精品解析：山西省平遥县古陶镇第一初级中学2025-2026学年上学期开学摸底考试九年级数学试卷

2025-2026学年第一学期开学摸底考试试卷 九年级数学 考生注意：本卷八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 点关于原点的对称点为( ) A. B. C. D. 4. 已知，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 5. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 6. 如图，将绕点逆时针旋转一定的度数，得到．若点在线段的延长线上，若，则旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 对于二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 它的图像与轴有两个交点 B. 方程的两根之积为 C. 它的图像的对称轴在轴的右侧 D. 时，随的增大而减小 8. 如果将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，然后绕其顶点旋转，得到新的抛物线，那么（ ） A. ，， B. ， C. ，， D. ， 9. 如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 10. 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连按AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为( ) A. B. C. 4 D. 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 圆是________________对称图形． 12. 若是一元二次方程的一个根，则_____________． 13. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．若，则_______________． 14. 如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P．（1）与的关系是_______，（2）的长为__________． 三、（本题每小题8分，满分16分） 15. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出和． （1）把先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，得到； （2）以图中的O为对称中心，作中心对称图形，得到． 16. 如图，将绕着点C 按顺时针方向旋转，B点落在位置，A点落在位置，若，求的度数． 四、（本题每小题8分，满分16分） 17. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：． 18. 把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕，求的半径． 五、（本题每小题10分，满分20分） 19. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，求点C到弦所在直线的距离． 20. 如图，是的直径，C，D为上的点，且，过点D作于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 某杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板的右端处弹跳起经过最高点后下落到右端的椅子处，其身体看成一点运动的路线是一条抛物线的一部分，如图，已知，演员起跳点的高度，演员离开地面的最大高度是，此时，演员到起跳点的水平距离为． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知人梯高，为了成功完成此次表演，那么人梯到起跳点A的水平距离应为多少？ 七、（本题满分12分） 22. 在中是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，. （1）如图1，若平分，求证：； （2）如图2，若，，求的长； （3）如图3，已知点和边上的点满足，.连接，求证：． 八、(本题满分14分) 23. 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量件与售价元/件为正整数之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 4 5 6 y（件） 10000 9500 9000 （1）求y与x的函数关系式； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价； （3）抗疫期间，商场向某慈善机构捐赠，要求：每销售一件商品捐赠不少于1元，但不超过5元．若该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出满足上述条件的m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期开学摸底考试试卷 九年级数学 考生注意：本卷八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、不是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、是中心对称图形． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的顶点式即可得到答案，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：C 3. 点关于原点的对称点为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，根据横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点为 故选：A． 4. 已知，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】C 【解析】 【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案. 【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得： x（x-1）=55， 化简得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（舍去）， 故答案为C. 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程. 6. 如图，将绕点逆时针旋转一定的度数，得到．若点在线段的延长线上，若，则旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键． 由旋转的性质可知，，是旋转角，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，是旋转角， ∴， ∴， 故选：B． 7. 对于二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 它的图像与轴有两个交点 B. 方程的两根之积为 C. 它的图像的对称轴在轴的右侧 D. 时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次函数与轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴二次函数的图像与轴有两个交点，该选项结论正确，故此选项不符合题意； B、方程，即的两根之积=，该选项结论正确，故此选项不符合题意； C、∵的值不能确定， ∴它的图像的对称轴位置无法确定，该选项结论错误，故此选项符合题意； D、∵，对称轴， ∴时，随的增大而减小，该选项结论正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点以及二次函数的性质、根与系数的关系等知识．正确掌握二次函数的性质是解题关键． 8. 如果将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，然后绕其顶点旋转，得到新的抛物线，那么（ ） A. ，， B. ， C. ，， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移及旋转，将抛物线化为，再根据旋转及平移得到原抛物线的解析式，进而可求解，解题的关键是掌握旋转的性质及平移的性质． 【详解】解：抛物线， 绕其顶点旋转得：， 把抛物线先向下平移1个单位，再向左平移2个单位， 得， ，． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点A、B的坐标由此得到AB的长，由此得到CD的长，点D的坐标，代入解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，设直线AB交y轴于点E， ∵直线与二次函数交于A、B， ∴当时， ，得， ∴， ∴, ∵， ∴CD=4， 由二次函数的对称性可得CE=DE=2， ∴D（2，2）， 将点D的坐标代入，得8a=2， 解得a=， 故选：B． 【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，正确掌握二次函数图象的对称性、图象上点的坐标特点是解题的关键． 10. 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连按AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为( ) A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE，通过SAS证明△AEF≌△AGP，得PG=EF=2，再利用勾股定理求出GE的长，在△GPE中，利用三边关系即可得出答案． 【详解】解：连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE， ∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP， ∴AF=AP，∠PAF=90°， ∴∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90°， ∴∠FAE=∠PAG， 在△AEF和△AGP中， ∴△AEF≌△AGP（SAS）， ∴PG=EF=2， ∵BC=3，CE=2BE， ∴BE=1， 在Rt△ABE中，由勾股定理得： ， ∵AG=AE，∠GAE=90°， ∴， 在△GPE中，PE＞GE-PG， ∴PE的最小值为GE-PG=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 圆是________________对称图形． 【答案】轴或中心 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】圆是轴对称图形，也是中心对称图形． 故答案为：轴或中心． 12. 若是一元二次方程的一个根，则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查已知一元二次方程的根求参数的值，将代入方程即可求出m的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：2． 13. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．若，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质及三角形内角和定理．根据旋转得到，从而得到，根据得到，结合及三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P．（1）与的关系是_______，（2）的长为__________． 【答案】 ①. 相等且垂直 ②. 【解析】 【分析】（1）连接BD交AC于O，由菱形的性质得出，由直角三角形的性质求出，由直角三角形的性质得出，由旋转的性质得出，求出，证出，即可得出结论； （2）由直角三角形的性质得出，即可得出结果． 【详解】解：（1）连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴EF与DC的关系是相等且垂直， 故答案为：相等且垂直； （2）∴，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 三、（本题每小题8分，满分16分） 15. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出和． （1）把先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，得到； （2）以图中的O为对称中心，作中心对称图形，得到． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据平移规则确定的对应点，连线得到即可； （2）根据成中心对称的特点，确定的对应点，连线得到即可． 本题考查图形变换--平移和中心对称，掌握平移的性质和中心对称的性质，是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，将绕着点C 按顺时针方向旋转，B点落在位置，A点落在位置，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是由旋转的性质得到相等的角，即，，再利用三角形内角和求出． 【详解】解：由旋转可知：，， 又∵， ∴， ∴． 四、（本题每小题8分，满分16分） 17. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：． 【答案】 证明：如图所示，过点O作OP⊥AB，垂足为点P， 由垂径定理可得PA＝PB，PC＝PD，PA－PC＝PB－PD， AC＝BD． 【解析】 【分析】过点O作OP⊥AB，由等腰三角形的性质可知AP=BP，再由垂径定理可知CP=DP，故可得出结论． 【详解】略 【点睛】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键． 18. 把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，根据垂径定理，可得，由折叠得： ，然后在中，利用勾股定理即可求得结果． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA， ∴， 由折叠得：， 设， ∴在中，由勾股定理得：， 即： 解得： x1＝，x2＝（不合题意，舍去） ∴ 答：的半径为． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、垂径定理和勾股定理，熟练运用相关性质和定理是解题的关键． 五、（本题每小题10分，满分20分） 19. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，求点C到弦所在直线的距离． 【答案】点C到弦所在直线的距离为米． 【解析】 【分析】连接交于，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：如图2，连接交于，连接， 点为运行轨道的最低点， ，米， （米， 在中，（米， 点到弦所在直线的距离米， 点C到弦所在直线的距离为米． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 20. 如图，是的直径，C，D为上的点，且，过点D作于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】(1)利用平行线的性质得到，再由，即可证得； (2)过O点作于F，如图，根据垂径定理得到，再证明，得到，然后利用勾股定理计算的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点O作于点F， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ． ， ， ， 在中， ， 的半径为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 某杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板的右端处弹跳起经过最高点后下落到右端的椅子处，其身体看成一点运动的路线是一条抛物线的一部分，如图，已知，演员起跳点的高度，演员离开地面的最大高度是，此时，演员到起跳点的水平距离为． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知人梯高，为了成功完成此次表演，那么人梯到起跳点A的水平距离应为多少？ 【答案】（1） （2）4m 【解析】 【分析】（1）由题意知，抛物线顶点坐标，设顶点式形式解析式，将点代入求解； （2）将 代入解析式，求自变量取值，取合理值； 【小问1详解】 根据题意可知，抛物线的顶点坐标为 设抛物线的解析式为 把 代入得： 解得： 抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 当 时， 解得： 不符合题意，舍去， 答：人梯到起跳点 A 的水平距离应为 ． 【点睛】本题考查待定系数法确定二次函数解析式，函数与方程的联系，一元二次方程的求解；理解函数与方程的联系是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 在中是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，. （1）如图1，若平分，求证：； （2）如图2，若，，求的长； （3）如图3，已知点和边上的点满足，.连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先由角平分线得到，再利用旋转性质证得,得，则再由证得，最后即可得出结论； （2）先根据直角三角形的性质得出，再由等腰三角形的性质可得，利用三角形内角和定理得，最后由勾股定理即可求出的长； （3）先判定四边形是平行四边形，利用菱形的判定得出四边形是菱形，再由全等三角形的判定及性质证明，最后由直角三角形的性质即可得出结论. 【小问1详解】 证明：如图，与交于点， ∵ 平分， ∴， 又∵是绕点旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是斜边的中点，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：； 【小问3详解】 证明：如图，延长，交于点，则， ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵是的中点， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， 即点是斜边的中点． ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型， 八、(本题满分14分) 23. 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量件与售价元/件为正整数之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 4 5 6 y（件） 10000 9500 9000 （1）求y与x的函数关系式； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价； （3）抗疫期间，商场向某慈善机构捐赠，要求：每销售一件商品捐赠不少于1元，但不超过5元．若该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出满足上述条件的m的取值范围． 【答案】（1） （2）这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组． （1）用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价； （3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为：， 把，和，代入得，， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，， 解得：， 设利润为w元，根据题意得， ， ， ∴当时，w随x的增大而增大， ， ∴当时，w取最大值为：， 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元； 【小问3详解】 解：根据题意得， ， ∴对称轴为， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大， ∴只需保证对称轴大于等于15就可以了，故， 解得，， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $