精品解析：四川省绵阳市江油市八校 2025-2026学年九年级上学期开学联考数学试题

2025年秋四川江油市九年级开学测试试卷（八校联考） （数学） 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 函数y=的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 且 2. 下列运算中，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在植树节期间，某校组织老师积极参加植树活动．为了了解植树情况，随机抽取部分老师的植树棵数进行统计．统计结果共有3棵，4棵，5棵，6棵四种情况，并绘制了如图所示的统计图（尚不完整），若这组数据的众数是5棵，设植树5棵的老师为a人，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，，，，是对角线上的两点，，点在边上运动（不与点，重合），连结点与的中点并延长交于点，连结，，，．在点从点运动到点的整个过程中，四边形的形状变化依次是（ ） A. 平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 B. 平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 C. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 5. 已知一次函数的图象如图所示，则点落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 平行四边形中，下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示是由4个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），请观察图案指出下列关系不正确的是（ ） A. x2＋y2＝49 B. x－y＝2 C. 2xy＋4＝49 D. x＋y＝13 10. 如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，沿路线匀速运动，的面积y（）随点P运动的时间x（s）之间的函数关系图象如图②所示，已知，下列说法错误的是（　　） A. 动点P速度为1cm/s B. a的值为30 C. EF的长度为10cm D. 当时，x的值为8 11. 如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的整数解有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 12. 菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的面积等于（ ） A. 13 B. 52 C. 120 D. 240 二．填空题（每小题4分，共24分） 13. 智渊班在期末评选“新时代好少年”活动中，综合成绩是由模范事迹、期末评定和劳动实践三项得分按的比例计算所得，善思同学本学期三项成绩分别是95分、91分和90分，则他在此项活动中的得分是___________分． 14. 将直线向右平移2个单位后的函数解析式是_______． 15. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是______． 16. 如图，在平行四边形中，，点E，F分别是，的中点，则等于__________米． 17. 若点在直线上，则a、b的大小关系是a____b． 18. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____. 三．解答题（共90分） 19. 计算： （1） （2） 20. （1）已知x，y是有理数，若，求的平方根； （2）已知a，b是等腰的两边长，且满足，求的周长． 21. 行李托运简单便捷，给人们的出行带来了极大的便利，省事又省心．某客运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李托运费（元）与行李质量之间的关系如图所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）若张先生某次出差时所付的行李托运费用为元，求张先生托运行李的质量． 22. 为弘扬航天精神，传播航天知识，某校举行了航天知识竞赛，从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名，他们的成绩如下： 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 八年级 92 100 43 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 已知七年级10名学生的成绩是：96，86，96，86，99，96，90，100，90，81 若成绩得分用表示，八年级10名学生的成绩分成四组；；．其中 C组的数据是：．根据以上信息，解答下列问题． （1）计算七年级10名学生成绩的平均数； （2）直接写出的值，并对两个年级的成绩做出评价； （3）若该校八年级共400人参加了此次航天知识竞赛，估计此次活动成绩优秀 的学生人数． 23. 某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元． 根据以上信息解答： （1）购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？ （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，则有哪几种购买方案？ （3）在上面（2）中条件下，哪一种方案所需费用最少？请求出这个最少的费用是多少元． 24. 如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． （1）求的面积； （2）猜想的形状，并说明理由． 25. 已知，在平面直角坐标系中，直线交轴于点为线段上一动点，连，过D作的垂线，并截取，使，连．分别过作坐标轴的平行线交于点C． （1）如图1，当点E在上时，求证：； （2）如图2，过点C作的平行线交x轴于F，若点E恰好在上，求点D的坐标； （3）如图3，G为的中点，连，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋四川江油市九年级开学测试试卷（八校联考） （数学） 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 函数y=的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件． 要确定函数自变量的取值范围，需考虑二次根式中被开方数非负，以及分式的分母不为零． 【详解】解：对于函数，因为二次根式中被开方数必须是非负数，所以， 解得， 又因为分式的分母不能为零，所以， 综合起来，自变量的取值范围是且． 故选：D． 2. 下列运算中，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，分别根据二次根式加、减、乘、除法法则分别计算各选项后再进行判断即可． 【详解】解：A.5和不是同类二次根式，不能计算，故选项A不符合题意； B. 和不是同类二次根式，不能计算，故选项B符合题意； C. ，原式计算错误，故选项C不符合题意； D. ，计算正确，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 3. 在植树节期间，某校组织老师积极参加植树活动．为了了解植树情况，随机抽取部分老师的植树棵数进行统计．统计结果共有3棵，4棵，5棵，6棵四种情况，并绘制了如图所示的统计图（尚不完整），若这组数据的众数是5棵，设植树5棵的老师为a人，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和众数，掌握众数的概念是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数． 根据众数的定义解答即可． 【详解】解：因为5是这组数据的众数， 所以； 故选：D． 4. 如图，在矩形中，，，，是对角线上的两点，，点在边上运动（不与点，重合），连结点与的中点并延长交于点，连结，，，．在点从点运动到点的整个过程中，四边形的形状变化依次是（ ） A. 平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 B. 平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 C. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，先根据矩形的性质证明，得，再根据勾股定理求出，进而可得，然后根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定即可解决问题，解决本题的关键是得到． 【详解】当点P从点D开始动到如图位置时，四边形是平行四边形，理由如下， ∵的中点为O， ∴， ∵， ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 当点P运动到时，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 当点P运动到未达到中点M时，如图所示， ∴四边形是平行四边形， 当点P运动到时，如图所示， ∴四边形是矩形； 当点P运动到过中点M后未到点A时，如图所示， ∴四边形是平行四边形， 综上所述：在点P从点D运动到点A的整个过程中，四边形的形状变化依次是平行四边形，菱形，平行四边形，矩形，平行四边形． 故选：C． 5. 已知一次函数的图象如图所示，则点落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象可得k、b的符号，进而判断出点的象限． 【详解】解：由函数的图象过一、三、四象限，可知，， 于是， 则点在第三象限. 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质及点所在的象限，根据一次函数的图象确定k，b的符号是解答此题的关键． 6. 平行四边形中，下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对边相等是解决问题的关键． 由平行四边形的性质得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 7. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线都在直线的上方，当时，直线在x轴上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】设A点坐标为， 把代入， 得，解得， 则A点坐标为， 所以当时，， ∵函数的图象经过点， ∴时，， ∴不等式的解集为． 故选：D 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 8. 如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后利用平行四边形的性质求得其对角的度数即可． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及平角的定义，熟记平行四边形的各种性质是解题关键． 9. 如图所示是由4个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），请观察图案指出下列关系不正确的是（ ） A. x2＋y2＝49 B. x－y＝2 C. 2xy＋4＝49 D. x＋y＝13 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式解答即可． 【详解】A中，根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到，正确； B中，根据小正方形的边长是2即可得到，正确； C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确； D中，根据A，C联立结合完全平方公式可以求得x+y=，错误． 故选D． 【点睛】考查勾股定理，二元二次方程组等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想． 10. 如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，沿路线匀速运动，的面积y（）随点P运动的时间x（s）之间的函数关系图象如图②所示，已知，下列说法错误的是（　　） A. 动点P速度为1cm/s B. a的值为30 C. EF的长度为10cm D. 当时，x的值为8 【答案】D 【解析】 【分析】利用图②中的信息和三角形的面积公式分别求得图①中的线段，由此选择出正确选项即可． 【详解】解：由图②的第一段折线可知：点经过4秒到达点处，此时的三角形的面积为12， ， ， ∴动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动． 选项正确，不符合题意； 由图②的第三段折线可知：点再经过6秒到达点处， ， 图①中各角均为直角， ， ∴ ∴a的值为30 ∴B，C选项正确，不符合题意； ∵ ∵ ∴x的值为7 选项的结论不正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，结合图形与图象求出图形中的线段的长度是解题的关键． 11. 如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的整数解有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线与x轴的交点坐标，然后再求出不等式组，最后找出整数解即可． 【详解】解：把代入直线得：， 解得：， ∴直线与x轴的交点坐标为（5，0）， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为2，3，4，共3个，故B正确． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了一次函数图象和性质，求出不等式组的解集，是解题的关键． 12. 菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的面积等于（ ） A. 13 B. 52 C. 120 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝24， ∴菱形的面积=， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半． 二．填空题（每小题4分，共24分） 13. 智渊班在期末评选“新时代好少年”活动中，综合成绩是由模范事迹、期末评定和劳动实践三项得分按的比例计算所得，善思同学本学期三项成绩分别是95分、91分和90分，则他在此项活动中的得分是___________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数．利用加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：分． 即他在此项活动中的得分是分． 故答案为： 14. 将直线向右平移2个单位后的函数解析式是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查函数的图象的平移，熟练掌握函数图象的平移规律并灵活运用是解决本题的关键．根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案． 【详解】解：将直线向右平移2个单位后的函数解析式是， 故答案为：． 15. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积是， 故答案为：． 16. 如图，在平行四边形中，，点E，F分别是，的中点，则等于__________米． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，根据平行四边形的性质和三角形中位线定理，即可得到答案． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴； 故答案为：2． 17. 若点在直线上，则a、b的大小关系是a____b． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是先求出点、的横坐标，再比较大小． 将点、的纵坐标代入直线方程，求出横坐标、的值，然后比较、的大小． 【详解】解：因为点在直线上， 所以把代入，可得，移项得到， 又因为点在直线上，把代入，可得，移项得到， 因为， 所以． 故答案为：． 18. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____. 【答案】（11，60，61） 【解析】 【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，进而得出（11，60，61）． 【详解】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）． 故答案为：（11，60，61）． 【点睛】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 三．解答题（共90分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简，完全平方公式以及平方差公式的应用，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先利用二次根式性质化简，先算除法，再算加减即可； （2）先利用完全平方公式以及平方差公式计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. （1）已知x，y是有理数，若，求的平方根； （2）已知a，b是等腰的两边长，且满足，求的周长． 【答案】（1）（2）7 【解析】 【分析】（1）根据二次根式和分式有意义的条件得到，，则，即可得到答案； （2）把原式变形为，求出，，分情况讨论即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意，得，，且， ∴，， 解得， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）， ， ， ∴，， ∴，， 当为腰时，三边为1，1，3，，不符合三角形三边关系，舍去； 当为腰时，三边为3，3，1，，符合三角形三边关系， ∴的周长． 【点睛】此题考查了二次根式的非负性、求平方根、完全平方公式、等腰三角形的定义，构成三角形的条件等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21. 行李托运简单便捷，给人们的出行带来了极大的便利，省事又省心．某客运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李托运费（元）与行李质量之间的关系如图所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）若张先生某次出差时所付的行李托运费用为元，求张先生托运行李的质量． 【答案】（1） （2）张先生托运行李的质量为 【解析】 【分析】本题主要考查求一次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数表达式是解题的关键． （1）根据利用待定系数法，即可求出当行李的质量超过规定时，与之间的函数表达式； （2）令，求出值，此题得解． 【小问1详解】 解：设与的函数表达式为， 由题意可得： 解得： ∴； 【小问2详解】 当，， ， 答：张先生托运行李的质量为． 22. 为弘扬航天精神，传播航天知识，某校举行了航天知识竞赛，从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名，他们的成绩如下： 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 八年级 92 100 43 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 已知七年级10名学生的成绩是：96，86，96，86，99，96，90，100，90，81 若成绩得分用表示，八年级10名学生的成绩分成四组；；．其中 C组的数据是：．根据以上信息，解答下列问题． （1）计算七年级10名学生成绩的平均数； （2）直接写出的值，并对两个年级的成绩做出评价； （3）若该校八年级共400人参加了此次航天知识竞赛，估计此次活动成绩优秀 的学生人数． 【答案】（1）92 （2），，七年级的成绩比八年级的成绩稳定 （3）280人 【解析】 【分析】本题主要方差、中位数、众数和平均数的意义和计算方法，用样本估计总体： （1）根据平均数的定义进行求解即可； （2）根据中位数和众数的定义求出b、c，再由七年级成绩的方差比八年级成绩的方差小，且两个年级的平均数和中位数相同，则七年级的成绩比八年级的成绩稳定； （3）用400乘以样本中八年级优秀人数的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：∵七年级成绩中得分为96的人数最多， ∴七年级成绩的众数为96，即； 把八年级成绩从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为92，94， ∴八年级成绩的中位数为，即； 由于七年级成绩的方差比八年级成绩的方差小，且两个年级的平均数和中位数相同，则七年级的成绩比八年级的成绩稳定； 【小问3详解】 解：人， ∴估计此次活动成绩优秀 的学生人数为280人． 23. 某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元． 根据以上信息解答： （1）购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？ （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，则有哪几种购买方案？ （3）在上面（2）中条件下，哪一种方案所需费用最少？请求出这个最少的费用是多少元． 【答案】（1）篮球的单价为120元，足球的单价为90元 （2） 共有四种购买方案，方案一：采购篮球30个，采购足球20个；方案二：采购篮球31个，采购足球19个；方案三：采购篮球32个，采购足球18个；方案四：采购篮球33个，采购足球17个． （3）第一种方案所需费用最少，最少的费用是5400元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系和不等关系，列出方程组与不等式组求解． （1）通过设未知数，根据购买篮球和足球的费用情况列出二元一次方程组，求解得出篮球和足球的单价； （2）设购买篮球的数量，进而表示出足球的数量，根据篮球数量要求和总费用限制列出一元一次不等式组，求出正整数解，得到购买方案； （3）根据（2）中不同方案，计算各方案费用，比较得出费用最少的方案及费用． 【小问1详解】 解：设篮球的单价为元，足球的单价为元， 根据题意可得：， 答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元； 【小问2详解】 解：设采购篮球个，则采购足球为个， ∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元， ， ， ∵x为整数， ∴x的值可为30，31，32，33． ∴共有四种购买方案， 方案一：采购篮球30个，采购足球20个， 方案二：采购篮球31个，采购足球19个， 方案三：采购篮球32个，采购足球18个， 方案四：采购篮球33个，采购足球17个； 【小问3详解】 解：由题意，采购所需费用． ∵， ∴采购所需费用随的增大而增大， 又∵ ∴当时，采购所需费用最小，最小值为（元）． ∴第一种方案所需费用最少，最少的费用是5400元． 24. 如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． （1）求的面积； （2）猜想的形状，并说明理由． 【答案】（1）5 （2） 是直角三角形，理由如下： 由图知，，，， ，， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用以及求三角形的面积，掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）的面积由正方形面积减去三个直角三角形面积，求出即可； （2）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； 【小问1详解】 ， ， ． 【小问2详解】 略 25. 已知，在平面直角坐标系中，直线交轴于点为线段上一动点，连，过D作的垂线，并截取，使，连．分别过作坐标轴的平行线交于点C． （1）如图1，当点E在上时，求证：； （2）如图2，过点C作的平行线交x轴于F，若点E恰好在上，求点D的坐标； （3）如图3，G为的中点，连，直接写出的最小值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴，， 在和中， ∴； （2） （3）最小值为 【解析】 【分析】（1）由，可得，故，，根据即可得； （2）过E作于H，设，求出，证明，可得，由四边形是平行四边形，可得，，根据勾股定理有，即，解得m ，故； （3）过E作于H，设，证明可得，即可得，从而，知最小值为． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：过E作于H，如图， 设， 在中，令得，令得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵． 又∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 【小问3详解】 过E作于H，如图： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵G为的中点，， ∴， ∵， ∴， 当时，最小值为， ∴最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $