精品解析：辽宁省鞍山市第五十一中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题

八年级数学试卷 一、选择题 1. 函数中，自变量的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 2. 下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ） A B. C. D. 3. 如果，，那么下列各式中正确的是（ ） A B. C. D. 4. 估计的值应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 5. 设，，则可以表示为（　　） A. B. C. D. 6. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( ) A. 北偏西30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60° 8. 如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么值为（ ） A. 25 B. 9 C. 13 D. 169 9. 周末小刚骑自行车到外婆家，他从家出发后到达书店，看了一会书，仍按原来的速度继续前行到达外婆家，小刚从家出发到外婆家中，小刚与家的距离随时间变化的函数图像大致如图所示，下列说法正确的是（　　） A. 小刚从家到书店骑行速度为5km/h B. 小刚在书店停留了1.5h C. 书店与外婆家的距离为15km D. 小刚从家到外婆家的平均速度为6km/h 10. 如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（　　） A. 4米 B. 4.5米 C. 5米 D. 5.5米 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：的结果是________． 12. 在平行四边形中，，为边上的高， ，，则平行四边形的周长为________． 13. 已知等腰三角形的周长是20，底边长，腰长为，请写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围___________． 14. 如图，，点分别在边上，且，点、分别在边、上，则最小值是___________． 15. “龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法： ①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米； ②兔子和乌龟同时从起点出发； ③乌龟在途中休息了10分钟； ④兔子在途中750米处追上乌龟． 其中正确的说法是_____．（把你认为正确说法的序号都填上） 三、解答题： 16. 计算： 17. 已知：，求代数式值 18. 如图，已知等腰中，，，D是边上一点，且． （1）求的长； （2）求中边上的高． 19. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响. （1）请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？ （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 20. 在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． （1）列表：下表是列出的几组、的对应值； 0 1 2 3 4 2 1 0 0 1 a 表中___________； （2）据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； （3）性质探究： ①观察图象，当___________时，函数有最小值为___________； ②除了上述性质外，请你再写出一条该函数的性质． 21. 如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点E，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 23. 【发现问题】 我们学习了《乘法公式》后发现：由得，，当且仅当时取等号．也就是说当时有最小值． 【提出问题】在学习过《二次根式》后，根据乘法公式，猜想与的大小关系，并说明理由． 【解决问题】 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为___________； （2）当时，求的最小值； （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为和．求四边形面积的最小值． （4）请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为的花园，所用的篱笆至少为多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学试卷 一、选择题 1. 函数中，自变量的取值范围是（　　） A B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求函数自变量的取值范围，涉及分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟悉分式有意义的条件、二次根式有意义的条件是解决问题的关键．由分式有意义的条件、二次根式有意义的条件得到，且，解不等式即可得到答案． 【详解】解：要使函数有意义，则，且， 解得，且， 故选：C． 2. 下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了 以直角三角形三边为边长的图形面积，掌握勾股定理是解题关键．根据勾股定理可知，以两直角边为边的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积求解即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 3. 如果，，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出，，然后根据二次根式的意义，二次根式的性质化简，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，无意义， ∴A的结论不正确； ∵， ∴B的结论正确； ∵， ∴C的结论不正确； ∵， ∴D的结论不正确， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的意义等知识，掌握二次根式的性质是解题的关键． 4. 估计的值应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算．先利用二次根式的乘法得出，再估算出的取值范围，进而得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 估计的值应在3到4之间， 故选：B． 5. 设，，则可以表示为（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 6. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【详解】解：依题意，， 在中，， ∵，, 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 7. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( ) A. 北偏西30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60° 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，根据题意得OA=40×15=600，OB=40×20=800， 因为6002=360000，8002=640000，10002=1000000，360000+640000=1000000. 所以6002+8002=10002. 所以∠AOB=∠AOB=90°，所以∠BOS=∠B′ON=60°，所以乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°. 故选C. 8. 如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么值为（ ） A. 25 B. 9 C. 13 D. 169 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到的值，然后根据即可求解． 【详解】根据勾股定理可得， 四个直角三角形的面积是：，即， 则． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方式，正确根据图形的关系求得和的值是关键． 9. 周末小刚骑自行车到外婆家，他从家出发后到达书店，看了一会书，仍按原来的速度继续前行到达外婆家，小刚从家出发到外婆家中，小刚与家的距离随时间变化的函数图像大致如图所示，下列说法正确的是（　　） A. 小刚从家到书店的骑行速度为5km/h B. 小刚在书店停留了1.5h C. 书店与外婆家的距离为15km D. 小刚从家到外婆家的平均速度为6km/h 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知： A、小刚从家到书店的骑行速度为=10（km/h）， 故不符合题意； B、小刚在书店停留了1.5－0.5=1（h）， 故不符合题意； C、书店与外婆家的距离为15－5=10（km）， 故不符合题意； D、小刚从家到外婆家的平均速度为15÷2.5=6（km/h）， 故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是从图象中读取有效信息进行解答． 10. 如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（　　） A. 4米 B. 4.5米 C. 5米 D. 5.5米 【答案】B 【解析】 【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG=4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE． 【详解】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G， ∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°， ∠AOF+∠OAF=90°， ∴∠COG=∠OAF， 在△AOF与△OCG中， ， ∴△AOF≌△OCG（AAS）， ∴OG=AF=BD=4米， 设AO=x米， 在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2， 解得x=8.5． 则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）． 故选：B． 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方法则逆运算化简，结合平方差公式即可得到答案； 【详解】解：原式， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查积的乘方法则逆运算及平方差公式，解题的关键是熟练掌握，． 12. 在平行四边形中，，为边上的高， ，，则平行四边形的周长为________． 【答案】14或22 【解析】 【分析】分情况讨论，①当高在平行四边形内部时，②当高在平行四边形外部时，在中运用勾股定理计算出，进而求出，由可求出的长度，就可求出答案． 【详解】解：如图， ①当高在平行四边形内部时， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， ， 平行四边形的周长为：； ②如图：当高在平行四边形外部时， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 中，， ， ， ， ， 平行四边形的周长为：． 故答案为：14或22． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解答的关键是明确60°角的位置以及分类讨论思想的运用． 13. 已知等腰三角形的周长是20，底边长，腰长为，请写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系,根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键． 根据已知列方程，再根据三角形三边关系确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，则， ∵两边之和大于第三边， ∴， 综上可得． 故答案为： 14. 如图，，点分别在边上，且，点、分别在边、上，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作关于的对称点，关于的对称点，连接两对称点，交于．此时有最小值，根据线段垂直平分线性质和两点之间线段最短，，的长度就是所求的的最小值，勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：作关于的对称点，关于的对称点，连接两对称点，交于，连接，如图所示： ，，， 则， 由两点之间线段最短，当四点共线时，有最小值，为的长， ， ， 则是直角三角形， 在中，由勾股定理得， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及轴对称的性质、两点之间线段最短、直角三角形判定、勾股定理等知识，根据题意，作出图形，利用轴对称的性质求出线段长是解题的关键． 15. “龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法： ①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米； ②兔子和乌龟同时从起点出发； ③乌龟在途中休息了10分钟； ④兔子在途中750米处追上乌龟． 其中正确的说法是_____．（把你认为正确说法的序号都填上） 【答案】①③④ 【解析】 【详解】根据图象可知： 龟兔再次赛跑的路程为1000米，故①正确； 兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误； 乌龟在30～40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确； y1=20x﹣200（40≤x≤60），y2=100x﹣4000（40≤x≤50），当y1=y2时，兔子追上乌龟， 此时20x﹣200=100x﹣4000，解得：x=47.5， y1=y2=750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确， 综上可得①③④正确. 三、解答题： 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的乘除法、完全平方公式和乘法分配律进行计算，再进行加减法即可． 【详解】解： 17. 已知：，求代数式值 【答案】 【解析】 【分析】观察，显然，要求代数式可以变成x，y的差与积的形式，从而简便计算． 【详解】解：∵x＝ (+)，y＝ (-)， ∴xy=×2=，x-y=, ∴原式=（x-y）2+xy=5+=5． 【点睛】此类题注意变成字母的和、差或积的形式，然后整体代值计算． 18. 如图，已知等腰中，，，D是边上一点，且． （1）求的长； （2）求中边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理得出是解此题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理求出，求出，再根据勾股定理求出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 ∵，且， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 【小问2详解】 ， 过A作于E，则是的高， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即中边上的高是． 19. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响. （1）请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？ （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【答案】（1）着火点C受洒水影响 （2）着火点C能被扑灭 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质， （1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【小问1详解】 着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点作，垂足为， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， （米）， ， 着火点C受洒水影响 【小问2详解】 如图，以点为圆心，500m为半径作圆，交于点， 则， ， ， 在中，， ， （秒）， 着火点C能被扑灭． 20. 在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． （1）列表：下表是列出的几组、的对应值； 0 1 2 3 4 2 1 0 0 1 a 表中___________； （2）据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； （3）性质探究： ①观察图象，当___________时，函数有最小值为___________； ②除了上述性质外，请你再写出一条该函数的性质． 【答案】（1） （2）图见详解 （3）①0，；②当时，随着的增大而增大（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格可代值进行求解即可； （2）根据描点连线可作函数图象； （3）根据（2）中函数图象可进行求解． 【小问1详解】 解：由表格可得： ； 故答案为2； 【小问2详解】 解：根据表格可得图象如下： 【小问3详解】 解：由（2）中图象可得： ①当时，函数有最小值为； ②除了上述性质外，该函数当时，随着的增大而增大． 21. 如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点E，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，运用角平分线的定义和平行线的性质证，再等量代换即可； （2）过点作，先通过角平分线的性质和勾股定理算出， ，设，在中由列方程求出． 【小问1详解】 解：解：∵四边形为平行四边形， ∴， ，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【小问2详解】 解：点作， ∵是的角平分线，，， ∴，， 又∵， ∴， 在中， ， 由（1）知，，设， 在中， ， 即， 解得：， 即的长为． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用上述知识，通过数形结合来求证求解． 22. 【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）通过证明即可证明； （2）连接，根据条件证明可得，进而得到，由勾股定理即可证明； （3）延长到T，使，连接，延长交于点J，即可证明，利用全等三角形的性质可得，即可求得． 【详解】（1）证明：∵点是线段，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∵是等腰三角形，是底边上的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长到T，使，连接，延长交于点J，如图， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 23. 【发现问题】 我们学习了《乘法公式》后发现：由得，，当且仅当时取等号．也就是说当时有最小值． 【提出问题】在学习过《二次根式》后，根据乘法公式，猜想与的大小关系，并说明理由． 【解决问题】 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为___________； （2）当时，求的最小值； （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为和．求四边形面积的最小值． （4）请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为的花园，所用的篱笆至少为多少米？ 【答案】（1） （2） （3） （4）米 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，平方的非负性，列代数式． （1）由完全平方公式，结合，可得当，时，，从而可得当时，的最小值． （2）对进行整理，利用，即可求得最小值； （3）根据题意可知，，设，可得的表达式，利用，即可求得的最小值； （4）设花园的长为米，则宽为米，可得篱笆总长为，利用，即可求得所需篱笆总长的最小值． 【小问1详解】 解：∵当，时，， ∴， ∴， ∴当，时，，当且仅当时取等号， ∴当时，， ∴当时，的最小值为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵当，时，， ∴当时，， ∴当时，求的最小值为． 【小问3详解】 解：用表示图形的面积，例如，四边形的面积为， 根据题意可知，， 设， ∵、的面积分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴四边形面积的最小值为． 【小问4详解】 解：设花园的长为米，，则宽为米， 篱笆总长为（米） ∴为了围成面积为的花园，所用的篱笆至少为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$