精品解析：河北省邯郸市 广平县实验中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025-2026学年九年级第一学期 开学考试数学（冀教版） 注意事项： 1．本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 2．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁．条形码粘贴处 3．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列函数关系式中，是的正比例函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 现有长为5，5，7的三根木棍，嘉嘉要想钉一个平行四边形的木框，则选用的第四根木棍的长度应该为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地．某网店内一种茶叶的售价为10元/克，购买克的总价钱为元，下列正确的是（　　） A. 自变量是茶叶的单价 B. 自变量是总价钱 C. D. 5. 实验基地有一块正方形地，现用篱笆分成三块培育三种花苗（如图所示），，分别为正方形的边和对角线的中点，根据所标尺寸，所需栅栏，的总长为（　　） A. B. C. D. 6. 已知一次函数，且随着的增大而减小，则它的大致图象是（　　） A. B. C. D. 7. 在剪纸活动中，轩轩想用一张矩形纸片剪出一个正六边形，其中正六边形的一条边与矩形的一边重合，如图所示，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 某次测试后，抽取部分学生的成绩绘制成如图所示的统计图（每组包含最小值，不包含最大值），则参与测试的所有学生的优秀率（分）约为（　　） A. B. C. D. 9. 活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（　　） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量两组对边是否分别平行 C. 测量是否有三个角是直角 D. 测量对角线是否互相垂直 10. 如图，在等腰直角三角形中，点，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，当直线经过点时，的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边轴，轴，矩形的边上有一动点，沿匀速运动一周，点到轴的距离与点走过的路程之间的函数图像如图所示，已知点的横坐标为1，下列不正确的是（　　） A. B. 点的坐标为 C. 矩形的面积为2 D. 所在直线的函数表达式为 12. 如图，在菱形中，，，，分别是，上的动点，关于①、②两个结论，下列判断正确的是（　　） ①若，，的大小为； ②的最小值为5 A. 只有①对 B. 只有②对 C. ①②都对 D. ①②都不对 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 某校为了解全校720名学生的家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，对八年级某班全体学生家长进行了调查，这种调查方式是___________．（填“普查”或“抽样调查”） 14. 在平面直角坐标系中，作与关于轴对称的，点的对应点为，则___________． 15. 如图，平行四边形的对角线交于点为边上的动点（不与点重合），连接并延长交于点，图中三个阴影部分①、②、③的面积分别为，则之间的数量关系为___________． 16. 在平面直角坐标系中，已知点，，若直线上存在点，使点关于轴的对称点在线段上，则的取值范围为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 为备战马拉松的健康跑，亮亮每天进行跑步训练，他跑步的时间和路程的变化情况如下表： 时间 10 20 30 40 50 60 路程 2 4 6 10 （1）在这个变化过程中，___________（填“是”或“不是”）的函数； （2）上表中的___________；___________； （3）根据表中的数据，求与的关系式． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点在小正方形的顶点处，点的坐标分别为． （1）请在网格中建立符合题意的平面直角坐标系，点的坐标为___________； （2）平移点得到点，若点与点关于轴对称，直接写出一种平移方式； （3）在（2）的条件下，为直线上的点，则点到轴的距离为___________． 19. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，． （1）的度数为___________度；平行四边形的周长为___________； （2）求的长； （3）在图中，利用尺规作矩形（点在的下方，不写画法，保留作图痕迹）. 20. 科技改变未来，某校为学生安排科技讲座，为了解学生的意向，就讲座主题进行抽样调查（每名学生必须选择一个），并根据调查结果绘制了如图1所示不完整的统计图． （1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； （2）扇形统计图中的___________度； （3）学校有600名学生参加本次活动，估计选择聆听B讲座的学生人数． 21. 数学活动课上，探究小组的同学利用直角三角形画菱形． ①如图，作，其中； ②分别延长至点，使；延长至点，使； ③连接，，，形成四边形． （1）对四边形为菱形进行说理； （2）当的直角边，满足条件___________时，四边形为正方形； （3）若，分别为，的中点，，，求两条对角线，的长度和． 22. 项目化学习：大名草编手工艺是大名县卫河以东地区的传统手工艺品，多表现花鸟虫鱼等，有实用价值和艺术价值．某学习小组以“大名草编利润”为主题开展项目化学习． 市场调查：小组成员了解到，某草编产品每个售价为20元，销售收入（元）与销售量（个）成正比例关系，投入的成本（元）（人工、物流、材料等）与销售量（个）的函数图象如图所示． 模型建立：（1）求与的函数关系式； 解决问题：（2）求利润（元）（利润销售收入成本）与销售量（个）之间的函数关系式，并在图2中画出函数所对应的图象； （3）当与相差不超过100时，则称该草编产品实现微利润，直接写出此时销售量的取值范围． 23. 如图，，，在四边形中，，于点，于点，且，． （1）的长为___________； （2）动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿向终点运动，设运动的时间为秒． ①如图，连接，，，当时，写出与之间的数量关系，并说明理由； ②如图，连接，当平分时，过点作，交于点，求四边形的周长（用含的式子表示）； ③如图，若点开始运动的同时动点从点出发，以3个单位长度/秒的速度沿向终点运动，当，中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．线段将四边形分为两部分，直接写出为何值时，所分成的两部分中存在平行四边形． 24. 如图，，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点，直线与轴交于点． （1）的值为___________；关于，的方程组的解为___________； （2）求直线的函数表达式； （3）过点作轴，交于点，将线段先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度（，均大于0），得到线段，且保证点的对应点始终在直线上． ①直接写出关于的函数解析式； ②过点作轴的垂线，分别交，于点，，当是线段的中点时，求的值； ③如图，当点与点重合时，从点射出的激光射向位于轴正半轴上的镜面（在的右侧），经过反射后恰好覆盖线段上（不包括端点）的2个整点（横、纵坐标都为整数的点），直接写出此时的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第一学期 开学考试数学（冀教版） 注意事项： 1．本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 2．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁．条形码粘贴处 3．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标．直接利用第二象限内的点：横坐标小于0，纵坐标大于0，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴点在第二象限． 故选：B． 2. 下列函数关系式中，是的正比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，由（）进行判断即可． 【详解】解：A.是正比例函数，故符合题意； B.中是分式，不是正比例函数，故不符合题意； C.是一次函数，含有常数项，故不符合题意； D.自变量的次数不是，不是正比例函数，故不符合题意； 故选：A． 3. 现有长为5，5，7的三根木棍，嘉嘉要想钉一个平行四边形的木框，则选用的第四根木棍的长度应该为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 选用的第四根木棍的长度应该为； 故选：D． 4. 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地．某网店内一种茶叶的售价为10元/克，购买克的总价钱为元，下列正确的是（　　） A. 自变量是茶叶的单价 B. 自变量是总价钱 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，列函数关系式；根据函数的定义，并列出函数关系式逐一判定即可． 【详解】解：A、自变量是茶叶的重量，原说法错误，故不符合题意； B、自变量是茶叶的重量，原说法错误，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，原关系式错误，故不符合题意； 故选：C． 5. 实验基地有一块正方形地，现用篱笆分成三块培育三种花苗（如图所示），，分别为正方形的边和对角线的中点，根据所标尺寸，所需栅栏，的总长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，由题意可得，，再由勾股定理可得，由三角形中位线定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∵，分别为正方形的边和对角线的中点， ∴， ∴所需栅栏，的总长为， 故选：D． 6. 已知一次函数，且随着的增大而减小，则它的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，先求出该一次函数与轴的交点坐标为，再结合题意可得一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，故该一次函数与轴的交点坐标为， ∵一次函数，且随着的增大而减小， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，如图所示： 故选：A． 7. 在剪纸活动中，轩轩想用一张矩形纸片剪出一个正六边形，其中正六边形的一条边与矩形的一边重合，如图所示，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求正多边形的外角，由多边形的外角和及正多边形的性质得，即可求解． 【详解】解：六边形是正六边形， ， 故选：C． 8. 某次测试后，抽取部分学生的成绩绘制成如图所示的统计图（每组包含最小值，不包含最大值），则参与测试的所有学生的优秀率（分）约为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，用优秀的学生的人数除以总人数即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：参与测试的所有学生的优秀率（分）约为， 故选：D． 9. 活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（　　） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量两组对边是否分别平行 C. 测量是否有三个角是直角 D. 测量对角线是否互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 10. 如图，在等腰直角三角形中，点，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，当直线经过点时，的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、一次函数图象的平移、求一次函数的解析式，由等腰直角三角形的性质并结合图形可得，由一次函数图象的平移法则可得直线的解析式为，再将代入直线的解析式，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在等腰直角三角形中，点， ∴结合图象可得， ∵将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴， 故选：B． 11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边轴，轴，矩形的边上有一动点，沿匀速运动一周，点到轴的距离与点走过的路程之间的函数图像如图所示，已知点的横坐标为1，下列不正确的是（　　） A. B. 点的坐标为 C. 矩形的面积为2 D. 所在直线的函数表达式为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、一次函数的应用，由矩形的性质并结合图象可得，，由此即可判断ABC，由题意并结合图象可得，，，再利用待定系数法求出所在直线的函数表达式，即可判断D，熟练掌握矩形的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由矩形的性质并结合图象可得：，， ∴，矩形的面积为，故A、C正确； ∴点的坐标为，即，故B正确； 由题意并结合图象可得，，， 设所在直线的函数表达式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴，故D错误； 故选：D． 12. 如图，在菱形中，，，，分别是，上的动点，关于①、②两个结论，下列判断正确的是（　　） ①若，，的大小为； ②的最小值为5 A. 只有①对 B. 只有②对 C. ①②都对 D. ①②都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质，由菱形的性质可得，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可判断①；连接交于，连接、，作于，由菱形的性质可得点和点关于对角线对称，，，，，从而可得，，进而得出，，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，为，再由菱形的面积公式计算即可判断②；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，连接交于，连接、，作于， ， ∵四边形为菱形， ∴点和点关于对角线对称，，，，， ∴，， ∴，， ∴当点、、在同一直线上，且时，的值最小，为， ∵， ∴， ∴的最小值为，故②错误； 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 某校为了解全校720名学生的家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，对八年级某班全体学生家长进行了调查，这种调查方式是___________．（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】本题考查抽样调查和普查的区别．普查是对所有个体进行全面调查，抽样调查是从总体中抽取部分个体进行调查． 全校有720名学生的家长，但只调查了八年级某班全体学生家长，因此属于抽样调查． 【详解】解：由于只调查了八年级某班全体学生家长来推断全校家长的意见，并非对所有家长进行调查，因此这种调查方式是抽样调查． 故答案为：抽样调查． 14. 在平面直角坐标系中，作与关于轴对称的，点的对应点为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点关于坐标轴对称的规律，由关于轴对称得，即可求解． 【详解】解：关于轴对称的，点的对应点为， ， ， 故答案为：． 15. 如图，平行四边形的对角线交于点为边上的动点（不与点重合），连接并延长交于点，图中三个阴影部分①、②、③的面积分别为，则之间的数量关系为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，由平行四边形的性质得，，，可得，由判定，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， （）， ， ． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，已知点，，若直线上存在点，使点关于轴的对称点在线段上，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，点的坐标—轴对称，不等式的性质，先求出线段的表达式为，设，则点关于轴的对称点为，再结合题意得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设线段的表达式为， 将，代入线段的表达式可得， 解得， ∴线段的表达式为， ∵直线上存在点， ∴设， ∴点关于轴的对称点为， ∵点关于轴的对称点在线段上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 为备战马拉松的健康跑，亮亮每天进行跑步训练，他跑步的时间和路程的变化情况如下表： 时间 10 20 30 40 50 60 路程 2 4 6 10 （1）在这个变化过程中，___________（填“是”或“不是”）的函数； （2）上表中的___________；___________； （3）根据表中的数据，求与的关系式． 【答案】（1）是 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据函数的定义判断即可得解； （2）由表格可得，每跑步，跑步的路程增加，由此计算即可得解； （3）利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可得，在这个变化过程中，是的函数； 【小问2详解】 解：由表格可得，每跑步，跑步的路程增加， 故，， 【小问3详解】 解：设与的关系式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴与的关系式为． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点在小正方形的顶点处，点的坐标分别为． （1）请在网格中建立符合题意的平面直角坐标系，点的坐标为___________； （2）平移点得到点，若点与点关于轴对称，直接写出一种平移方式； （3）在（2）的条件下，为直线上的点，则点到轴的距离为___________． 【答案】（1）建立平面直角坐标系见解析， （2）将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，点的平移，点关于坐标轴对称，点到坐标轴的距离；掌握点的平移规律，点关于坐标轴对称规律及点到坐标轴的距离求法是解题的关键． （1）根据的坐标分别为确定平面直角坐标系，写出的坐标，即可求解； （2）根据点与点关于轴对称得，由点的平移规律写出平移方式，即可求解； （3）由直线轴得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，建立平面直角坐标系如下： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：点与点关于轴对称， ， 将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到；（答案不唯一） 【小问3详解】 解：由（2）得直线轴， ，为直线上的点， ， 点到轴的距离为， 故答案为：． 19. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，． （1）的度数为___________度；平行四边形的周长为___________； （2）求的长； （3）在图中，利用尺规作矩形（点在的下方，不写画法，保留作图痕迹）. 【答案】（1）， （2） （3） 矩形即为所求： ， 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平行四边形的性质求解即可； （2）根据平行四边形的性质结合勾股定理计算即可得解； （3）以点为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线与，连接，矩形即为所求． 【小问1详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴平行四边形的周长为； 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：以点为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于，连接， 由画法可知：， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 20. 科技改变未来，某校为学生安排科技讲座，为了解学生的意向，就讲座主题进行抽样调查（每名学生必须选择一个），并根据调查结果绘制了如图1所示不完整的统计图． （1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； （2）扇形统计图中的___________度； （3）学校有600名学生参加本次活动，估计选择聆听B讲座的学生人数． 【答案】（1）人，补全条形统计图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求扇形统计图圆心角度数，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用主题A的人数除以所占的百分比即可得出本次调查所抽取的学生人数，再求出主题C的人数，即可补全条形统计图； （2）用乘以主题D的人数所占的比例即可得解； （3）用乘以选择聆听B讲座的学生人数所占的比例即可得解． 【小问1详解】 解：本次调查所抽取的学生人数为：（人）， 故主题C的人数为：（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：， 故扇形统计图中的度； 【小问3详解】 解：（人）， 故学校有600名学生参加本次活动，估计选择聆听B讲座的学生人数为人． 21. 数学活动课上，探究小组的同学利用直角三角形画菱形． ①如图，作，其中； ②分别延长至点，使；延长至点，使； ③连接，，，形成四边形． （1）对四边形为菱形进行说理； （2）当的直角边，满足条件___________时，四边形为正方形； （3）若，分别为，的中点，，，求两条对角线，的长度和． 【答案】（1）见解析 （2）当的直角边，满足条件时，四边形为正方形 （3） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定定理、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由对角线互相平分的四边形为平行四边形得出四边形为平行四边形，再结合，得出，即可得证； （2）根据对角线相等的菱形是正方形即可得解； （3）先证明为等边三角形，为的中位线，得出，再由菱形的性质并结合勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：当的直角边，满足条件时，四边形为正方形，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； ∵，，， ∴， ∴四边形为正方形； 【小问3详解】 解：由（1）可得，四边形为菱形， ∵，四边形为菱形， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∵，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴两条对角线，的长度和为． 22. 项目化学习：大名草编手工艺是大名县卫河以东地区的传统手工艺品，多表现花鸟虫鱼等，有实用价值和艺术价值．某学习小组以“大名草编利润”为主题开展项目化学习． 市场调查：小组成员了解到，某草编产品每个售价为20元，销售收入（元）与销售量（个）成正比例关系，投入的成本（元）（人工、物流、材料等）与销售量（个）的函数图象如图所示． 模型建立：（1）求与的函数关系式； 解决问题：（2）求利润（元）（利润销售收入成本）与销售量（个）之间的函数关系式，并在图2中画出函数所对应的图象； （3）当与相差不超过100时，则称该草编产品实现微利润，直接写出此时销售量的取值范围． 【答案】（1）； （2）， 画出函数图象如图所示： ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、画函数图象、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，，再根据利润销售收入成本即可得出利润（元）与销售量（个）之间的函数关系式，再结合一次函数的性质画出函数图象即可； （3）由题意可得，求解即可． 【详解】解：（1）设， 将，代入函数可得， 解得：， ∴； （2）由题意可得，， ∴，即， 当时，，当时，，解得， （3）∵与相差不超过100， ∴， ∴， 解得：， ∴此时销售量的取值范围为． 23. 如图，，，在四边形中，，于点，于点，且，． （1）的长为___________； （2）动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿向终点运动，设运动的时间为秒． ①如图，连接，，，当时，写出与之间的数量关系，并说明理由； ②如图，连接，当平分时，过点作，交于点，求四边形的周长（用含的式子表示）； ③如图，若点开始运动的同时动点从点出发，以3个单位长度/秒的速度沿向终点运动，当，中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．线段将四边形分为两部分，直接写出为何值时，所分成的两部分中存在平行四边形． 【答案】（1） （2）①， 理由如下： 由（1）可得四边形为矩形， ∴， ∵动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿向终点运动，设运动的时间为秒， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； ②； ③为或时，所分成的两部分中存在平行四边形 【解析】 【分析】（1）先证明出四边形为矩形，得出，再由计算即可得解； （2）①由（1）可得四边形为矩形，由矩形的性质可得，再证明四边形为平行四边形，得出，即可得解；②证明出四边形为菱形，由题意可得，再结合菱形的性质即可得解；③由题意可得，，由（1）可得，，表示出，求出当时，，再分两种情况：当时，四边形为平行四边形；当时，四边形为平行四边形，分别利用平行四边形的性质列出一元一次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：∵，于点，于点， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：① 略 ②∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿向终点运动，设运动的时间为秒， ∴， ∴四边形的周长为； ③点开始运动的同时动点从点出发，以3个单位长度/秒的速度沿向终点运动，动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿向终点运动，设运动的时间为秒， ∴，， 由（1）可得：，， ∴点运动的时间为秒，点运动的时间为秒，， ∴， ∵线段将四边形分为两部分，所分成的两部分中存在平行四边形， ∴当时，， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形，此时， 解得：； 当时，四边形为平行四边形，此时， 解得：； 综上所述，为或时，所分成的两部分中存在平行四边形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 24. 如图，，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点，直线与轴交于点． （1）的值为___________；关于，的方程组的解为___________； （2）求直线的函数表达式； （3）过点作轴，交于点，将线段先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度（，均大于0），得到线段，且保证点的对应点始终在直线上． ①直接写出关于的函数解析式； ②过点作轴的垂线，分别交，于点，，当是线段的中点时，求的值； ③如图，当点与点重合时，从点射出的激光射向位于轴正半轴上的镜面（在的右侧），经过反射后恰好覆盖线段上（不包括端点）的2个整点（横、纵坐标都为整数的点），直接写出此时的最小值． 【答案】（1）， （2） （3）①；②；③的最小值为 【解析】 【分析】（1）将代入直线可得，从而得出，再结合题意即可得出关于，的方程组的解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）①先求出，再根据坐标的平移法则可得，，最后将点的坐标代入直线的解析式计算即可得解；②由①可得，，再求出，，由是线段的中点，得出，计算即可得解；③求出，得出，从而可得点关于轴对称的点的坐标为，求出线段上（不包括端点）的整数点有，，，分别利用待定系数法求出反射后的直线的解析式为或或，由题意可得经过反射后经过的两个整点为上相邻的两个整点，再分两种情况，分别求解即可得解． 【小问1详解】 解：将代入直线可得：，即， ∴， ∵直线与直线交于点， ∴关于，的方程组的解为； 【小问2详解】 解：将，代入直线可得， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：①∵轴， ∴在直线中，当时，，解得， ∴， ∵将线段先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度（，均大于0），得到线段， ∴，， ∵点的对应点始终在直线上， ∴， ∴； ②由①可得：，， ∵过点作轴的垂线，分别交，于点，， ∴在中，当时，，即， 在中，当时，，即， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得：； ③∵直线与轴交于点， ∴在中，当时，，即， ∵点与点重合， ∴， ∴点关于轴对称的点的坐标为， ∵在中，当时，，当时，，当时，， ∴线段上（不包括端点）的整数点有，，， 设反射后的直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， 此时反射后的直线的解析式为，当时，，解得， 将，代入解析式可得， 解得：， 此时反射后的直线的解析式为，当时，，解得， 将，代入解析式可得， 解得：， 此时反射后的直线的解析式为，当时，，解得， ∵从点射出的激光射向位于轴正半轴上的镜面（在的右侧），经过反射后恰好覆盖线段上（不包括端点）的2个整点（横、纵坐标都为整数的点）， ∴经过反射后经过的两个整点为上相邻的两个整点， ∴当经过反射后恰好经过，时，此时， 当经过反射后恰好经过，时，此时， ∵， ∴此时的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，坐标的平移，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $