专题01 二次根式的性质重难点题型专训（4个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题01 二次根式的性质重难点题型专训 （4个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 二次根式的识别 题型二 求二次根式的值 题型三 求二次根式中的参数 题型四 二次根式有意义的条件 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 复合二次根式的化简 拓展训练一 二次根式与数轴化简问题 拓展训练二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 知识点一：二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）下列式子是二次根式的是（    ） A． B． C． D．     2．（24-25九年级上·四川资阳·期中）当时，二次根式的值是 ． 知识点二：二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）二次根式有意义，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·课后作业）若式子无意义，则x的取值范围是 ． 知识点三：二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川内江·期末）下列属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川巴中·期末）对于任意不相等的两个实数，，定义一种运算来如下：．例：，那么 ． 知识点四：二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川眉山·期末）二次根式化简的结果是（      ） A．4 B． C． D．2 2．（24-25九年级上·四川资阳·期末）当时，化简 ． 【经典例题一 二次根式的识别】 【例1】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川内江·期中）式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·四川遂宁·课后作业）下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 3．（24-25九年级上·河南新乡·期中）下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2025·福建厦门·模拟预测）在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【经典例题二 求二次根式的值】 【例2】（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为(    ) A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川遂宁·课后作业）计算－2－3×（5－）（精确到百分位）的结果为（    ） A．12.76 B．－12.76 C．21.24 D．－21.24 2．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）化简： ． 3．（24-25九年级上·四川简阳·期中）我们学完二次根式后，爱思考的小鲍和小黄提出了一个问题：我们可以算，的值，我们可以算，的值吗？金老师说：也是可以的，你们可以查阅资料来进行学习.他们查阅资料后，发现了这样的结论：，例如：，，那请你根据以上材料，写出 ， . 4．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）若求的值． 【经典例题三 求二次根式中的参数】 【例3】（24-25九年级上·广西崇左·阶段练习）若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）在式子，，，，，中二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若，则 ． 3．（24-25九年级上·四川攀枝花·期末）若为实数，且满足，则的值是 ． 4．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知：， （1）求m，n的值； （2）先化简，再求值：． 【经典例题四 二次根式有意义的条件】 【例4】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若二次根式有意义，则x的值可以为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）若a、b为实数，且，则的值为（　　） A．3 B．4 C．3或5 D．5 2．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 3．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）已知，则的值为 ． 4．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________； (2)解方程：已知为非负整数，满足以下方程： ①若方程，则的值有________； ②若方程，则的取值是________． (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次， ，这时候结果为1．对254连续求根整数，至少________次之后结果为1； (4)至少需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中，最小的是________． 【经典例题五 利用二次根式的性质化简】 【例5】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如果，那么化简（   ） A． B． C． D． 1．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）小康和小英玩摸卡片游戏．如图，有三张完全相同的卡片A，B，C，卡片正面分别写有一个算式．现将背面朝上打乱，小康随机抽取两张．若小康抽取的两张卡片中算式的结果都是无理数，则它们的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）设均为正整数，且，则的值是 ． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期中）观察下列各式：．猜测 ． 4．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 【经典例题六 复合二次根式的化简】 【例6】（24-25九年级上·四川内江·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2025九年级上·四川遂宁·模拟预测）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 2．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）＝ （书写每项化简过程）＝ ． 3．（24-25九年级上·四川内江·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=+，从而可化简=．类比小明的思路，请化简 ． 4．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使并且，则将变成，开方，从而使得化简． 例如：化简： ∵ ∴ 仿照上例化简下列各式： (1) (2) 【拓展训练一 二次根式与数轴化简问题】 1．（24-25九年级上·四川内江·期中）实数，在数轴上对应的位置如图，化简等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：    （1）b的值是 ． （2）的平方根是 ． 3．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）计算： (1) (2)已知实数、、在数轴上对应点的位置如图所示，试化简： ； 【拓展训练二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 1．（24-25九年级上·四川内江·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）在进行实数的化简时，我们可以用“”的方式，如．利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． （1）已知a为正整数，若是整数，则a的最小值为 ． （2）设b为正整数，若，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为 ． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为正整数）， 则有，．这样小明找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ； (2)利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空： ； (3)化简 1．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 3．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知二次根式，当时，此二次根式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 5．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）若，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·四川眉山·期末）当时，二次根式的值为 ． 7．（24-25九年级上·四川遂宁·课前预习）一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做 ．强调条件： ，也就是说二次根式具有双重非负性． 8．（24-25九年级上·四川新乡·阶段练习）已知：当a取某一范围内的实数时，代数式的值是一个常数（确定值），则这个常数是 ． 9．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）已知． （1）求代数式的值 ． （2）求代数式﹣的值 ． 10．（24-25九年级上·四川内江·期末）仔细观察下列式子：，，，… （1）请写出如上面的第4个同类型式子 ． （2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ． 11．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）化简：． 12．（25-26九年级上·四川遂宁·随堂练习）求使下列各式有意义的字母x的取值范围： (1)； (2)； (3)． 13．（24-25九年级上·陕西汉中·期中）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 14．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 15．（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）观察下列各式及验证过程： ①    ；验证①； ②；   ②； ③；   ③； (1)按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出（为大于等于2的自然数）表示的等式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式的性质重难点题型专训 （4个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 二次根式的识别 题型二 求二次根式的值 题型三 求二次根式中的参数 题型四 二次根式有意义的条件 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 复合二次根式的化简 拓展训练一 二次根式与数轴化简问题 拓展训练二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 知识点一：二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）下列式子是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的根指数是3，故不是二次根式；     B．的根指数是3，故不是二次根式；     C．的被开方数是负数，故不是二次根式；     D．是二次根式． 故选D． 2．（24-25九年级上·四川资阳·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的求值，将代入二次根式中求解即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：2． 知识点二：二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）二次根式有意义，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，可得，验证各选项即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， A．，符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意； 故选：． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·课后作业）若式子无意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由式子无意义，可得：＜ 再解不等式即可得到答案. 【详解】解： 式子无意义， ＜ ＜ 故答案为：＜ 【点睛】本题考查的是二次根式无意义的条件，掌握被开方数为负数，二次根式无意义是解题的关键. 知识点三：二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川内江·期末）下列属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，二次根式的化简． 根据最简二次根式的定义，逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、无法化简，是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选B． 2．（24-25九年级上·四川巴中·期末）对于任意不相等的两个实数，，定义一种运算来如下：．例：，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键．利用新运算的规定，将式子转化后利用实数的运算法则解答即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 知识点四：二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川眉山·期末）二次根式化简的结果是（      ） A．4 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题的关键． 直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 【详解】． 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川资阳·期末）当时，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【经典例题一 二次根式的识别】 【例1】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题的关键． 直接利用二次根式的定义：形如()的代数式，逐一分析即可得出答案． 【详解】A、的根指数是3，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的被开方数为负数，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、的被开方数7一定大于0，故本选项符合题意； D、的中的可能小于0，不一定为二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 1．（24-25九年级上·四川内江·期中）式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．据此进行判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得，式子，是二次根式，中，的取值范围不确定，不能保证，故不一定是二次根式； 故选：B． 2．（25-26九年级上·四川遂宁·课后作业）下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A．带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误； B．当时，，不一定是二次根式，故此选项错误； C．一定是二次根式，故此选项正确；     D．二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误．     故选：C． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期中）下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式． ②：被开方数，无意义，不是二次根式． ③：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． ④：被开方数为，当，即时才有意义．但题目未限定的范围，无法保证被开方数非负，故不是二次根式． ⑤：无论取何值，，被开方数恒正，是二次根式． ⑥：分母，被开方数恒正，是二次根式． 综上，符合条件的有①⑤⑥，共3个， 故选B． 4．（2025·福建厦门·模拟预测）在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 【经典例题二 求二次根式的值】 【例2】（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同理二次根式的定义判断即可． 【详解】解：=2 A. ，不能与进行合并； B. =4，不能与进行合并； C. =3，不能与进行合并； D. =4，能与进行合并； 故选D. 【点睛】本题考查的是同理二次根式的定义，掌握二次根式的性质是解题的关键． 1．（24-25九年级上·四川遂宁·课后作业）计算－2－3×（5－）（精确到百分位）的结果为（    ） A．12.76 B．－12.76 C．21.24 D．－21.24 【答案】B 【分析】先根据实数的运算法则计算，再利用四舍五入法得出近似值即可得答案． 【详解】－2－3×（5－） ＝－2－15＋3 ＝－17＋3 ≈－17＋3×1.414 ≈－12.76． 故选B． 【点睛】此题主要考查了实数的运算及对特殊二次根式的近似值的取舍，熟练掌握运算法则是解题关键． 2．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】利用解答即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，属于基础题，熟练掌握是解题关键． 3．（24-25九年级上·四川简阳·期中）我们学完二次根式后，爱思考的小鲍和小黄提出了一个问题：我们可以算，的值，我们可以算，的值吗？金老师说：也是可以的，你们可以查阅资料来进行学习.他们查阅资料后，发现了这样的结论：，例如：，，那请你根据以上材料，写出 ， . 【答案】 4 【分析】按照题中给出的运算法则计算即可． 【详解】， 故答案为：，4． 【点睛】本题主要考查定义新运算，掌握定义新运算的运算法则是解题的关键． 4．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 【经典例题三 求二次根式中的参数】 【例3】（24-25九年级上·广西崇左·阶段练习）若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据，若是整数，则一定是一个完全平方数，即可求解． 【详解】解：∵，是整数， ∴正整数n的最小值是5， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键． 1．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）在式子，，，，，中二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义解答即可 【详解】，，故是二次根式；是二次根式；，则，故不是二次根式；，则故是二次根式；不是二次根式；，，故是二次根式；是多项式，故不是二次根式； 综上所述，是二次根式的式子一共有4个 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义即形如“”这样的式子是二次根式是解题关键． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川攀枝花·期末）若为实数，且满足，则的值是 ． 【答案】-1 【分析】根据绝对值和二次根式的非负性求出x，y，代入求值即可； 【详解】∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案是-1． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解和代数式求值，准确利用绝对值和二次根式的非负性求解是解题的关键． 4．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知：， （1）求m，n的值； （2）先化简，再求值：． 【答案】（1）；（2），0 【分析】（1）分别根据绝对值的非负数、二次根式的非负数列出m、n的方程，解之即可求出m、n的值； （2）先利用整式的运算法则化简，再代入m、n值计算即可求解． 【详解】（1）根据非负数得：m-1=0且n+2=0， 解得：， （2）原式==， 当，原式=． 【点睛】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键． 【经典例题四 二次根式有意义的条件】 【例4】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若二次根式有意义，则x的值可以为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 则x的值可以为． 故选A． 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）若a、b为实数，且，则的值为（　　） A．3 B．4 C．3或5 D．5 【答案】A 【分析】此题主要考查二次根式的性质，熟练运用，即可解题． 首先根据题意，列出不等式组，即可解得，，即可得解． 【详解】根据题意，得 解得 ∴ ∴ 故答案为A． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________； (2)解方程：已知为非负整数，满足以下方程： ①若方程，则的值有________； ②若方程，则的取值是________． (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次， ，这时候结果为1．对254连续求根整数，至少________次之后结果为1； (4)至少需要进行4次连续求根整数运算后结果才为1的所有正整数中，最小的是________． 【答案】(1)6 (2)4，5，6，7，8；7，8，9 (3)3 (4)256 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． （1）根据题意得，则，即可得出答案； （2）①根据知，求得，故可得整数x的值； ②先确定x的取值，再由可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，即可得结论； （4）根据运算法则进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：6； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴x的整数值为4，5，6，7，8， 故答案为：4，5，6，7，8； ②根据题意得，， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故答案为：7，8，9； （3）解：第一次：； 第二次：； 第三次：， 故答案为：3； （4）解：设第4次运算的整数为，则有：， ∴第4次运算的最小整数为； 第3次运算的整数为，则有：， ∴第3次运算的最小整数为； 第2次运算的整数为，则有：， ∴第2次运算的最小整数为16； 第1次运算的整数为，则有：， ∴第1次运算的最小整数为256； 故答案为：256． 【经典例题五 利用二次根式的性质化简】 【例5】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如果，那么化简（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 由，可得，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】， ， ． 故选：D． 1．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）小康和小英玩摸卡片游戏．如图，有三张完全相同的卡片A，B，C，卡片正面分别写有一个算式．现将背面朝上打乱，小康随机抽取两张．若小康抽取的两张卡片中算式的结果都是无理数，则它们的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了无理数以及二次根式的混合运算，先分别计算卡片A，B，C上的算式，再根据无理数的定义判断其中的两个无理数，再根据二次根式的性质以及运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， 卡片A，C上的数是无理数，卡片B上的数是有理数， ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）设均为正整数，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式的性质，根据题意可得，则可推出，进一步得到，再证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵均为正整数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期中）观察下列各式：．猜测 ． 【答案】10301 【分析】本题主要考查了数字规律的归纳与应用，熟练掌握观察式子特征、归纳一般规律是解题的关键．观察所给式子的规律，找出等式左边根号内式子与右边表达式的对应关系，从而推测出所求式子的结果． 【详解】解：观察已知的三个等式： 对于，这里等式左边根号内是，右边是； 对于，等式左边根号内是，右边是； 对于，等式左边根号内是，右边是． 由此可归纳规律：对于，其结果为． 当时，． ∴． 故答案为： 4．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，算术平方根的非负性的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先求得隐含条件，得到，然后根据二次根式化简知识，即可求解； （2）先根据题意得到，再根据，求得或，然后即可求解； 【详解】（1）解：隐含条件，解得，所以， ∴原式． （2）解：∵，若，则，显然不成立，故． ∴，解得． ∵， ∴或． 当时，解得：，则； 当时，解得：，则． 综上所述，的值为或． 【经典例题六 复合二次根式的化简】 【例6】（24-25九年级上·四川内江·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解：A. 故A错误； B. 故B正确； C. ，故C错误 ； D与不是同类二次根式，不能合并，故D错误. 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 1．（2025九年级上·四川遂宁·模拟预测）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）＝ （书写每项化简过程）＝ ． 【答案】 7+6﹣11+14 16 【分析】根据二次根式的性质化简即可； 【详解】解：原式＝7+6﹣11+14 ＝16． 故答案为7+6﹣11+14；16． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，准确分析是解题的关键． 3．（24-25九年级上·四川内江·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=+，从而可化简=．类比小明的思路，请化简 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式，，然后通过计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． 4．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使并且，则将变成，开方，从而使得化简． 例如：化简： ∵ ∴ 仿照上例化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据，确定后化简计算． (2)根据，确定后化简计算． 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握阅读学习的基本方法是解题的关键． 【拓展训练一 二次根式与数轴化简问题】 1．（24-25九年级上·四川内江·期中）实数，在数轴上对应的位置如图，化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 化简二次根式为绝对值后再化简绝对值即可． 【详解】解：由题意可得： 原式 ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：    （1）b的值是 ． （2）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、平方根及实数的性质，熟知数轴上的点所表示数的特征及平方根的定义是解题的关键． （1）根据数轴上点A的位置，得出数a的取值范围，再结合绝对值的性质即可解决问题． （2）根据（1）中求出的b的值，结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】解：（1）由所给数轴可知，， 所以，， 则． （2）由（1）知， ， 所以的平方根是． 故答案为：（1）；（2）． 3．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）计算： (1) (2)已知实数、、在数轴上对应点的位置如图所示，试化简： ； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）原式利用立方根、算术平方根的定义以及二次根式的性质化简，计算即可得到结果； （2）根据在数轴上的位置，确定，，，的正负性，进而化简解答即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2） 解∶如数轴所示，，且， ∴，，， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了实数的运算、数轴、二次根式的化简及绝对值，熟练掌握二次根式及绝对值的性质是解题关键． 【拓展训练二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 1．（24-25九年级上·四川内江·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴可知：，则，化简所求代数式即可．由数轴得到是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）在进行实数的化简时，我们可以用“”的方式，如．利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． （1）已知a为正整数，若是整数，则a的最小值为 ． （2）设b为正整数，若，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为 ． 【答案】 19 【分析】（1）根据题中化简方法可得，再根据是整数，即可求解； （2）根据题意可得当时，m取最大值720；当时，m取最小值1，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵是整数， ∴a的最小值为19， 故答案为：19； （2）∵b为正整数，m是大于1的整数， ∴当时，m取最大值720；当时，m取最小值1， m的最大值与m的最小值的积的平方根为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为正整数）， 则有，．这样小明找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ； (2)利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空： ； (3)化简 【答案】(1)， (2)13，4，1，2 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键． （1）根据上面的例子，将，按完全平方展开，可得出答案； （2）由（1）可写出一组答案，不唯一； （3）将展开得出，由题意得，，再由a、m、n均为正整数，可得到，根据二次根式的性质可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； 故答案为：，． （2）由（1）可得，，，； 故答案为：13，4，1，2． （3）∵， ∴， ∴，， ∵m、n均为正整数， ∴，； ∴ ∴． 1．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义，判断所给式子是否符合二次根式的形式，依次分析每个式子．本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握“二次根式是形如的式子，需满足根指数为且被开方数非负”是解题的关键． 【详解】解： ，根指数是，是三次根式，不是二次根式，①不符合． 是二次根式．②符合． ：当时，式子无意义，不能保证恒成立，③不一定是二次根式． ，，不满足被开方数非负，式子无意义，④不是二次根式． ，是整数，不是形式，⑤不是二次根式． 综上，只有②是二次根式，共个， 故选： ． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质得出5−x≥0，求出即可． 【详解】∵ ∴5−x≥0， 解得：x≤5， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，＝a，当a＜0时，＝−a． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知二次根式，当时，此二次根式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】把代入进行计算即可． 【详解】解：当时，， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的值，熟练代入并求值是解本题的关键． 4．（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等． 首先根据平方根的定义确定x的值，再代入求出y的值，最后计算表达式的值． 【详解】解：∵和同时有意义， ∴且， ∴． 将代入，得． ∴． 故选A． 5．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）若，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解不等式组，由题意可得，然后解不等式组并在数轴上表示即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的取值范围在数轴上表示为， 故选：． 6．（24-25九年级上·四川眉山·期末）当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【分析】将x的值代入二次根式计算即可得． 【详解】解：将x＝1代入， 得＝==＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 7．（24-25九年级上·四川遂宁·课前预习）一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做 ．强调条件： ，也就是说二次根式具有双重非负性． 【答案】 被开方数 a≥0、≥0 【解析】略 8．（24-25九年级上·四川新乡·阶段练习）已知：当a取某一范围内的实数时，代数式的值是一个常数（确定值），则这个常数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质：，分情况讨论即可确定a的取值范围． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 综上知，当时，的值是一个常数，这个常数为1； 故答案为：1． 9．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）已知． （1）求代数式的值 ． （2）求代数式﹣的值 ． 【答案】 4 1 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式被开方数具备的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的被开方数成立的条件求得x，y的值，再将x，y的值代入运算即可； （2）将x，y的值代入运算即可． 【详解】解：（1）根据题意，得，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）原式 ， 故答案为：1． 10．（24-25九年级上·四川内江·期末）仔细观察下列式子：，，，… （1）请写出如上面的第4个同类型式子 ． （2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ． 【答案】 （n为正整数） 【分析】（1）根据所给的式子进行解答即可； （2）把所给的等式进行整理，然后再归纳其中的规律即可． 【详解】解：（1）根据题意，第4个式子是：， 故答案为：； （2）∵，整理得：， ，整理得：， ，整理得： … 则第n个式子为：． 故答案为：（n为正整数）． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，规律型，数字的变化类，解答的关键是分析清楚等式左右两边的规律． 11．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）化简：． 【答案】 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键． 设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【详解】解：设，由二次根式的非负性可得， ∴ ． 12．（25-26九年级上·四川遂宁·随堂练习）求使下列各式有意义的字母x的取值范围： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． （1）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； （3）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴， ∴； （3）解：∵ ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·陕西汉中·期中）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可； 【详解】解：把代入，得． 解得． 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 14．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【答案】（1）4，1；（2） 【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可． （2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b=1，a-b=3， ∴a=4； （2）， ∴， ∴， 解得：， ∴xy=16， ∴xy的平方根为±． 【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 15．（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）观察下列各式及验证过程： ①    ；验证①； ②；   ②； ③；   ③； (1)按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出（为大于等于2的自然数）表示的等式． 【答案】(1)，验证见解析 (2)且，验证见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式． （1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：． 【详解】（1）解： 验证： ； （2）解：． 验证： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$