精品解析：重庆市第八中学2025-2026学年上学期九年级开学考数学试题

数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. 5 C. D. 2. 下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 要调查下列问题，适合采用全面调查方式的是（ ） A. 调查一批最新型炮弹的杀伤半径 B. 调查中央电视台《开学第一课》的收视率 C. 调查一批华为手机电池的使用寿命 D. 调查全班同学每月做家务的次数 4. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 若点，在反比例函数图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 7. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马追上慢马的天数是x天，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，它们是由边长相同的小正方形组成的有规律的图案，其中第1个图中有5个小正方形涂有阴影，第2个图中有9个小正方形涂有阴影，第3个图中有13个小正方形涂有阴影……按照这样的规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ） A. 20 B. 21 C. 40 D. 41 9. 如图，正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接，交边于点G．点H为的中点，连接并延长交于点K．若时，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n，，，…，，为自然数，为正整数，，且满足．下列结论正确的是（ ） ①当时，满足条件的整式M有6个； ②满足条件的整式M中只有15个单项式； ③满足条件的整式M共有23个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个不透明布袋里有2个黑球和1个白球（仅有颜色不同），则从中任意摸出一个球后，放回后再摸一次，摸出两个黑球概率为__________． 12. 已知：，且是整数，则______． 13. 如图，，点在这两条平行线之间，且，连接并延长，交的延长线于点．若，，则______度．（用含的代数式表示） 14. 已知实数a，b满足，，且a≠b，则的值为__________． 15. 在四边形中，，，连接，交于点，过点作交于，交于，且，则______，若，，则______． 16. 现有一个四位自然数，它的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，满足，称这个四位数为“1234数”，例如：6742，满足，则称6742是一个“1234数”．则最大的“1234数”是__________；现有一个“1234数”M，将它的百位数字和千位数字交换位置，再将它的十位数字和个位数字交换位置，得到一个新的四位数，则是一个整数，且是一个完全平方数，则所有满足条件的M的和为__________． 三、解答题：（本大题9个小题，17题、18题每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 18. 小宏在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小宏的操作：如图，在四边形中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点O、E、F，连接、．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明∵垂直平分， ∴①__________，． ∵， ∴②__________． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵④__________， ∴四边形为菱形． 19. 先化简，再求值：，再从，0，2，4中选择一个合适的值代入求值． 20. 学校团委举行以“传承五四精神，展现青春风采”为主题的团史知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析（成绩得分用表示，单位：分，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），共分成四组：A．；B．；C．；D．，部分信息如下：七年级20名学生的竞赛成绩为：75，77，78，79，79，81，85，87，87，87，89，90，91，93，93，94，95，96，97，98： 八年级20名学生的成绩在组的数据是：； 七、八年级所抽学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 88 八年级 91 八年级所抽学生成绩扇形统计图 （1）上述图表中______，______，_______； （2）通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的团史基础知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七年级有1600名学生、八年级有1000名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有多少人？ 21. 某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，2024年商家报价双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元． （1）求2024年单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）2025年商家对新能源充电桩进行促销，小区花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，请问2025年该小区购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？ 22. 如图，在中，，，，动点M从点C出发，沿C→A→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点B时停止运动，连接，．点N以每秒个单位长度的速度从点C出发，沿C→A方向匀速运动，至点A停止．两点同时出发，设运动时间为x秒（），过点N作于点E．的面积为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出、关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，当时，请直接写出x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 如图，A、B为两个海上基地，基地B位于基地A正东方向，一艘海警快艇航行至C处，测得基地A位于其南偏西方向，距离20海里处，基地B位于其东南方向． （1）基地A与基地B相距多少海里？（结果保留一位小数） （2）一艘可疑船只从基地B出发以每小时10海里的速度沿正北方向航行，快艇接到通知（忽略接收信息的时间）马上从C点出发以每小时20海里的速度沿北偏东某方向进行追击，并在D处成功追上可疑船只，求追上可疑船只时快艇追击距离是多少海里？ （参考数据：，，） 24. 如图1，在平面直角坐标系中直线：交坐标轴于A、B两点，直线：过点B交y轴于点C，且． （1）求直线的解析式； （2）点H为线段上一动点，连接，且，点P，Q为y轴上的两个动点，点P在点Q的上方，且，G为线段的中点，连接，，求最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，将直线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到直线，交直线于点E，交y轴于点F，点M为上一动点，连接，当时，请直接写出点M的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 25. 在等腰三角形中，，点D是线段的中点，点E是中垂线上的一点，连接、． （1）如图1，当点E在边上时，若，求的长度； （2）如图2，当点E在内部时，延长至点F，连接、，若平分，点G为的中点，求证：； （3）如图3，当点E在外（下方）时，与交点H，若为等腰直角三角形，，K为平面内一点，将沿翻折得到，射线交于点M，当最短时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 【详解】解：的相反数是5． 故选：B． 2. 下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.原图是轴对称图形，故本选项符合题意； D.原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 要调查下列问题，适合采用全面调查方式的是（ ） A. 调查一批最新型炮弹的杀伤半径 B. 调查中央电视台《开学第一课》的收视率 C. 调查一批华为手机电池的使用寿命 D. 调查全班同学每月做家务的次数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查和抽样调查的特点，熟悉全面调查和抽样调查是解题的关键． 本题可根据全面调查和抽样调查的特点，对各选项逐一进行分析． 【详解】解：由于炮弹具有破坏性，如果对所有炮弹都进行测试，那么这批炮弹就会全部被消耗掉，无法再投入使用，所以适合采用抽样调查的方式，而不是全面调查，故选项A不符合要求． 要调查《开学第一课》的收视率，需要了解全国范围内众多观众的收视情况，全面调查的工作量极大，几乎是不可能完成的，而且成本也很高，所以通常采用抽样调查的方式，故选项B不符合要求． 测试手机电池的使用寿命需要将电池使用到损坏，这属于破坏性调查。如果对整批电池都进行测试，那么这批电池就会全部报废，没有实际价值，所以适合采用抽样调查的方式，故选项C不符合要求． 全班同学的数量相对较少，对全班同学每月做家务的次数进行调查，能够准确地获取每个同学的情况，且调查工作量不大，可以进行全面调查，故选项D符合要求． 故选：D． 4. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形肯定是相似图形，位似比等于相似比，相似图形的面积比等于相似比的平方，由此可解． 【详解】解：， ， 和的相似比为， 和的面积之比为， 故选C． 5. 若点，在反比例函数图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质判断函数的增减性，熟练掌握概念是解题的关键． 先根据反比例函数的性质，判断函数的增减性，再根据点、的横坐标的大小关系，进而判断与的大小关系． 【详解】解：在反比例函数中，， 所以该函数的图象在第二、四象限， 且在每一象限内随的增大而增大． 已知点的横坐标，点的横坐标， 因为函数的图象在第二、四象限， 且第二象限的点横坐标小于，第四象限的点横坐标大于， 所以点，都在第四象限． 因为点、都在第四象限， 且在第四象限内随的增大而增大， 又因为，即，所以． 故选：A． 6. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 本题可根据科学记数法的性质，将各选项中的数进行比较大小． 【详解】选项A：，其中． 选项B：，其中． 选项C：，其中． 选项D：，其中． 因为， 所以和小于和。 由于这两个数的相同，都为，此时比较的值，， 所以． 综上，四个数中最小的是， 故选：D． 7. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马追上慢马的天数是x天，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设快马x天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解． 【详解】解：设快马x天可追上慢马， 由题意得：． 故选：A． 8. 如图，它们是由边长相同的小正方形组成的有规律的图案，其中第1个图中有5个小正方形涂有阴影，第2个图中有9个小正方形涂有阴影，第3个图中有13个小正方形涂有阴影……按照这样的规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ） A. 20 B. 21 C. 40 D. 41 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查图形规律探索与代数式求值，熟练找出图案中阴影小正方形个数的变化规律并归纳出通用表达式是解题的关键．先找出图案中阴影小正方形个数的规律，得出第个图案中阴影小正方形个数的表达式，再代入计算． 【详解】解：第个图案中阴影小正方形个数：； 第个图案中阴影小正方形个数：； 第个图案中阴影小正方形个数：； …… 由此可推，第个图案中阴影小正方形个数为． 当时，阴影小正方形个数为，． 故选：D ． 9. 如图，正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接，交边于点G．点H为的中点，连接并延长交于点K．若时，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，先证明，得到直线是线段的垂直平分线，设，利用勾股定理，正弦函数解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，正弦函数的应用，熟练掌握性质和定理，正弦函数的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 设， ∵， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， 故， ∴， 故选：A． 10. 已知整式，其中n，，，…，，为自然数，为正整数，，且满足．下列结论正确的是（ ） ①当时，满足条件的整式M有6个； ②满足条件的整式M中只有15个单项式； ③满足条件的整式M共有23个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数式的操作，涉及整式的相关概念，不等式的性质，熟练理解题意是解题的关键，利用n，，，…，，为自然数，为正整数，，且满足，分别列出当、、、、 时，整式M的情况，即可解决问题． 【详解】解：当时，，， ∵为正整数， ∴或2或3或4或5， 共5个，都是单项式， 故①错误； 当时，，，即， ∵n，，，…，，为自然数，为正整数，， ∴，可以为或或或或或或或，共8个，其中单项式的是或或或，共4个； 当时，，，即， ∵n，，，…，，为自然数，为正整数，， ∴，，可以为或或或或或，共6个，其中单项式的是或或，共3个； 当时，，，即， ∵n，，，…，，为自然数，为正整数，， ∴，，，可以为或或，共3个，其中单项式的是或，共2个； 当时，，，即， ∵n，，，…，，为自然数，为正整数，， ∴，，，，可以为，共1个，其中单项式的是，共1个； 当时，为正整数， ∴，不存在， 综上所述，满足条件的整式M中，单项式有（个），故②正确； 满足条件的整式M共有（个），故③正确， 即正确的有②③，共2个， 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个不透明布袋里有2个黑球和1个白球（仅有颜色不同），则从中任意摸出一个球后，放回后再摸一次，摸出两个黑球概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法和概率的相关问题，掌握列表法是解题的关键． 根据列表法列出等可能的结果，再进行求解即可． 【详解】解： 把2个黑球分别记为黑1、黑2，白球记为白． 因为是有放回地摸球，第一次摸球的结果和第二次摸球的结果相互组合， 列表如下： 第一次摸球 第二次摸球 黑1 黑1 黑1 黑2 黑1 白 黑2 黑1 黑2 黑2 黑2 白 白 黑1 白 黑2 白 白 从列表中可以看出，总共有9种等可能的结果． 其中两次都摸出黑球的结果有：（黑1，黑1）、（黑1，黑2）、（黑2，黑1）、（黑2，黑2），共4种． 所以摸出两个黑球的概率． 综上，摸出两个黑球的概率为． 故答案为：． 12. 已知：，且是整数，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】估计的取值范围，进而确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴m=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查无理数的估算，了解介在哪两个整数之间是正确求解的关键． 13. 如图，，点在这两条平行线之间，且，连接并延长，交的延长线于点．若，，则______度．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由，，得，则，然后通过三角形内角和即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知实数a，b满足，，且a≠b，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题综合考查了平方差公式、等式的基本性质以及一元二次方程的求解等知识． 可先根据已知条件得到关于、的等式，再通过变形求出的值． 【详解】解：已知，， 将两式相减可得： 去括号得： 合并同类项得：． 对因式分解得； 对提取公因式得． 则． 因为，所以，等式两边同时除以， 可得：． 故答案为：． 15. 在四边形中，，，连接，交于点，过点作交于，交于，且，则______，若，，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，先证明，则有，，可证，由，设，，则，所以，证明，则，然后代入得出，再得，，，过作于点，过作于点，证明，则，设，，则，通过勾股定理求出解得，即，则，求出，再由即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由，设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 如图，过作于点，过作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 16. 现有一个四位自然数，它的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，满足，称这个四位数为“1234数”，例如：6742，满足，则称6742是一个“1234数”．则最大的“1234数”是__________；现有一个“1234数”M，将它的百位数字和千位数字交换位置，再将它的十位数字和个位数字交换位置，得到一个新的四位数，则是一个整数，且是一个完全平方数，则所有满足条件的M的和为__________． 【答案】 ①. 9990 ②. 7062 【解析】 【分析】本题综合考查了新定义下的实数运算、整除性、完全平方数等数论相关知识点，解决本题的关键是需要通过代数变形、分类讨论并熟练理解“1234 数”的概念． ①对于求最大的“1234 数”，要使四位数最大，应从高位到低位尽量取较大数字，根据来确定各个数位数字； ②对于求满足条件的M的和，先表示出M和，进而得出的表达式，再结合以及是完全平方数来确定的值． 【详解】解：∵要使四位数最大，千位数字a要尽可能大，a最大为9， 百位数字b也应尽可能大，设， 由，将，代入可得，即， ∵，为整数且，， 要使c尽可能大，从开始尝试，若， ∴， ∴， 解得， 所以最大的“1234数”是9990； 设“1234数”， ∴； ∴交换百位与千位、十位与个位得，且， ∴， ∵为整数，即， 故需为整数． 需是11的倍数， ∵是完全平方数． ， ∴， 需为偶数的平方，因此需为． 当时， 可能的组合：， ∵，故不符合题意，排除． 时， 可能的组合：， ∵，故需舍去． ∵，解得唯一整数解． 检查：仅时，，可得 ． ∴，符合． 时， 可能的组合：． ，解得整数解． 检查：仅且时，，对应． ∴，符合题意． 满足条件的M为4202和2860，其和为． 故答案为：9990，7062． 三、解答题：（本大题9个小题，17题、18题每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 【答案】， 解集在数轴上表示为： 不等式组的整数解为0，1，2，3 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．先分别解两个不等式得到和，再利用“大小小大中间找”确定不等式组的解集，接着在数轴上表示其解集，然后写出它的整数解．也考查了在数轴上表示不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为0，1，2，3． 18. 小宏在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小宏的操作：如图，在四边形中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点O、E、F，连接、．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明∵垂直平分， ∴①__________，． ∵， ∴②__________． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵④__________， ∴四边形为菱形． 【答案】（1）如图即为所求作； （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查作垂直平分线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）先证明，进而证明四边形为平行四边形．再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：证明∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为菱形． 19. 先化简，再求值：，再从，0，2，4中选择一个合适的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，关键是注意分式有意义的条件． 先对原式进行化简，再根据分式有意义的条件选择合适的值代入求值． 【详解】解：原式 ． 要使原式有意义． ∴且且． ∴． 当时， 原式． 20. 学校团委举行以“传承五四精神，展现青春风采”为主题的团史知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析（成绩得分用表示，单位：分，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），共分成四组：A．；B．；C．；D．，部分信息如下：七年级20名学生的竞赛成绩为：75，77，78，79，79，81，85，87，87，87，89，90，91，93，93，94，95，96，97，98： 八年级20名学生的成绩在组的数据是：； 七、八年级所抽学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 88 八年级 91 八年级所抽学生成绩扇形统计图 （1）上述图表中______，______，_______； （2）通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的团史基础知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七年级有1600名学生、八年级有1000名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1），，； （2）我认为八年级学生的竞赛成绩更好， 理由如下：因为八年级学生竞赛成绩的众数91分，大于七年级学生竞赛成绩的众数87分，所以八年级学生的竞赛成绩更好．（理由合理即可） （3）估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有620人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据众数的意义可得出结论； （3）用总数乘以优秀学生所占的比例即可． 【小问1详解】 解：∵七年级20名学生的竞赛成绩中，出现次数最多的是， ∴， 由题意得：， ∴， 八年级中A组的人数为：（人）， B组的人数为：（人）， C组的人数为：（人）， D组的人数为：（人）， ∴八年级20名学生的竞赛成绩排在中间两个数为， ∴中位数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：我认为八年级学生的竞赛成绩更好． 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有620人． 21. 某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，2024年商家报价双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元． （1）求2024年单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）2025年商家对新能源充电桩进行促销，小区花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，请问2025年该小区购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？ 【答案】（1）3000元；5000元 （2）6个；4个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，分式方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）设2024年单枪充电桩的单价为x元,根据双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）根据双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，列出分式方程，解方程即可。 【小问1详解】 解：设2024年单枪充电桩的单价为x元，则双枪充电桩的单价为元 由题意知： 解得： ∴ 答：2024年单枪充电桩的单价为3000元，则双枪充电桩的单价为5000元． 【小问2详解】 解：设：2025年购入双枪充电桩的数量为m个，则单枪充电桩的数量为个． 由题意知： 解得： 经检验：是分式方程的解，且符合题意 ∴ 答：2025年购入单枪充电桩的数量为6个，则双枪充电桩的数量为4个． 22. 如图，在中，，，，动点M从点C出发，沿C→A→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点B时停止运动，连接，．点N以每秒个单位长度的速度从点C出发，沿C→A方向匀速运动，至点A停止．两点同时出发，设运动时间为x秒（），过点N作于点E．的面积为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出、关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，当时，请直接写出x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）；； （2） 函数、图象如图， 性质：当时，随的x增大而增大，当时，随x的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，当点M在C→A上运动时，由相似三角形的性质，即边长成比例，求解的高；当点M运动到上时，可得，即，根据三角形面积公式表示即可；先求出的周长，再根据相似三角形的性质表示出的周长即可求解； （2）先列表，再描点画函数图象即可，再根据一次函数的性质，观察增减性可得到其一条性质； （3）根据一次函数与一元一次不等式的关系观察图象找到函数的图象在函数的图象的上方的x的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， 由勾股定理可得，， ∵动点M从点C出发，沿C→A→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 当点M在C→A上运动时，即时， ∴， 过点M作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当点M在C→A→B上运动，即点M运动到上时，即时， 连接，如图， ∴，即， ∴； ∴； ∵，，， ∴的周长为， ∵点N以每秒个单位长度的速度从点C出发，沿C→A方向匀速运动，至点A停止， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴的周长为， 的周长与的周长之比为， 即； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， 列表如下： 1 5 7 6 3 10 2 性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小． 【小问3详解】 解：根据图象可知，若， 则表示函数的图象在函数的图象的上方的x的取值范围， ∴由图象可得，x的取值范围为． 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质并正确观察图象是解决本题的关键． 23. 如图，A、B为两个海上基地，基地B位于基地A正东方向，一艘海警快艇航行至C处，测得基地A位于其南偏西方向，距离20海里处，基地B位于其东南方向． （1）基地A与基地B相距多少海里？（结果保留一位小数） （2）一艘可疑船只从基地B出发以每小时10海里的速度沿正北方向航行，快艇接到通知（忽略接收信息的时间）马上从C点出发以每小时20海里的速度沿北偏东某方向进行追击，并在D处成功追上可疑船只，求追上可疑船只时快艇追击距离是多少海里？ （参考数据：，，） 【答案】（1）海里 （2）11海里 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由题意知：海里，，，在直角三角形中，依次求出海里，海里，海里，进而求出海里，即可得解； （2）过点作于点，则四边形为矩形，得到海里，海里，设快艇的追及时间为小时，由题意知：海里，海里，则海里，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 由题意知：海里，，， 在中，，， ∴， ∴（海里）， 在中，由勾股定理得： ∴（海里）， 在中，，， ∴海里， ∴海里， ∴基地A与基地B相距海里． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 在四边形中，， ∴四边形为矩形， ∴海里，海里， 设快艇的追及时间为小时， 由题意知：海里，海里， ∴海里， 在中，， ∴由勾股定理得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴（海里）， ∴追上可疑船只时快艇的追击距离为11海里． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，一元二次方程的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中直线：交坐标轴于A、B两点，直线：过点B交y轴于点C，且． （1）求直线的解析式； （2）点H为线段上一动点，连接，且，点P，Q为y轴上的两个动点，点P在点Q的上方，且，G为线段的中点，连接，，求最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，将直线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到直线，交直线于点E，交y轴于点F，点M为上一动点，连接，当时，请直接写出点M的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】（1） （2） （3），；求解过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数解析式的求解，一次函数的图像平移，熟练掌握一次函数函数的性质是解决本题的关键． （1）先由直线：求出A、B两点的坐标，再根据可求解C点的坐标，将B、C两点代入即可求解； （2）构造辅助线，利用面积求解点H的坐标，当点，Q，G三点共线时，即可求得最小值； （3）先求解出直线的解析式，再根据点M在点E的右侧即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线：交坐标轴于A、B两点， 令，解得，即， 令，即，解得，即， ∵， ∴， ∵直线：过点B交y轴于点C， ∴，解得， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：过点H作y轴平行线交直线BC于点K，如图， 设H点得坐标为，则K点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴H点的坐标为， 将点H沿着y轴向下平移个单位得到点， 作点关于y轴的对称点，连接，， ∴点的坐标为， 由题意知点G坐标为， ∴， 当点，Q，G三点共线时取等号， ∴的最小值为，当点，Q，G三点共线时取得最小值． 【小问3详解】 解：， 由题意知：直线的解析式为：， 当点M在点E的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 令：，得：， 解得， ∴． 25. 在等腰三角形中，，点D是线段的中点，点E是中垂线上的一点，连接、． （1）如图1，当点E在边上时，若，求的长度； （2）如图2，当点E在内部时，延长至点F，连接、，若平分，点G为的中点，求证：； （3）如图3，当点E在外（下方）时，与交点H，若为等腰直角三角形，，K为平面内一点，将沿翻折得到，射线交于点M，当最短时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，延长至点M，使，连接、， ∵点G为的中点， ∴， ∴是的中位线，即， 延长至点N，使，连接， ∵平分， ∴， ∵点E是中垂线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，利用线段垂直平分线的性质推出，即可得，，则，结合，可求出，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解； （2）延长至点M使，连接、，得出是的中位线，即，延长至点N使，连接，通过导角得出，则为等边三角形，易得是等边三角形，则可证明，； （3）由题知，将沿翻折得到，可看作将沿翻折得到，如图所示，为直角三角形，，为定值，所以只需最小时，取得最小值，由垂线段最短知垂直于时最小，延长和交于点T，证明，再求．则，利用即可求解． 【小问1详解】 解：∵等腰三角形中，， ∴， ∴， ∵点E是中垂线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点D是线段的中点，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题知，将沿翻折得到，可看作将沿翻折得到，如图所示，为直角三角形，， ∵点E是中垂线上的一点， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴为定值， 所以只需最小时，取得最小值， 由垂线段最短知垂直于时最小， 延长和交于点T， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，中位线的性质，二次根式的混合运算等，熟练掌握相关性质，并能准确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $