精品解析：黑龙江哈尔滨市松北区哈尔滨新区第一学校2026-2027学年度上学期八年级期中考试数学试题

2026—2027学年度八年级数学期中考试试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 我 B. 爱 C. 中 D. 国 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（ ） A. 4，5，8 B. 4，5，9 C. 4，5，10 D. 4，5，11 4. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是高，若，则的长是（ ）． A. B. C. D. 6. 若一个等腰三角形的两条边的长度分别为3和7，则这个等腰三角形的腰长为（ ） A. 3 B. 7 C. 4 D. 3或7 7. 如图，下列四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 8. 某平板电脑支架如图所示，其中，，为了提高使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 9. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下五个结论：=；；；平分；；正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________． 12. 若，则_________． 13. 如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 14. 点关于轴对称的点的坐标是______． 15. 如图，在中，，点D为边的中点，，则______°． 16. 如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AC边的中点，连接AD，DE，若S阴影＝1，则S△ABC＝___． 17. 如图，在纸片中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是_________． 18. 如图，在中，，，进行如下操作：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交、于点、；②分别以、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，则的度数为___________． 19. 中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为__________． 20. 如图，中，平分为边上的点，连接，，下列结论：①；②；③：④，其中一定正确的结论有_________．（填写序号即可） 三、解答题（其中21题6分，22-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 计算： （1） （2） 22. 图1、图2均是6×8的正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在图1、图2给定的网格中按要求作图． （1）在图1中的格点上确定一点，并作出，使得； （2）在图2中的格点上确定一点E，并作出线段，使得为的中线，并直接写出的面积． 23. 若的三边分别为． （1）求m的取值范围； （2）若的三边均为整数，求的周长． 24. 如图，点在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C． （1）如图①，若∠A=40°时，点D在△ABC内，则∠ABC+∠ACB=　 　度，∠DBC+∠DCB=　 　度，∠ABD+∠ACD=　 　度； （2）如图②，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC内，请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论． （3）如图③，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD、∠ACD、∠A三者之间存在的数量关系． 26. 已知，在中，，三点都在直线m上，且． （1）如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________； （2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系； （3）如图③，若只保持，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 27. 如图，平面直角坐标系中，点A的坐标，B为y轴正半轴上一点，连接，． （1）求点B坐标： （2）如图2，P为x轴负半轴上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，用含的式子表示S（不用写出t的取值范围）： （3）如图3，在（2）的条件下，C为x轴负半轴上P左侧一点，连接，过C作，且，连接，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度八年级数学期中考试试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 我 B. 爱 C. 中 D. 国 【答案】C 【解析】 【详解】解：“中”字可找到一条直线，沿该直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形， “我”“爱”“国”均找不到这样的直线，不是轴对称图形 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方和积的乘方法则，逐项计算即可判断． 【详解】解：、与不是同类项，无法合并，运算错误，不符合题意； 、，运算错误，不符合题意； 、，运算错误，不符合题意； 、，运算正确，符合题意． 3. 下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（ ） A. 4，5，8 B. 4，5，9 C. 4，5，10 D. 4，5，11 【答案】A 【解析】 【分析】验证两条较短线段的和大于最长线段，即可判断能否组成三角形 【详解】解：A、 ，能组成三角形，符合题意； B、C、D选项中，两条较短线段的和均不大于最长线段，不能组成三角形，不符合题意 4. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】需同时满足三角形三边关系和全等判定条件，才能唯一画出． 【详解】解：∵选项A中，为斜边，已知，，符合直角三角形全等的判定， ∴能画出唯一； ∵选项B给出两边及其中一边的对角，不能唯一确定三角形，∴不符合题意； ∵选项C中，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，∴不符合题意； ∵选项D仅已知三个内角度数，无边长限制，可画出无数个相似三角形，∴不符合题意． 5. 如图，在中，是高，若，则的长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含角的直角三角形的性质得到，根据三角形内角和定理得到，，继而根据含角的直角三角形的性质得到，继而得到． 【详解】解：是的高， ， ， ，， 在中，， ， ， ． 6. 若一个等腰三角形的两条边的长度分别为3和7，则这个等腰三角形的腰长为（ ） A. 3 B. 7 C. 4 D. 3或7 【答案】B 【解析】 【分析】分腰长为和两种情况讨论，结合三角形三边关系验证能否构成三角形． 【详解】解：当腰长为时，三边长为， ∵， ∴不能构成三角形，舍去； 当腰长为时，三边长为， ∵， ∴能构成三角形． 7. 如图，下列四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的高的定义，过顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段为三角形的高，观察各选项直接选择答案即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，只有A选项符合． 8. 某平板电脑支架如图所示，其中，，为了提高使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，得出和的数量关系，再结合邻补角的定义，分析的变化情况． 【详解】解：， ． ， ， 当增大时，增大． ， 当增大时，减小， 即当增大时，减小． 9. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，再求解，进而求出的度数． 【详解】解：由作图可知：垂直平分线段， 可得，而， 则， ∵， ∴， ∴． 10. 如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下五个结论：=；；；平分；；正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知，从而判断正确；由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，即可判断正确；根据，可知，从而判断正确；过点作于点，于点，由，则，所以，得，然后通过角平分线的判定即可判断正确；利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是，从而判断正确． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，故正确， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴，故正确； 如图，过点作于点，于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在平分线上， ∴平分，故正确； ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上可得，正确的有，共个． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响． 12. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】已知同底数幂连乘的等式，可利用同底数幂的乘法法则化简左侧表达式，通过指数相等建立方程求解的值． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，单独字母的指数为可省略不写， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 13. 如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用即可证明． 【详解】解：∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则全等的依据是． 14. 点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，根据关于对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可求解，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点D为边的中点，，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，先证明是等腰三角形，，得到，再由等腰三角形三线合一得到答案． 【详解】解：在中，， ∴是等腰三角形， ∴ ∵点D为边的中点， ∴ 故答案为： 16. 如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AC边的中点，连接AD，DE，若S阴影＝1，则S△ABC＝___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据点E是AC边的中点，得到S△ADC =2S△ADE，根据点D是BC边的中点，得到S△ABC=2S△ADC，于是得到结论． 【详解】 点E是AC边的中点， S△ADC =2S△ADE， S阴影=1， S△ADC=2S阴影=2， 点D是BC边的中点， S△ABC=2S△ADC=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 17. 如图，在纸片中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，，，由可得，由等角对等边即可得到结论． 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ， ， ， ∴， ， ． 18. 如图，在中，，，进行如下操作：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交、于点、；②分别以、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的作图，以及三角形的内角和定理及三角形外角定理．根据题意得，结合角平分线的性质得，根据三角形外角定理即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图得：平分， ∴， ∴ 故答案为：． 19. 中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键．可分三种情况：当为锐角三角形时，当为钝角三角形时，当为直角三角形，根据三角形内角和定理及三角形外角的性质计算可求解． 【详解】解：如图，当为锐角三角形时， ， ， ， ， ， ， ， 当为钝角角三角形时，的延长线于， ， ， ， ， ， ， ； 当为直角三角形，时，不存在， 故的度数为或． 故答案为：或． 20. 如图，中，平分为边上的点，连接，，下列结论：①；②；③：④，其中一定正确的结论有_________．（填写序号即可） 【答案】 ①③④ 【解析】 【分析】作，再根据角平分线的性质定理得，然后根据“斜边直角边”证明，可得，接下来结合说明①；再证明，可得，即可说明②和④；最后根据说明③即可． 【详解】解：过点D作，交于点G， ∵平分，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，则①正确； ∵， ∴， ∴， ，则④正确， ∴则②不正确， ∴， 即，即，则③正确， 所以正确的有①③④． 三、解答题（其中21题6分，22-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据积的乘方和幂的乘方法则计算即可； （2）根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 22. 图1、图2均是6×8的正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在图1、图2给定的网格中按要求作图． （1）在图1中的格点上确定一点，并作出，使得； （2）在图2中的格点上确定一点E，并作出线段，使得为的中线，并直接写出的面积． 【答案】（1）点即为所求，连接，，如图所示： （2）点E即为所求，连接，如图所示： 的面积为． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理和“”，结合网格图，找出点； （2）利用勾股定理结合网格图，找出线段的中点即可；对于，以为底，且边上的高为，利用三角形的面积公式和中线的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意和图可知，，，，， ，，， ． 【小问2详解】 解：由题意和图可知，，， ，即点E为线段的中点， 为的中线． 由题意和图可知，，且边上的高为， 的面积为， 的面积为． 23. 若的三边分别为． （1）求m的取值范围； （2）若的三边均为整数，求的周长． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，不等式组的应用，正确得出不等式组是解题关键． （1）直接利用三角形三边关系得出不等式组求出答案； （2）利用m的取值范围得出m的整数值，进而得出答案 【小问1详解】 解：根据三角形的三边关系， ， 解得：； 【小问2详解】 解：∵的三边均为整数，且， ∴或或， ∴的周长为： 当时，周长为， 当时，周长为， 当时，周长为． 24. 如图，点在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， ； （2）14 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 25. 将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C． （1）如图①，若∠A=40°时，点D在△ABC内，则∠ABC+∠ACB=　 　度，∠DBC+∠DCB=　 　度，∠ABD+∠ACD=　 　度； （2）如图②，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC内，请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论． （3）如图③，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD、∠ACD、∠A三者之间存在的数量关系． 【答案】（1）140，90，50； （2）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A．证明如下： 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A． 在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣∠A﹣90°，∴∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A． （3）∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A． 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°﹣∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数； （2）根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，则∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A． （3）设线段DC和线段AB交于点O，根据三角形外角的性质可得：∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A． 【详解】（1）在△ABC中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°， 在△DBC中，∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°，∴∠ABD+∠ACD=140°﹣90°=50°． 故答案为：140，90，50． （2）略 （3）∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．证明如下： 设线段DC和线段AB交于点O． ∵∠BOC=∠D+∠DBO=∠A+∠ACO，∴90°+∠ABD=∠A+∠ACD，∴∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，实际上证明了三角形的外角和是360°，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 26. 已知，在中，，三点都在直线m上，且． （1）如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________； （2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系； （3）如图③，若只保持，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明得； （2）由（1）同理可得，得，可得答案； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ， 由（1）同理可得， ∴， ∴； 【小问3详解】 存在，当时， ∴， ∴，此时； 当时， ∴ ∴，， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 27. 如图，平面直角坐标系中，点A的坐标，B为y轴正半轴上一点，连接，． （1）求点B坐标： （2）如图2，P为x轴负半轴上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，用含的式子表示S（不用写出t的取值范围）： （3）如图3，在（2）的条件下，C为x轴负半轴上P左侧一点，连接，过C作，且，连接，求点P的坐标． 【答案】（1）点B坐标为 （2） （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再结合三角形面积公式计算得出，即可得出结果； （2）表示出，进而可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果； （3）在y轴的负半轴上取一点E，使得，连接，证明，得出，，再证明，得出，从而得解． 【小问1详解】 解：点A的坐标为， ， ， ， ， 为y轴正半轴上一点， ； 【小问2详解】 解：为x轴负半轴上一点，点P的横坐标为t， ， ∴， ， ； 【小问3详解】 解：如图，在y轴的负半轴上取一点E，使得，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $