专题1.4 充分条件与必要条件（高效培优讲义）数学人教A版2019高一必修第一册

专题1.4 充分条件与必要条件 教学目标 1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．　 2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．　 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明． 教学重难点 1.重点：充分条件与必要条件概念的概念的理解；必要条件的理解;充分条件、必要条件的判断方法． 2.难点：会证明充要条件的关系，能够利用命题之间的关系判定充要关系. 知识点01 充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：. 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件. ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件. 【即学即练】 1．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式得，根据与的关系判断p、q的关系. 【详解】因为，所以，能推出，但不能推出，所以是的必要不充分条件. 故选：B 2．下列用符号“”“”表示正确的是（   ） A．两直线平行同位角相等 B．n是4的倍数是偶数 C．是偶数是偶数 D．四边形对角线互相平分四边形是矩形 【答案】A 【详解】由两直线平行得同位角相等，故A正确：由n是4的倍数得n是偶数，故B错误；由是偶数得不到a，b是偶数，如，，故C错误；由四边形对角线互相平分得四边形是平行四边形，故D错误． 知识点02 充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 【即学即练】 1．下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】A选项利用充分不必要条件的定义进行判断；B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断. 【详解】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，当时，，所以由不能推出； 反之当时，若，，则不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项，当，时，，所以由不能推出； 反之，当时，且，所以由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 2．将元素个数为非负整数的集合称为有限集，表示有限集中的元素个数.设A，B都为有限集，则（   ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．的充分条件是 D．的充要条件是 【答案】AB 【分析】利用必要条件、充要条件的定义推理判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，由及，得，A正确； 对于B，由，得，的必要条件是，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：AB. 知识点03 充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题. 【即学即练】 1．下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 【答案】D 【详解】对于A，由“且”得“”，但“”未必能推出“且”，如且满足，但不满足，故A是假命题；对于B，“”未必能推出“”，如，故B是假命题；对于C，如一元二次方程有实数根，但不满足“”，故C是假命题，D是真命题． 2．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形． 题型01： 单一值充分、必要、充要条件的判断 【典例1】 是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由等价于或， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. Ⅰ：基础内容概要 充要条件：如果既有，又有，就记作。我们就说，和互为的充要条件。 说明：⑴符号“”叫做等价符号.“”表示“且”；也表示“等价于”. “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”. ①,则为的充分条件，为的必要条件；②BA, 则为的充要条件，为的充要条件； 由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定：命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类： ⑴充分不必要条件，即，而；⑵必要不充分条件，即，而； ⑶既充分又必要条件，既，又有；⑷既不充分也不必要条件，即，又有． Ⅱ：单一条件判断充分必要 结论：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围. 题干给定单一值时，一般情况为小范围，而另一个为大范围，此时充分必要显而易见. 【变式1】设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】首先求得的充要条件，然后即可判断. 【详解】由题意或， 而若，则有，所以肯定有或， 取，即满足或，但是不满足， 所以“”是的充分而不必要条件. 故选：A. 【变式2】已知且，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】当且，可得，所以是的充分条件； 如，故是的不必要条件； 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3】已知函数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数解析式，求解时的值，与解方程得的值，结合充分条件与必要条件进行判断即可. 【详解】若，则，反之，若，则或. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型02： 单变量不等式充分、必要、充要条件的判断 【典例1】使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误． 结论：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围 范围求解的类型（单变量） 类型1：绝对值不等式的求解 形如：根据大于去两边原则 形如：根据小于取中间原则 形如：根据大于去两边原则 变形 形如：根据小于取中间原则 变形 类型2：一元二次不等式求解（十字相乘） 形如： 形如： 类型3：分式方程不等式求解（分式整数化） 形如： 故解集为 形如： 故解集为 【变式1】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得，因为不能推出，但可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件. 【变式2】已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即． 【变式3】已知，则“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求解分式不等式，求得的范围，进而从充分性和必要性进行判断即可. 【详解】，即，，解得或； 故当时，可以推出；当，推不出； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型03： 双变量不等式充分、必要、充要条件的判断 【典例1】已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过举反例的方法结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】若，显然所以“”不是“”的充分条件； 若，显然，所以“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 此题作为选择题，可以考虑用特殊值代入求解 一般情况可以取以下几组数据：，， 也可以取其中一个字母为. 【变式1】，且，则p是q的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据必要不充分条件的定义，可得答案. 【详解】当时，，则不能推，故p是q的不充分条件； 当且时，恒成立，则可以推，故p是q的必要条件. 故选：A. 【变式2】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】若，如，则， 无法得到. 若，则， 则. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式3】已知实数a，b，则是的（   ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件和定义判断. 【详解】实数a，b，当时，若，就不能得到； 当时，若，就不能得到. 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 题型04： 应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围 【典例1】已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 由充分、必要条件求参数范围的策略 （1）巧用转化求参数：把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形 （2）端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍。具体操作方式： 记p，q对应的集合分别为A，B，则 ①若p是q的充分条件，则，②p是q的必要条件,则， ③p是q的充要条件,则且，④p是q的充分不必要条件,则且， ⑤p是q的必要不充分条件，则且， ⑥p是q的既不充分也不必要条件，则且，AB且A⊉B 形如：已知集合，集合，若是的充分条件，求实数m的取值范围． 【步骤】看问题：求实数m的取值范围．（属于范围问题） 想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想； 看条件：集合，集合，且A∪B＝A，由此知， 定措施：由是的充分条件可得，故由集合A、B中端点值的大小关系建立关于m的不等式，利用不等式思想求出实数m的取值范围。 【变式1】已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则．（1）由题得集合B是集合A的真子集，当时，有，此时；当时，有此时，所以实数m的取值范围是．（2）或．由题意知，所以．若中只有一个整数，则，得． 【变式2】已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，若p是q的充分条件，则，故． 【变式3】已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得． 题型05： 充要条件的证明 【典例1】已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 技巧总结： (1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q. (3)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断，证明前必须分清充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论． 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向． 【变式1】设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可. 【详解】证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 【变式2】设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【答案】，证明见解析 【分析】为锐角三角形的充要条件为.作出图形，根据勾股定理计算化简分别证明充分性和必要性即可. 【详解】为锐角三角形的充要条件为. 证明：充分性：若，则不是直角三角形. 若为钝角三角形，因为，则. 过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1））， 由勾股定理知 ，矛盾， 故为锐角三角形，充分性成立. 必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))， 由勾股定理知， ， 故必要性成立. 故为锐角三角形的充要条件为.    【变式3】已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可. 【详解】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 1．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【答案】D 【详解】解法1  ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或． 解法2（代入法）  ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意． 2．已知A，B是全集I的真子集，有下列四个命题： ①；②；③；④“”是“”的必要且不充分条件. 其中与等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】由得图： 或 对于①，等价于，故①正确；对于②，等价于，故②错误；对于③，等价于，故③正确；对于④，“”是“”的必要且不充分条件等价于，故④错误.所以与等价的有①③，共2个. 3．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由p是q的充分条件，知p可推出q，所以；由p是q的必要条件，知q可推出p，所以． 4．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意得解得．本题要求的是充分不必要条件，对照选项只有B，D符合题意． 5．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 6．在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 【答案】ABC 【详解】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件. 7．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】AB 【详解】若，则，即是的必要条件，故A正确；由“”可以推出“”，故B正确；取，，满足mn为无理数，但m为有理数，故C错误；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故D错误. 8．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 9．已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 10．若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法1  设，，由题意可知和都不成立，所以． 解法2  若，则，故不成立，排除A，C；若，则，故不成立，排除D． 11．“是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：由，得，即解得或， 所以是“”的充分且不必要条件， 故选：A 12．《齐民要术》是中国杰出农学家贾思勰（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”．书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”．大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功．则“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分不必要条件的概念即可判断. 【详解】充分性：根据这句话的大意可知，如果顺应天时地利的万物规律，就能花费较少的力取得更多成功，所以充分性成立； 必要性：“用力少而成功多”的前提不一定是“顺天时，量地利”，比如某种果实产量高，有可能是播种方式或灌溉频率等人为因素引起的， 故“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的充分不必要条件． 故选：B 13．已知非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合的运算可求解； （2）利用充分不必要条件的定义，转化为P是Q的真子集，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【详解】（1）已知集合，. 当时，，或， 又， . （2）因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集， 又，， 所以，解得， 当时，是Q的真子集； 当时，也满足是Q的真子集， 综上所述：实数的取值范围为. 14．设全集，集合，非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集、交集的定义计算可得； （2）依题意可得非空集合是集合的真子集，列不等式组，解得即可. 【详解】（1）， 或 当时，， 或. （2）“”是“”的必要不充分条件等价于非空集合是集合的真子集， 易知，即， 则有，且等号不能同时取到，解得. 故的取值范围为. 15．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 16．“月相变化”即地球上所看到的月球被日光照亮的不同形象．当地球位于月球和太阳之间时，我们可以看到整个被太阳直射的月球部分，这就是“满月”；当月球位于地球和太阳之间时，我们只能看到月球不被太阳照射的部分，这就是“朔月”；当地月连线和日地连线正好成直角时，若我们正好可以看到月球西半边亮且呈半圆形，这就是“上弦月”，若我们正好可以看到月球东半边亮且呈半圆形，这就是“下弦月”．根据以上信息可知“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据已知及充分条件与必要条件的定义分别判断即可得结论. 【详解】充分性：地月连线和日地连线正好成直角时，我们可能看到“上弦月”或“下弦月”，充分性不成立； 必要性：若为“下弦月”，则地月连线和日地连线正好成直角，必要性成立， 故“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的必要不充分条件． 故选：B. 17．已知集合，. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用集合的基本运算即可得到结果. （2）由是的充分条件可得，讨论和，根据子集的概念即可得结果. 【详解】（1）当时，，， ∴. （2）∵是的充分条件，∴. 当时，，即，满足； 当时，， 由可得，解得. 综上，实数的取值范围为或. 18．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 19．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，命题，命题，且是的必要不充分条件，求实数取值集合的所有子集． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）分和进行讨论； （2）根据条件得到是A的真子集，求出，分和进行讨论，看是否满足是A的真子集，然后再根据子集的概念列出所有情况即可． 【详解】（1）因为，所以方程无实数根， 当，即时，原方程可化为，有实数根2，不满足题意； 当时，一元二次方程无实数根， 则，解得，即实数的取值范围为． （2），由题意可得，是A的真子集． 当时，得，此时，满足题意； 当时，得，此时不满足题意． 综上，的取值集合为，其所有子集为． 20．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由必要不充分条件的定义可知或，或，所以或，即或． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 充分条件与必要条件 教学目标 1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．　 2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．　 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明． 教学重难点 1.重点：充分条件与必要条件概念的概念的理解；必要条件的理解;充分条件、必要条件的判断方法． 2.难点：会证明充要条件的关系，能够利用命题之间的关系判定充要关系. 知识点01 充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：. 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的______条件，是的______条件. ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的______条件. 【即学即练】 1．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列用符号“”“”表示正确的是（   ） A．两直线平行同位角相等 B．n是4的倍数是偶数 C．是偶数是偶数 D．四边形对角线互相平分四边形是矩形 知识点02 充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的______条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的______条件； ③若，且，即，则、互为______条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的______条件；③若A=B，则、互为______条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的____________条件. 【即学即练】 1．下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 2．将元素个数为非负整数的集合称为有限集，表示有限集中的元素个数.设A，B都为有限集，则（   ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．的充分条件是 D．的充要条件是 知识点03 充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为______命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为______命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为______命题. 【即学即练】 1．下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 2．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 题型01： 单一值充分、必要、充要条件的判断 【典例1】 是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 Ⅰ：基础内容概要 充要条件：如果既有，又有，就记作。我们就说，和互为的充要条件。 说明：⑴符号“”叫做等价符号.“”表示“且”；也表示“等价于”. “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”. ①,则为的充分条件，为的必要条件；②BA, 则为的充要条件，为的充要条件； 由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定：命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类： ⑴充分不必要条件，即，而；⑵必要不充分条件，即，而； ⑶既充分又必要条件，既，又有；⑷既不充分也不必要条件，即，又有． Ⅱ：单一条件判断充分必要 结论：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围. 题干给定单一值时，一般情况为小范围，而另一个为大范围，此时充分必要显而易见. 【变式1】设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【变式2】已知且，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】已知函数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02： 单变量不等式充分、必要、充要条件的判断 【典例1】使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【详解】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误． 结论：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围 范围求解的类型（单变量） 类型1：绝对值不等式的求解 形如：根据大于去两边原则 形如：根据小于取中间原则 形如：根据大于去两边原则 变形 形如：根据小于取中间原则 变形 类型2：一元二次不等式求解（十字相乘） 形如： 形如： 类型3：分式方程不等式求解（分式整数化） 形如： 故解集为 形如： 故解集为 【变式1】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型03： 双变量不等式充分、必要、充要条件的判断 【典例1】已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 此题作为选择题，可以考虑用特殊值代入求解 一般情况可以取以下几组数据：，， 也可以取其中一个字母为. 【变式1】，且，则p是q的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式2】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】已知实数a，b，则是的（   ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型04： 应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围 【典例1】已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 由充分、必要条件求参数范围的策略 （1）巧用转化求参数：把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形 （2）端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍。具体操作方式： 记p，q对应的集合分别为A，B，则 ①若p是q的充分条件，则，②p是q的必要条件,则， ③p是q的充要条件,则且，④p是q的充分不必要条件,则且， ⑤p是q的必要不充分条件，则且， ⑥p是q的既不充分也不必要条件，则且，AB且A⊉B 形如：已知集合，集合，若是的充分条件，求实数m的取值范围． 【步骤】看问题：求实数m的取值范围．（属于范围问题） 想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想； 看条件：集合，集合，且A∪B＝A，由此知， 定措施：由是的充分条件可得，故由集合A、B中端点值的大小关系建立关于m的不等式，利用不等式思想求出实数m的取值范围。 【变式1】已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ． 【变式2】已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 题型05： 充要条件的证明 【典例1】已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 技巧总结： (1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q. (3)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断，证明前必须分清充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论． 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向． 【变式1】设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【变式2】设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【变式3】已知，求证：的充要条件是. 1．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 2．已知A，B是全集I的真子集，有下列四个命题： ①；②；③；④“”是“”的必要且不充分条件. 其中与等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ． 4．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 7．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 8．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 9．已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 10．若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．“是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．《齐民要术》是中国杰出农学家贾思勰（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”．书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”．大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功．则“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 14．设全集，集合，非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 15．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 16．“月相变化”即地球上所看到的月球被日光照亮的不同形象．当地球位于月球和太阳之间时，我们可以看到整个被太阳直射的月球部分，这就是“满月”；当月球位于地球和太阳之间时，我们只能看到月球不被太阳照射的部分，这就是“朔月”；当地月连线和日地连线正好成直角时，若我们正好可以看到月球西半边亮且呈半圆形，这就是“上弦月”，若我们正好可以看到月球东半边亮且呈半圆形，这就是“下弦月”．根据以上信息可知“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 17．已知集合，. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 18．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 19．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，命题，命题，且是的必要不充分条件，求实数取值集合的所有子集． 20．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$