专题03 集合的基本运算10种常见考法归类讲义（50题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题03 集合的基本运算10种常见考法归类（50题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 交集的运算 考点二 并集的运算 考点三 根据交集或并集的结果求集合或参数 （一）根据交集的结果求集合或参数 （二）根据并集的结果求集合或参数 考点四 补集的运算 考点五 根据补集结果求集合或参数 考点六 集合的交、并、补集的综合运算 考点七 根据 集合的交、并、补集的混合运算求集合或参数 考点八 容斥原理 考点九 韦恩图的应用 考点十 集合运算的新定义问题 知识点1：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点2：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点3：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点4：德摩根律 (1) (2) 知识点5：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 策略方法 1、集合并集的运算 (1)运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成； (2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但xB”；“x∈B，但xA”；“x∈A，且x∈B”．因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．可用图表示． 2、求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 注：若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个．　　 3、集合交集的运算 (1)运算结果：A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成； (2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”； (3)∅情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅. 4、求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．　 5、利用集合的交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集的性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等条件，解答时常借助于交、并集的定义及集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B，A∩B＝A∪B⇔A＝B.等，解答时应灵活处理． (2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．　 6、求集合交集、并集中参数的思路 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系． (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解、或解集为怎样的范围．　　 3解方程组或解不等式组来确定参数的值或范围.解题时，需注意两点： ①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性.在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件； ②对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性. 7、补集的运算 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且xA}． (4)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一． 8、求集合补集的策略 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解． 9、由集合的补集求解参数的问题 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解． (2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解． 10、解决集合运算问题的方法 (1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行： 交集元素仔细找，属于A且属于B； 并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一； 全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集． (2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁UA)∩B时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集． (3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解．　 11、利用交并补求参数范围的解题思路 (1)根据并集求参数范围：， 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 (2)根据交集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 12、容斥原理题型的解题策略：​ 首先，明确容斥原理的核心公式。一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 其次，根据题目场景确定集合代表的对象，明确各集合的元素个数（如参加不同活动的人数）、交集元素个数（如兼报项目的人数）。​ 对于涉及 “至少一个”“恰好几个” 等表述的问题，通过画韦恩图直观呈现集合间关系，标注已知数据，设出未知量（如兼报三个项目的人数），代入对应公式列方程求解。​ 最后，验证结果是否符合实际意义（如人数为非负整数），确保计算准确。对于复杂问题，分步拆解集合关系，逐步代入公式推导。 13、韦恩图的应用题型解题策略：​ 首先，明确韦恩图中各区域的集合含义。不同区域对应集合的交集、并集、补集等运算，如阴影部分可能表示A∩B、∁U(A∪B)等，需结合图形位置判断具体运算。​ 其次，将集合表达式与韦恩图区域对应。根据已知集合（如全集、A、B等）的元素范围，转化为韦恩图中各区域的元素特征，通过图形直观分析集合关系。若涉及参数求解，需根据韦恩图中区域非空或元素满足的条件（如区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ均非空），列出关于参数的不等式或方程，结合集合运算规则求解参数范围。​ 最后，验证结果是否符合韦恩图的逻辑关系，确保集合运算与图形区域含义一致，避免因对图形理解偏差导致错误。 14、集合运算的新定义问题解题策略：​ 首先，精准理解新定义的内涵。仔细阅读题目中对新运算的描述，明确运算符号（如差集、特定并集等）的规则，搞清楚新运算中元素的选取条件（如 “且”“或” 等逻辑关系），将文字定义转化为集合语言的等价描述。​ 其次，将新定义运算与已知集合知识关联。把新运算转化为已学的交集、并集、补集等运算形式，例如差集 “且” 可对应补集与原集合的交集，借助熟悉的运算规则分析新运算的性质。​ 然后，结合具体集合实例验证运算逻辑。通过列举法列出参与运算的集合元素，按照新定义逐步推导运算结果，确保每一步都符合定义规则，避免因对定义理解偏差导致错误。​ 最后，对于含参数或复杂集合的新运算问题，先化简集合表达式，再套用新定义规则，分步骤求解，必要时通过举例验证结果的合理性，保证运算过程与定义一致。 考点一 交集的运算 1．（内蒙古全国名校联盟2026届高三学期联合开学摸底考试数学试题）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程求得集合，利用交集的意义求解即可. 【解析】由，可得，解得或或， 所以，又，所以. 故选：B. 2．（江苏部分学校2026届高三学期8月数学测试卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合B，再利用交集运算求解即可. 【解析】因为，所以, 所以. 故选：B 3．（25-26高二·云南月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的交集运算求解. 【解析】因为， 根据交集定义 故选： 4．（25-26高三·重庆南岸月考）设集合是等腰三角形}，集合是直角三角形}，则（   ） A．是等腰或直角三角形} B．是等腰直角三角形} C．N D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【解析】集合是等腰三角形}，集合是直角三角形}， 所以是等腰直角三角形}. 故选：B 5．（2025·广东模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【解析】由题意有， 故选：C. 考点二 并集的运算 6．（25-26高三·内蒙古月考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数轴表示和并集定义即可求得. 【解析】因为， 所以． 故选：A. 7．（2025高三·北京月考）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用并集的定义直接求解. 【解析】集合，所以. 故选：D 8．（25-26高一·全国月考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由并集的定义求解即可. 【解析】因为， 所以. 故选：B. 9．（2025高一·北京延庆·期中）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义求解即可. 【解析】由，， 则. 故选：C. 10．（2025·湖北武汉模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的含义进行运算即可得答案. 【解析】∵， 由并集的含义得. 故选：B. 考点三 根据交集或并集的结果求集合或参数 11．（25-26高三·广东深圳月考）已知集合，，，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】求出，又，可得即可求解. 【解析】，，， 所以，又， 所以，则. 故选：C. 12．（2025高一·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集结果得出集合间的包含关系，由包含关系可得的不等关系，从而得的范围. 【解析】由题意， 在，中， ， ∴解得. 故选：C. 13．（25-26高三·广西月考）已知集合，，且的元素个数为2，则实数的取值范围为 【分析】根据交集的元素的个数可得中两个元素的均在中，故可求参数的取值范围. 【解析】由题意得，得，则的取值范围为. 14．（2025高一·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解. 【解析】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 15．（25-26高一·全国·单元测试）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合包含的定义即可判断A；根据元素与集合的关系求解判断B；根据交集、并集结果求出参数范围可判断CD. 【解析】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，无解， 所以若，则，故D错误. 故选：ABC. 考点四 补集的运算 16．（2025高三·云南大理月考）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合补集运算法则即可. 【解析】因为，， 所以， 故选：C. 17．（2025·安徽模拟预测）已知全集，集合，则的子集个数为（　　） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据补集的运算和子集的概念求解. 【解析】因为，则， 所以的子集个数为. 故选：C. 18．（25-26高三·贵州月考）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出集合，再根据补集的定义求出. 【解析】已知集合，解不等式， 得到，即， 所以集合， 则. 故选：A. 19．（25-26高三·北京丰台月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的补集运算，即可求得答案. 【解析】由题意可得，结合， 故， 故选：B 20．（2025高三·北京海淀月考）已知全集，若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集的概念即可求解. 【解析】由题意，若集合，则. 故选：C. 考点五 根据补集结果求集合或参数 21．（2025高二·浙江温州·期末）设全集，集合，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据补集定义求出集合A，然后由韦达定理可得. 【解析】因为，，所以， 所以和是方程的两根，故，经检验满足题意. 故答案为：4 22．（2025高二·云南昭通·期中）设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全集及补集写出集合A即可. 【解析】由题知， 由，得． 故选：C 23．（2025高三·全国月考）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全集及补集写出集合A即可. 【解析】由题知， 由，得． 故选：C 24．（2025高一·天津滨海新月考）已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）求得集合，由分类讨论可得值； （2）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值． 【解析】（1）若，可得，因为，所以． 当，则；当，则；当，． 综上，可得实数a组成的集合为． （2）因为，， 且，，所以，，所以， 解得，解，得或，所以， 所以，所以，解得． 25．（2025·河南驻马店模拟预测）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【解析】由集合，， 因为，可得. 故选：B. 考点六 集合的交、并、补集的综合运算 26．（25-26高三·北京月考）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合A的补集，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【解析】由，得， 结合，得. 故选：A 27．（25-26高一·全国·课前预习）已知全集，集合，，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】解方程求得集合，利用并集的意义求得，进而求得. 【解析】由题意得，又，则， 所以或． 故选：C. 28．（25-26高一·全国月考）已知全集. (1)求； (2)求. 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】根据给定条件，利用补集、交集、并集的定义逐项计算判断即得. 【解析】（1）由于 所以或或. （2）方法一  ，所以或. 方法二  利用德摩根定律结合（1）得或. 29．（25-26高一·全国·单元测试）设全集为，非空真子集满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由集合之间的基本关系或者Venn图可得 【解析】由，可知；由，得． A（×）由题意可知，集合都是集合的子集，但是它们两个的关系无法确定． B（√）由，可知． C（√）由和，知，又因为集合是全集的非空真子集，故． D（√）由和，知，所以． 一题多解  多方法解题 A（×）根据题意，可画出如下符合题意的Venn图，由图可知，． B（√）C（√）D（√）由题可知，且．集合间的关系不确定，可分和两种情况，但不论哪种情况，结合Venn图均可得，． 故选：BCD 30．（2025高一·陕西咸阳月考）已知集合，求： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）先求集合，根据集合的交集和并集运算即可求解； （2）根据集合的补集和交集运算即可求解. 【解析】（1）由题意有， 所以， ； （2）所以， 或， 所以， 考点七 根据 集合的交、并、补集的混合运算求集合或参数 31．（25-26高一·全国月考）设已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】{或} 【分析】方法一，分类讨论化简集合A，由确定实数的取值范围；方法二，考虑的反面，利用补集思想求解. 【解析】因为， 所以当时，；当时，. 因为，所以. 方法一 ， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或. 即实数的取值范围为或. 方法二  ，考虑的反面， 显然时符合； 当时，需满足且，即且.综上得. 由补集思想得当时，或，即实数的取值范围为或. 故答案为：或. 32．（2025高二·江苏月考）已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）由题意可知，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，，则， 所以，则. （2）因为，则， 当时，，解得，合乎题意； 当时，即时，有，解得，即. 综上，，即实数的取值范围是. 33．（2025高一·四川绵阳月考）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【解析】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 34．（2025高三·湖北武汉月考）已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交并补运算的定义即可求解. 【解析】, 由于，故， 故选：D 35．（2025高三·辽宁月考）设全集，集合，，则集合中的元素个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据补集和交集的定义求出集合，即可得解. 【解析】因为全集，， 所以，， 又因为，故. 因此，集合中的元素个数为. 故选：B. 考点八 容斥原理 36．（2025高一·全国月考）某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可. 【解析】设集合参加足球队的学生， 集合参加排球队的学生， 集合参加游泳队的学生， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 37．（2025高一·全国月考）某班学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社.已知参加机器人社的有30人，参加编程社的有25人，参加航模社的有20人；同时参加机器人社和编程社的有12人，同时参加机器人社和航模社的有10人，同时参加编程社和航模社的有8人；三个社团都参加的有5人.则至少参加一个社团的学生有 人. 【答案】50 【分析】根据题意，利用容斥原理结合集合的运算概念和运算方法，即可求解 【解析】由题意，用分别表示参加机器人社的学生、参加编程社的学生和参加航模社的学生形成的集合，则， ， 因此 . 所以至少参加一个社团的学生有50人. 故答案为：50. 38．（2025高三·全国月考）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【解析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 39．（2025高二·黑龙江·期末）某兴趣班共30人，其中15人喜爱乒乓球运动，10人喜爱羽毛球运动，12人喜爱乒乓球但不喜爱羽毛球运动，则对这两项运动都不喜爱的人数为 【答案】8 【分析】根据题意，结合韦恩图，列出算式计算即得. 【解析】设喜爱乒乓球运动的同学，喜欢羽毛球运动的同学， 用表示集合中的元素个数，则，，， 因， 故对这两项运动都不喜爱的人数为. 故答案为：8. 40．（2025高三·全国月考）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【解析】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 考点九 韦恩图的应用 41．（2025高二·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合韦恩图求出集合. 【解析】全集，集合，则， ，由韦恩图得. 故选：A 42．（2025高一·全国月考）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定的韦恩图理解新定义，再利用集合的交集、并集、补集及对称差集进行求解. 【解析】对于，，故A正确； 对于B，因为， 是偶数，所以，故B正确； 对于C，，，故正确； 对于D，，， 则，故D错误. 故选：ABC. 43．（25-26高一·全国月考）已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中所示的阴影部分的集合为，结合集合的运算即可得解. 【解析】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成，即， 而，，则，， 故阴影部分表示的集合为. 故选：C. 44．（2025·云南玉溪模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【解析】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 45．（2025高二·重庆·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式求得集合元素，根据Vnne图以及集合的交并补，可得答案. 【解析】由题意，由解得，所以集合， 因为函数的值域为，所以， 图中阴影部分所表示的集合是. 故选：C． 考点十 集合运算的新定义问题 46．（2025高一·全国月考）设有序集合对满足：，，记，分别表示集合中的元素个数，则符合条件，的有序集合对有 对． 【答案】44 【分析】根据题意转化为对Card，进行分类讨论即可． 【解析】由条件可知，，， 当，时，不成立； 当，时，则，， 所以，，符合条件的有1对； 当，时，则，， 集合中另一个元素从剩下的6个数中再选1个，所以有6对； 当，时，则5，， 集合中另外的元素从剩下的6个数中再选2个，所以有15对； 当，时，，，矛盾； 剩下几种情况，由对称性和前面类似， 所以共有对， 故答案为：44. 47．（2025高一·全国月考）设设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先求出和，再根据的定义写出运算结果. 【解析】因为， 所以，， 又且， 所以或， 故选：B 48．（2025高二·广东梅州·期末）对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： (1)； (2)． 【答案】(1)不是“可分集合”，理由见解析； (2)是“可分集合”，理由见解析. 【分析】（1）根据可“可分集合”的定义，当去掉2时，即可判断， （2）根据可“可分集合”的定义，即可逐一论证去掉任何一个元素均满足 “可分集合”的定义求解. 【解析】（1）集合不是“可分集合”，理由如下： 因为， 当去掉元素2时，计算知： ，，． 可见集合去掉元素2后，剩余元素组成集合不可能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合，即集合不是“可分集合”． （2）集合是“可分集合”， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 因此任意去掉集合中的一个元素之后，剩余的所有元素组成集合总能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合． 49．（2025高一·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】求出集合中所有元素的和，进而得出三个集合中元素之和，然后通过列举法找出满足条件的“三分划”的个数. 【解析】集合的总和为： 每个子集的和应为： 列举所有和为且满足三分划条件的子集组合： 组合一：     组合二： 组合三： 共种不同的分法. 故选：D. 50．（2025高一·黑龙江哈尔滨月考）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 【答案】或 【分析】根据条件中的新定义，先求和，再求. 【解析】，，． 故答案为：或 $$2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题03 集合的基本运算10种常见考法归类（50题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 交集的运算 考点二 并集的运算 考点三 根据交集或并集的结果求集合或参数 （一）根据交集的结果求集合或参数 （二）根据并集的结果求集合或参数 考点四 补集的运算 考点五 根据补集结果求集合或参数 考点六 集合的交、并、补集的综合运算 考点七 根据 集合的交、并、补集的混合运算求集合或参数 考点八 容斥原理 考点九 韦恩图的应用 考点十 集合运算的新定义问题 知识点1：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点2：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点3：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点4：德摩根律 (1) (2) 知识点5：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 策略方法 1、集合并集的运算 (1)运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成； (2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但xB”；“x∈B，但xA”；“x∈A，且x∈B”．因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．可用图表示． 2、求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 注：若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个．　　 3、集合交集的运算 (1)运算结果：A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成； (2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”； (3)∅情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅. 4、求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．　 5、利用集合的交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集的性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等条件，解答时常借助于交、并集的定义及集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B，A∩B＝A∪B⇔A＝B.等，解答时应灵活处理． (2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．　 6、求集合交集、并集中参数的思路 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系． (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解、或解集为怎样的范围．　　 3解方程组或解不等式组来确定参数的值或范围.解题时，需注意两点： ①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性.在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件； ②对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性. 7、补集的运算 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且xA}． (4)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一． 8、求集合补集的策略 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解． 9、由集合的补集求解参数的问题 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解． (2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解． 10、解决集合运算问题的方法 (1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行： 交集元素仔细找，属于A且属于B； 并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一； 全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集． (2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁UA)∩B时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集． (3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解．　 11、利用交并补求参数范围的解题思路 (1)根据并集求参数范围：， 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 (2)根据交集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 12、容斥原理题型的解题策略：​ 首先，明确容斥原理的核心公式。一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 其次，根据题目场景确定集合代表的对象，明确各集合的元素个数（如参加不同活动的人数）、交集元素个数（如兼报项目的人数）。​ 对于涉及 “至少一个”“恰好几个” 等表述的问题，通过画韦恩图直观呈现集合间关系，标注已知数据，设出未知量（如兼报三个项目的人数），代入对应公式列方程求解。​ 最后，验证结果是否符合实际意义（如人数为非负整数），确保计算准确。对于复杂问题，分步拆解集合关系，逐步代入公式推导。 13、韦恩图的应用题型解题策略：​ 首先，明确韦恩图中各区域的集合含义。不同区域对应集合的交集、并集、补集等运算，如阴影部分可能表示A∩B、∁U(A∪B)等，需结合图形位置判断具体运算。​ 其次，将集合表达式与韦恩图区域对应。根据已知集合（如全集、A、B等）的元素范围，转化为韦恩图中各区域的元素特征，通过图形直观分析集合关系。若涉及参数求解，需根据韦恩图中区域非空或元素满足的条件（如区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ均非空），列出关于参数的不等式或方程，结合集合运算规则求解参数范围。​ 最后，验证结果是否符合韦恩图的逻辑关系，确保集合运算与图形区域含义一致，避免因对图形理解偏差导致错误。 14、集合运算的新定义问题解题策略：​ 首先，精准理解新定义的内涵。仔细阅读题目中对新运算的描述，明确运算符号（如差集、特定并集等）的规则，搞清楚新运算中元素的选取条件（如 “且”“或” 等逻辑关系），将文字定义转化为集合语言的等价描述。​ 其次，将新定义运算与已知集合知识关联。把新运算转化为已学的交集、并集、补集等运算形式，例如差集 “且” 可对应补集与原集合的交集，借助熟悉的运算规则分析新运算的性质。​ 然后，结合具体集合实例验证运算逻辑。通过列举法列出参与运算的集合元素，按照新定义逐步推导运算结果，确保每一步都符合定义规则，避免因对定义理解偏差导致错误。​ 最后，对于含参数或复杂集合的新运算问题，先化简集合表达式，再套用新定义规则，分步骤求解，必要时通过举例验证结果的合理性，保证运算过程与定义一致。 考点一 交集的运算 1．（内蒙古全国名校联盟2026届高三学期联合开学摸底考试数学试题）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（江苏部分学校2026届高三学期8月数学测试卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·云南月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·重庆南岸月考）设集合是等腰三角形}，集合是直角三角形}，则（   ） A．是等腰或直角三角形} B．是等腰直角三角形} C．N D． 5．（2025·广东模拟预测）已知集合，则 考点二 并集的运算 6．（25-26高三·内蒙古月考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·北京月考）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一·全国月考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·北京延庆·期中）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·湖北武汉模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 考点三 根据交集或并集的结果求集合或参数 11．（25-26高三·广东深圳月考）已知集合，，，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 12．（2025高一·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三·广西月考）已知集合，，且的元素个数为2，则实数的取值范围为 14．（2025高一·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 15．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点四 补集的运算 16．（2025高三·云南大理月考）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 17．（2025·安徽模拟预测）已知全集，集合，则的子集个数为（　　） A．1 B．4 C．8 D．16 18．（25-26高三·贵州月考）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三·北京丰台月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 20．（2025高三·北京海淀月考）已知全集，若集合，则（   ） A． B． C． D． 考点五 根据补集结果求集合或参数 21．（2025高二·浙江温州·期末）设全集，集合，若，则 ． 22．（2025高二·云南昭通·期中）设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 23．（2025高三·全国月考）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 24．（2025高一·天津滨海新月考）已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 25．（2025·河南驻马店模拟预测）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点六 集合的交、并、补集的综合运算 26．（25-26高三·北京月考）设集合，则 27．（25-26高一·全国·课前预习）已知全集，集合，，则（   ） A．或 B． C．或 D． 28．（25-26高一·全国月考）已知全集. (1)求； (2)求. 29．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）设全集为，非空真子集满足：，则（    ） A． B． C． D． 30．（2025高一·陕西咸阳月考）已知集合，求： (1)； (2)． 考点七 根据 集合的交、并、补集的混合运算求集合或参数 31．（25-26高一·全国月考）设已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 32．（2025高二·江苏月考）已知，. 若，求的取值范围. 33．（2025高一·四川绵阳月考）已知或，，若，则m的取值范围是 . 34．（2025高三·湖北武汉月考）已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 35．（2025高三·辽宁月考）设全集，集合，，则集合中的元素个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 考点八 容斥原理 36．（2025高一·全国月考）某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．（2025高一·全国月考）某班学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社.已知参加机器人社的有30人，参加编程社的有25人，参加航模社的有20人；同时参加机器人社和编程社的有12人，同时参加机器人社和航模社的有10人，同时参加编程社和航模社的有8人；三个社团都参加的有5人.则至少参加一个社团的学生有 人. 38．（2025高三·全国月考）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 39．（2025高二·黑龙江·期末）某兴趣班共30人，其中15人喜爱乒乓球运动，10人喜爱羽毛球运动，12人喜爱乒乓球但不喜爱羽毛球运动，则对这两项运动都不喜爱的人数为 40．（2025高三·全国月考）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 考点九 韦恩图的应用 41．（2025高二·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 42．【多选】（2025高一·全国月考）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 43．（25-26高一·全国月考）已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 44．（2025·云南玉溪模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 45．（2025高二·重庆·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 考点十 集合运算的新定义问题 46．（2025高一·全国月考）设有序集合对满足：，，记，分别表示集合中的元素个数，则符合条件，的有序集合对有 对． 47．（2025高一·全国月考）设设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 48．（2025高二·广东梅州·期末）对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： (1)； (2)． 49．（2025高一·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 50．（2025高一·黑龙江哈尔滨月考）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． $$