第二十一章 二次根式重难点检测卷-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（华东师大版）

第二十一章 二次根式重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：九年级上册第二十一章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）化简得（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列整数能使为最简二次根式，则可以是（      ） A．5 B． C． D．8 3．（24-25九年级上·四川攀枝花·期末）把根号外的因式移入根号内，结果（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）要使代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 5．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知，若是整数，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 7．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·重庆·期中）对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（   ） ①若，则； ②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（24-25九年级上·河南新乡·期中）将1，，，按图中所示的方式排列，若规定表示第排从左到右第个数，则与表示的两数的积是（    ） A．1 B． C． D． 10．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）古希腊数学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式．公式大意：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．如图，在中，，则的面积为（   ） A． B． C．18 D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11．（2025·四川宜宾·模拟预测）比较大小： ． 12．（25-26九年级上·四川遂宁·随堂练习）化简： ． 13．（24-25九年级上·福建厦门·期中）化简的结果是 ，化简的结果是 ． 14．（24-25九年级上·四川眉山·期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作： 例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，若，计算： ． 15．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），．若一台座钟的摆针的摆长为，则该座钟摆针摆动的周期为 ． 三、解答题（8小题，共75分） 16．（25-26九年级上·四川遂宁·课后作业）计算： (1)． (2)． 17．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）根据下列条件求代数式的值； （1）； （2）． 18．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式．求m2+n2的值． 19．（2025九年级上·四川宜宾·专题练习）当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 20．（24-25九年级上·四川乐山·期末）如图，数轴上右边两个边长为1的小正方形可以通过拆分拼接成左边一个大正方形． (1)这个大正方形的边长为______； (2)作图：在如图数轴上作出实数“”对应的点P（要求保留作图痕迹）； (3)在（2）的基础上，在答题卷备用图数轴上通过尺规作图来判断是正数还是负数？ 21．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 22．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 23．（24-25九年级上·陕西汉中·期中）如图，正方形的面积为50，正方形的面积为242． (1)求正方形和正方形的边长； (2)求阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 二次根式重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：九年级上册第二十一章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，将分解为平方数乘积形式，利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：B 2．（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列整数能使为最简二次根式，则可以是（      ） A．5 B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开方的平方因数．逐一验证选项，排除不符合条件的情况． 【详解】选项A：当时，，被开方数为负数，无意义，排除． 选项B：当时，，结果为整数，不符合最简二次根式的定义，排除． 选项C：当时，，结果为整数，不符合最简二次根式的定义，排除． 选项D：当时，，符合最简二次根式的定义． 故选D． 3．（24-25九年级上·四川攀枝花·期末）把根号外的因式移入根号内，结果（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 可得 ，所以移入括号内为进行计算即可. 【详解】根据根式的性质可得，所以 因此 故选B. 【点睛】本题主要考查根式的性质，关键在于求a的取值范围. 4．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）要使代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：，且． 故选：A． 5．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知，若是整数，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，要使得为整数，需通过二次根式的乘法运算，根据运算结果验证各选项是否满足条件即可. 【详解】解：取， ， 因此，，满足条件。 当时， ，不符合题意； 当时， ，不符合题意； 当时， ，不符合题意； 综上，仅选项C满足条件， 故选C 6．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 7．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ． 故选：B． 8．（24-25九年级上·重庆·期中）对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（   ） ①若，则； ②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】此题考查了新定义实数运算、二次根式的化简等知识．根据二次根式的性质化简逐项进行解答判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴或， 解得或， 故①错误； ②进行“新运算操作”得到， ∵在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ∴， 则， ∵在数轴上和的距离为8， ∴在数轴上找不到一个数，使得到和的距离之和为6， ∴无解， 故②错误， a，b，c的“新运算操作”结果为， 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 根据a，b，c的取值范围，化简结果可能存在的不同表达式共有8种． 故③错误， 故选：A 9．（24-25九年级上·河南新乡·期中）将1，，，按图中所示的方式排列，若规定表示第排从左到右第个数，则与表示的两数的积是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，数字类规律探究；首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第4排第2个数，第15排第1个数，然后可以得到答案． 【详解】解：表示的数字是， 表示第个数， ∵ ∴表示 ∴， 故选：C． 10．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）古希腊数学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式．公式大意：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．如图，在中，，则的面积为（   ） A． B． C．18 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的化简，利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴的面积； 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11．（2025·四川宜宾·模拟预测）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，熟知二次根式的性质是解答此题的关键． 先把根号外边的数移到根号里面，再比较被开方数的大小即可． 【详解】解：，，， ， 即 故答案为：． 12．（25-26九年级上·四川遂宁·随堂练习）化简： ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式； 先根据二次根式有意义的条件求出，再利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可知， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·福建厦门·期中）化简的结果是 ，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式化简的步骤． 利用二次根式化简的步骤进行化简即可． 【详解】解：； ； 故答案为：，． 14．（24-25九年级上·四川眉山·期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作： 例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，若，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据已知可得，然后利用完全平方公式得到的整系数方程为：，可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴得到的整系数方程为：， ∴， ∴ 故答案为：． 15．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），．若一台座钟的摆针的摆长为，则该座钟摆针摆动的周期为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据公式计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 三、解答题（8小题，共75分） 16．（25-26九年级上·四川遂宁·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的乘法，除法，正确处理运算顺序和根式的约分是解题的关键． （1）首先将带分数转换为假分数，然后利用根式的乘除法则进行化简； （2）先化简各根式，再按运算顺序逐步计算即可． 解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）根据下列条件求代数式的值； （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】分别把、、的值代入，再化简二次根式，然后约分即可求得答案． 【详解】解：（1）当时 原式 ； （2）当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 18．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式．求m2+n2的值． 【答案】11 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得m2、n2，再代入求值即可； 【详解】解：由题意得：，， ，， ，时，两个二次根式分别为和，符合题意， ∴m2+n2＝8+3＝11； 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 19．（2025九年级上·四川宜宾·专题练习）当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． （1）根据二次根式的性质化简即可求出答案； （2）根据二次根式的性质化简即可求出答案； （3）根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案． 【详解】（1）解：小亮的解法中：， 当时，， ∴小亮的解法是错误的； 故答案为：小亮. （2）解：由（1）知，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 故答案为：. （3）解：∵， ∴，， ∴原式 ． 20．（24-25九年级上·四川乐山·期末）如图，数轴上右边两个边长为1的小正方形可以通过拆分拼接成左边一个大正方形． (1)这个大正方形的边长为______； (2)作图：在如图数轴上作出实数“”对应的点P（要求保留作图痕迹）； (3)在（2）的基础上，在答题卷备用图数轴上通过尺规作图来判断是正数还是负数？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)是正数，见解析 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，二次根式的乘法，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键． （1）根据勾股定理求出边长为1的正方形的对角线的长； （2）根据数轴表示数的方法以及尺规作图的方法进行解答即可； （3）在（2）的基础上截取，再观察点Q与数轴表示3的点的位置关系进行解答即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的边长恰好是边长为1的正方形的对角线， ∴大正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：如图，设原点为O，以点O为圆心，以为半径画弧交数轴的正半轴于点P， 即 则点P所表示的数是； （3）解：是正数，作图验证如下： 如图，由（2）可得，再在点P的右侧的数轴上截取 则， 此时点Q在数轴上表示3的点的左侧， 即， ∴ 即是正数， 21．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到；将整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由得， 则， ∴， ∴． （2）解：由得，则， ∴， ∴ ． 22．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)9 【分析】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关键. （1）分子与分母都乘以，再利用平方差公式计算即可得到答案； （2）先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案； （3）先求解，再变形可得：，再整体代入即可得到答案. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴，即． ∴， ∴． 23．（24-25九年级上·陕西汉中·期中）如图，正方形的面积为50，正方形的面积为242． (1)求正方形和正方形的边长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)正方形的边长为，正方形ECFG的边长为 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的应用，根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式直接开平方得出正方形的边长即可； （2）用两个正方形的面积之和减去直角三角形和直角三角形的面积，即可得出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为50，正方形的面积为242， ∴正方形的边长为，正方形ECFG的边长为． （2）解：阴影部分的面积为： ， 答：阴影部分的面积是． 学科网（北京）股份有限公司 $$