精品解析： 四川省南充市南部县第二中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

2023-2024学年度下学期八年级第一次阶段性学情诊断 数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列线段的长为边，不能构成直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 3. 若，则代数式的值为（ ） A. 7 B. 4 C. 3 D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将长方形和直角三角形的直角顶点重合，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，∠AOB=90°，OA=25m，OB=5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是（ ）． A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 8. 如图，是的中位线，平分交于点D，若，则边的长为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，中，交于O，平分，，．下列结论：①平分；②；③；④，正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算的结果是_________． 12. 已知都是实数，则的值为___________． 13. 如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________． 14. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E，，，，则的长为 _____． 15. 小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是 ______ 16. 如图，在中，，，，平分，，分别是和上的动点，则的最小值为______． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，矩形的对角线相交于点，点，在上，且． （1）求证：； （2）若，求矩形的面积． 19. 如图，在中，，，是上一点，，．求的度数． 20. 化简求值：．其中． 21. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点坐标为，点坐标为，点坐标为． （1）判断的形状，并说明理由； （2）边上的高的长为 （3）若以A，B，C及点为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为_______． 22. 如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求的长． 23. 如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里 （1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由 （2）若“远航”号沿北偏东30°方向航行（图2），从港口O离开经过两个小时后位于点F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在20分钟内回到海岸线吗？请说明理由． 24. 已知，在四边形中，，， ． （1）求的长． （2）点E在的延长线上，连接，若，且四边形的面积为9，求的长度． （3）在（2）的条件下，点E在的延长线上，动点P从点A出发以每秒0.5个单位长度的速度向终点D匀速运动，动点Q从点E出发以每秒3.5个单位长度的速度沿线段向终点B匀速运动，点P和点Q同时出发，当点Q到达终点停止运动时点P也随之停止运动，当运动时间t（秒）为何值时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？ 25. 在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，且．点E是上任意一点，点F是上任意一点， （1）直接写出 ， ． （2）如图1，将沿折叠，点A恰好落在点E处，求E，F两点的坐标； （3）如图2，若，设点E的横坐标为m，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度下学期八年级第一次阶段性学情诊断 数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 2. 以下列线段的长为边，不能构成直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：选项，，，故不能构成直角三角形，符合题意； 选项，，，故能构成直角三角形，不符合题意； 选项，，，故能构成直角三角形，不符合题意； 选项，，，故能构成直角三角形，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解并掌握勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题的关键． 3. 若，则代数式的值为（ ） A. 7 B. 4 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将代数式变形为，再代入即可求解． 【详解】解：． 故选：C 【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．二次根式的性质、二次根式的加减法和除法运算法则计算即可判断． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 6. 如图，将长方形和直角三角形的直角顶点重合，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求出，再用，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查几何图形中的角度计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键． 7. 如图，∠AOB=90°，OA=25m，OB=5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是（ ）． A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，再利用在中 ，列出方程解答即可. 【详解】设，则， 依题意知, 在中， 即 , 解得, ∴. 故选：B. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是能利用勾股定理正确列出方程． 8. 如图，是的中位线，平分交于点D，若，则边的长为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 由三角形的中位线定理得到，，利用等腰三角形的判定结合平行线的性质和角平分线的定义求出，可得，即可求出的长． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去个全等的三角形的面积，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵大正方形面积为，四个全等的直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，， ∴，， ∴， ∴，即小正方形边长为， 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，理解图示的意思，掌握面积法与勾股定理的计算方法是解题的关键． 10. 如图，中，交于O，平分，，．下列结论：①平分；②；③；④，正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，得出，可判断①正确；由三角形中位线定理得出，则可得出②正确；证明，由勾股定理求出的长，则可得出③正确；由平行四边形的面积可得出④正确． 【详解】解：①中，， ， ， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故①正确； ②由①可知，， ， ， 故②正确； ③由①可知，， ， ， ， ， 故③正确； ④由③可知，， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算的结果是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：． 12. 已知都是实数，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，整式的混合运算法则即可求解． 【详解】解：∵中，中， ∴，解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式，整式的混合运算的综合，理解二次根式的性质，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 13. 如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】根据矩形的性质，得到，利用三角形外角求出，利用垂直可求出结果． 【详解】∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质；灵活运用矩形的性质求解是解题的关键． 14. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E，，，，则的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，又，，证得是直角三角形，利用的面积即可求出的长． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴，即 ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，利用面积求出高． 15. 小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是 ______ 【答案】#### 【解析】 【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】如图所示： 由勾股定理知：， ， 即电梯内能放入这些木条的最大长度是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 16. 如图，在中，，，，平分，，分别是和上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，连接，作于．根据对称的性质可得，推出，根据垂线段最短可知当点与H重合，C，P，共线时，的值最小，最小值就是线段的长． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，作于．如图： ∵点与点关于直线的对称， ∴垂直平分， ∴， 则， 根据垂线段最短可知当点与重合，，，共线时，，此时的值最小，即的值最小， ∵，，， ∴， 则， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称-最短距离的问题，勾股定理，三角形的面积等，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的四则运算法则是解本题的关键． 18. 如图，矩形的对角线相交于点，点，在上，且． （1）求证：； （2）若，求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，，，， ， ， 在和中， ， （）， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理； （1）由矩形的性质得出，，，，证出，由证明，即可得出，进而即可得证； （2）证出是等边三角形，得出，，在中，由勾股定理求出，即可得出矩形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 矩形的面积． 19. 如图，在中，，，是上一点，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到，再根据勾股定理计算出，再根据 为等腰直角三角形得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟知如果三角形的三边长 a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形． 20. 化简求值：．其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算和求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则． 先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得． 【详解】解：原式=， =， ， 当时， 原式． 21. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点坐标为，点坐标为，点坐标为． （1）判断的形状，并说明理由； （2）边上的高的长为 （3）若以A，B，C及点为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为_______． 【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）2 （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，特殊四边形的综合，二次根式的运算，掌握勾股定理的逆定理，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理以及勾股定理逆定理求解即可； （2）根据等面积法得到，即可求解； （3）根据平行四边形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2； 【小问3详解】 解：如图所示， 故D点坐标为：，，． 故答案为：或或． 22. 如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， F是中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，然后证明，得到，进而即可得到四边形是平行四边形； （2）过点C作于点G，根据等腰三角形的性质得到，求得，解直角三角形即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点C作于点G， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 23. 如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里 （1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由 （2）若“远航”号沿北偏东30°方向航行（图2），从港口O离开经过两个小时后位于点F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在20分钟内回到海岸线吗？请说明理由． 【答案】（1） “海天”号沿西北方向航行， 理由：∵（海里），（海里），（海里）， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵“远航”号沿东北方向航行， ∴， ∴， ∴“海天”号沿西北方向航行； （2）能在20分钟内回到海岸线，理由： 过点F作于D， （海里）， ∵， ∴， ∴（海里）， ∵（海里）， ， ∴能在20分钟内回到海岸线． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可； （2）过点A作于D，根据含30度角的直角三角形的性质，根据勾股定理得出F到x轴距离，进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答． 24. 已知，在四边形中，，， ． （1）求的长． （2）点E在的延长线上，连接，若，且四边形的面积为9，求的长度． （3）在（2）的条件下，点E在的延长线上，动点P从点A出发以每秒0.5个单位长度的速度向终点D匀速运动，动点Q从点E出发以每秒3.5个单位长度的速度沿线段向终点B匀速运动，点P和点Q同时出发，当点Q到达终点停止运动时点P也随之停止运动，当运动时间t（秒）为何值时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1）3 （2）5 （3）或2 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质可得结果； （2）过点D作于点H，设，再证明，可得，再由勾股定理列出方程求解即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当点Q在线段上时和当点Q在线段上时，再利用平行四边形的判定列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 如图，过点D作于点H，设， ， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为9，， ， ， 中，， ， ， ， 在中，， ， 解得， ； 【小问3详解】 如图，当点Q在线段上时， 由题意得，，， ， 只要使，四边形是平行四边形， ， 解得； 如图，当点Q在线段上时， 由题意得，，， ， 只要使，四边形是平行四边形， ， 解得； 综上所述，t的值为或2 25. 在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，且．点E是上任意一点，点F是上任意一点， （1）直接写出 ， ． （2）如图1，将沿折叠，点A恰好落在点E处，求E，F两点的坐标； （3）如图2，若，设点E的横坐标为m，求的值； 【答案】（1）10，8 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的非负性以及平方的非负性即可求解； （2）即可得，，，由题意得：，．在中，，，，即可得，，即，设，则，利用勾股定理得，即可得，问题得解； （3）设直线交y轴于H点，交x轴于G点；作，使，连接；根据运动的特点可知：，易证明，，，都为等腰直角三角形，，，，，，证明．再证明，即有，则有，便可得，根据，则，，根据勾股定理可得，问题得解． 【小问1详解】 解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，； 故答案为：10，8； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， 由题意得：，． 在中，，，， ∴， ∴，即， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 即，； 【小问3详解】 解：设直线交y轴于H点，交x轴于G点；作，使，连接； ∵四边形为矩形， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，，都为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴． ∴， ∴， ∵，，， ∴，即 ∵，则，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，算术平方根的非负性，等腰三角形的判定与性质，构造合理的辅助线，掌握矩形的性质，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $