专题10 函数的表示法10种常见考法归类讲义（95题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题10 函数的表示法10种常见考法归类（95题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数的三种表示法 （一）列表法 （二）解析法 （三）图象法 考点二 求函数的解析式 （一）待定系数法求解析式 （二）配凑法求解析式 （三）换元法求解析式 （四）方程组法求解析式 （五）赋值法求解析式 考点三 作函数图象及其应用 （一）画具体函数的解析式 （2） 函数图象的变换 （3） 函数图象的应用 考点四 分段函数求值 （1） 求分段函数的值 （二）已知分段函数的值求参数 考点五 分段函数与不等式的综合 考点六 分段函数图象的画法 考点七 分段函数的定义域、值域问题 考点八 根据分段函数的最值求参数 考点九 分段函数图象的应用 （一）根据函数的图象求解析式 （二）分段函数图象的应用 考点十 函数的新定义题 知识点1：函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 注：并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点2：求函数解析式 (1)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． (2)换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. (3)配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， (4)方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点3：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 知识点4：分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象． 注：(1)分段函数定义域、值域的求法 ①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ②分段函数的值域是各段函数值域的并集． (2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．　 知识点5：函数的图象 （1）函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. （2）函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； （3）函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 策略方法 1、理解函数表示法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 2、函数的三种表示方法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 注：应用函数三种表示方法应注意以下三点 ①解析法必须注明函数的定义域；②列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系；③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． 3、作函数y＝f(x)图象的方法 (1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍． (2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象． 注：用描点法画函数的图象： 一般地，作函数图象时分以下三个步骤： (1)列表．先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值，用表格的形式表示出来． (2)描点．把第(1)步表格中的点一一在坐标平面上描出来． (3)连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． 4、作函数图象时需注意的五个问题 (1)确定函数的定义域，在定义域内作图； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点；　 (4)函数图象可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等； (5)对于已经熟悉形状的函数图象，只需选出几个特殊点即可作出全图，其中抛物线选3个点即可，直线或线段选2个点即可． 5、求函数解析式的四种常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． (2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令t＝g(x)，反解出，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x). 注：配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (3)方程组法(或消元法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数, 而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法).特别地，当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性． 6、函数图象的应用 (1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点． (2)借助几何直观认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养． 7、分段函数求值 (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 8、分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 9、分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． 考点一 函数的三种表示法 （1） 列表法 1．（25-26高一·全国·课前预习）根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 2．（2025高一·湖南衡阳·期末）已知函数由下表给出 0 1 2 3 4 其中的值等于、、、和中所出现的次数，则 ． 3．（2025高一·全国·课前预习）已知函数，分别由下表给出 x 1 2 3 2 3 1 3 2 1 （1）则当时， ． （2）则 ． 4．（2025高一·广东江门·期中）若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 5．（2025高一·全国·课后作业）根据列表中的数据选择合适的模型，则函数 ． （2） 解析法 6．【多选】（2025高三·贵州遵义·阶段练习）已知函数的定义域为，且，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·课后作业）一块形状为直角梯形的农田发生病虫灾害，现计划给这块农田喷洒农药，如图所示，，，，工人从点向点移动，并沿着垂直于的方向喷洒农药，记工人距点的距离为，已喷洒农药的农田面积为，则与之间的函数解析式为 ． 8．（2025高一·全国·课后作业）一个游泳池的底面是一个正方形，边长为，泳池正常使用时水面高度为，现在为了清洗游泳池，需要把泳池的水全部排掉，已知水流速度是，求泳池内水面高度与时间之间的函数解析式． 9．（2024高二·福建·学业考试）某工厂生产零件x件，当时，每生产1件的成本为100元，超过10件时，每生产1件的成本为150元，当x=15时，生产成本为（   ）元 A．1000 B．1750 C．1500 D．1300 10．（2025高一·安徽宿州·阶段练习）某学校为了美化校园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度相等且为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植三种不同的花（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示下图中的，并写出的取值范围： (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积是多少？ （三）图象法 11．（25-26高一·全国·课前预习）如图所示的容器中装有燃料，假设燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 12．【多选】（2025高一·云南昭通·期中）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是.如图所示表示甲同学从家山发到乙同学家经过的路程与时间的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了 B．甲从家到公园的时间是 C．当时，与的关系式为 D．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢 13．【多选】（2025高一·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在时电量为0 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 14．（2025高一·内蒙古包头·期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（    ） A． B． C． D． 15．（2025高一·全国·课后作业）某工厂12年来某产品总产量S与时间t（年）的函数关系如图所示 ①前三年总产量增长的速度越来越快 ②前三年总产量增长的速度越来越慢 ③第3年后至第8年这种产品停止生产了 ④第8年后至第12年间总产量匀速增加 其中正确的说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 考点二 求函数的解析式 （一）待定系数法求解析式 16．（2025高二·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则 . 17．（2025高三·全国·专题练习）已知是一次函数．且．求函数的解析式． 18．（2025高二·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（2025高一·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 20．（2025高一·全国·专题练习）已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． （2） 配凑法求解析式 21．（2025高三·全国·专题练习）若，则函数 ． 22．（2025高二·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 23．（2025高一·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 24．（2025高二·全国·专题练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 25．（2025高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． （3） 换元法求解析式 26．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 27．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足：对任意非零实数，都有，则的解析式为 ． 28．（2025高三·全国·专题练习）若，则函数 ． 29．（2025高一·全国·专题练习）已知定义域为的函数满足，则的解析式为 ． 30．（2026高三·全国·专题练习）已知，则 . （四）方程组法求解析式 31．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足：对任意，都有，求的解析式． 32．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 33．（2025高三·全国·专题练习）若，求的解析式． 34．（2025高一·全国·专题练习）已知定义域为且的函数满足，求的解析式． 35．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足：对任意非零实数，都有，求的解析式． （五）赋值法求解析式 36．（2025高三·全国·专题练习）设函数对任意都满足，试求出． 37．（2025高三·全国·专题练习）设是连续函数，且满足：，．求． 38．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 39．（2025高一·上海金山·期末）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为 ． 40．（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为 . 考点三 作函数图象及其应用 （1） 画出具体函数图象 41．（2025高一·全国·专题练习）试在图中作出函数的图象．    42．（2025高一·吉林长春·阶段练习）已知二次函数的图象过点，，. (1)求函数的解析式； (2)画出函数在上图象. 43．（2024高三·北京·专题练习）将函数写成分段函数的形式，作出函数的图象． 44．（2025高一·江苏·专题练习）作出下列函数图象： (1)且； (2)． 45．（2025高一·广东梅州·阶段练习）分别画出下列函数的图象： (1) (2) (3) （2） 函数图象的变换 46．（25-26高一·河南·开学考试）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（    ）． A． B． C． D． 47．（2025高一·四川成都·期中）函数的图象可以由的图象（   ）得到. A．向左平移一个单位 B．向右平移一个单位 C．向上平移一个单位 D．向下平移一个单位 48．（2025·湖南岳阳·模拟预测）函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   49．（2025高一·江苏·假期作业）函数的图象向下平移个单位长度，得函数的图象，则实数 ． 50．（2025高三·全国·中职高考）已知函数定义在上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象：    (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). （3） 函数图象的应用 51．（2025高一·四川成都·阶段练习）函数的图象如图所示，则的值域为 ． 52．（2025高一·上海·课堂例题）观察下列函数的图象，并写出它们的值域： 53．（2025高一·江苏连云港·阶段练习）函数的图象如图所示.不等式的解集是 . 54．（2025高一·湖南长沙·阶段练习）函数的图象如图所示，则（   ） A．1 B． C．2 D． 55．（2025高一·北京·开学考试）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，若，则 . 考点四 分段函数求值 （一）求分段函数的值 56．（2025高二·吉林长春·期末）已知函数，则 ． 57．（2025高一·四川绵阳·阶段练习）若函数，则 . 58．（2025高一·吉林通化·阶段练习）已知函数，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．3 59．（2025高一·云南昭通·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 60．（2025高一·上海·期末）设函数，则 . （二）已知分段函数的值求参数 61．（25-26高一·全国·课前预习）已知函数且，则 ． 62．（25-26高一·全国·课堂例题）已知函数，若，则x的可能取值为 . 63．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 64．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 65．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ． 考点五 分段函数与不等式的综合 66．（2025高一·浙江绍兴·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 67．（2025高一·福建福州·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 68．（2025高三·浙江·开学考试）已知函数若，则m的取值范围是 ． 69．（2024高三·全国·专题练习）已知函数则不等式的解集为 ． 70．（2025高一·浙江嘉兴·阶段练习）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 考点六 分段函数图象的画法 71．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 72．（2025高一·全国·课后作业）给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和解析法表示函数． 73．（2025高一·云南昭通·期中）在下图中，作出下列函数的图象． (1)； (2) 74．（2025高一·山西太原·阶段练习） (1)作出该函数的图象， (2)求的值； (3)若，求实数的值. 75．（2025高一·广东东莞·期中）已知函数 (1)求； (2)画出函数的图像； (3)若，求的取值范围． 考点七 分段函数的定义域、值域问题 76．（2025高一·全国·课前预习）函数 则的定义域为 ． 77．（2024高三·全国·专题练习）如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为 ． 78．（25-26高一·福建龙岩·开学考试）代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 79．（2025高二·江苏徐州·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 80．（2025·上海松江·模拟预测）已知函数，则的值域为 . 考点八 根据分段函数的最值求参数 81．（2025高三·全国·专题练习）若函数的最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 82．（2025高一·江苏·阶段练习）设，若是的最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 83．（2025高一·安徽池州·期中）已知函数若存在最小值，则实数的最大值为 . 84．（2025高一·福建福州·期中）已知函数，若在上的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 85．（2025高一·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 考点九 分段函数图象的应用 （一）根据函数的图象求解析式 86．（2025高一·广西钦州·阶段练习）设，令． (1)求的解析式 (2)求的值域． 87．（2025高一·江苏苏州·阶段练习）已知，. （1）当时，求； （2）当时，求的解析式，并画出其图象； （3）求函数的零点. 88．（2025高一·全国·课后作业）如图，函数的图象由曲线段OA和直线段AB构成. （1）写出函数的一个解析式； （2）提出一个能满足函数图象变化规律的实际问题. 89．（2025高一·广东佛山·周测）如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． (1)求的解析式； (2)写出的值域． 90．（2025高一·云南昭通·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数f(x)在区间上的最大值. (2)用表示中的较大者，记作，若，当时，求的解析式. （二）分段函数图象的应用 91．（2025高二·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是 ． 92．（2025高一·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点十 函数的新定义题 93．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”．若给定函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 94．（2025高一·安徽阜阳·期末）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 95．【多选】（2025高一·浙江·期中）历史上第一个给出函数的一般定义的是十九世纪德国数学家狄利克雷，在1837年他提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”狄利克雷在1829年给出了著名函数：,以下说法正确的是（    ） A．的图像关于轴对称 B．的值域是 C． D． $$【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题10 函数的表示法10种常见考法归类（95题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数的三种表示法 （一）列表法 （二）解析法 （三）图象法 考点二 求函数的解析式 （一）待定系数法求解析式 （二）配凑法求解析式 （三）换元法求解析式 （四）方程组法求解析式 （五）赋值法求解析式 考点三 作函数图象及其应用 （一）画具体函数的解析式 （2） 函数图象的变换 （3） 函数图象的应用 考点四 分段函数求值 （1） 求分段函数的值 （二）已知分段函数的值求参数 考点五 分段函数与不等式的综合 考点六 分段函数图象的画法 考点七 分段函数的定义域、值域问题 考点八 根据分段函数的最值求参数 考点九 分段函数图象的应用 （一）根据函数的图象求解析式 （二）分段函数图象的应用 考点十 函数的新定义题 知识点1：函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 注：并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点2：求函数解析式 (1)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． (2)换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. (3)配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， (4)方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点3：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 知识点4：分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象． 注：(1)分段函数定义域、值域的求法 ①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ②分段函数的值域是各段函数值域的并集． (2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．　 知识点5：函数的图象 （1）函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. （2）函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； （3）函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 策略方法 1、理解函数表示法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 2、函数的三种表示方法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 注：应用函数三种表示方法应注意以下三点 ①解析法必须注明函数的定义域；②列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系；③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． 3、作函数y＝f(x)图象的方法 (1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍． (2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象． 注：用描点法画函数的图象： 一般地，作函数图象时分以下三个步骤： (1)列表．先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值，用表格的形式表示出来． (2)描点．把第(1)步表格中的点一一在坐标平面上描出来． (3)连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． 4、作函数图象时需注意的五个问题 (1)确定函数的定义域，在定义域内作图； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点；　 (4)函数图象可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等； (5)对于已经熟悉形状的函数图象，只需选出几个特殊点即可作出全图，其中抛物线选3个点即可，直线或线段选2个点即可． 5、求函数解析式的四种常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． (2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令t＝g(x)，反解出，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x). 注：配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (3)方程组法(或消元法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数, 而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法).特别地，当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性． 6、函数图象的应用 (1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点． (2)借助几何直观认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养． 7、分段函数求值 (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 8、分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 9、分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． 考点一 函数的三种表示法 （1） 列表法 1．（25-26高一·全国·课前预习）根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察表格数据，检验选项中解析式即可得解. 【解析】A项：，A错误； B项：，B错误； C项：，C错误； D项： 满足表中的数据，D正确． 故选：D. 2．（2025高一·湖南衡阳·期末）已知函数由下表给出 0 1 2 3 4 其中的值等于、、、和中所出现的次数，则 ． 【答案】5 【分析】假设出现次数大于等于1次，即的值大于等于1，推出矛盾，由此得，从而，同理可得，由此可得，，从而讨论可得，于是可以得到，∈{1，2}，分类讨论即可得出答案. 【解析】（，1，2，3，4）等于在、、、和中k所出现的次数， 则， 若在“、、、、”中出现次数超过0次， 不妨设出现1次，则. 设，则在“、、”这3个数中出现4次，矛盾， 同理在“、、、、”中出现过2、3、4次也不可能， 即不能出现，所以. 同理，若出现次数超过0次，不妨设出现1次， 即，设，则在“、”这2个数中出现3次，矛盾， 故不可能出现，所以. 因为，， 以在“、、、，”中至少出现了2次， 所以， 若或4，即或出现了1次，则或不为0，矛盾， 所以，，， 所以，，所以“、、、和”仅有下列四种可能： ①、、、和， ②、、、和， ③、、、和， ④、、、和， 其中：①中，出现2次与矛盾，不可能； ②满足题意；③出现2次与矛盾； ④中，出现3次与矛盾； 故仅有“、、、、”满足题意， 故. 故答案为：5 3．（2025高一·全国·课前预习）已知函数，分别由下表给出 x 1 2 3 2 3 1 3 2 1 （1）则当时， ． （2）则 ． 【答案】 1 3 【分析】根据函数和表格中的数据中的对应关系，即可求解. 【解析】根据函数和表格中的数据，可得： 由和，可得，所以； 又由，所以. 故答案为：；. 4．（2025高一·广东江门·期中）若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题可先根据表格求出的值，再求出的值. 【解析】由表格可知，当时，. 所以. 故选：B. 5．（2025高一·全国·课后作业）根据列表中的数据选择合适的模型，则函数 ． 【答案】 【分析】根据定义域和值域直接构造函数即可. 【解析】的定义域包含数集，值域包含数集， 对于每一组数据，都有， 可令，代入均满足题意． 故答案为：. （2） 解析法 6．【多选】（2025高三·贵州遵义·阶段练习）已知函数的定义域为，且，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对各选项给出的函数，逐一验证是否满足条件即可. 【解析】首先，各选项给出的函数定义域均为. 对A：，，所以成立，故A符合题意； 对B：，，所以成立，故B符合题意； 对C：，，所以成立，故C符合题意； 对D：，，所以不是恒成立，故D不合题意. 故选：ABC 7．（2025高一·全国·课后作业）一块形状为直角梯形的农田发生病虫灾害，现计划给这块农田喷洒农药，如图所示，，，，工人从点向点移动，并沿着垂直于的方向喷洒农药，记工人距点的距离为，已喷洒农药的农田面积为，则与之间的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】分类讨论和时的函数解析式，由此可求与之间的函数解析式. 【解析】过作于，则，则为等腰直角三角形， 当时，； 当时，， 综上所述，与之间的函数解析式为. 故答案为：. 8．（2025高一·全国·课后作业）一个游泳池的底面是一个正方形，边长为，泳池正常使用时水面高度为，现在为了清洗游泳池，需要把泳池的水全部排掉，已知水流速度是，求泳池内水面高度与时间之间的函数解析式． 【答案】 【分析】求出泳池正常使用时的总水量和随时间变化排出的水量，即可求出与之间的函数解析式. 【解析】由题，泳池正常使用时总的水量为，随时间的推移排出的水量为， 又因为泳池排完所有水总共用时为， 故泳池内水面高度与时间之间的函数解析式为． 9．（2024高二·福建·学业考试）某工厂生产零件x件，当时，每生产1件的成本为100元，超过10件时，每生产1件的成本为150元，当x=15时，生产成本为（   ）元 A．1000 B．1750 C．1500 D．1300 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出生产成本与产量的函数关系，再代入求出函数值. 【解析】令生产零件件的成本为元， 当时，， 当时，， 因此，当时，， 所以当时，生产成本为1750元. 故选：B 10．（2025高一·安徽宿州·阶段练习）某学校为了美化校园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度相等且为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植三种不同的花（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示下图中的，并写出的取值范围： (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)的值为20，最大面积是 【分析】（1）根据面积表达出，并根据和得到的取值范围； （2）表达出，利用基本不等式求出最大值及此时的值. 【解析】（1）设矩形花园的一条边长为，面积为，则另一边为， ，即， ，，即， 又，， ； （2） ， 当且仅当，即时，等号成立， 当的值为20时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积是. （三）图象法 11．（25-26高一·全国·课前预习）如图所示的容器中装有燃料，假设燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据容器特征可分析燃料燃烧时剩余燃料高度的变化规律，根据所给图象的变化情况可得高度变化的规律. 【解析】图中容器中间细，上下渐粗，且上长下短。燃料燃烧时以均匀的速度消耗，但燃料高度下降不是匀速变化，所以C、D错误. 因为容器上半部分先粗后细，所以开始燃烧后，剩余燃料高度下降得越来越快，当燃料液面到达容器最细处时，剩余燃料高度下降速度达到最快，然后又因为容器逐渐变粗，且高度较上部短，所以燃料高度下降速度又越来越慢，且高度变化到零用时较上部短.A选项图象随时间的增大而减小的速度先由慢到快，再由快到慢，且第二段用时较第一段短.所以A选项较为合适． B选项显示的变化规律正好与A选项变化规律相反.所以B选项错误. 故选：A. 12．【多选】（2025高一·云南昭通·期中）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是.如图所示表示甲同学从家山发到乙同学家经过的路程与时间的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了 B．甲从家到公园的时间是 C．当时，与的关系式为 D．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢 【答案】BCD 【分析】根据已知图像，逐个选项判断即可. 【解析】由已知得，甲在公园休息的时间是， 所以甲同学从家出发到乙同学家走了，A错； 由图像知，甲从家到公园的时间是，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用时间长， 而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，D正确； 当时，设， 则，解得，C正确. 故选：BCD 13．【多选】（2025高一·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在时电量为0 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 【答案】ACD 【分析】根据函数图像的意义逐一分析每个选项即可. 【解析】A选项，充电结束时，由图像可知，电量是，A选项正确； B选项，由图像，5h时刻，电量剩余为，B选项错误； C选项，由图像，内电量下降的速度平均为， 内下降的速度平均为，前者更快，C选项正确； D选项，由于期间电量上涨，可知进行了充电操作，D选项正确. 故选：ACD 14．（2025高一·内蒙古包头·期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，由实际背景出发确定图象的特征即可得解. 【解析】中途返回家中，则离开家的距离先增大，后减小至0，到家找作业本，再离开家到学校，选项D吻合最好. 故选：D 15．（2025高一·全国·课后作业）某工厂12年来某产品总产量S与时间t（年）的函数关系如图所示 ①前三年总产量增长的速度越来越快 ②前三年总产量增长的速度越来越慢 ③第3年后至第8年这种产品停止生产了 ④第8年后至第12年间总产量匀速增加 其中正确的说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据折线图数据及对应的函数图象，依次判断各个各个命题即可. 【解析】观察图象知，前三年是由快变慢，即①错误，②正确； 第3～8年总产量未发生变化，即停止生产，③正确； 第8～12年体现为匀速增长（直线模型），④正确， 所以正确命题的序号是②③④. 故选：C 考点二 求函数的解析式 （一）待定系数法求解析式 16．（2025高二·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则 . 【答案】 【分析】设，代入利用恒等式思想建立方程组，解之可得答案. 【解析】设，由， 即，即， 即，解得，所以. 故答案为：. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知是一次函数．且．求函数的解析式． 【答案】 【分析】设函数解析式为，应用待定系数法计算求参即可求解. 【解析】设， 由，得， 即，所以且． 解得或， 当时，，故，所以， 当是，，无解， 综上，． 18．（2025高二·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定的值，即得函数的解析式； （2）等价转化原不等式为在上的恒成立问题，结合二次函数的图象可得含参数的不等式，解之即得. 【解析】（1）设，由可得： ， 即得，解得，故得， 又的图象经过点，则， 故； （2）由可得， 依题意，对，不等式恒成立， 故，解得， 即实数的取值范围为. 19．（2025高一·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解析】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 20．（2025高一·全国·专题练习）已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【解析】设（）， 对任意均有成立， 则， 即恒成立，则有，解得， 又，得， 所以． （2） 配凑法求解析式 21．（2025高三·全国·专题练习）若，则函数 ． 【答案】 【分析】利用配凑法求解函数的解析式即可. 【解析】函数，又的值域为. 所以， 故答案为：. 22．（2025高二·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【解析】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 23．（2025高一·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先配方，再利用整体法求函数的解析式即可. 【解析】由， 而， 所以． 故选：D． 24．（2025高二·全国·专题练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法即可解答. 【解析】因为，， 所以. 故选：D. 25．（2025高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用配凑法分析可得出函数的解析式，需要注意定义域. 【分析】因为，且， 所以． 故选：D. （3） 换元法求解析式 26．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 【答案】 【分析】先利用换元法求得函数的解析式，进而求得的解析式，注意定义域. 【解析】令，则，， 因为，则， 所以， 其中，并令，解得， 所以． 27．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足：对任意非零实数，都有，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】先整理，进而利用换元法求解即可. 【解析】由， 令，得， 所以的解析式为． 故答案为：. 28．（2025高三·全国·专题练习）若，则函数 ． 【答案】， 【分析】利用换元法，令，利用基本不等式求出的取值范围，最终求出函数解析式； 【解析】，即 令， 当时，由基本不等式得， 当时，，由基本不等式得，即， ， 则，， ，， ，. 故答案为：， 29．（2025高一·全国·专题练习）已知定义域为的函数满足，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】利用换元法求解即可. 【解析】设，则， 代入，得， 所以的解析式为． 故答案为：. 30．（2026高三·全国·专题练习）已知，则 . 【答案】 【分析】根据换元法求解析式即可. 【解析】令，则，， 所以， 即. 故答案为： （四）方程组法求解析式 31．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足：对任意，都有，求的解析式． 【答案】 【分析】用代换，得，联立条件，求出答案. 【解析】由题意知，用代换，得， ，消去，可得． 32．