的长为 ． 【答案】 45 【分析】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，二次根式的除法运算； （1）先证明，，求解，再进一步可得答案； （2）先证明，，设，则，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：， 4．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即， 的整数部分为2．小数部分为． 请解答：已知整数部分是，小数部分是，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算；熟练掌握用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．仿照题中给出的方法求出m、n的值，即可求出x的值． 【详解】解：，即， 的整数部分为4，小数部分为， ，， ∵， ， 解得：． 【经典例题七 二次根式的加减运算】 【例7】（24-25九年级上·四川简阳·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算．根据二次根式的加减乘除运算判定即可求解． 【详解】解：A、和不是同类二次根式不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B ． 1．（2025·四川宜宾·模拟预测）估计的值在（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减运算，先进行二次根式的加减计算，然后再估算出的值的范围即可解答． 【详解】解： 而， ∵， ∴， ∴估计的值在9和10之间， 故选：D． 2．（2025·四川乐山·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式化简及计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将两个二次根式依次化简，再进行减法运算即可． 【详解】解： ． 3．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算： 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，实数新定义运算即二次根式的大小比较，先比较与，与的大小，再根据新定义列出式子，利用二次根式加减运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·河南新乡·期末）（1）计算：． （2）已知a，b满足等式，求的值． 【答案】（1）0（2） 【分析】本题主要考查了化简二次根式和二次根式有意义的条件． （1）先把各项化简成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，求出a的值，进而求出b的值，然后将a和b的值代入要求的式子中计算即可． 熟练掌握二次根式有意义的条件和二次根式化简是解题的关键． 【详解】解：（1）． （2）由题意，得，且， 解得，且， ，， ． 【经典例题八 二次根式的乘除混合运算】 【例8】（24-25九年级上·四川遂宁·单元测试）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，正确计算是解题的关键． 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中M代表的实数为（    ） 2 1 6 M 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设方格中间的数为x，根据斜对角的3个实数相乘得到同样的结果得：，即可求解. 【详解】设方格中间的数为x，根据题意得：， 解得：， 即M代表的实数为； 故选：B. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确理解题意、得出关于M的等式是解题关键. 2．（24-25九年级上·四川乐山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 3．（24-25九年级上·四川内江·期末）等式成立的条件是 ． 【答案】﹣1≤a＜3 【分析】根据负数没有算术平方根列出不等式组，求出解集即可． 【详解】依题意，得：，解得：﹣1≤a＜3 【点睛】此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则 4．（2025九年级上·四川·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）① = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 当时取等号，即时，原式有最小值4． ② = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 【经典例题九 分母有理化】 【例9】（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解本题的关键． 分子分母同时乘以化简求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 1．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法，是解题关键．根据分母有理化，可化简a，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴， 故选：B． 2．（2025九年级上·四川遂宁·专题练习）化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分母有理化，先将原式分子分母同时乘以，然后化简求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）观察下列二次根式的化简：，，，从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值． ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减运算，先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号的值，然后再计算和第二个括号的乘积，能够发现式子的规律是解答此题的关键． 【详解】 解：原式 ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化． 如这些运算都称为分母有理化． (1)将下列二次根式分母理化：___________，___________ (2)甲、乙两人化简时，写出两种不同的解答过程． 甲： 乙： 请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（　　） A．甲对乙错    B．甲错乙对    C．甲、乙全对    D．甲、乙全错 (3)已知有理数a、b满足求a、b的值． 【答案】(1)， (2)C (3)， 【分析】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式． （1）根据乘以有理化因式或根据平方差公式因式分解化简计算即可； （2）根据（1）中方法进行判断即可； （3）根据方法一，进行分母有理化计算得出，根据为有理数，进而即可求得的值，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：，； （2）根据（1）中的方法进行计算可知，甲、乙都对 故选：C． （3）解： 是有理数 ． 【经典例题十 比较二次根式的大小】 【例10】（24-25九年级上·河南新乡·期末）比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较． 【详解】解：， ， 即：； 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小． 1．（24-25九年级上·四川乐山·期中）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 【详解】解：a=2021×2023-2021×2022 =2021（2023-2022） =2021； ∵20242-4×2023 =（2023+1）2-4×2023 =20232+2×2023+1-4×2023 =20232-2×2023+1 =（2023-1）2 =20222， ∴b=2022； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 2．（24-25九年级上·广西防城港·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，要在长、宽的矩形木板上截两个面积为和的正方形，是否可行？ ．(填“行”或“不行”)    【答案】行 【分析】根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是2和3，显然只需比较两个正方形的边长的和与7.5的大小及3与5的大小即可． 【详解】解：∵， 又∵＜1.5， ∴5＜5×1.5＝7.5，3＜3×1.5＝4.5＜5． 故答案为：行． 【点睛】此题要能够正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小． 4．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 【答案】(1)>； (2)，见解析． 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键， （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：， 则， 故答案为：>； （2）， 证明：， ， ， ， ． 【经典例题十一 已知字母的值化简求值】 【例11】（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）设，则代数式的值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先利用已知条件得，两边平方后得到，再整体代入中，逐步计算和代换，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知，，求的值． 嘉琪同学的解题步骤如下： ………………………………………………① ……………………② …………………………………………………………③ …………………………………………………………………④ 其中，首先出错的步骤是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】先用平方差公式分解，再代入数据求解即可． 【详解】解： ． 首先出错的步骤是②， 故选：B． 【点睛】本题考查了求代数式的值，涉及平方差公式，二次根式的运算，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知，则式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴代数式的值为24． 故答案为：24． 3．（2025·湖南衡阳·模拟预测）斐波那契数列中的第n个数可以用表示．通过计算求出斐波那契数列中的第2个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与化简求值，把代入式子计算即可得出答案，熟练掌握运算方法是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：当时， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）小蓓同学在解决问题：已知，求的值，她是这样分析与解答的： ∵， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小蓓的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)7 (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟知相关知识是解题的关键． （1）可证明，据此把所求式子裂项，进而计算求解即可； （2）①先分母有理化得到，进而得到，则，再根据计算求解即可； ②先分母有理化得到，进而得到，则，再把所求式子可变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：（n是正整数） ， ∴ ； （2）解：①∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ． 【经典例题十二 已知条件式化简求值】 【例12】（24-25九年级上·四川简阳·期末）已知x，y为实数，xy＝5，那么xy的值为（    ） A． B．2 C．±2 D．5 【答案】C 【分析】先化简所求式子，然后利用分类讨论的方法，可以求得所求式子的值． 【详解】解：， ，为实数，， 、同号， 当，时， 原式， 当，时， 原式， 由上可得，的值是， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 1．（2025九年级·四川简阳·专题练习）如果m2+m0，那么代数式（1）的值是（　　） A． B．2 C．+ 1 D．+ 2 【答案】A 【分析】先进行分式化简，再把m2+m代入即可. 【详解】解：（1） ＝m2+m， ∵m2+m0， ∴m2+m， ∴原式， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·单元测试）已知：m+n＝10，mn＝9，则＝ ． 【答案】 【分析】先求所求的代数式的完全平方形式，然后直接开平方即可求得的值． 【详解】∵m+n=10，mn=9， ∴=， ∴=±． 故答案是：±． 【点睛】考查了二次根式的化简求值，需要掌握完全平方公式． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】通过平方或分式的性质，把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算． 【详解】解：由，两边分别平方得：， ∴， 原式===， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示． 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 【拓展训练一 二次根式的混合运算】 1．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）小康和小英玩摸卡片游戏．如图，有三张完全相同的卡片A，B，C，卡片正面分别写有一个算式．现将背面朝上打乱，小康随机抽取两张．若小康抽取的两张卡片中算式的结果都是无理数，则它们的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了无理数以及二次根式的混合运算，先分别计算卡片A，B，C上的算式，再根据无理数的定义判断其中的两个无理数，再根据二次根式的性质以及运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， 卡片A，C上的数是无理数，卡片B上的数是有理数， ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南许昌·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，如图所示是其局部．若该画纸长为，宽为．现要装裱该画，装裱后的画的长增加，宽增加，则装裱后整个画卷的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算及长方形面积公式的应用，熟练掌握二次根式的化简与乘法运算法则是解题的关键． 先分别求出装裱后画卷的长和宽，再根据长方形面积公式（面积 = 长×宽）计算装裱后的面积，需要先化简二次根式，再进行乘法运算． 【详解】解：原来长为，长增加， 装裱后长为 原来宽为，宽增加， 装裱后宽为 ∴面积 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）化简与计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了实数的运算，立方根，平方差公式，二次根式的混合运算． （1）根据算术平方根，绝对值，立方根，幂的意义计算即可； （2）根据二次根式的乘除法法则和平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【拓展训练二 二次根式的新定义运算】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于新定义运算，二次根式混合运算，理解新定义运算法则，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减． 【详解】解： 故选：D． 2．（2025·河南南阳·模拟预测）定义新运算：a⊗b=，则×（2⊗3）的值为 ． 【答案】3． 【分析】先根据题目给出的例子得出实数混合运算的式子，再进行计算即可． 【详解】∵a⊗b=， ∴×（2⊗3） =3． 故答案为3． 【点睛】本题考查的是实数的混合运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如：，这种方法称为“分母有理化”．类似地，我们也可以对分子进行有理化． 问题： (1)将下列根式进行分母有理化，并化简： (2)定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：， ①求的值； ②若，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了新定义运算，分母有理化，平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意给出的方法，将分母有理化即可； （2）①根据新定义运算求出，代入即可求解； ②设，根据平方差公式可求出的值，即得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：根据题意可得： ， ， ∴； ②设， ∵， ∴得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【拓展训练三 利用分母有理化比较大小】 1．（24-25九年级上·重庆巫山·期末）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的有（    ）个 ①若是的小数部分，则；②比较大小：；③变形：；④计算： A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化的应用，解题的关键是熟练运用分母有理化的方法对式子进行变形、计算和比较． 依次对四个结论进行分析，通过分母有理化、根式的性质及大小比较方法来判断对错． 【详解】①由题意，，则．分子分母同乘，得：等式成立，①正确； ②     因为，根据分子相同，分母越大分数越小， 所以，即， ②错误； ③交叉相乘验证等式：左边，右边．展开后合并同类项得，等式不成立，③错误； ④每一项可以表示为：， ， ， ④错误． 综上，仅①正确， 故答案为：A． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：与；与． （1）的有理化因式为 ； （2）比较大小： （选填“>”“<”或“=”）； （3）计算： ． 【答案】 （答案不唯一） > 【分析】（1）先利用平方差公式计算，从而可得答案； （2）先变形可得，，结合，从而可得答案； （3）先分母有理化，从而原式可化为，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式为． （2）∵，， 而， ∴， ∴． （3） ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，与实数运算相关的规律探究，分母有理化的应用，熟练的利用分母有理化解决问题是解本题的关键． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）阅读下列材料： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出： ①_________；②_________； (2)请化简：； (3)若，比较的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)．理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算； （1）①根据例题进行计算即可求解；②根据题中的算式，直接得出规律即可； （2）利用（1）中规律展开，然后去括号合并即可． （3）根据（1）的结论，分子有理化，即可求解． 【详解】（1）解：①， 故答案为：． ②， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：，理由如下， 根据（2）中的规律可得：，， ∵， ∴， ∴． 【拓展训练四 二次根式的应用】 1．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，在一个正方形的内部放置两个大小不同的正方形，其中较小的正方形的面积为9，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较大的正方形的面积为（   ）    A． B． C．18 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．根据面积可求得小正方形和重叠部分的边长，从而求得空白部分的宽；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式即可求出空白部分的长，最后求出较大正方形的边长即可求出面积． 【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为， ∴一个空白长方形面积， ∵较小的正方形的面积为9，重叠部分面积为1， ∴小正方形边长，重叠部分边长， ∴空白部分的宽， 设空白部分长为x，可得：，解得：， ∴较大的正方形的边长=空白部分的长+重叠部分边长， ∴较大的正方形的面积， 故选：D． 2．（25-26九年级上·四川遂宁·随堂练习）将一列数按如图所示的数表排列，的位置可记为，的位置可记为若这列数中最大的有理数记为，则的值为 ． 【答案】23 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明确题意，发现题目中的数据的特点和排列的特点，找出最大的有理数所在的位置．根据题目中的数据可以得到这列数中最大有有理数的位置，进而得到m、n的值，从而可以求得的值． 【详解】解：，， 的位置记为， 这列数中的最大有理数是， 这列数中的最大有理数是记为， 这列数中的最大有理数的位置可记为， ， ， 故答案为：23． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）某加工厂有一批面积为56平方分米的铝合金板，它的宽是分米． (1)若用这批铝合金板裁出如下包含正方形A、B的工件，计算剩余材料阴影部分的面积； (2)用这种铝合金板能裁出两张面积均为25平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键； （1）依据题意，由铝合金板的长：（分米），可得另一边长为：（分米），则剩余材料的面积：（平方分米），即可得解； （2）依据题意，由，但，即可判断得解． 【详解】（1）解：铝合金板的长：（分米）， 另一边长为：（分米）， 剩余材料的面积：（平方分米）． （2）解：不能裁出；理由：（分米），（分米）， ，但， 不能裁出． 1．（2025九年级上·四川宜宾·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算． 【详解】解： 故选：B 2．（24-25九年级上·四川遂宁·单元测试）最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握几个最简二次根式的被开方数相同，这几个最简二次根式就叫做同类二次根式是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， ， 故选：A． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·单元测试）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接代入，利用完全平方公式以及平方差公式计算即可. 【详解】∵， ∴ ． 故选D. 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、乘法公式等知识，解题的关键是熟练掌握应用乘法公式，掌握二次根式的混合运算法则. 4．（25-26九年级上·四川攀枝花·单元测试）如表，甲、乙、丙三人手中各有一张卡片，卡片上分别写有一个算式，在这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（   ） 甲： 乙： 丙： A．3张 B．2张 C．1张 D．0张 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，有理数的定义，解题的关键是熟练掌握运算法则． 按照运算法则求出每个算式的结果，根据有理数的定义“整数和分数统称为有理数”判断即可． 【详解】解：∵，5是有理数， ，是有理数， ，是有理数， ∴计算结果是有理数的卡片有3张， 故选：A． 5．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据图形列出关系式是关键． 依据题意，由三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，则三个正方形的边长从左到右依次为，2，，可得矩形的长为，宽为2，进而阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和，从而可以列式计算得解． 【详解】解：由题意，∵三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2， ∴三个正方形的边长从左到右依次为，2，． ∴矩形的长为，宽为2． ∴阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和． 故选：D． 6．（2025·河南新乡·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，根式的乘法，解题的关键是掌握平方差公式，直接利用平方差公式进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·四川遂宁·单元测试）若是最简二次根式，则自然数 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 由是最简二次根式，可得，由n是自然数，作答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， 又∵n是自然数， ∴或1， 故答案为：0或1． 8．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）的倒数是 ， （比较大小）． 【答案】 < 【分析】根据倒数的定义即可得到的倒数；利用平方法即可比较和的大小． 【详解】解：的倒数是； ∵，， ∴； 故答案为：；<． 【点睛】本题考查实数的比较大小、求倒数，掌握倒数的定义以及实数比较大小的方法是解题的关键． 9．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则使有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式有意义的条件，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由最简二次根式与可以合并，得出，又有意义，则，最后解不等式即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴，解得：， ∵有意义， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·四川眉山·期中）我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，则三角形的面积．依据上述公式，若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的应用，理解题意将边长代入正确求值是解答本题的关键．根据题中给出的“秦九临公式”，把三边长直接带入进行求解即可． 【详解】解：根据，的三边长分别为5，6，7， ， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)（）； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴ ． 12．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）墨迹“□”挡住了二次根式运算“”的一部分． (1)若“□”覆盖的是，嘉琪进行如下计算： ………① …② …………………③ ………………………………④ 嘉琪是从第___________步开始出错的，正确的结果应该是___________； (2)若原式的计算结果为，求墨迹覆盖的数． 【答案】(1)②， (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）第②步的运算顺序和二次根式的减法运算错误，应该先计算二次根式的除法运算，然后合并同类二次根式； （2）设“□”覆盖的数为，则，然后解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：嘉琪是从第②步开始出错的，正确的结果应该； 故答案为：②，； （2）解：设“□”覆盖的数为，则， ， ， 即墨迹覆盖的数为． 13．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，，． ． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1) = ； (2)化简：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）把所求式子的分子与分母同时乘以进行分母有理化即可得到答案； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子每一项分母有理化，再计算求解即可； （3）先分母有理化得到，则可求出，再把所求式子中的替换为，进一步化简后把用替换，最后化简求值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：（n为正整数） ， ∴ ； （3）解：∵， ， ，即， ， ∴ ． 14．（24-25九年级上·四川资阳·期中）居民小区有块矩形绿地，绿地的长为米，宽为米．要在绿地内修建一个矩形小花坛（阴影部分），花坛的长为（）米，宽为（）米． (1)求绿地的周长；（参考数值：，，结果精确到1米） (2)除去修建花坛的地方，绿地的其余地方修建成通道．若通道要铺设造价为80元/米的地砖，铺设地砖需要花费多少元？ 【答案】(1)绿地的周长约为42米 (2)8000元 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：绿地的周长： （米）． ∴绿地的周长约为42米； （2）解： （平方米）． ∴购买地砖的花费为（元）． 15．（24-25九年级上·四川内江·期中）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有， 得， 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题： (1)已知，则函数取到最小值，最小值为 ；已知，则的最小值是 ． (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)， (2)当时，函数取到最大值，最大值为 (3) 【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示得到，设，由此即可求解； （2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，所以当时，函数取到最大值，由此即可求解； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，取得最小值， 设， 当且仅当，即时，的最小值是4， 故答案为：，． （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时，， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的加减乘除混合运算重难点题型专训 （5个知识点+12大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 最简二次根式的判断 题型二 化为最简二次根式 题型三 已知最简二次根式求参数 题型四 同类二次根式 题型五 二次根式的乘法 题型六 二次根式的除法 题型七 二次根式的加减运算 题型八 二次根式的乘除混合运算 题型九 分母有理化 题型十 比较二次根式的大小 题型十一 已知字母的值化简求值 题型十二 已知条件式化简求值 拓展训练一 二次根式的混合运算 拓展训练二 二次根式的新定义运算 拓展训练三 利用分母有理化比较大小 拓展训练四 二次根式的应用 知识点一：二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 1．（24-25九年级上·广西崇左·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川眉山·模拟预测）计算的结果为 ． 知识点二：二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·课后作业）一般地，二次根式的除法法则是； ，反过来，可得； ． 知识点三： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即时训练】 1．（24-25九年级上·贵州黔西·阶段练习）下列各式中能与合并的二次根式是（ ） A． B． C．2 D． 2．（24-25九年级上·四川乐山·单元测试）如果两个最简二次根式 和 是同类二次根式，那么 ， ． 知识点四： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）计算：的结果是（   ） A． B． C． D．1 2．（2025·四川简阳·模拟预测）计算： ． 知识点五：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 1．（2025·四川攀枝花·模拟预测）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南许昌·期末）计算： ． 【经典例题一 最简二次根式的判断】 【例1】（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川遂宁·模拟预测）二次根式、、、、、中，最简二次根式的概率是 ． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）最简二次根式：如果一个二次根式满足下列两个条件： （1）被开方数不含有能 的因数或因式； （2）被开方数中的因数是 ，字母因式是 ． 我们把这个二次根式叫最简二次根式，注：二次根式的运算结果应化为最简二次根式． 4．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【经典例题二 化为最简二次根式】 【例2】（24-25九年级上·四川内江·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川资阳·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若最简二次根式与二次根式可以合并，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·四川攀枝花·阶段练习）观察下列二次根式的化简： ； ； ； … 则 ． 4．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）计算： (1)； (2)已知，求代数式的值． 【经典例题三 已知最简二次根式求参数】 【例3】（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知最简二次根式与2可以合并成一项，则a，b的值分别为（　　） A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 3．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 4．（2025九年级上·四川遂宁·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 【经典例题四 同类二次根式】 【例4】（24-25九年级上·四川乐山·期末）下列二次根式，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25九年级上·四川巴中·期中）若两个最简二次根式，与是同类二次根式，则 ． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·单元测试）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ， . 4．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）嘉嘉和淇淇同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数，现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就加上球上的数；若摸到灰色球，就减去球上的数． (1)若嘉嘉摸到如图①所示的两个小球，请计算出结果； (2)如图②，若嘉嘉摸出全部的球，计算结果为，淇淇说的值能与合并，你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 【经典例题五 二次根式的乘法】 【例5】（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知实数，则a所在的范围是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·四川宜宾·模拟预测）已知，且．则A 的值为（   ） A．5 B．6 C．18 D．20 2．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习） ． 3．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）我们赋予“”一个实际意义，规定，则的值为 ． 4．（24-25九年级上·四川内江·期末）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； 【经典例题六 二次根式的除法】 【例6】（24-25九年级上·四川乐山·期末）矩形的宽为，面积为，则矩形的长为（   ） A． B．6 C．1 D． 1．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·四川资阳·模拟预测）计算： ． 3．（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在矩形纸片中，，点E在AB上，若点B关于直线CE的对称点落在AD上时，．则： （1） °； （2）BE的长为 ． 4．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即， 的整数部分为2．小数部分为． 请解答：已知整数部分是，小数部分是，且，求的值． 【经典例题七 二次根式的加减运算】 【例7】（24-25九年级上·四川简阳·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·四川宜宾·模拟预测）估计的值在（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 2．（2025·四川乐山·模拟预测）计算的结果是 ． 3．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算： 4．（24-25九年级上·河南新乡·期末）（1）计算：． （2）已知a，b满足等式，求的值． 【经典例题八 二次根式的乘除混合运算】 【例8】（24-25九年级上·四川遂宁·单元测试）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中M代表的实数为（    ） 2 1 6 M 3 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川乐山·期中）计算： ． 3．（24-25九年级上·四川内江·期末）等式成立的条件是 ． 4．（2025九年级上·四川·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 【经典例题九 分母有理化】 【例9】（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知，，则有（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·四川遂宁·专题练习）化简的结果是 ． 3．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）观察下列二次根式的化简：，，，从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值． ． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化． 如这些运算都称为分母有理化． (1)将下列二次根式分母理化：___________，___________ (2)甲、乙两人化简时，写出两种不同的解答过程． 甲： 乙： 请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（　　） A．甲对乙错    B．甲错乙对    C．甲、乙全对    D．甲、乙全错 (3)已知有理数a、b满足求a、b的值． 【经典例题十 比较二次根式的大小】 【例10】（24-25九年级上·河南新乡·期末）比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川乐山·期中）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 2．（24-25九年级上·广西防城港·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，要在长、宽的矩形木板上截两个面积为和的正方形，是否可行？ ．(填“行”或“不行”)    4．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 【经典例题十一 已知字母的值化简求值】 【例11】（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）设，则代数式的值为（   ） A．6 B．5 C． D． 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知，，求的值． 嘉琪同学的解题步骤如下： ………………………………………………① ……………………② …………………………………………………………③ …………………………………………………………………④ 其中，首先出错的步骤是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知，则式子的值是 ． 3．（2025·湖南衡阳·模拟预测）斐波那契数列中的第n个数可以用表示．通过计算求出斐波那契数列中的第2个数为 ． 4．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）小蓓同学在解决问题：已知，求的值，她是这样分析与解答的： ∵， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小蓓的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若， ①求的值； ②求的值． 【经典例题十二 已知条件式化简求值】 【例12】（24-25九年级上·四川简阳·期末）已知x，y为实数，xy＝5，那么xy的值为（    ） A． B．2 C．±2 D．5 1．（2025九年级·四川简阳·专题练习）如果m2+m0，那么代数式（1）的值是（　　） A． B．2 C．+ 1 D．+ 2 2．（24-25九年级上·四川遂宁·单元测试）已知：m+n＝10，mn＝9，则＝ ． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知，那么的值等于 ． 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【拓展训练一 二次根式的混合运算】 1．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）小康和小英玩摸卡片游戏．如图，有三张完全相同的卡片A，B，C，卡片正面分别写有一个算式．现将背面朝上打乱，小康随机抽取两张．若小康抽取的两张卡片中算式的结果都是无理数，则它们的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25九年级上·河南许昌·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，如图所示是其局部．若该画纸长为，宽为．现要装裱该画，装裱后的画的长增加，宽增加，则装裱后整个画卷的面积为 ． 3．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）化简与计算： (1)； (2)． 【拓展训练二 二次根式的新定义运算】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南南阳·模拟预测）定义新运算：a⊗b=，则×（2⊗3）的值为 ． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如：，这种方法称为“分母有理化”．类似地，我们也可以对分子进行有理化． 问题： (1)将下列根式进行分母有理化，并化简： (2)定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：， ①求的值； ②若，求的值． 【拓展训练三 利用分母有理化比较大小】 1．（24-25九年级上·重庆巫山·期末）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的有（    ）个 ①若是的小数部分，则；②比较大小：；③变形：；④计算： A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：与；与． （1）的有理化因式为 ； （2）比较大小： （选填“>”“<”或“=”）； （3）计算： ． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）阅读下列材料： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出： ①_________；②_________； (2)请化简：； (3)若，比较的大小，并说明理由． 【拓展训练四 二次根式的应用】 1．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，在一个正方形的内部放置两个大小不同的正方形，其中较小的正方形的面积为9，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较大的正方形的面积为（   ）    A． B． C．18 D．12 2．（25-26九年级上·四川遂宁·随堂练习）将一列数按如图所示的数表排列，的位置可记为，的位置可记为若这列数中最大的有理数记为，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）某加工厂有一批面积为56平方分米的铝合金板，它的宽是分米． (1)若用这批铝合金板裁出如下包含正方形A、B的工件，计算剩余材料阴影部分的面积； (2)用这种铝合金板能裁出两张面积均为25平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说明理由． 1．（2025九年级上·四川宜宾·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·单元测试）最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·单元测试）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·四川攀枝花·单元测试）如表，甲、乙、丙三人手中各有一张卡片，卡片上分别写有一个算式，在这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（   ） 甲： 乙： 丙： A．3张 B．2张 C．1张 D．0张 5．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南新乡·模拟预测）计算： ． 7．（24-25九年级上·四川遂宁·单元测试）若是最简二次根式，则自然数 ． 8．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）的倒数是 ， （比较大小）． 9．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则使有意义的的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·四川眉山·期中）我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，则三角形的面积．依据上述公式，若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 ． 11．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)（）； (2)； (3)． 12．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）墨迹“□”挡住了二次根式运算“”的一部分． (1)若“□”覆盖的是，嘉琪进行如下计算： ………① …② …………………③ ………………………………④ 嘉琪是从第___________步开始出错的，正确的结果应该是___________； (2)若原式的计算结果为，求墨迹覆盖的数． 13．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，，． ． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1) = ； (2)化简：； (3)已知，求的值． 14．（24-25九年级上·四川资阳·期中）居民小区有块矩形绿地，绿地的长为米，宽为米．要在绿地内修建一个矩形小花坛（阴影部分），花坛的长为（）米，宽为（）米． (1)求绿地的周长；（参考数值：，，结果精确到1米） (2)除去修建花坛的地方，绿地的其余地方修建成通道．若通道要铺设造价为80元/米的地砖，铺设地砖需要花费多少元？ 15．（24-25九年级上·四川内江·期中）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有， 得， 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题： (1)已知，则函数取到最小值，最小值为 ；已知，则的最小值是 ． (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$