1.4线段垂直平分线与角平分线知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024）

1.4线段垂直平分线与角平分线知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024） 知识梳理 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 精选题练习 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•甘孜州期末）通过如下尺规作图，能得到BD＝AD的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•大方县期末）如图，C为∠AOB内部一点，且点C到AO的距离与点C到OB的距离相等，连接OC，若∠AOC＝21°，则∠BOC的度数为（　　） A．42° B．30° C．25° D．21° 3．（2024秋•阜平县期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分边AC，交边AC于点D，交边BC于点E．若AB＝6，BC＝8，△ABE的周长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．14 4．（2024秋•盐边县期末）如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC＝（　　） A．105° B．100° C．110° D．140° 5．（2024秋•雁塔区校级期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC＝2AD＝4，边CD的垂直平分线分别交AB、CD于点E、F，则AE的长为（　　） A． B． C．7 D． 6．（2025春•三明期末）如图，AC＝AD，BC＝BD，下列结论一定正确的是（　　） A．CD平分∠ACB B．CD垂直平分AB C．AB垂直平分CD D．AB与CD互相垂直平分 7．（2025春•安宁区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD．若CD：BD＝3：5，则CD的长为（　　）cm． A．4 B．6 C．8 D．10 8．（2025春•未央区校级月考）如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，若AB：BC：AC＝3：2：4，则△PAB、△PBC、△PAC的面积之比为（　　） A．2：3：4 B．3：2：4 C．4：9：16 D．9：4：16 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•四会市期末）如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝　 　 10．（2025春•本溪期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若CD＝3cm，AB＝8cm，则△ABD的面积是 　 　 cm2． 11．（2025春•龙泉驿区期末）把两个相同的含有30°角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是AD与BC的交点，MC＝4，若AB＝m，则S△ABM＝ 　 　 ．（用含m的式子表示） 12．（2025春•滨城区期末）如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC，则∠ACB的度数为 　 　 ． 13．（2025春•达川区期末）如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为 　 　 ． 14．（2025春•菏泽期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法中正确的序号是　 　 ． ①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠ABD＝∠DAC；③∠AFG＝∠AGF． 15．（2025春•深圳校级期末）如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC．若∠A＝75°，则∠BPC的度数是 　 　 ． 16．（2025春•崂山区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②AF＝AG；③∠FAG＝2∠ACF；④S△BFH＝S△HEC，其中结论正确的有 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2025春•泰和县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AB＝8，AC＝6，△ABD的面积为8，求△ACD的面积． 18．（2025春•西峰区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E， （1）求AB的长度； （2）求CE的长． 19．（2025春•埇桥区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 20．（2025春•项城市期末）（1）如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°．当∠B＝90°时，根据角平分线的性质，我们可知DB与DC之间的数量关系为 　 　 ； （2）如图2，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°．当∠B＜90°时，试说明DB与DC之间的数量关系； （3）如图3，AD平分∠BAC，若∠B＝70°，DB＝DC，求∠ACD的度数． 21．（2025春•城关区校级期中）如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB． （1）求证：BO平分∠ABC； （2）若AC＝6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长． 22．（2025春•兰州校级期中）【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝4，AC＝6，求△APC的面积． 1.4线段垂直平分线与角平分线知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学八年级上册苏科版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D C B C B B 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•甘孜州期末）通过如下尺规作图，能得到BD＝AD的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可知： 当点D在线段AB的垂直平分线上时， BD＝AD， 尺规作图是作线段AB垂直平分线的是C中的图形． 故选：C． 2．（2025春•大方县期末）如图，C为∠AOB内部一点，且点C到AO的距离与点C到OB的距离相等，连接OC，若∠AOC＝21°，则∠BOC的度数为（　　） A．42° B．30° C．25° D．21° 【解答】解：∵C为∠AOB内部一点，且点C到AO的距离与点C到OB的距离相等， ∴OC平分∠AOB， ∵∠AOC＝21°， ∴∠BOC＝∠AOC＝21°， 故选：D． 3．（2024秋•阜平县期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分边AC，交边AC于点D，交边BC于点E．若AB＝6，BC＝8，△ABE的周长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．14 【解答】解：∵DE垂直平分边AC， ∴AE＝CE， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE ＝AB+BE+CE ＝AB+BC ＝6+8 ＝14， 故选：D． 4．（2024秋•盐边县期末）如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC＝（　　） A．105° B．100° C．110° D．140° 【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴AD＝DB，AE＝EC， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC， ∵∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∴∠B+∠BAD+∠DAE+∠EAC+∠C＝180°， ∵∠DAE＝40°， ∴2∠BAD+2∠EAC＝180°﹣∠DAE， ∴∠BAD+∠EAC＝70°， ∴∠BAC＝110°， 故选：C． 5．（2024秋•雁塔区校级期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC＝2AD＝4，边CD的垂直平分线分别交AB、CD于点E、F，则AE的长为（　　） A． B． C．7 D． 【解答】解：如图，连接ED、EC， ∵EF是边CD的垂直平分线， ∴ED＝EC， 在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2， 在Rt△ADE中，CE2＝BE2+BC2， ∴AD2+AE2＝BE2+BC2，即22+AE2＝（4﹣AE）2+42， 解得：AE， 故选：B． 6．（2025春•三明期末）如图，AC＝AD，BC＝BD，下列结论一定正确的是（　　） A．CD平分∠ACB B．CD垂直平分AB C．AB垂直平分CD D．AB与CD互相垂直平分 【解答】解：由条件可知点A、B 在CD的垂直平分线上， ∴AB垂直平分CD， 故选：C． 7．（2025春•安宁区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD．若CD：BD＝3：5，则CD的长为（　　）cm． A．4 B．6 C．8 D．10 【解答】解：∵MN垂直平分AB， ∴BD＝AD， ∵CD：BD＝3：5， ∴CD：AD＝3：5， ∴CDAC16＝6（cm）． 故选：B． 8．（2025春•未央区校级月考）如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，若AB：BC：AC＝3：2：4，则△PAB、△PBC、△PAC的面积之比为（　　） A．2：3：4 B．3：2：4 C．4：9：16 D．9：4：16 【解答】解：过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F， ∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P， ∴PD＝PF，PD＝PE， ∵△PAB的面积AB•PD，△PBC的面积BC•PE，△PAC的面积AC•PF， ∴△PAB、△PBC、△PAC的面积之比＝AB：BC：AC＝3：2：4， 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•四会市期末）如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝　5　 【解答】解：∵DE是△ABC边AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∵BC＝9，AD＝4， ∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝9﹣4＝5， 故答案为：5． 10．（2025春•本溪期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若CD＝3cm，AB＝8cm，则△ABD的面积是 　12　 cm2． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝3cm， ∴S△ABDAB•CD8×3＝12（cm2）， 故答案为：12． 11．（2025春•龙泉驿区期末）把两个相同的含有30°角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是AD与BC的交点，MC＝4，若AB＝m，则S△ABM＝ 　2m　 ．（用含m的式子表示） 【解答】解：过M作MH⊥AB于H， ∵∠BAD＝30°，∠CAB＝60°， ∴∠CAM＝60°﹣30°＝30°， ∴∠CAM＝∠BAM， ∴AM平分∠CAB， ∵MC⊥AC，MH⊥AB， ∴MH＝MC＝4， ∴S△ABMAB•MHm×4＝2m． 故答案为：2m． 12．（2025春•滨城区期末）如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC，则∠ACB的度数为 　34°　 ． 【解答】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE， ∵AC＝AB+BD， ∴EC＝BD， 在△ABD和△AED中， AB＝AE，∠DAC＝∠BAD，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴BD＝ED， ∴DE＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴∠ACB＝∠EDC+∠ECD＝∠AED＝∠ABD∠ABC＝34°． 故答案为34°． 13．（2025春•达川区期末）如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为 　4　 ． 【解答】解：过E作EH⊥AC于H， ∵AB∥CD，AD⊥AB， ∴AD⊥CD， ∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD， ∴AE＝EH，DE＝EH， ∴AE＝DEAD8＝4， ∴EH＝4， ∵PE≥EH， ∴PE的最小值为4． 故答案为：4． 14．（2025春•菏泽期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法中正确的序号是　①②③　 ． ①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠ABD＝∠DAC；③∠AFG＝∠AGF． 【解答】解：∵BE是中线， ∴△ABE的面积等于△BCE的面积（等底同高的两个三角形的面积相等）； 故①正确； ∵∠BAC＝90°，AD是高， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠DAC+∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠DAC， 故②正确； ∵∠BAC＝90°，AD是高， ∴∠AFG+∠ACF＝90°，∠DGC+∠DCF＝90°， ∵CF是角平分线， ∴∠ACF＝∠DCF， ∴∠AFG＝∠DGC， ∵∠DGC＝∠AGF， ∴∠AFG＝∠AGF， 故③正确； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 15．（2025春•深圳校级期末）如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC．若∠A＝75°，则∠BPC的度数是 　150°　 ． 【解答】解：连接AP， ∵∠A＝75°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝105°， ∵AB，AC的垂直平分线相交于点P， ∴PA＝PB，PA＝PC， ∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA， ∴∠PBA+∠PCA＝∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝75°， ∴∠PBC+∠PCB＝105°﹣75°＝30°， ∴∠BPC＝180°﹣30°＝150°， 故答案为：150°． 16．（2025春•崂山区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②AF＝AG；③∠FAG＝2∠ACF；④S△BFH＝S△HEC，其中结论正确的有 　②③　 ． 【解答】解：∵CF是角平分线， ∴∠ACF＝∠BCF， ∵AD⊥BC， ∴∠BCF+∠CGD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACF+∠AFG＝90°， ∴∠CGD＝∠AFG， ∵∠CGD＝∠AGF， ∴∠AGF＝∠AFG， 故②正确； ∵AD⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠FAG＝∠ACB＝2∠ACF， 故③正确； ∵F不一定是AB的中点， ∴不能得出BF＝AF， 故①错误； ∴不能得出S△CFAS△ABC， ∴不能得出S△CFA＝S△BAE， ∴不能得出S△CFA﹣S四边形AFHE＝S△BAE﹣S四边形AFHE，即不能得出S△BHF＝S△CHE， 故④错误； 故答案为：②③． 三．解答题（共6小题） 17．（2025春•泰和县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AB＝8，AC＝6，△ABD的面积为8，求△ACD的面积． 【解答】解：∵DE⊥AB，AB＝8，△ABD的面积为8， ∴DE， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝2， ∴△ADC的面积． 18．（2025春•西峰区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E， （1）求AB的长度； （2）求CE的长． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9， AB15； （2）设AE＝x，则CE＝12﹣x， ∴（12﹣x）2+92＝x2， 解得：x， ∴AE，CE＝AC﹣AE． 19．（2025春•埇桥区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 【解答】解：（1）DE⊥PD，理由如下： ∵PD＝PA， ∴∠PDA＝∠A， ∵EF垂直平分BD， ∴ED＝EB， ∴∠EDB＝∠B， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠PDA+∠EDB＝90°， ∴∠PDE＝90°， ∴DE⊥PD； （2）连接PE，如图所示： ∵AC＝6，BC＝8，PA＝2， ∴CP＝AC﹣PA＝4，PD＝PA＝2， 设DE＝BE＝x， 则CE＝8﹣x， 在Rt△PEC中，根据勾股定理，得PE2＝42+（8﹣x）2， 在Rt△PDE中，根据勾股定理，得PE2＝22+x2， ∴42+（8﹣x）2＝22+x2， 解得x， ∴DE． 20．（2025春•项城市期末）（1）如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°．当∠B＝90°时，根据角平分线的性质，我们可知DB与DC之间的数量关系为 　DB＝DC　 ； （2）如图2，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°．当∠B＜90°时，试说明DB与DC之间的数量关系； （3）如图3，AD平分∠BAC，若∠B＝70°，DB＝DC，求∠ACD的度数． 【解答】解：（1）如图1， ∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°， ∴∠C＝90°， ∴DB⊥AB，DC⊥AC， ∵AD平分∠BAC， ∴DB＝DC； 故答案为：DB＝DC； （2）过D点作DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，如图2， ∵AD平分∠BAC， ∴DE＝DF， ∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCF＝180°， ∴∠B＝∠DCF， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DB＝DC； （3）过D点作DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，如图3， ∵AD平分∠BAC， ∴DE＝DF， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠B＝∠DCF＝70°， ∴∠ACD＝180°﹣∠DCF＝180°﹣70°＝110°． 21．（2025春•城关区校级期中）如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB． （1）求证：BO平分∠ABC； （2）若AC＝6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长． 【解答】（1）证明：如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，垂足分别为点F、G、H， ∵AO平分∠CAD，CO平分∠ACE， ∴OF＝OG，OH＝OG， ∴OF＝OH（等量代换）， ∵OF⊥BD，OH⊥BE， ∴点O在∠ABC的角平分线上， 即BO平分∠ABC； （2）解：∵△AOC的面积为12， ∴， ∵AC＝6， ∴， ∴OG＝4， ∴OF＝OH＝OG＝4， ∵S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝12+18＝30， ∴， 即， 整理得AB+BC＝15， ∴AB+BC+AC＝15+6＝21， △ABC的周长为21． 22．（2025春•兰州校级期中）【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝4，AC＝6，求△APC的面积． 【解答】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下： 如图2，在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）， ∴∠DAF＝∠EAF， ∴AP平分∠BAC； （2）如图3，过点P作PM⊥AC于点M， ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB， ∴PM＝PQ＝4， ∴S△APCAC•PM6×4＝12． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$