精品解析：内蒙古全国名校联盟2026届高三上学期联合开学摸底考试数学试题

全国名校联盟2026届高三联合开学摸底考试 数学试题 2025.8 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上和本试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则先求出复数z，再根据模的计算公式计算即可. 【详解】因为，所以， 即， 所以. 故选：C 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程求得集合，利用交集的意义求解即可. 【详解】由，可得，解得或或， 所以，又，所以. 故选：B. 3. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算计算即可. 【详解】因为，所以 则． 故选：B. 4. 若函数是奇函数，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合指数运算即可求解. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 则，即，故，解得， 故选：C 5. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 18 B. 32 C. 42 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由条件结合等比数列通项公式可求，再根据关系求，由此可求结论. 【详解】设等比数列的公比为，则， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 故选：C 6. 已知，均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式及和差的余弦公式求解. 【详解】由为锐角，，得，解得， 由为锐角，得，而，则， 所以. 故选：B 7. 已知圆台的上、下底面圆周都在半径为2的球面上，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知圆台下底面为球的大圆，其圆心即为球心。根据球的截面性质可求出球心到上底面的距离，该距离即为圆台的高，再根据圆台的体积公式计算即可. 【详解】因为圆台下底面半径和球的半径均为2，所以圆台的下底面过球心， 下图为圆台外接球的轴截面，如图所示， 设球心为，圆台上底面圆心为，上底面半径为， 圆台下底面半径和球的半径为，圆台的高. 则由球的截面性质可知， 所以圆台的体积为. 故选：A 8. 设函数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性及解析式可得，结合对应幂函数的单调性及奇函数的对称性得在R上为增函数，则恒成立，即可求范围. 【详解】∵，且定义域为R， ∴是奇函数，故等价于. ∵，则 ∴， 当时，，易知在上单调递增， 结合奇函数对称性，知在R上为增函数，故恒成立， ∴，得. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 84 72 80 68 76 则下列结论正确的是（ ） A. 这5位同学成绩的中位数是80 B. 这5位同学成绩的平均数是76 C. 这5位同学成绩的极差为16 D. 这5位同学成绩的第75百分位数是80 【答案】BCD 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，再根据中位数，平均数，极差和百分位数的定义进行求解，得到答案. 【详解】A选项，这5位同学成绩从小到大排列为68，72，76，80，84， 显然中位数为76，A错误； B选项，这5位同学成绩的平均数为，B正确； C选项，这5位同学成绩的极差为，C正确； D选项，，故选取第4个数为第75百分位数，即80，D正确. 故选：BCD 10. 设函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 和有相同的值域 B. 和有相同的最小正周期 C. 的零点都是的极值点 D. 的零点都是的极值点 【答案】AC 【解析】 【分析】分别分析和的值域、最小正周期、零点和极值点，即可进行判断，其中，在对进行分析时，可用诱导公式进行变换. 【详解】对于A，的值域为，的值域为，选项A正确； 对于B，的最小正周期，的最小正周期，选项B错误； 对于C，令，解得，的极值点为， 的零点都是的极值点，选项C正确； 对于D，的极值点为， 令，解得，， 的零点不是的极值点，选项D错误. 故选：AC. 11. 设抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A，B两点，D在准线上，且，则下列结论正确的是（ ） A. l的方程为 B. 以AB为直径的圆与y轴相切 C. 设A在l上的射影为H，则 D. 直线AD与C有且仅有一个交点 【答案】CD 【解析】 【分析】A根据抛物线方程确定准线即可判断；B应用中点坐标公式及抛物线定义得，即可判断；C应用抛物线定义及三角形全等的判定判断；D设，，根据已知写出直线DF，求出点，再应用两点式求的斜率，结合导数几何意义判断是否为切线判断. 【详解】A：由C的方程知抛物线的焦准距为，故l的方程为，故A错误； B：设M为AB中点，则， 故圆M与y轴相交，故B错误； C：由，，知，故C正确； D：不妨设，，则直线AF为，故直线DF为， ∴，直线AD的斜率为，而， ∴直线AD与C相切，故D正确. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某等差数列的前5项和为35，前13项和为39，则该数列的公差为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设该等差数列为，其首项为，公差为，由条件结合等差数列通项公式列方程，解方程可得结论. 【详解】设该等差数列为，其首项为，公差为， 由已知可得， 所以，所以， 故答案为：. 13. 正四棱锥的侧面是正三角形，则它的侧面与底面所成二面角的正弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，为对角线的交点，为的中点，说明，则即为侧面与底面所成角的平面角，解即可得解. 【详解】正四棱锥的四个侧面与底面所成角相等， 如图所示，正四棱锥中，为对角线的交点，为的中点， 则底面，， 则， 则即为侧面与底面所成角的平面角， 因为正四棱锥的侧面是正三角形，所以该棱锥的侧棱与底面边长相等，设棱锥的棱长为， 则， 在中，， 即正四棱锥的侧面与底面所成角的正弦值为. 故答案为：. 14. 已知椭圆C：（）的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】已知直线QM的斜率为，P，Q为C上关于原点对称的两点,直线PF交椭圆C于另一点M，不妨计算直线的斜率，利用斜率乘积为定值，得到直线的斜率.即直线的斜率.再根据椭圆的定义列出关于的方程，求得椭圆的离心率. 【详解】不妨设，，， 由可知，直线、斜率均存在且不为0， ∵， 且， ∴，∴直线的倾斜角为, ∴， 设为C的左焦点，连接， 根据椭圆的对称性得：,则， ∵,∴，， 由椭圆的定义得：， ∴C的离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的周长为9，面积为，求a. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简得解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及余弦定理列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 则， 因此，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）及已知得，解得， 由，得， 由余弦定理得，则， 所以. 16. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若在上单调递增，求a的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）根据导函数与函数单调性的关系，求出函数导数，根据基本初等函数性质，判断导函数的单调性和零点，确定函数单调区间. （2）根据函数单调性，判断导函数的性质，根据函数导数单调性，对参数进行分类讨论，求出结果即可. 【小问1详解】 当时，，则， 易知在上单调递增，且， ∴当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 综上：在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由，得 令，则， 易知在上单调递增， 当时，， ∴在上单调递增， ∴，即， ∴在上单调递增，符合题意； 当时，令，得. 在上，，在上单调递减， 则，则在上单调递减，不符合题意， 综上所述，a的取值范围为. 17. 如图，在矩形中，，，，将沿翻折得到四棱锥，且二面角为直二面角. （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质以及线面垂直的性质可得，再由相似的性质可得，最后由线面垂直的判定定理可证； （2）解法一：设交于F点，连接，利用线面垂直的性质易得所求为，分析几何关系利用三角函数易得结果；解法二：以E为坐标原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法求解. 【小问1详解】 ∵，平面平面， 又二面角为直二面角，则平面平面， ∴平面， ∵平面， ∴， ∵，，，则，，， 则， 由勾股定理得， ∵平面，平面，， ∴平面. 【小问2详解】 解法一：设交于F点，连接， 由（1）得平面， 平面， ， ∵平面， ∴，， 设平面与平面夹角为，则， ∵，，，， ∴， ∴， ∴二面角的正切值为. 解法二：由（1）知， 以E为坐标原点，的方向为x轴正方向建立如图所示空间直角坐标系. 由题设及（1）得，，，，， 平面的一个法向量为， ，， 设平面的一个法向量为， 由得，令，得， 设二面角的大小为，则， ∴二面角的正弦值为， ∴二面角的正切值为. 18. 已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上. （1）求C的方程； （2）已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：. 【答案】（1）； （2） 设，，则直线AB方程为， 由，消去得， 由直线AB交C于D，E两点，得， 解得，且，且，， 当时，在A的异侧，在B的同侧；当时，在A的同侧，在B的异侧， 则总有， ， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求出，即可得出C的方程. （2）根据四点共线，要证，即证，设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算得证. 【小问1详解】 由双曲线的一个焦点为，得， 由点在双曲线上，得，解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 19. 在整数1，2，…，n（）中随机取出k（）个数，记其中两数恰为相邻整数的组数为.例如，取出的数为1，2，4，5时，；取出的数为1，3，8时，；取出的数为5，6，7，8时，. （1）求的分布列和数学期望； （2）（ⅰ）求； （ⅱ）已知：对随机变量，，…，，有，求. 【答案】（1）分布列见解析， （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求出的可能取值及相对应的概率可得分布列，再求期望； （2）（ⅰ）求出的可能取值及相对应的概率可得分布列，再求期望；（ⅱ）定义随机变量，，当m和同时被选中时，则求出，再由可得答案. 【小问1详解】 当，时，的可能取值为0，1，2， ，，， ∴的分布列为 0 1 2 P ； 【小问2详解】 （ⅰ）的可能取值为0，1，2， ，， ， ∴； （ⅱ）定义随机变量，，当m和同时被选中时，， 否则.则，从而， ∵当且仅当所选的k个数中包含m和， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 全国名校联盟2026届高三联合开学摸底考试 数学试题 2025.8 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上和本试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数是奇函数，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 3 5. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 18 B. 32 C. 42 D. 50 6. 已知，均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上、下底面圆周都在半径为2的球面上，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 84 72 80 68 76 则下列结论正确的是（ ） A. 这5位同学成绩的中位数是80 B. 这5位同学成绩的平均数是76 C. 这5位同学成绩的极差为16 D. 这5位同学成绩的第75百分位数是80 10. 设函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 和有相同的值域 B. 和有相同的最小正周期 C. 的零点都是的极值点 D. 的零点都是的极值点 11. 设抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A，B两点，D在准线上，且，则下列结论正确的是（ ） A. l的方程为 B. 以AB为直径的圆与y轴相切 C. 设A在l上的射影为H，则 D. 直线AD与C有且仅有一个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某等差数列的前5项和为35，前13项和为39，则该数列的公差为__________. 13. 正四棱锥的侧面是正三角形，则它的侧面与底面所成二面角的正弦值为________． 14. 已知椭圆C：（）的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的周长为9，面积为，求a. 16. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若在上单调递增，求a的取值范围. 17. 如图，在矩形中，，，，将沿翻折得到四棱锥，且二面角为直二面角. （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值. 18. 已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上. （1）求C的方程； （2）已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：. 19. 在整数1，2，…，n（）中随机取出k（）个数，记其中两数恰为相邻整数的组数为.例如，取出的数为1，2，4，5时，；取出的数为1，3，8时，；取出的数为5，6，7，8时，. （1）求的分布列和数学期望； （2）（ⅰ）求； （ⅱ）已知：对随机变量，，…，，有，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $