精品解析：浙江省温州市温州新星学校2023-2024学年下学期七年级第一次月考数学测试卷

温州新星学校2023学年第二学期第一次月考测试卷 七年级（6-10班）数学学科 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 要使分式有意义，x的取值范围满足（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果为m4的是（ ） A. m2+m2 B. m6-m2 C. （-m2）2 D. m8÷m2 3. 下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如果一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长最大值是（ ） A. B. C. D. 6. 要使多项式不含x的一次项，则（ ） A. B. C. D. 7. 用尺规作图作的平分线，痕迹如图所示，则此作图的依据是（　　） A B. C. D. 8. 若关于x分式方程有增根，则a的值是 （ ） A. B. C. 0 D. 1 9. 小宇妈妈上午在某水果超市买了元的葡萄，晚上散步经过该水果超市时，发现同一批葡萄在打折降价处理，小宇妈妈又买了元的葡萄，结果恰好比早上多了千克．若设该水果店早上葡面的价格是元千克，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在一个大长方形中放入三个边长不等小正方形①、②、③，若要求出两个阴影部分周长的差，只要知道下列哪个图形的面积（ ） A 正方形① B. 正方形② C. 正方形③ D. 大长方形 二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 11 计算：________． 12. 分解因式：______． 13. 如图，，平分，且，则的度数是______． 14. 已知实数a，b满足，，则______． 15. 已知关于，的方程组，下列结论：①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则；其中正确的有________．（请填上你认为正确的结论序号） 16. 已知不等式的解集为，则的取值范围是______． 17. 如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，若的面积为，则的长为____． 18. 如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则_______°． 三、解答题（本题有5小题，共46分，解答需写出必要文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 计算： （1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中． 20. 解方程（组）或不等式组： （1）； （2）． （3），并把解集表示在数轴上． 21. 如图，在中，，，过点C作直线MN与线段AB相交，于点M，于点N． （1）求证：； （2）求证：． 22. 已知，点在上，点在上，点为射线上一点． （1）如图1，若，，则 ． （2）如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，平分，交于点． ①若平分，求和的数量关系． ②若，，，直接写出的度数为 ． 23. 根据以下素材．探索完成任务． 如何制定订餐方案？ 素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有A、B两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 温州新星学校2023学年第二学期第一次月考测试卷 七年级（6-10班）数学学科 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 要使分式有意义，x的取值范围满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0列式计算即可． 【详解】解：分式有意义， 则， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，解答本题的关键是注意分式所有的分母部分均不能为0，分式才有意义． 2. 下列运算结果为m4的是（ ） A. m2+m2 B. m6-m2 C. （-m2）2 D. m8÷m2 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法依次计算判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、不能进行计算； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 【点睛】题目主要考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 3. 下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义即可解答． 【详解】解：A. ，分解正确，不符合题意； B. ，分解正确，不符合题意； C. ，分解正确，不符合题意； D. ，故D选项分解错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式、公式法、十字相乘法进行因式分解是解答本题的关键． 4. 下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了真假命题，有理数的乘方，解题关键是掌握满足条件，但不能得到结论的例子即是反例．据此判断，即可得到答案． 【详解】解：当，时，，但， 可以用来说明命题“若，则”是假命题， 反例为， 故选：D． 5. 如果一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设三角形的第三边长是，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：设三角形的第三边长是， ， ， 第三边长为偶数， 的最大值为， 周长最大值为， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 6. 要使多项式不含x的一次项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则计算，再由不含x的一次项计算答案即可． 【详解】解：， 由于不含x的一次项， 故． 故选A． 7. 用尺规作图作的平分线，痕迹如图所示，则此作图的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图，由作法可知，两三角形的三条边对应相等，所以利用证明得到，据此可得答案． 【详解】解；由作图方法可知， 又∵， ∴， ∴， ∴平分， 故选：B． 8. 若关于x分式方程有增根，则a的值是 （ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，正确解分式方程得到是解题的关键．先解分式方程得到，再根据分式方程有增根得到，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴， ∴， 故选A． 9. 小宇妈妈上午在某水果超市买了元的葡萄，晚上散步经过该水果超市时，发现同一批葡萄在打折降价处理，小宇妈妈又买了元的葡萄，结果恰好比早上多了千克．若设该水果店早上葡面的价格是元千克，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该水果店早上葡面的价格是元千克，根据第二次购买的数量比第一次多千克，列出分式方程即可求解． 【详解】解：设该水果店早上葡面的价格是元千克，根据题意，得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系是解题的关键． 10. 如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，若要求出两个阴影部分周长的差，只要知道下列哪个图形的面积（ ） A. 正方形① B. 正方形② C. 正方形③ D. 大长方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算的应用，要熟练掌握整式加减运算法则． 欲了解两个阴影部分周长的差，则需要从“代数”的角度解决此问题，故设，，正方形①的边长为，正方形②的边长为，正方形③的边长为．进而推断出以及．那么，两个阴影部分的周长之差为，所以只需要知道正方形②的边长，即知道正方形②的面积就可以知道两个阴影部分的周长． 【详解】解：如图， 设，，正方形①的边长为，正方形②的边长为，正方形③的边长为． ，，，，，，，． ， ． ． 只要知道正方形②的边长，就可以求出两个阴影部分周长的差． 只要知道正方形②的面积，就可求出两个阴影部分周长的差． 故选：B． 二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方、同底数幂相乘等知识点，灵活逆向运用积的乘方公式是解答的关键． 直接逆用积的乘方运算、同底数幂的乘法法则即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分解因式，涉及提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，根据多项式结构特征，先提公因式4，再由平方差公式分解因式即可得到答案，综合运用提公因式法及公式法分解因式是解决问题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 13. 如图，，平分，且，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】由于可得，则．根据角平分线的定义可得．再根据即可求得． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 设，则． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴．解得：． ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定以及角平分线的定义是解决本题的关键． 14. 已知实数a，b满足，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值和利用完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的特点是解决此题的关键． 根据代入已知即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 15. 已知关于，的方程组，下列结论：①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则；其中正确的有________．（请填上你认为正确的结论序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】将两个二元一次方程相加可得x+y＝2+a，①令x+y＝0，即可求出a的值，验证即可，②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再与a＝1比较得出答案；③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可，④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系即可 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， （1）+（2）得，2x+2y＝4+2a，即：x+y＝2+a， ①当方程组解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，∴a＝﹣2，故①正确； ②原方程组的解满足x+y＝2+a，当a＝1时，x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，因此②不正确； ③方程组，解得，，∴x+2y＝2a+1+2-2a＝3，因此③是正确的； ④方程组，由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，x-y＝3（4-x-3y），即；，因此④是正确的， 故答案为①③④． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解答本题的关键． 16. 已知不等式的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．根据的解集为，不等号方向发生改变，得出，解关于a的不等式即可． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 故答案为：． 17. 如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，若的面积为，则的长为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理的内容是解题的关键． 如图所示，过点作于点，得到，由三角形面积得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是边上的高，平分， ∴， ∵的面积为，，即， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 18. 如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质．由纸条折叠前后的角度对应相等是解决本题的关键． 先利用平行线的性质，可求出和的度数，再依据折叠的性质得出相关角的度数关系，通过这些关系可求出、的度数，最后求出的度数． 【详解】解：因为在长方形纸带中，， ∴，， 由于纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置， 所以，同时， 因为，，， 所以， 又因为纸带沿折叠成图b，所以， 在中，， 则， 所以， 因为与、组成一个平角， 所以． 故答案为：． 三、解答题（本题有5小题，共46分，解答需写出必要文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 计算： （1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算及分式的化简求值，掌握0次幂、负指数幂的意义及分式的运算法则是解决本题的关键． （1）先计算整式的乘法运算，再合并即可； （2）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案； （3）先化简分式，再选取合适的数代入求值． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【小问3详解】 = = 当时，原式． 20. 解方程（组）或不等式组： （1）； （2）． （3），并把解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2） （3），见解析 【解析】 【分析】本题考查了二一元一次方程、分式方程、一元一次不等式组的解法． （1）利用加减消元法，将方程①+②可得，求出x的值，再代入求出y的值即可； （2）先找到最简公分母，方程的左右两边同时乘以最简公分母，将其转化为整式方程，再解一元一次方程即可，最后检验．先利用分式方程的解法，去分母将分式方程转化为整式方程，求出方程的解、去括号、移项、合并同类项以及系数化为1即可； （3）根据一元一次不等式组的解法，先分别求出两个不等式的解集，再借助数轴求出两个不等式解集的公共部分即可． 小问1详解】 解：解方程组：， 由①+②得，， 解得：， 将代入②得，， 解得， 所以原方程组的解为． 【小问2详解】 解：， 两边同时乘以，得： 去括号得，， 移项，合并同类项得， 解得：； 检验：当时，， 故原分式方程解为：． 【小问3详解】 解：， 解不等式的解集为， 解不等式的解集为， 把这两个不等式的解集在数轴上表示为： 所以不等式组的解集为． 21. 如图，在中，，，过点C作直线MN与线段AB相交，于点M，于点N． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识． （1）利用互余关系证， （2）利用证明，得到，，再利用即可得证． 【小问1详解】 证明：于M，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：∵， 在和中， ， ， ，， ． 22. 已知，点在上，点在上，点为射线上一点． （1）如图1，若，，则 ． （2）如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，平分，交于点． ①若平分，求和的数量关系． ②若，，，直接写出的度数为 ． 【答案】（1） （2）数量关系：，理由见解析 （3）① ，② 【解析】 【分析】（1）过点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （2）过点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （3）①过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； ②根据①的结论，利用角的关系解答即可． 【小问1详解】 解：过点作， ， ， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 数量关系：， 证明：过点作， ， ， ，， ． 【小问3详解】 ①过点作， ， ， ，， ． 又平分，平分， ， 由（2）可得 ②，理由如下： ：，，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线，根据两直线平行，内错角相等解答． 23. 根据以下素材．探索完成任务． 如何制定订餐方案？ 素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有A、B两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 【答案】任务1：选择A套餐的有13人，选择B套餐的有7人；任务2：两种套餐皆可的同学中至多有9人可以选择A套餐；任务3：当订购A套餐20份，订购B套餐11份时，订餐总费用最低为810元 【解析】 【分析】任务1：根据题意可设这20人中选择套餐的有人，，则选择套餐的有人，，根据“费用合计为565元”列出方程，解方程即可得到答案； 任务2：由当全班选择套餐人数不少于20人时，即，得到，从而得到选择套餐人数为，不满足优惠方案二的条件，根据订餐总费用不超过820元即可列出不等式求出；即可得出结论； 任务3：在任务2的条件下，分三种情况，分别计算出所花费的费用，进行比较即可得到答案． 【详解】任务1：20人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足， 设这20人中选择A套餐的有x人，， 则选则B套餐有人，，即， ， ， ． 答：选择A套餐的有13人，选择B套餐的有7人． 任务2：设两种套餐皆可的11人中有m人选择A套餐， 当A套餐人数不少于20人时，，， 则选择B套餐人数为，不满足优惠方案二的条件， ， 解得：， 最大整数解为． 所以两种套餐皆可的同学中至多有9人可以选择A套餐． 任务3：在任务2的条件下， 当时订购A套餐20份，订购B套餐11份， 打折后总费用为815元． 若选用满减优惠需要元． 当时订购A套餐21份，订购B套餐10份． 打折后总费用为817元． 若选用满减优惠需要元． 当时订购A套餐22份，订购B套餐9份， 打折后总费用为819元． 若选用满减优惠需要元． 综上所述，当订购A套餐20份，订购B套餐11份时，订餐总费用最低810元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$