精品解析：四川省绵阳市游仙区2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025-2026学年度九年级（上）开学测试试卷 （数学） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列选项中，菱形不具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角 2. 若存在，则可化简为（ ） A. B. C. D. 3. 现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，若去掉一个数后，这列数的中位数仍不变，则的值可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，10 C. ，3，5 D. 5，12，12 5. 如图，已知矩形的对角线的长为，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为（ ）． A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 6. 如图，某地用图像记录了2月份某天24小时的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图像，根据图中提供的信息，判断下列描述与图像不符合的是（ ） A. 16时的温度约为1°C B. 在-3°C以上的时间约为16小时 C. 温度是-1°C的时刻只有10时 D. 温度最低的时刻是4时 7. 已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（ ） A. B. C. D. 8. 某女子体操队5名队员的身高分别为，某男子体操队5名队员的身高分别为，则关于这两个队的队员身高，下列描述正确的是（ ） A. 平均数相同 B. 中位数相同 C. 众数相同 D. 方差相同 9. 如图，已知四边形是平行四边形，，，，点是上一动点，为的中点，连接，，当时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，11 C. 6，8，10 D. 7，12，14 11. 如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一点，将沿直线折叠，得到，连接，．若四边形是菱形，则的长为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 12. 如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，点P的坐标为，则点P到直线l的最短距离为______． 14. 点是直线上的两点，则________ (填或或) 15. 如图，在中，，，分别以为一边向外部作正方形，它们的面积分别为、，则的值为______． 16. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为___________． 17. 如果直线l是由直线向下平移得到，且直线l过点，那么直线l的函数表达式为______． 18. 如图，点E是正方形的边延长线一点，连接交于F，作，交的延长线于G，连接，当时，作于H，连接，则：①点F是的中点；②；③；④．其中正确的结论有__________． 三、解答题（共46分） 19. 计算： （1） （2） 20. 2025年，随着“体重管理年”三年行动的实施，“全民减重”“全民健康”“全民运动”备受关注，成为全年龄段关注热点．我校强调落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．为了解学生一周的课后运动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课后运动时间，将数据进行整理并制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）求图1中的________，本次调查数据的中位数是________，本次调查数据的众数是________； （2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课后运动时间是多少？ （3）若该校共有3000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课后运动时间不小于的人数． 21. 龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，位于洛阳市南郊伊河两岸的龙门山与香山上．为更好地提振文旅消费，该地管理部门推出了针对学生的门票优惠政策． 优惠方案一：每位学生在原价元的基础上全部八折收费． 优惠方案二：若学生人数不超过，每位学生在原价元的基础上全部按九折收费；若学生人数超过，其中名学生按照原价收费，剩余学生按五折收费． （1）分别写出这两个优惠方案实际收取的费用（单位：元）与参观的学生人数之间的函数解析式． （2）当学生人数超过时，试讨论选择哪种优惠方案较合算． 22. 如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF． （1）求证：CD＝EF； （2）猜想：△ABC的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由． 23. 已知四边形是一张矩形纸片，将四边形沿翻折，使点和点重合，点落在点处，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 24. 如图1，在边长为的正方形中，点、分别为，的动点，且，连接、交于点，连接． （1）求证：； （2）若点为中点时，求的长； （3）如图2，将正方形沿着折叠，使得点落在边的三等分点处，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级（上）开学测试试卷 （数学） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列选项中，菱形不具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是本题的关键．根据菱形的性质可判断． 【详解】解：∵菱形四边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角， ∴A、B、D选项不符合题意， ∵菱形的对角线不一定相等， ∴菱形不具有的性质是对角线相等， ∴选项C符合题意， 故选：C 2. 若存在，则可化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，，即，根据，作答即可． 【详解】解：由题意知，∵存在， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式，平方差公式是解题的关键． 3. 现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，若去掉一个数后，这列数的中位数仍不变，则的值可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数，熟悉中位数的定义是关键．本题把这列数按从小到大排列，第四个、第五个数均为4，要使中位数不变，去掉一个数后，数据由7个变为6个，则去掉的数只能是第一个，从而可确定答案． 【详解】解：按从小到大排列如下：3，3，3，4，4，5，6，第四个、第五个数均为4，去掉一个数x后，这列数的中位数仍不变，则去掉的数只能是第一个，故可能的数是3； 故选：A． 4. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，10 C. ，3，5 D. 5，12，12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形．据此逐一验证各选项即可． 【详解】解：选项A：2，3，4．最长边为4，计算得 ，而 ，故不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． 选项B：6，8，10．最长边为10，计算得 ，与 相等，故能组成直角三角形，故本选项符合题意． 选项C：，3，5．最长边为5，计算得 ，而 ，故本选项不符合题意． 选项D：5，12，12．最长边为12，计算得 ，而 ，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图，已知矩形的对角线的长为，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为（ ）． A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理易得四边形的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为10，那么就求得了各边长，让各边长相加即可． 【详解】解：连接，由矩形性质可知，， ∵、是与的中点， ∴是的中位线， ∴（cm）， 同理，， ∴四边形的周长为20cm. 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 6. 如图，某地用图像记录了2月份某天24小时的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图像，根据图中提供的信息，判断下列描述与图像不符合的是（ ） A. 16时的温度约为1°C B. 在-3°C以上的时间约为16小时 C. 温度是-1°C的时刻只有10时 D. 温度最低的时刻是4时 【答案】C 【解析】 【分析】结合横坐标的时间和纵坐标的温度思考问题． 【详解】解：A、由图象可知，16时的温度约为1℃，故A选项不符合题意； B、由图象可知，从8时到24时的温度在-3℃以上，持续时间为16小时，故B选项不符合题意； C、由图象可知，10时和20时的温度均为-1℃，故C选项符合题意； D、由图象可知，温度最低的时刻时4时，约为-5℃，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能的出现的情况考虑清楚． 7. 已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象，根据题意可得，，进而判断函数图象经过的象限，即可求解． 【详解】解：在中，随的增大而减小， ， 函数图象在二、四象限， ， ， 函数的图象在一、三象限， 故选：B． 8. 某女子体操队5名队员的身高分别为，某男子体操队5名队员的身高分别为，则关于这两个队的队员身高，下列描述正确的是（ ） A. 平均数相同 B. 中位数相同 C. 众数相同 D. 方差相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差等知识点，掌握相关的概念是解题的关键． 根据题意分别算出两队的中位数、众数、平均数、方差，然后进行比较即可． 【详解】解：某女子体操队5名队员的身高的中位数为：161，众数为：161， 平均数为：， 方差为：， 某男子体操队5名队员的身高的中位数为：183，众数为：183， 平均数为：， 方差为：， 综上所述，这两个队的队员身高的方差相同． 故选：D． 9. 如图，已知四边形是平行四边形，，，，点是上一动点，为的中点，连接，，当时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形性质确定点坐标，进而得出中点坐标，设出点坐标，利用，结合两点间距离公式列方程求解．本题主要考查平行四边形的性质、中点坐标公式及两点间距离公式，熟练掌握这些知识并灵活运用方程思想是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形中，，，，且（为坐标原点 ）， ∴， ∵为中点，，， ∴． 设 ∵， ∴， 解方程得， ∴， 故选：D． 10. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，11 C. 6，8，10 D. 7，12，14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积， ∵，，，， ∴选取的三块正方形纸片的面积可以是5，6，11， 故选：B． 11. 如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一点，将沿直线折叠，得到，连接，．若四边形是菱形，则的长为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直角三角形中特殊的角度及勾股定理求出边长，再利用点是边的中点及菱形的性质算出菱形对角线的长度，最后通过等量代换求解可得． 【详解】解：在直角三角形中，，，， ， ， 又是边的中点， ， 又四边形是菱形， 设交于点， ， 将沿直线折叠，得到， ， 在中， ， 由折叠知： ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形及勾股定理求边长，菱形的性质、图形的折叠，解题的关键是：掌握以上相关性质，通过计算求出相应边长，再通过等量代换得到． 12. 如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，然后求出和是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到； 然后利用角角边证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而进一步判断出正确； 求出，然后根据等角对等边可得，判断出正确； 连接，利用全等三角形的性质证明，再证明，可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 平分，于点H， ，， 和是等腰直角三角形， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ， 故正确， ， ， ，， ，， ∴平分； 故正确； ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； 连接． ， ， ， ， ， ， ， ，故正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质；熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，点P的坐标为，则点P到直线l的最短距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合、二次函数与一元二次方程、勾股定理，根据变形得点在的图象上，设过点P平行与直线的解析式为，当直线与抛物线只有一个交点时，此时点P到直线l有最短距离，联立方程组得，利用判别式得，进而可得过点P的直线的解析式为，过点作，利用勾股定理得，再利用等面积法即可求解，理解点在的图象上及点P到直线l的最短距离的位置是解题的关键． 【详解】解： ， 令， ， 点在的图象上， 设过点P平行与直线的解析式为，当直线与抛物线只有一个交点时，此时点P到直线l有最短距离， 联立方程组得：， 消去得：， 当时，即， 解得：， 过点P的直线的解析式为， 如图：过点作， 当时，，， ，， 当时， ，即：， ，即：， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， 解得：， 点P到直线l的最短距离为， 故答案为：． 14. 点是直线上的两点，则________ (填或或) 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点是直线上的两点，且， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握对于一次函数，当时， 随 的增大而增大，当时， 随 的增大而减小是解题的关键． 15. 如图，在中，，，分别以为一边向外部作正方形，它们的面积分别为、，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：设， 则 又∵在中，，， ∴ ∴的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 16. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线都在直线的上方，当时，直线在轴上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：设点坐标为， 把代入， 得，解得， 则点坐标为， 所以当时，， 函数的图象经过点， 时，， 不等式的解集为． 故答案为：． 17. 如果直线l是由直线向下平移得到，且直线l过点，那么直线l的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数平移的性质，设直线l是由直线向下平移m个单位得到可知，把点代入，求出m的值，即可得出直线l的函数表达式． 【详解】解：设直线l是由直线向下平移m个单位得到， ∴直线l为：， ∵直线l过点， ∴， 解得：， ∴直线l为： 故答案为：． 18. 如图，点E是正方形的边延长线一点，连接交于F，作，交的延长线于G，连接，当时，作于H，连接，则：①点F是的中点；②；③；④．其中正确的结论有__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；，推出，，长①正确；过点作于点，根据证明和，推出是等腰直角三角形，由勾股定理计算得出，得出③正确；证明，推出，得到是的平分线，，得出④正确；推出，再由，得出，即可判定②错误． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，，即点F是的中点，故①正确； 过点作于点，如图所示： 四边形是正方形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 延长交于点，作，， ，， ，， 在中，， ． ∵， ， ， ，即是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 在与中， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线， ∴，故④正确； 在等腰与等腰中， ， ， ， 四边形是正方形，，， ，， ， ，故②错误， 综上分析可知，①③④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（共46分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的乘除法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算完全平方公式和平方差公式，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 20. 2025年，随着“体重管理年”三年行动的实施，“全民减重”“全民健康”“全民运动”备受关注，成为全年龄段关注热点．我校强调落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．为了解学生一周的课后运动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课后运动时间，将数据进行整理并制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）求图1中的________，本次调查数据的中位数是________，本次调查数据的众数是________； （2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课后运动时间是多少？ （3）若该校共有3000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课后运动时间不小于的人数． 【答案】（1）25，3，3 （2） （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出的值，根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解； （2）根据平均数的定义结合条形统计图即可求解； （3）用2000乘以3小时及以上的人数的占比即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， 将调查数据从小到大顺序排列，则中位数为第位与第位数据的平均数， ∴中位数为， 由条形统计图可知，课后运动时间为的人数最多，则众数为； 故答案为：25，3，3； 【小问2详解】 解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是， 答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人． 21. 龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，位于洛阳市南郊伊河两岸的龙门山与香山上．为更好地提振文旅消费，该地管理部门推出了针对学生的门票优惠政策． 优惠方案一：每位学生在原价元的基础上全部八折收费． 优惠方案二：若学生人数不超过，每位学生在原价元的基础上全部按九折收费；若学生人数超过，其中名学生按照原价收费，剩余学生按五折收费． （1）分别写出这两个优惠方案实际收取的费用（单位：元）与参观的学生人数之间的函数解析式． （2）当学生人数超过时，试讨论选择哪种优惠方案较合算． 【答案】（1） ； 当时，； 当时，． （2）当时，选择方案一较合算； 当时，两种方案费用相同； 当时，选择方案二较合算． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数的应用、一元一次不等式的实际应用，解题关键是熟练掌握一次函数． （1）根据题意分情况列出一次函数解析式即可； （2）分情况讨论，运用一元一次不等式即可得解． 【小问1详解】 解：由题意，得； 当时，； 当时，． 【小问2详解】 解：由，得， ，得， ，得， ∴当时，选择方案一较合算； 当时，两种方案费用相同； 当时，选择方案二较合算． 22. 如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF． （1）求证：CD＝EF； （2）猜想：△ABC的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∵CF＝BC， ∴DE＝FC， ∵DE∥FC， ∴四边形DCFE是平行四边形， ∴CD＝EF； （2） △ABC的面积＝四边形BDEF的面积， 理由：∵AE＝CE， ∴△ADE的面积＝△DEC的面积， ∵四边形DCFE是平行四边形， ∴△DEC的面积＝△ECF的面积， ∴△ADE的面积＝△ECF的面积， ∴△ABC的面积＝四边形BDEF的面积． 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，证明四边形DCFE是平行四边形，进而得出CD＝EF； （2）根据AE＝CE可得△ADE的面积＝△DEC的面积，由平行四边形的性质可知△DEC的面积＝△ECF的面积，等量代换即可证得△ABC的面积＝四边形BDEF的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用各性质定理进行推理论证是解题关键． 23. 已知四边形是一张矩形纸片，将四边形沿翻折，使点和点重合，点落在点处，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形，将四边形沿翻折，使点和点重合，点落在点处， ，，， ； （2） 证明：∵四边形是矩形，由（1）得 ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的证明，解题关键是正确推理． （1）由四边形是矩形，将四边形沿翻折，使点和点重合，点落在点处，得，，，即可得； （2）由，，得四边形是平行四边形．由，即可得四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图1，在边长为的正方形中，点、分别为，的动点，且，连接、交于点，连接． （1）求证：； （2）若点为中点时，求的长； （3）如图2，将正方形沿着折叠，使得点落在边的三等分点处，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． （1）利用正方形性质和已知证明，可得，进而求出即可得出结论； （2）延长交的延长线于，证明得，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出结论； （3）如图2，连接，过点作于，容易证明，可得，再根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1，延长交的延长线于， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴. 【小问3详解】 如图2，连接，过点作于， 则在四边形中，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 由翻折变换的性质得， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是的三等分点， 当时或， 在中，由勾股定理得:， 当时，， ∴的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $