《第一单元 集合与常用逻辑用语》测试卷——备战2026高考数学阶段检测卷

《第一单元 集合与常用逻辑用语》测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，，则    A. B. C. D. 2.命题“，”的否定是      A. ， B. ， C. ， D. ， 3.已知集合，，则中元素的个数为      A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.已知集合，，则 A. B. C. D. 5.锐角的内角A，B的对边分别为a，b，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.下列全称量词命题与存在量词命题中： ①设A、B为两个集合，若，则对任意，都有； ②设A、B为两个集合，若，则存在，使得； ③是无理数，是有理数； ④是无理数，是无理数． 其中真命题的个数是(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是(    ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8.已知非空集合，设集合，分别用、、表示集合A、S、T中元素的个数，则下列说法不正确的是    A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则可能为18 D. 若，则不可能为19 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列四个命题中正确的是        A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 与集合相等的是 D. 中含有三个元素 10.下列说法中错误的有  A. 命题，，则命题p的否定是， B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 11.通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合X的子集为元素的族，满足下列三个条件：和X在中中的有限个元素取交后得到的集合在中中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合X上的一个拓扑.已知全集，A，B为U的非空真子集，且，则(    ) A. 族为集合U上的一个拓扑 B. 族为集合U上的一个拓扑 C. 族为集合U上的一个拓扑 D. 若族P为集合U上的一个拓扑，将P的每个元素的补集放在一起构成族Q，则Q也是集合U上的一个拓扑 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设全集，集合，，则          . 13.已知集合，，若，则m的范围是          . 14.若，，，，表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下： ①对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作; ②灯在任何情况下都可以进行一次操作;对任意的，要求灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作. 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯关闭最少需要          次操作; 如果除灯外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要          次操作. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知全集，，，求 16.本小题15分 设全集，集合，集合 当时，求，； 若命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 17.本小题15分 已知集合 若，求； 求实数a的取值范围，使___成立． 从①，②，③中选择一个填入横线处求解． 18.本小题17分 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集． Ⅰ当时，写出集合A的生成集B； Ⅱ若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； Ⅲ判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 19.本小题17分 对于给定集合，若存在非负实数，，对任意的满足：成立，则称集合A具有性质 证明：集合具有性质 若集合具有性质，求的最小值; 若集合具有性质，求的最大值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了集合之间的包含关系，属于基础题. 根据题意得到集合M与集合N表示的集合从而得到选项. 【解答】 解：由题意可知，， ， 故 故选 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了全称量词命题的否定，属于基础题． 根据定义直接写出命题的否定即可． 【解答】 解：命题的否定是：变量词，否结论，可得命题的否定为： ， 故选 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了交集的运算，属于基础题. 利用交集的定义即可求解； 【解答】 解：，， ， 中元素个数为 故选 4.【答案】B  【解析】【分析】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 直接利用交集的运算法则求解即可． 【解答】 解：集合，， 则 故选： 5.【答案】C  【解析】解：因为是锐角三角形，所以， 若，则，即， 又在上单调递增，所以成立; 若，且，则，所以成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查命题真假的判断以及集合的概念和性质，属于基础题． 利用元素与集合的关系、反例法逐项判断． 【解答】 解：根据的定义可知，任意，都有，故①正确； 若，则存在，使得，故②正确； 对于③④，，是无理数，而是无理数，是有理数，故③④错误． 故选 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用venn图解决实际问题，属难题. 【解答】 解：设只持有 A股票的人数为如图所示， 则持有A股票同时还持有其它股票的人数为图中的和， 因为只持有一支股票的人中，有一半没持有B或C股票， 则只持有B或C股票的人数和为x，即 假设只同时持有B或C股票的人数为a， 那么， 即， 则x的取值可能是9，8，7，6，5，4，3，2，1， 与之对应的a值为2，5，8，11，14，17，20，23， 因为不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍， 得， 即，故时满足题意， 故，故只持B股票的股民人数是 故选 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了集合中元素的个数新定义问题 ，属于较难题目， 结合新定义及考虑集合T元素个数减小的情况，有两类情况分析各选项可得答案 【解答】 解：考虑集合S元素个数减小的情况，若存在的情况使S减小，不妨假设， T中，与同时成立，且，故T中有两对相等，即T减小2， 因此，集合S中出现会使得减小 考虑集合T元素个数减小的情况，有两类情况： 第一类情况：出现且不等的情况，同上可得减小 第二类情况：出现的情况即三数等差的情况，此时不能保证S中出现的 情况，故减小 对选项A、B，当时，最多的和情况有种，故，选项B正确： 又集合A中只有4个元素时，最多只存在一对，故， 同时B中至少有，，共3个不同元素，即 因此，，故选项 A正确; 对选项C、D，当时，同可知， 若存在至少一对，则， 故要使或19，则一定不能出现的情况，只能有这样等差的情况， 要使，则只能一组三数等差，比如1，3，6，10，17，只有一组等差，且，D错误： 要使，则只能两组三数等差，比如1，3，5，10，17，只有两组等差，且，C正确. 综上所述， 本题选 9.【答案】ABC  【解析】【分析】 本题主要考查集合中元素的性质，掌握集合元素的性质是解答本题的关键，属于中档题. 利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A，解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解集合即可判定B，由，，，用列举法可判定C，用试根的方式找出满足条件的元素可判断 【解答】解：分别取a，b同正、同负和一正一负时， 可以得到R的值分别为2，，0，故A正确； 由得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 当时，； 当时，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误， 故选 10.【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查存在量词命题的否定及真假判定 ，属于中档题. 由存在量词命题的否定及真假判定可判断选项AC，由充分、必要条件的定义可判断选项 【解答】 解：对于A，由存在量词命题的否定是全称量词命题，可知命题p的否定是： ，，故A错误; 对于B，由“”不能推出“”，例如，但 由“”也不能推出“”，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误; 对于C，当时，，故C错误; 对于D，关于x的方程有一正一负根， 所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选： 11.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查集合新定义问题，属于较难题. 由集合新定义直接判断ABC即可；对于D，设为Q的任意子集，则，根据集合新定义求解即可. 【解答】 解：对于A ，族明显满足条件，  ，，满足条件， 故族为集合U上的一个拓扑，A正确； 对于B，同理可得族满足条件，为集合U上的一个拓扑，B正确； 对于C，当，，，明显不在P中， 则族不为集合U上的一个拓扑，C错误; 对于D，因为，，所以， 设为Q的任意子集，则， ， 因为，故， ， 因为，故， 故若族P为集合U上的一个拓扑，将P的每个元素的补集放在一起构成族Q， 则Q也是集合U上的一个拓扑，故D正确. 故选： 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查集合补集和并集的混合运算，属于基础题. 首先解不等式化简M、N，求出M的补集再和N取并集即可. 【解答】 解：由题意得， ， 则， 所以 故答案为： 13.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了并集及其运算，以及两集合的包含关系，属于中档题. 根据题意得出集合B为集合A的子集是解本题的关键．分两种情况考虑：当集合B不为空集时和集合B为空集时，分别解出不等式的解集得到m的范围，综合讨论结果可得所有满足题意的m范围． 【解答】 解：因为，则， 则分两种情况考虑： 若B不为空集，可得，解得：， ，， ，且， 解得：， 此时m的范围为； 若B为空集，符合题意，可得， 解得：， 综上，实数m的范围为 14.【答案】3 ； 11  【解析】【分析】 本题主要考查了合情推理，属于较难题. 根据题意灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作，要把灯关闭，所以灯，关闭，开灯才能操作； 除灯外，其余8盏灯都处于开灯状态，所以要将灯打开，需要将灯，，关闭，开灯才能操作，然后依次操作即可. 【解答】 解：因为要把灯关闭， 所以灯，关闭，开灯才能操作， 则根据题意有首先将关闭，再将关闭，最后将关闭即可，所以需要3次. 因为除灯外，其余8盏灯都处于开灯状态， 所以要将灯打开，需要将灯，，关闭，开灯才能操作， 则根据题意有首先将关闭，即可将关闭， 再将打开，则可将关闭，然后将关闭，即可将打开， 下面将灯，，打开， 首先将打开，则可将打开，然后将关闭，即可将打开，再将打开， 此时所有的灯都打开了，一共进行了11次. 故答案为：3； 15.【答案】解：依题意知，，，，故有 由，，故有    【解析】本题考察交并补混合运算，属于基础题. 先求出A，再利用集合运算规律求解即可. 16.【答案】解：当时，； ，； 若p是q的充分不必要条件，则； 且等号不同时成立，解得：， 所以实数m的取值范围是：  【解析】本题考查交集、并集的运算，充分条件与必要条件的应用，属于基础题． 时，得到集合，然后进行交集、并集的运算即可； 根据p是q的充分不必要条件，得到A是B的真子集，得到不等式组，解出即可． 17.【答案】解：，， ，， 当 时，， ，可化为， ， 即 ， 选择①，或 ， 又 ， 若，则或 ， 即 或 故 a的取值范围为 或  选择②，或 ， 又 ，则或 ， 即 或 ， 故 a的取值范围为 或  选择③， 或 ， ，又，则 且 ， 即 ， 故 a的取值范围为   【解析】本题主要考查含参数的交并补混合运算问题，属于基础题． 化简集合A，B，利用并集的定义进行计算即可； 根据集合的基本运算转化为集合间的关系，再根据条件求解即可． 18.【答案】解：Ⅰ，， Ⅱ设，不妨设， 因为， 所以B中元素个数大于等于7个， 又，， 此时B中元素个数大于等于7个， 所以生成集B中元素个数的最小值为 Ⅲ不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集， 不妨设，则集合A的生成集， 则必有，，其4个正实数的乘积； 也可以有，，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集  【解析】本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题． Ⅰ利用集合的生成集定义直接求解． Ⅱ设，且，利用生成集的定义即可求解； Ⅲ不存在，理由用反证法说明． 19.【答案】解：即证明，都有， 因为，所以， 因为， 所以， 所以集合具有性质； 因为，，， ， 令，因为，所以， 于是，有成立， 即， 也就是，有成立， 令，， 因为在上单调递减，所以， 从而， 所以，当且仅当时取等， ，当且仅当或时取等， ，所以的最小值为； 由题意， 注意到， 所以， 又，， 所以，当且仅当取等满足， 所以的最小值为1， 因为，，， 所以，于是， 又， 令，，则，即， 又，所以，解得， 所以 ， 令，， 则， 于是在上单调递增， 又， 所以， 当且仅当，或，时等号成立， 所以的最大值为， 又的最小值为1， 所以的最大值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$