精品解析：四川省成都市龙泉驿区2024-2025学年下学期七年级期末数学试题

2024-2025学年四川省成都市龙泉驿区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下是某些运动会会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，，则下列结论一定成立是（ ） A. B. C. D. 5. 在“爱成都•迎大运”手抄小报的活动中，小华立即开始办小报，抄了一段时间后因事暂停，过了一小会儿，小华继续抄写并加快了抄写速度，直至抄写完成，设从抄写文字开始所经过的时间为x，抄写字数为y，下面能反映y与x之间的关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（    ） A. B. C. D. 7. 如图，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法合理的是（    ） A. 小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是 B. 某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票一定会有5张中奖 C. 某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是 D. 小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 已知a＋b＝5，ab＝6，则a2＋b2＝_____． 10. 已知三角形的两边长分别是和，如果第三边长为（x是整数），则三角形周长最大为__________． 11. 如图，已知长方形菜园一边靠墙，另外三边是用长为24米的篱笆围成，设米，米，则y与x之间的关系式为______． 12. 将一张长方形纸条按如图所示折叠，若，则的度数是______． 13. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______． 14. 若与的乘积中不含的二次项，则实数的值为______． 15. 把两个相同的含有角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是与的交点，，若，则______用含m的式子表示 16. 如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为______ 17. 如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______结果保留 18. 任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是______；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点） （1）画出关于直线l对称的； （2）面积=______； （3）请在图中l上画出点P，使和最小． 22. 尺规作图：已知，求作： （1）的角平分线；保留作图痕迹，不写作法 （2）的中线；保留作图痕迹，不写作法 （3）的高线保留作图痕迹，不写作法 23. 如图，交于点H，连． （1）求证：； （2）求；（用含α的式子表示） （3）求证：平分． 24. 学校组织郊外活动，两个课外兴趣小组匀速步行向目的地前进，第一组比第二组早出发一段时间，两组之间的距离单位：和第一组出发后的时间单位：之间的关系如图所示． （1）请解释A点和B点的实际含义； （2）请求出第一小组和第二小组的步行速度； （3）请求出第一小组出发多久后第二小组到达目的地． 25. 数学课堂上，同学们正在探索一个有趣的数学问题：如图1，点P是等边内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与的周长的关系，记，的周长．（含角的直角三角形中角所对的边等于斜边的一半） （1）从特殊情形入手： ①若点P在的顶点B处，此时点D、F与点B重合，如图2，此时l与c有什么数量关系呢？小明提出了他的解法： 等边， 不妨设， ______（用含m的式子表示） 的周长=______（用含m的式子表示） 此时l与c的数量关系为______． ②若点P在的一条边BC上，如图3，此时①中的结论还成立吗？请说明理由． （2）回到一般情形，若点P不在的边界上，如图4，此时①中的结论还成立吗？请你借助特殊情形下获得的结论和方法解决这个问题，请写出解决过程． 26. 如图1，等边边长为8，点D是直线上异于A，B的一动点，连接，以为边长，在左侧作等边，连接． （1）求证：； （2）当点D在线段上运动时，面积是否存在最大值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； （3）如图2，当点D在直线上运动时，直线与直线交于点F，能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省成都市龙泉驿区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下是某些运动会会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形定义判定即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形的概念．解题关键是熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折，直线 两旁的部分能够完全正确重合的图形，叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘除法则，幂的乘方与合并同类项，分别对各个选项进行计算即可． 【详解】解：A选项，，不符合题意； B选项，，不符合题意； C选项，，符合题意； D选项，，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是同底数幂相乘除、幂的乘方与合并同类项法则，正确掌握相关法则是解题的关键． 3. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7． 【详解】解：0.0000003 故选A 【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 4. 如图，在四边形中，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据内错角相等，两直线平行即可解答． 【详解】解：∵， ∴ (内错角相等，两直线平行)． 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理、平行线的概念等知识点，根据图形找到被截的两直线是解答本题的关键． 5. 在“爱成都•迎大运”手抄小报的活动中，小华立即开始办小报，抄了一段时间后因事暂停，过了一小会儿，小华继续抄写并加快了抄写速度，直至抄写完成，设从抄写文字开始所经过的时间为x，抄写字数为y，下面能反映y与x之间的关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据小华开始办小报，抄写字数随着时间增加而增加，变化慢，抄了一段时间后因事暂停，字数不变，继续抄写并加快了抄写速度，字数增加，变化快，可得答案． 【详解】解：A、暂停后继续抄写并加快了抄写速度，字数增加，变化快，而不是字数减小，故此选项不符合题意； B、字数先增加慢再不变最后增加快，中间应有一段字数不变，故此选项不符合题意； C、开始字数增加的慢，暂停时字数不变，暂停后再抄写字数增加的快，中间应有一段字数不变，而不是变少，故此选项不符合题意； D、开始字数增加的慢，暂停时字数不变，暂停后再抄写字数增加的快，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象的判断，字数先增加的慢，再不变，最后增加的快是解题关键． 6. 如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（    ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用等式的性质可得，然后添加利用证明，即可解答． 【详解】解：添加后能用“”判定， 理由：， ， ， 在和中，， ． 故选：A． 7. 如图，线段是的高的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高的定义，根据三角形的高的定义分析判断即可得到答案，正确理解高的定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足所连线段叫做三角形的高是解题关键． 【详解】解： A、线段不是高，不符合题意； 、线段不是高，不符合题意； 、线段不是高，不符合题意； 、线段是高，符合题意； 故选：． 8. 下列说法合理的是（    ） A. 小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是 B. 某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票一定会有5张中奖 C. 某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是 D. 小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据概率的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是，是错误的，3次试验不能总结出概率，故A不符合题意； B、某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票不一定会有5张中奖，故B不符合题意； C、某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是，是错误的，“中靶”与“不中靶”不是等可能事件，故C不符合题意； D、小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是，故D符合题意； 故选：D． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 已知a＋b＝5，ab＝6，则a2＋b2＝_____． 【答案】13 【解析】 【分析】由题意利用完全平方和公式可得，进而整体代入a＋b＝5，ab＝6即可得出答案. 【详解】解：. 故答案为：13. 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握和利用完全平方和公式进行变形是解题的关键，注意整体思维的运用. 10. 已知三角形的两边长分别是和，如果第三边长为（x是整数），则三角形周长最大为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，求不等式组的整数解，根据题意得出的范围，进而根据是整数，求得最大整数解，即可求解． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是和，如果第三边长为 ∴ ∴ ∵是整数，则最大整数为， ∴三角形周长最大为为 故答案为：． 11. 如图，已知长方形菜园一边靠墙，另外三边是用长为24米的篱笆围成，设米，米，则y与x之间的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，找出题中的数量关系是解题关键． 根据菜园三边和为24米，可得到，变形即可得到y与x的关系式． 【详解】解：由题意可得，， 则有， 变形得： 故答案为： 12. 将一张长方形纸条按如图所示折叠，若，则的度数是______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查长方形中的翻折问题，解题的关键是掌握平行线的性质和翻折的性质． 由平行线的性质和可得，由折叠可得，再利用平角的定义即可求出的度数． 【详解】解：如图， 四边形是长方形， ， ， ， ， 由折叠可得， ， 故答案为：． 13. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 由题意得：, ∴，答：两堵木墙之间的距离为. 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 14. 若与的乘积中不含的二次项，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用多项式与多项式相乘，展开后合并同类项，再令含x的二次项系数为0，求解即可． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含的二次项， ∴， 解得：， ∴实数值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘积，熟练掌握多项式与多项式的乘法法则与合并同类项是解本题的关键． 15. 把两个相同的含有角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是与的交点，，若，则______用含m的式子表示 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，列代数式，关键是由角平分线的性质推出． 过M作于H，由角平分线的性质推出，于是得到． 【详解】解：过M作于H， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质推出． 由折叠的性质得到：，即可得到三个阴影部分的周长的和． 【详解】解：是边长为的等边三角形， ， 由折叠的性质得到：， 三个阴影部分的周长的和， 故答案为：． 17. 如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______结果保留 【答案】 【解析】 【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得答案． 本题主要考查了几何概率的知识，解题的关键是了解概率的求法，难度不大． 【详解】解：正方形的边长为2， 阴影部分的面积，正方形的面积为4， 随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 故答案为： 18. 任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是______；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为______． 【答案】 ①. 答案不唯一 ②. 961 【解析】 【分析】本题主要考查对题意的理解，解题的关键是围绕三位数按特定规则运算． 本题围绕三位数按特定规则运算展开，第一空需通过举例验证找出可能的重复输出结果；第二空要从最大三位数开始，依据运算规则，判断经过3次运算能输出结果的最大三位数． 【详解】解：第一空： 选取三位数100进行运算， ……1，不是3的倍数， 按照规则，计算其各位数之和：，再对和进行平方：， 后续若继续以1为下一个数运算，1不是3的倍数，各位数之和为1，平方后还是1，出现重复数， 最后输出的结果可能是答案不唯一，还可能是169等 第二空：从最大的三位数999开始依次验证 999：①999是3的倍数，根据规则，下一个数为，②333是3的倍数，下一个数为，③111是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 998：①998不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②676不是3的倍数，下一个数为，③361不是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 同理，运算次数都超过3次； 961：①961不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②256不是3的倍数，下一个数为，③169不是3的倍数，下一个数为，与第一次运算结果相同，输出结果；经过3次运算便输出结果，符合幸运数定义． 所以，最大的幸运数为961， 故答案为：1（答案不唯一）；961． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）2； （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）利用多项式乘多项式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握乘法公式是解题的关键．先根据完全平方公式，平方差公式计算括号内的，然后根据多项式除以单项式法则进行计算化简．再根据非负数的性质求出后代入计算即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴原式． 21. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点） （1）画出关于直线l对称的； （2）的面积=______； （3）请在图中l上画出点P，使的和最小． 【答案】（1）见解析 （2）6.5 （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的作图和利用网格求三角形面积等知识，正确作图是关键． （1）分别找到关于直线l对称的点，顺次连接即可； （2）利用包含三角形的最小长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可； （3）连接与直线l相交于点P，连接，则点P即为所求． 【小问1详解】 解；如图，即为所求； 【小问2详解】 解：的面积 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求． 22. 尺规作图：已知，求作： （1）的角平分线；保留作图痕迹，不写作法 （2）的中线；保留作图痕迹，不写作法 （3）的高线保留作图痕迹，不写作法 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）作线段的垂直平分线，交于点E，连接即可． （3）结合三角形的高的定义作图即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 23. 如图，交于点H，连． （1）求证：； （2）求；（用含α的式子表示） （3）求证：平分． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，三角形内角和定理， 对于（1），根据“边角边”即可证明； 对于（2），由，可得，进而求得答案； 对于（3），作，，根据，可得，进而得，最后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案. 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即， 在中， ， ∴； 【小问2详解】 解：设交于点O， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 证明：过点C作于M，于N， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 24. 学校组织郊外活动，两个课外兴趣小组匀速步行向目地前进，第一组比第二组早出发一段时间，两组之间的距离单位：和第一组出发后的时间单位：之间的关系如图所示． （1）请解释A点和B点的实际含义； （2）请求出第一小组和第二小组的步行速度； （3）请求出第一小组出发多久后第二小组到达目的地． 【答案】（1）A点的实际含义是第一组出发后第二组出发，此时两组相距；B点的实际含义是第一小组出发后到达目的地，此时两组相距 （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）分别根据A、B两点的坐标解释其实际含义即可； （2）根据速度=路程时间求出第一小组的步行速度，再根据两组的速度差求出第二小组的步行速度即可； （3）根据时间=路程速度求出第一小组到达目的地后第二小组还需要多久到达目的地，从而求出第一小组出发多久后第二小组到达目的地即可． 小问1详解】 解：点的实际含义是第一组出发后第二组出发，此时两组相距； B点的实际含义是第一小组出发后到达目的地，此时两组相距． 【小问2详解】 解：第一小组的步行速度为， 第二小组的步行速度为， 【小问3详解】 解：， 答：第一小组出发后第二小组到达目的地． 25. 数学课堂上，同学们正在探索一个有趣的数学问题：如图1，点P是等边内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与的周长的关系，记，的周长．（含角的直角三角形中角所对的边等于斜边的一半） （1）从特殊情形入手： ①若点P在的顶点B处，此时点D、F与点B重合，如图2，此时l与c有什么数量关系呢？小明提出了他的解法： 等边， 不妨设， ______（用含m的式子表示） 的周长=______（用含m的式子表示） 此时l与c的数量关系为______． ②若点P在的一条边BC上，如图3，此时①中的结论还成立吗？请说明理由． （2）回到一般情形，若点P不在的边界上，如图4，此时①中的结论还成立吗？请你借助特殊情形下获得的结论和方法解决这个问题，请写出解决过程． 【答案】（1）①，，；②成立，理由见解析； （2）①中的结论还成立．理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①由直角三角形的性质及三角形的周长可得出答案； ②由直角三角形的性质及三角形的周长可得出答案； （2）过点P作交，于I，H，作，证明，得出，由直角三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 解：①设 ， 的周长， 此时l与c的数量关系为 故答案为：，，； ②成立． 理由：等边， ， 不妨设， ， ， 的周长， 此时l与c的数量关系为 【小问2详解】 解：①中的结论还成立． 理由：过点P作交，于I，H， 作， ， ， ， ， 等边， ， 不妨设， ， ， ， 的周长 此时l与c的数量关系为 26. 如图1，等边的边长为8，点D是直线上异于A，B的一动点，连接，以为边长，在左侧作等边，连接． （1）求证：； （2）当点D在线段上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； （3）如图2，当点D在直线上运动时，直线与直线交于点F，能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）的面积存在最大值，； （3）能，的值为4或16 【解析】 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）利用等边三角形证明，由可证明； （2）证明，要使最大，则需要最小，则可得出答案； （3）分两种情况，①当时，②当时，由直角三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ； 【小问2详解】 解：的面积存在最大值， 由（1）得， ， 又， ， 若最大，则需要最小， 当时，CD的长最小，最小， ； 【小问3详解】 解：当点D在直线上运动时，能形成直角三角形，分两种情况， ①当时，如图， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图， ， ， ， ， ． 综上，当点D在直线上运动时，能形成直角三角形，的值为4或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $