精品解析：四川省内江市第六中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

内江六中2025—2026学年（上）高2026届入学考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：郑何伟 审题人：王国琳 郭钰洁 第Ⅰ卷 选择题（满分58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，B＝，则＝( ) A. B. C. D. 2. “”是“函数在区间上单调递减”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数等于（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 5. 已知公比为正数的等比数列前n项和为，且，，则（ ） A. 或 B. C. D. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数，满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 袋子里有大小和形状完全相同的5个小球，其中红球2个，蓝球3个，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出蓝球”为事件，“第二次摸出红球”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 摸球两次，恰有一个是红球的概率为 10. 若，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（ ）. A. 的图象关于直线对称 B. 是以4为周期的周期函数 C. 的图象关于点对称 D. 第Ⅱ卷 非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 甲、乙等个人排成一列，则甲不在排头的排法种数是______． 13. 已知为奇函数，则____________. 14. 已知函数，则的最大值是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知是公差为的等差数列，其前项和是，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； 16. 为了解高中学生数学成绩与物理成绩的关联性，现从某高中学校抽取100人，得到如下信息：数学成绩与物理成绩都优秀的有10人，都不优秀的有65人. （1）依据上述信息完善下列列联表，并根据小概率的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联； 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 20 不优秀 合计 100 （2）从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，若从这6人中随机抽2人、记为物理成绩优秀的学生人数，求的分布列及数学期望. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复． （1）求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①求； ②当时，恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，若存在，使得．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中2025—2026学年（上）高2026届入学考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：郑何伟 审题人：王国琳 郭钰洁 第Ⅰ卷 选择题（满分58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，B＝，则＝( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集概念即可计算. 【详解】∵，B＝，∴＝. 故选：A﹒ 2. “”是“函数在区间上单调递减”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果. 【详解】充分性：当时，， 易知函数在区间上单调递减． 必要性：若在区间上单调递减， 则需，即， 故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件． 故选：A. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式结合对数函数性质可得定义域. 【详解】由题可得：.因在上单调递增， 则. 所以函数的定义域为． 故选：B． 4. 在的展开式中，的系数等于（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】应用二项式定理写出展开式的通项，进而求的系数. 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 令，则，即的系数等于24. 故选：D 5. 已知公比为正数的等比数列前n项和为，且，，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q，利用等比数列求和公式列出方程组，解出即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，且， 所以，解得， 所以. 故选：C. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【详解】由可得：. 则 . 故选：C 7. 已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为，可判断A；因为可求出，由方差和标准差的性质，可判断B、C、D. 【详解】因为随机变量，满足，且，所以 对于A，，所以A不正确； 对于B，，， ，所以B不正确； 对于C，，， ，所以C不正确； 根据, 由, 则，， 故选：D. 8. 已知正实数，满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将已知变形为,然后再运用基本不等式得到,利用导数求证再用取得等号时的条件可得，即可求解. 【详解】由题设可得 (当且仅当时取等号), 即,由于，均为正实数，即， 设， 则当时，在单调递减，当时，在单调递增，故当， 故当且仅当时取等号， 因此，故，则， 故，解得,所以, 故选：C. 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 袋子里有大小和形状完全相同的5个小球，其中红球2个，蓝球3个，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出蓝球”为事件，“第二次摸出红球”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 摸球两次，恰有一个是红球的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式、条件概率公式、互斥事件的加法公式计算可得答案, 【详解】依题意可得，故A正确； ，故B不正确； 所以，故C正确； 第一次摸出蓝球，第二次摸出红球的概率为， 第一次摸出红球，第二次摸出蓝球的概率为， 所以摸球两次，恰有一个是红球为事件，故D不正确. 故选：AC 10. 若，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用基本不等式、换元法逐一判断即可. 【详解】因为，所以有. A：因为，， 所以，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； B：因为，， 所以有，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； C：因为，，所以 ， 即，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，故本选项结论不正确； D：令，所以且， 于是， ， 即，当且仅当时取等号，即时取等号， 因此，即时取等号，所以本选项结论正确， 故选：ABD 11. 已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（ ）. A. 的图象关于直线对称 B. 是以4为周期的周期函数 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知可判断是偶函数，是奇函数.由及是奇函数，可得，判断C对；由C及是偶函数可判断的周期为4，进而求和判断D错；由，可判断关于对称，A错；由，及是奇函数，可得，B对. 【详解】对于C，由①，得， 因为，所以，故②， ①＋②，得，所以的图象关于点对称， 且，故C正确； 对于D，因为关于对称，所以关于对称，所以偶函数， 所以， 所以， 故，所以的周期为4， 在中，令，得， 所以， 结合的周期性得，，， 所以，故D错误； 对于A，①－②，得， 所以， 所以的图象关于对称，而不是关于直线对称，故A错误； 对于B，由得， 因为是奇函数，所以， 所以是以4为周期的周期函数，故B正确. 故选：BC. 第Ⅱ卷 非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 甲、乙等个人排成一列，则甲不在排头的排法种数是______． 【答案】96 【解析】 【分析】先排排头，再排剩余四个位置. 【详解】先排排头，有种不同的排法， 然后安排剩余四个位置，包含甲在内的其余四人有种不同的排法， 根据分步乘法计数原理，则共有种不同的排法． 故答案为：. 13. 已知为奇函数，则____________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性即可直接求出参数. 【详解】由题意得，且函数的定义域为R， 所以， 整理，得，即， 解得， 经检验，符合题意. 故答案为：. 14. 已知函数，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知函数的周期为，考虑在，内的最大值即可；计算，利用求得极值点，再求在，内的最值． 【详解】由题意知函数的周期为， 只需考虑在，内的最大值即可； 计算， 令，得， 即， 解得或， 所以在，时，有，或； 所以的最大值只能在、或和边界点处取到， 计算，，，； 所以的最大值是． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角函数最值的应用问题，也考查了利用导数求函数单调性与极值的应用问题，是中档题． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知是公差为的等差数列，其前项和是，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题设有求、，写出的通项公式； （2）应用裂项相消法，求的前项和即可. 【详解】（1）由题意，，解得， ∴. （2）由， ∴. 16. 为了解高中学生数学成绩与物理成绩的关联性，现从某高中学校抽取100人，得到如下信息：数学成绩与物理成绩都优秀的有10人，都不优秀的有65人. （1）依据上述信息完善下列列联表，并根据小概率的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联； 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 20 不优秀 合计 100 （2）从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，若从这6人中随机抽2人、记为物理成绩优秀的学生人数，求的分布列及数学期望. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，根据小概率的独立性检验，认为数学成绩与物理成绩有关联； （2）分布列： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）由题意直接填写列联表即可，先进性零假设，接着计算卡方值即可根据小概率的独立性检验思想下结论； （2）求出随机变量的取值及其相应概率结合数学期望公式即可求解. 【小问1详解】 由题可得列联表如下： 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 10 20 30 不优秀 5 65 70 合计 15 85 100 零假设数学成绩与物理成绩无关联， 由表格得， 所以根据小概率的独立性检验，没有充分依据推断成立，即推断不成立， 所以根据小概率的独立性检验，认为数学成绩与物理成绩有关联. 【小问2详解】 由（1）可得从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人， 则物理成绩优秀的学生有2人，物理成绩不优秀的有4人， 所以若从这6人中随机抽2人则的取值有， 且， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望. 17. 已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性和条件，列出方程组，求解即得函数解析式； （2）将（1）中结论代入不等式，化简后，设，将问题转化成不等式在上恒成立，只需求出在上的最小值即得. 【小问1详解】 由题意，， 由①，可得 ，②， 联立①和②，解得，，； 【小问2详解】 由，将（1）结论代入可得，（*）， 设，则，因时，是增函数，故得， 此时（*）为，即， 依题意，不等式在上恒成立. 而函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即时，取得最小值为4， 故，即. 【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数不等式在给定区间上的恒成立问题，属于难题.解题思路是，先利用函数的奇偶性联立方程组求出解析式，再将不等式化简后进行换元并变量分离，从而将其转化成不等式在上恒成立问题，即只需求得的最小值即可. 18. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复． （1）求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①求； ②当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据古典概型计算公式可得结果； （2）①利用全概率公式计算可得，再由等比数列定义计算可得；②结合通项公式以及数列单调性可得，即求得的取值范围. 【小问1详解】 设为“第4天中午选择米饭套餐”， 根据每天与前一天选择不一样的套餐，且第一天选择米饭套餐，接下来的三天中每天都只有两种选择， 因此样本空间包含个样本点， 若第一天选择米饭套餐，第4天选择米饭套餐，则第二天有两种选择，第三天的和前后两天都不能相同，仅有一种选择， 即事件中包含个样本点， 所以， 所以第4天中午选择米饭套餐的概率 【小问2详解】 ①设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择面食套餐”，为“第天选择西餐套餐” 根据题意，，，， 由全概率公式得： ， ∴， 因为 ∴ 因此，因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以 ②由①可得， 当为大于1的奇数时， 当为正偶数时， 因此，当时，，所以． 19. 已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，若存在，使得．证明：． 【答案】（1） （2） （3） 由函数， 可得， 设，由， 可得， 则， 又由，可得， ∴函数为单调递增函数， ∴，即， ∴， 由（2）知，当时，，， ∴， 即， ∴， 代入可得： ， 则， ∴， 又因为时，， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）对求导，再结合导数的几何意义求切线方程即可； （2）方法一：构造函数，结合导数分和两种情况进行讨论即可求得k的范围； 方法二：构造函数，只需在时恒成立即可 又，且所以要使当时，，必须满足，即，再根据这个结论进行验证即可； 方法三：利用参变分离的方法，构造函数，，最后需要结合洛必达法则求解； （3）由，可得，利用函数为单调递增函数，可得，所以，结合（2）得，代入化简得，又因为时，所以得. 【小问1详解】 当时，， ∴ 又∴ ∴切线方程为； 【小问2详解】 方法一： 设 只需在时恒成立即可 又，且 所以要使当时，， 必须满足，即． 下面证明时满足题意： ①当时，由，， 令， 由（1）知，在上单调递增， 所以， 所以当时，，即； ②当时，， 令，，则， 所以在上单调递增， 又，当时，， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时，， 所以当时，不恒成立． 综上所述，实数的取值范围是． 方法二： 设， 则， 令，则， 当时，， ，在上单调递增， 即在上单调递增， 所以所以在上单调递增， 所以， 所以符合题意； 当时，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即在上恒成立， 所以， 所以符合题意； 当时，在上恒成立， 在上单调递增， 即在上单调递增，又因为 当时，， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时， 综上所述，实数的取值范围是． 方法三：参变分离得： 令，， ∵，∴ ∴在区间上单调递减 ∴ ∴ ∴在区间上单调递减 ∴ ∴ ∴在区间上单调递减 ∴ 由洛必达法则可得： 综上所述，实数的取值范围是． 【小问3详解】 略 【点睛】利用导数解决函数中的恒成立问题，常用以下两种方法： ①参变分离法：参变分离法是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边，从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离； ②含参讨论法：含参讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $