精品解析：陕西省西安市高新一中初级中学2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试题

2025-2026学年第一学期收心考试试题 九年级数学 一、选择题（共5小题，每小题5分，共计25分） 1. 如果分式的值为0，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的分母不为零是解题关键． 直接利用分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， 且， 解得：． 故选：B． 2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；根据题意可得，且，计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：且， 故选：A． 3. 下列各组不同长度的线段是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查线段成比例，熟练掌握线段成比例是解题的关键；因此此题可根据“若线段a、b、c、d，且满足，则这四条线段成比例”进行排除选项即可． 【详解】解：A、，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； B、因为，所以，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； C、因为，所以，所以这四条线段成比例，故符合题意； D、，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选C． 4. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 【答案】A 【解析】 【分析】先由，求得的比，再由DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，然后由EF//AB，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案． 【详解】解：， ， ∵DE//BC， ， ∵EF//AB， ． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 5. 如图，矩形ABCD中，，，且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点D作，垂足为G，则，首先证明≌，由全等三角形的性质可得到，设，则，在中依据勾股定理列方程求解即可． 【详解】如图所示：过点D作，垂足为G，则， ，，， ≌， ， 设，则， 在中，，，解得：， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质，依据题意列出关于x的方程是解题的关键． 二、填空题（共5小愿，每小题5分，共计25分） 6. 已知关于x的方程 的一根是，则该方程的另一根为___. 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是根据根与系数的关系得到，解题即可． 【详解】解：设另一根为a， 则，解得， 故答案为：1． 7. 如图，在中，．正方形的三个顶点E，F，D分别在边上．已知，，则正方形的边长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解一元一次方程，解题的关键是注意图形中的相等线段的替换． 根据正方形的性质可知，得，得，设正方形的边长为x，得，解得，得正方形的边长为3． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长为x， 则， 又，， ∴， ∴， 解得：， 则正方形的边长为3． 故答案为3． 8. 关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】计算分式方程得，根据分式方程的解为正数得且，即，进行计算即可得． 【详解】解： ， ， ， ， ， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴， 解得， ∴则m的取值范围为且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法并正确计算． 9. 如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB，G、H是BC边上的点，且GH=BC，若，则=____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意连接AC、BD，再根据平行四边形的性质得到S△AOB=S△BOC，进而根据三角形的面积公式进行分析计算即可． 【详解】解：连接AC、BD，如图， ∵点O是▱ABCD的对称中心， ∴AC、BD交于点O， ∴S△AOB=S△BOC， ∵EF=AB， ∴S△EOF=S△AOB， ∵GH=BC， ∴S△OGH=S△BOC， ∴S△EOF：S△OGH=3：2, ∵， ∴=2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查的是中心对称的性质以及平行四边形的性质，掌握平行四边形是中心对称图形以及三角形的面积公式是解题的关键． 10. 如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】如图，在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交于点，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出． 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点的轨迹是解题的关键． 三、解答题（共4小题，共计50分） 11. 解方程或计算： （1） （2） （3）先化简再求值，其中满足 ． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程、解分式方程与分式的化简求值，熟练掌握一元 二次方程与分式方程的解法，分式运算顺序和法则是解本题的关键． （1）移项使方程右边为0，左边提公因式分解因式，化成两个一元一次方程，即可得解； （2）去分母，解所得整式方程，检验即得分式方程的根； （3）原式括号中分式通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，解一元二次方程后取使分式有意义的值代入分式化简结果计算即可求出值． 【小问1详解】 解：∵， 移项，得． 提公因式，得． 提公因式，得． 即． ∴． 解得． 【小问2详解】 解：∵， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化成1，得． 当时，， ∴是原方程的解． 【小问3详解】 解：∵ ， 且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 12. 因国际马拉松赛事即将在某市举行，某商场预计销售一种印有该市设计的马拉松图标的T恤，已知这种T恤的进价为40元一件．经市场调查，当售价为60元时，每天大约可卖出300件；售价每降低1元，每天可多卖出20件．在鼓励大量销售的前提下，商场还想获得每天6080元的利润，问应将这种T恤的销售单价定为多少元？ 【答案】应将这种T恤的销售单价定为56元/件． 【解析】 【分析】设应将这种T恤的销售单价定为x元/件，则每天大约可卖出[300+20（60-x）]件，根据总利润=每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设应将这种T恤的销售单价定为x元/件，则每天大约可卖出[300+20（60-x）]件， 根据题意得：（x-40）[300+20（60-x）]=6080， 整理得：x2-115x+3304=0， 解得：x1=56，x2=59． ∵鼓励大量销售， ∴x=56． 答：应将这种T恤的销售单价定为56元/件． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13. 如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E （1）求证：△ABD∽△CED （2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°． ∵CE是外角平分线 ∴∠ACE＝60°． ∴∠BAC＝∠ACE． 又∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ABD∽△CED． （2）解：作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6． ∴AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝． ∵AD＝2CD， ∴CD＝2，AD＝4，MD＝1． 在Rt△BDM中，BD＝＝． 由（1）△ABD∽△CED得， ，， ∴ED＝ ∴BE＝BD＋ED＝． 14. 问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______； 问题探究 （2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：； 问题解决 （3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计） 【答案】（1）； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由四边形是矩形及勾股定理可得，根据得到点P在线段的垂直平分线上，则得到，则当点共线时取得最小值，即可得到答案； （2）证明，即可得到结论； （3）证明四边形是正方形，则，连接，证明，则，，延长到点G，使得，连接，，证明，得到当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是的长，由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴点P到的距离相等， ∴点P在线段的垂直平分线上， ∴ ∴， 当点共线时取得最小值， 此时， 即的最小值为； 故答案为： （2）略 （3）∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点G，使得，连接，， ∵， ∴点D和点G关于成轴对称， ∴， ∴， ∵， 当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是的长， 在中，， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了正方形的判定和性质、菱形的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当辅助线和数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期收心考试试题 九年级数学 一、选择题（共5小题，每小题5分，共计25分） 1. 如果分式的值为0，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 3. 下列各组不同长度的线段是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. C. D. 4. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 5. 如图，矩形ABCD中，，，且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是　　 A. B. C. D. 二、填空题（共5小愿，每小题5分，共计25分） 6. 已知关于x的方程 的一根是，则该方程的另一根为___. 7. 如图，在中，．正方形的三个顶点E，F，D分别在边上．已知，，则正方形的边长为______． 8. 关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为______． 9. 如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB，G、H是BC边上的点，且GH=BC，若，则=____． 10. 如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 三、解答题（共4小题，共计50分） 11. 解方程或计算： （1） （2） （3）先化简再求值，其中满足 ． 12. 因国际马拉松赛事即将在某市举行，某商场预计销售一种印有该市设计的马拉松图标的T恤，已知这种T恤的进价为40元一件．经市场调查，当售价为60元时，每天大约可卖出300件；售价每降低1元，每天可多卖出20件．在鼓励大量销售的前提下，商场还想获得每天6080元的利润，问应将这种T恤的销售单价定为多少元？ 13. 如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E （1）求证：△ABD∽△CED （2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长． 14. 问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______； 问题探究 （2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：； 问题解决 （3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $