1.4 线段垂直平分线与角平分线（第1课时 线段垂直平分线的性质）（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

1.4 线段垂直平分线与角平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质 第一章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 经历探索线段轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特性，发展空间观念． 掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，并能应用它们进行计算、证明． 通过探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理能力． 操作引入 在一张薄纸上画一条线段AB，折叠画出线段AB的垂直平分线． ● ● A B ● O l ● ● A B 新知探究 垂直平分线上的任意一点P与A、B的距离有什么关系？如何证明？ ● O l ● P ∵OP是线段AB的垂直平分线， ∴OP⊥AB且AO＝BO． ∴∠AOP＝∠BOP＝90°. 在△AOP 和△BOP 中， ∴△AOP≌△BOP， ∴PAPB． 新知归纳 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 线段垂直平分线的性质定理： 任意一点 新知归纳 ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴ PA＝PB （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 符号语言： l B A ● O ● P ● 用途： 证明线段相等. 讨论交流 如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？如何证明？ A B ● Q 如图，当点Q在线段AB上时，如果QA＝QB，那么Q是线段AB的中点，所以点Q一定在线段AB的垂直平分线上. 讨论交流 如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？如何证明？ A B ● Q M 如图，当点Q在线段AB外时，作 QM⊥AB，垂足为M. 在Rt△QAM和Rt△QBM中， ∠QMA＝∠QMB＝90°， ∵ ∴Rt△QAM≌Rt△QBM. ∴AMBM，即M是线段AB的中点. ∴直线QM是线段AB的垂直平分线. 即点Q一定在线段AB的垂直平分线上. 新知归纳 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 新知归纳 ∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）. 符号语言： l B A ● O ● 用途： 确定点在线段的垂直平分线上. P ● 讨论交流 如图，AB＝AD，CB＝CD，AC、BD相交于点E. 你能在图中找到哪些相等的角？如何证明？ A D C B E 解：∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠ADC，∠ABE＝∠ADE，∠CBE＝∠CDE，∠AEB＝∠AED＝∠CEB＝∠CED. 在△ABC和△ADC 中， ∴△ABC≌△ADC， ∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠ADC． 讨论交流 如图，AB＝AD，CB＝CD，AC、BD相交于点E. 你能在图中找到哪些相等的角？如何证明？ A D C B E 在△ABE和△ADE 中， ∴△ABE≌△ADE. ∴∠ABE＝∠ADE，∠AEB＝∠AED． 同理：△CBE≌△CDE， ∴∠CBE＝∠CDE，∠CEB＝∠CED． ∵∠AEB＝∠CED，∠AED＝∠CEB， ∴∠AEB＝∠AED＝∠CEB＝∠CED. 讨论交流 如图，AB＝AD，CB＝CD，AC、BD相交于点E. 你能在图中找到哪些相等的角？如何证明？ A D C B E 你还能得到哪些结论？ AC⊥BD，BE＝EB S四边形ABCD＝∙BD. 直线AC是线段BD的垂直平分线 我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”. 证明：连接OA、OB、OC. ∵ 点O在AB的垂直平分线l1上， ∴ OA＝OB（线段垂直平分线的性质定理） 同理 OA＝OC. ∴ OB＝OC. ∴ 点O在BC的垂直平分线上 （线段垂直平分线性质定理的逆定理） . 典例分析 例1 如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O． 求证：点O在BC的垂直平分线上． B A C O l1 l2 归纳总结 三角形三条边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 已知线段的垂直平分线时，常考虑将线段垂直平分线上的点到线段两端的距离作出来. 典例分析 变式 利用网格在图中找一点O，使OA＝OB＝OC. B A C O 解：点O即为所求 . 新知巩固 1．如图，河边有两个村庄A，B．要在河岸CD上建一个自来水厂P，使水厂到A，B两村的距离相等，请确定点P的位置. B C E D F 解：∵点P到A，B两村的距离相等， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，即 线段AB的垂直平分线与CD的交点. 如图所示，点P即为所求. P A 新知巩固 2．如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线．已知BC＝8，AB＝10，求△EBC的周长． B A C D E 解：∵DE是△ABC的边AC的垂直平分线， ∴AE＝CE． ∴BE＋CE＝BE＋AE＝AB＝10. ∵BC＝8， ∴△EBC的周长＝BE＋CE＋BC＝10＋8＝18． 新知巩固 3．如图，AB＝AE，BC＝ED，AF垂直平分CD，垂足为F． 求证：∠B＝∠E． A B C D E F 证明：连接AC，AD． ∵AF垂直平分CD， ∴AC＝AD． 在△ABC和△AED 中， ∴△ABC≌△AED， ∴∠B＝∠E． 思维提升 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接AD，AE，△ADE的周长为12 cm. (1)求BC的长； 解：(1)∵l1垂直平分AB， ∴DB＝DA， 同理可得EA＝EC. ∴BC＝BD＋DE＋EC ＝DA＋DE＋EA ＝12 cm. B A E D C l1 O l2 思维提升 (2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为26 cm，求OA的长． 解：(2)∵l1垂直平分AB， ∴OB＝OA. 同理可得OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC. 又∵△OBC的周长为26 cm， BC＝12 cm， ∴OB＋OC＝26－12＝14(cm)， ∴OB＝OC＝7 cm， ∴OA＝7 cm. B A E D C l1 O l2 课堂小结 线段垂直平分线的性质 性质定理 见垂直平分线，得线段相等 性质定理的逆定理 判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 感谢聆听！ $$