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 【答案】， 【分析】用代换，构造新方程，与原方程联立，即可解得的解析式； 【解析】由题意可知， 令，所以，其中， 代入可得，， 即，， 联立方程组，可得， 所以， 33．（2025高三·全国·专题练习）若，求的解析式． 【答案】（且） 【分析】令，构造关于的方程组求解即可． 【解析】由题可知， 令，其中，则，， 于是有：①， 由上式有意义，得且，即且， 用替换得：②， 联立①②，解得（且）， 所以（且）． 34．（2025高一·全国·专题练习）已知定义域为且的函数满足，求的解析式． 【答案】（且） 【分析】利用解方程组法，依次用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【解析】由题意知，① 用代换①式中的，得， 即，② 用代换①式中的，得， 即，③ 由①②③，得 则（且）． 35．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足：对任意非零实数，都有，求的解析式． 【答案】（且） 【分析】根据条件得到，结合条件组成方程组，求出答案，注意定义域. 【解析】在中用替换，得, 则， 得， 故（且）． （五）赋值法求解析式 36．（2025高三·全国·专题练习）设函数对任意都满足，试求出． 【答案】 【分析】应用赋值法结合已知等式计算求解即可. 【解析】令代入条件得出，∴． 令代入条件得出， ∴． 再令，则有， 而用代入条件中得，       ① ①中与条件相加得 ． ∵， ． ∴， 于是． 令，有， ∴，∴或． 当时，，∴． ∵，∴， ∴，即为所求． 37．（2025高三·全国·专题练习）设是连续函数，且满足：，．求． 【答案】．其中，． 【分析】根据给定条件，设，利用赋值法变形可得，再换元利用柯西方程求得答案. 【解析】设， 由题设方程，取，可得． 又，由上式，用替换， 则． 令，代入上式得， 这正是柯西方程，因此，其中， 所以，其中，. 38．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 【答案】 【分析】运用赋值法可求解. 【解析】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 故答案为： 39．（2025高一·上海金山·期末）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】通过令代入即可求解 【解析】是定义在上的函数，且对任意，恒成立， 令，得 ，故． 此时 ， 符合题设要求. 故答案为： 40．（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为 . 【答案】 【分析】令可得出，令结合偶函数的性质可求得函数的解析式，由此可得出函数的值域. 【解析】对，令，则，解得； 对，令，则， 又为偶函数，，故，解得。 又，故其值域为. 故答案为：. 考点三 作函数图象及其应用 （1） 画出具体函数图象 41．（2025高一·全国·专题练习）试在图中作出函数的图象．    【答案】答案见解析 【分析】先对函数进行变形，通过对反比例函数的图象进行平移得到所求函数图象； 【解析】函数的图象可由的图象先向右平移1个单位长度， 再向上平移1个单位长度得到，如答图15-1．    42．（2025高一·吉林长春·阶段练习）已知二次函数的图象过点，，. (1)求函数的解析式； (2)画出函数在上图象. 【答案】(1) (2)图象见解析 【分析】（1）设，将点的坐标代入，即可得到方程组，解得、、，即可求出函数解析式； （2）根据函数解析式画出函数图象. 【解析】（1）设，依题意可得，解得， 所以； （2）因为的对称轴为，，， 所以函数在图象如下所示： 43．（2024高三·北京·专题练习）将函数写成分段函数的形式，作出函数的图象． 【答案】，作图见解析 【分析】根据绝对值的代数定义分类讨论即得分段函数，在坐标系中分段画图即得. 【解析】图象如图所示 44．（2025高一·江苏·专题练习）作出下列函数图象： (1)且； (2)． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）分析函数特征，再描点作出图象. （2）分析函数特征，描出几何特殊点，借助二次函数作出图象. 【解析】（1）由于且，则， 所以函数且的图象为直线上的5个孤立点，如图： （2）函数，则当时，；当时，；当时，， 所以函数的图象是抛物线在的部分，如图： 45．（2025高一·广东梅州·阶段练习）分别画出下列函数的图象： (1) (2) (3) 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析 【分析】（1）根据一次函数性质画出图象即可； （2）根据反比例函数性质画出图象即可； （3）根据二次函数性质画出函数图象即可. 【解析】（1） （2） （3）， 对称轴，顶点坐标，如图所示： （2） 函数图象的变换 46．（25-26高一·河南·开学考试）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减即可得出答案． 【解析】将抛物线向上平移3个单位长度,所得到的抛物线为，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为， 故选：A． 47．（2025高一·四川成都·期中）函数的图象可以由的图象（   ）得到. A．向左平移一个单位 B．向右平移一个单位 C．向上平移一个单位 D．向下平移一个单位 【答案】A 【分析】根据平移的性质即可求解. 【解析】将的图象向左平移一个单位可得， 故选：A 48．（2025·湖南岳阳·模拟预测）函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解. 【解析】因为，所以当时，，故排除ABC， 又的图象可由函数的图象向右平移一个单位得到，则D正确. 故选：D. 49．（2025高一·江苏·假期作业）函数的图象向下平移个单位长度，得函数的图象，则实数 ． 【答案】 【分析】根据函数图象平移可得出变换后所得函数的解析式，可得出关于实数的等式，解之即可. 【解析】函数的图象向下平移个单位长度，可得到函数的图象， 所以，，解得. 故答案为：. 50．（2025高三·全国·中职高考）已知函数定义在上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象：    (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【分析】（1）根据左右平移可得图象； （2）根据上下平移可得图象； （3）根据对称变换可得图象； （4）根据对称变换可得图象； （5）根据翻折变换可得图象； （6）根据翻折变换可得图象. 【解析】（1）将函数的图象向左平移一个单位可得函数的图象，函数的图象如图：    （2）将函数的图象向上平移一个单位可得函数的图象，函数图象如图：    （3）函数的图象与函数的图象关于轴对称，函数图象如图：    （4）函数的图象与函数的图象关于轴对称，函数的图象如图：      （5）将函数的图象在轴上方图象保留，下方的图象沿轴翻折到轴上方可得函数的图象，函数的图象如图：    （6）将函数的图象在轴左边的图象去掉，在轴右边的图象保留，并将右边图象沿轴翻折到轴左边得函数的图象，其图象如图：    （3） 函数图象的应用 51．（2025高一·四川成都·阶段练习）函数的图象如图所示，则的值域为 ． 【答案】 【分析】根据函数图象即可得出函数的值域. 【解析】由图象可知，函数的值域为． 故答案为：. 52．（2025高一·上海·课堂例题）观察下列函数的图象，并写出它们的值域： 【答案】答案见解析 【分析】结合图象，逐一分析各函数的值域即可得解. 【解析】对于图形（1），当时，； 当时，； 所以图形（1）中函数的值域为； 对于图形（2），当时，； 所以图形（2）中函数的值域为； 对于图形（3），当时，； 所以图形（3）中函数的值域为. 53．（2025高一·江苏连云港·阶段练习）函数的图象如图所示.不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据图象直接解不等式即可. 【解析】观察图象可知不等式的解集是. 故答案为： 54．（2025高一·湖南长沙·阶段练习）函数的图象如图所示，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据图像可确定函数定义域，得到的值，又图像过代入可求，得到函数的解析式即可求. 【解析】由图可知函数的定义域为，又定义域为，所以，图像过，， 所以，则， 故选：C. 55．（2025高一·北京·开学考试）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，若，则 . 【答案】1或4 【分析】结合图象由函数值可得自变量. 【解析】由图象可知当时，可得或. 故答案为：1或4. 考点四 分段函数求值 （一）求分段函数的值 56．（2025高二·吉林长春·期末）已知函数，则 ． 【答案】4 【分析】根据分段函数解析式，代入计算即得答案. 【解析】由题意得， 故， 故答案为：4 57．（2025高一·四川绵阳·阶段练习）若函数，则 . 【答案】/0.25 【分析】直接代入求值即可. 【解析】由题意. 故答案为：. 58．（2025高一·吉林通化·阶段练习）已知函数，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据分段函数特点逐步代入即可. 【解析】. 故选：A. 59．（2025高一·云南昭通·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【解析】因为，则，故. 故选：D. 60．（2025高一·上海·期末）设函数，则 . 【答案】 【分析】分析函数的定义域和其在不同定义域区间上的表达式，首先计算的值，可得 ，将代入即可求解. 【解析】将代入，得到， 所以， 将代入，得到. 因此，. 故答案为：6. （二）已知分段函数的值求参数 61．（25-26高一·全国·课前预习）已知函数且，则 ． 【答案】2或 【分析】已知函数为分段函数，根据函数性质结合，分和两种情况讨论得出对应的值，并验证是否符合题意. 【解析】当时，，解得， 因为，故. 当时，，解得， 因为，故. 验证：当时，，符合题意； 当时，，符合题意. 故答案为：2或. 62．（25-26高一·全国·课堂例题）已知函数，若，则x的可能取值为 . 【答案】1或 【分析】根据分段函数，进行分类讨论即可. 【解析】当时，，解得； 当时，，解得； 综上，或． 故答案为：1或． 63．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求出的等价条件为或，从而可判断两条件之间的条件关系. 【解析】当时，由得，解得. 当时，由得，得. 所以由得或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 64．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式结合已知条件，求得参数，再求函数值即可. 【解析】由，是减函数，可知当时，， 所以，则， 由，得，解得， 所以. 故选：B. 65．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】设，，得到，再结合分段函数讨论求解即可. 【解析】设，，， 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，； 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，． 故答案为： 考点五 分段函数与不等式的综合 66．（2025高一·浙江绍兴·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【解析】由题意可得或， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 67．（2025高一·福建福州·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【解析】由题意可得或， 解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 68．（2025高三·浙江·开学考试）已知函数若，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】讨论的取值范围，解不等式可得结果. 【解析】当，即时，由得，解得， 当，即时，由得，无解， ∴m的取值范围是. 故答案为：. 69．（2024高三·全国·专题练习）已知函数则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先求出的表达式，再分段解不等式即可． 【解析】， ， 当时，． 当时，，故． 总综上知． 故答案为：． 70．（2025高一·浙江嘉兴·阶段练习）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，然后分类讨论求解不等式的解集即可. 【解析】由题意可得：， 当时，，解得或，所以. 当时，，解得，所以. 综上所述：不等式的解集为：. 故选：A 考点六 分段函数图象的画法 71．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)作图见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【解析】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 72．（2025高一·全国·课后作业）给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据一次函数和二次函数的图象特征画图即可； （2）根据题意可得的图象，再结合图象求解即可. 【解析】（1）同一直角坐标系中函数，的图象如下：    （2）结合的定义，可得函数的图象：    由，得，解得，或． 由图易知的解析式为. 73．（2025高一·云南昭通·期中）在下图中，作出下列函数的图象． (1)； (2) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据函数解析式和定义域直接描点即可； （2）根据分段函数、二次函数和一次函数的特征画图即可. 【解析】（1）的图象如图所示， （2）的图象如图所示， 74．（2025高一·山西太原·阶段练习） (1)作出该函数的图象， (2)求的值； (3)若，求实数的值. 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)2 【分析】（1）根据分段函数的解析式，分段画出函数的图象； （2）先求，再求； （3）根据分段函数每段的值域，代入求自变量的值. 【解析】（1）根据分段函数的解析式，画出分段函数的图象， （2），； （3）当时，， 当，， 当时，， 所以，即，得. 75．（2025高一·广东东莞·期中）已知函数 (1)求； (2)画出函数的图像； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）代入计算，即可得到结果； （2）由分段函数的解析式，分别画出每一段的函数图像，即可得到结果； （3）根据题意，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【解析】（1），. （2）函数的图像为： （3）当时，由可得，解得，所以； 当时，由可得，解得，所以； 当时，由可得，解得，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 考点七 分段函数的定义域、值域问题 76．（2025高一·全国·课前预习）函数 则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，即可求解. 【解析】由函数，可得函数的定义域为， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 77．（2024高三·全国·专题练习）如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据图象分段求出定义域，然后求并集可得结果． 【解析】由图象可知，第一段的定义域为； 第二段的定义域为， ∴该分段函数的定义域为． 故答案为：． 78．（25-26高一·福建龙岩·开学考试）代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论和的正负，去掉绝对值符号，根据不等式的性质，求出代数式的最小值. 【解析】因为，且, 所以，当时，； 当时，； 当时，. 综上所述，代数式的最小值为3. 故选：A. 79．（2025高二·江苏徐州·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各段上的函数值的范围后可得正确的选项. 【解析】当时，， 而当时，，当且仅当时等号成立， 故函数的值域为， 故选：D. 80．（2025·上海松江·模拟预测）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】根据二次函数性质求出时的值域，再根据对勾函数的单调性求出时的值域，然后利用分段函数的性质即可求解． 【解析】因为， 当时，， 当时，函数单调递减，故， 综上，函数的值域为． 故答案为：． 考点八 根据分段函数的最值求参数 81．（2025高三·全国·专题练习）若函数的最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是函数的最小值可得，再由求解即可. 【解析】当时，，因为的最小值为， 所以在单调递减，故，且，在上恒成立. 又，当且仅当时等号成立，所以，解得. 综上，的取值范围是. 故选：A. 82．（2025高一·江苏·阶段练习）设，若是的最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数分段求其最小值，再根据是的最小值可得答案. 【解析】当时，，当且仅当即时等号成立， 当时，为单调递减函数，所以， 若是的最小值，则， 解得. 故选：B. 83．（2025高一·安徽池州·期中）已知函数若存在最小值，则实数的最大值为 . 【答案】2 【分析】根据题意，分，以及讨论，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【解析】当时，单调递减，当时，， 当时，由可得， 由可得，此时函数取不到最小值， 当时，由可得， 由可得，此时函数存在最小值， 当时，若存在最小值，则，解得， 综上所述，，所以的最大值为2. 故答案为： 84．（2025高一·福建福州·期中）已知函数，若在上的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的单调性与取值特征，即可画出函数图象，数形结合即可求出参数的取值范围. 【解析】因为，所以在上单调递减且， 当时，所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，则的图象如下所示： 因为在上的值域为， 所以，即实数的取值范围为. 故选：A 85．（2025高一·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】当时，，，则有，分类讨论此时函数的值域即可. 【解析】函数的值域为， 当时，，， 则有， 时，，不合题意， 由二次函数的性质可知，时不合题意， 故，又由，故时，， 解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 考点九 分段函数图象的应用 （一）根据函数的图象求解析式 86．（2025高一·广西钦州·阶段练习）设，令． (1)求的解析式 (2)求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的解析式分段求解即可； （2）画出图形，利用图像分析即可. 【解析】（1）当时，， 所以， 当时， 所以， 所以. （2）如图所示： 由图像可知函数的最小值为，最大值为， 故函数的值域为． 87．（2025高一·江苏苏州·阶段练习）已知，. （1）当时，求； （2）当时，求的解析式，并画出其图象； （3）求函数的零点. 【答案】（1）；（2），函数图象如下所示；（3）或； 【分析】（1）根据自变量的范围选择对应的解析式代入求解， （2）先求出解析式，再画函数图象（分段函数）， （3）先将方程化简一下，再求解． 【解析】解：（1）当时，，， 故． （2）由（1）知，当时，． 当时，，，故． 当时，，，故． 所以当时，的解析式为． 其函数图象如下： （3），， 所以方程为 解得或． 88．（2025高一·全国·课后作业）如图，函数的图象由曲线段OA和直线段AB构成. （1）写出函数的一个解析式； （2）提出一个能满足函数图象变化规律的实际问题. 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）根据图象，要求写出函数的一个解析式；因此当时，可能是二次函数的图象，当时，可能是一元一次函数的图象，用待定系数法求得解析式即可； （2）物理中位移与时间函数关系复合此图象，可设计关于，两地运动的题目，符合要求． 【解析】解：（1）当时，设，由图知， ，；． 当时，设，由图知，，， ，， ； ． （2）例如，一辆车从甲地到乙地去办事，时间用（小时）表示，位移用（公里）表示，去时匀加速前进，用时2小时，回来时，匀速直线运动，用时3小时，图象如图所示，求位移关于时间的函数关系式． 【点睛】本题考查了分段函数解析式求法，待定系数法求函数解析式，函数与实际问题的联系等，属于中档题． 89．（2025高一·广东佛山·周测）如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． (1)求的解析式； (2)写出的值域． 【答案】（1）；（2） 【解析】试题分析：（1）由图像可知，函数为分段函数，当时，设解析式为，代入(-1,0),(0,1)可求出此段函数表达式，当时，函数图像的对称轴为x=2,过（4,0），（0,0）点，所以设解析式为，可求，最后要写成分段函数形式． 试题解析：（1）当时，设解析式为， 由图象有，解得，∴，当时， 设解析式为， ∵图象过点，∴，解得， ∴， 综上，函数在上的解析式为 （2）由图可知，其值域为. 90．（2025高一·云南昭通·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数f(x)在区间上的最大值. (2)用表示中的较大者，记作，若，当时，求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先画出函数的图像，再观察图像通过分情况讨论求出在每一段上的最大值. (2)画出函数，的图像，通过观察图像即可求得解析式. 【解析】（1）若a=2，则,画出图像如图所示： 若，则； 若，则； 当时，， 当时，， 当时，. 综上， （2）当时，, 在直角坐标系中画出图像如图， 根据图像可得 （二）分段函数图象的应用 91．（2025高二·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的图像特征，然后根据知道的图像是图像左移个单位长度，要使恒成立，通过分析图像找到相切时的情况，从而确定的取值范围. 【解析】易知函数图象如图所示，因为， 所以函数图象即为函数图象左移个单位长度，    当曲线与直线相切时， 令，即， 则，解得：， 故，恒成立时，由图像可知，. 故答案为：. 92．（2025高一·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出的图象，根据图形即可得出结果. 【解析】当时，，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，顶点坐标为，作的图象如下，    由图可知，函数图象有3个交点， 则， 即实数k的取值范围为. 故选：D． 考点十 函数的新定义题 93．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”．若给定函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件求出的解析式，再分别求函数值即可得正确选项. 【解析】因为，，所以， 列表解析： 选项 正误 原因 A √ ，． B × ，． C √ ，． D √ ，． 故选：ACD. 94．（2025高一·安徽阜阳·期末）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据新函数的定义，代入求解即可. 【解析】． 故选：D． 95．【多选】（2025高一·浙江·期中）历史上第一个给出函数的一般定义的是十九世纪德国数学家狄利克雷，在1837年他提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”狄利克雷在1829年给出了著名函数：,以下说法正确的是（    ） A．的图像关于轴对称 B．的值域是 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据定义结合分段函数的相关概念一一判定即可. 【解析】易知同为有理数或同为无理数， 所以，故A正确； 由题意可知，故B错误； 易知同为有理数或同为无理数， 所以，故C正确； 由题意可知均为有理数，所以，故D正确. 故选：ACD $$