《第四单元 导数及其应用》测试卷——备战2026高考数学阶段检测卷

《第四单元 导数及其应用》测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数的导函数为，且满足，则(    ) A. e B. C. D. 2.设函数且在区间上单调递增，则a的取值范围是    A. B. C. D. 3.某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中单位：是瓶子的半径.已知每出售1mL的液体材料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为    A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 4.已知函数，，若过点的直线与曲线和均相切，则实数m的值为(    ) A. B. C. 1 D. 2 5.如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是        A. 有极小值点，没有极大值点 B. 有极大值点，没有极小值点 C. 至少有两个极小值点和一个极大值点 D. 至少有一个极小值点和两个极大值点 6.已知函数，若在时总成立，则实数k的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.设直线与函数的图像分别交于点，则的最小值为     A. B. C. D. 8.罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并称微分学三大中值定理．罗尔中值定理：若定义域为R的函数的导函数记为，且函数满足条件①在闭区间上连续；②在开区间内可导；③那么至少存在一个使得已知函数，在区间内有零点，其中，…是自然对数的底数，则实数a的取值范围为    A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知函数，下列说法中正确的有(    ) A. 函数 的极大值为，极小值为 B. 若函数在上单调递减，则 C. 当时，函数的最大值为，最小值为 D. 若方程有3个不同的解，则 10.已知，则(    ) A. 的定义域是 B. 函数在上为减函数 C. 若直线和的图象有交点，则 D. 11.关于函数，下列说法正确的是        A. 若过点可以作曲线的两条切线，则 B. 若在上恒成立，则实数k的取值范围为 C. 若在上恒成立，则 D. 若函数有且只有一个零点，则实数t的范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线的一条切线为，则__________. 13.定义在上的函数满足，为的导函数，且对恒成立，则的取值范围是           14.已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知函数，为的导函数，且， 求的解析式； 设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 16.本小题15分 已知函数 若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值; 讨论的单调性. 17.本小题15分 如图，一个面积为6400平方厘米的矩形纸板ABCD，在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒如图设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，AD的长分别为a厘米和b厘米，其中 当，求纸盒侧面积的最大值； 试确定以a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值． 18.本小题17分 已知函数 求函数的单调区间； 当时，若，求证：； 求证：对于任意都有 19.本小题17分 英国数学家泰勒发现了如下公式： 其中n!为自然对数的底数，以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. 证明：； 设，证明：； 设，若是的极小值点，求实数a的取值范围. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 由，求导，带入得，得解析式，即可得解． 本题考查了导数的运算，属于中档题． 【解答】 解：由，得，则， 所以， 故，所以 故选： 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查利用导数由函数的单调性求参，属于基础题. 根据单调性与导数的关系可得在上恒成立，进而即可求解. 【解答】 解：依题意，在上恒成立， 记，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以只需，解得， 故选： 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查导数再实际问题中的应用，属于中档题． 根据已知条件写出利润关于瓶子半径r的函数式，可利用导数研究函数的单调性，即可得到答案。. 【解答】 解：由题意可知，每瓶液体材料的利润是 ，， 所以， 令，得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当每瓶液体材料的利润最大时， 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了求曲线上一点的切线方程，利用导数求函数的最值和求函数的零点，属于较难题. 利用求曲线上一点的切线方程，结合题目条件得，令，利用导数求函数的最值得，再利用函数的零点得结论. 【解答】 解：因为，所以 因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线方程为 设过点的直线l与曲线相切于点 因为，所以， 因此直线l的方程为， 而直线l过点，所以， 即， 因此直线l的方程为 又因为曲线在点处的切线与直线l重合，所以，因此且， 所以把，代入得 令，则， 因此当时，；当时，； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，所以函数有唯一的零点1，因此方程有唯一的解1，即实数m的值为 故选： 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了利用导数求已知函数的极值点. 由题设，令与切点横坐标为且，由图存在使，则有三个不同零点，结合图象判断的符号，进而确定单调性，即可确定答案. 【解答】 解：由题设，，则， 又直线与曲线相切于两点且横坐标为且， 所以的两个零点为， 由图知：存在使， 综上，有三个不同零点， 由图：上，上，上，上， 所以在上递减，上递增，上递减，上递增. 故至少有两个极小值点和一个极大值点. 故选： 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用导数的综合运用，考查不等式恒成立求参数的取值范围，考查逻辑推理能力，属于中档题． 当时，显然成立；当时，则恒成立，令，分及讨论即可． 【解答】 解：当时，显然恒成立； 当时，即为，设， 则，设， ， 函数在上为增函数， ①当时，，故函数在上为增函数， ，即成立； ②当时，，，故存在，使得， 当时，，单调递减，则，即，不符题意； 综上所述，实数k的取值范围为 故选： 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用导数求函数的最值，利用导数求函数的单调性，属于中档题. 设，，可得，设，再利用导数求出函数的最小值，即可求解． 【解答】 解：设，， 则， 设，，则， 当，解得，当，解得， 所以函数在单调递减，在单调递增， ， 则的最小值为 故选： 8.【答案】D  【解析】解：依题意设在区间内的零点为，则有， 由罗尔中值定理可知，存在，使， 同理，由及罗尔中值定理可知， 存在，使， 故在上至少有两个不等实根， 令， 则，显然在上单调递增， 当，时，，此时在上单调递增， 故在上至多只有一个实根， 同理可知，当，时，，此时在上单调递减， 故在上至多只有一个实根， 当时，令，可得， 易知，且在上单调递减，在单调递增， 故当且时，， 又， 故， 则由零点存在性定理知， 故 故选： 9.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，属于基础题. 可以通过求导，来分析函数的单调性，及极值，最值，进而得出结论. 【解答】 解：定义域为R，， 令，得或2，由，得或，由，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减，故B正确; ，故 A正确; ， ， 所以当时，最大值为，最小值为，故C不正确; 根据函数的最值以及单调性，且方程有3个不同的解，则，故D正确. 故选： 10.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查函数定义域，利用导数研究函数单调性，利用单调性比较大小，属于中档题. 根据对数函数的定义域和二次根式的意义即可求出函数的定义域进而判断A；利用求导研究函数的单调性即可判断B；结合函数单调性求出即可判断C；结合选项B中得到的函数单调性即可判断 【解答】 解因为， 对于A，由题有，解得，故A选项正确； 对于B，， 令， 则， 所以在上恒成立，所以在上单调递增， 又，当时，当时， 则在上单调递减，在上单调递增，故B选项正确； 对于C，由B知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 若直线和的图象有交点，则故C选项错误； 对于D，由B中的分析，，代入得， 即，故D选项正确． 故选 11.【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查函数和导数的基本知识，运用导数处理函数的零点和恒成立等问题，属于较难题. 解本题时，对于选项A，画出曲线的图象即可判断；对于选项B，利用导数的几何意义，切线的极限状态即可解决；对于C，D，构造新的函数，利用导数研究单调性和画出函数的图像，即可解决. 【解答】 解：对于选项A，画出曲线的图象， 根据图可判定点在曲线下方和x轴上才可以作出两条切线，故，故A正确; 对于选项B，在R上恒成立，等价于在R上恒在上方， 设的切点坐标为，其切线方程为， 对应的切线经过坐标原点，将代入解得， 其切线的斜率，故实数k的取值范围为，故B正确; 对于选项C，若在上恒成立， 则在上恒成立，即，， 设，， 令，解得， 所以在单调递增，在上单调递减， 所以，所以，故C正确; 对于D，利用C选项的过程， 画出函数的图像可知或，有且只有一个零点，故 D错误. 故选 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义，属于基础题. 由切线斜率可得出x的值，进而可得切点，代入切线方程即可求解。 【解答】 解：，令，则，切点代入直线得 13.【答案】  【解析】【分析】 构造函数，根据的单调性可得；然后构造函数，可得，从而得到，即为所求． 本题考查构造函数求范围，解题的关键是根据题意中给出的条件构造出两个函数，然后再根据单调性得到所求的范围，综合考查创新和应用能力，属于中档题． 【解答】 解：设， 则故函数在上单调递增， 所以， 故 设， 则故在上单调递减， 所以， 则， 所以 故的取值范围是 故答案为 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查导数有关的新定义问题，属于中档题. 将问题转化为曲线上的点到直线的最小距离为1，且曲线在直线下方，利用导数的几何意义，结合点到直线距离公式求解即可. 【解答】 解：定义， 即为点，之间的距离， 若点A，B在曲线上， 则点所在曲线为关于对称的曲线上， 由的最小值为2， 可得曲线与其关于对称的曲线上的点的最短距离为2， 则由对称性可得曲线上的点到直线的最小距离为1， 令，则， 令，解得， 此时切点为， 则，解得或， 由图易知直线须在曲线上方，即，即， 故实数a的值为： 故答案为： 15.【答案】解：因为，所以， 所以，解得， 所以； 因为，所以， 则在点处的切线的斜率为 所以在点处的切线方程为， 令，得，令，得， 所以， 易知，函数为偶函数， 不妨设， 则， 所以 ， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以时，的取得最小值，最小值为  【解析】求得的导数，可得关于a，b的方程组，解方程可得所求解析式； 求得的导数，可得切线的斜率进而求出切线方程，分别令，，可得切线与坐标轴的交点，求出三角形的面积为，再利用求导的方法求得的最小值即可． 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值和最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 16.【答案】解：函数定义域为， 因为 ，所以 . 由 ， 得曲线 在点 处的切线方程为 ， 即 ， 根据已知条件该处切线方程， 则 ，解得 ， 故， 若 ，则当 时， ，当 时， ； 若 ，则当 时， ， 当 时， ； 若 ，则 在 上恒成立； 若 ，则当 时， ，当 时， . 综上所述， 当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为  ，单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间； 当 时， 的单调递增区间为  ，单调递减区间为 .   【解析】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 求导求得曲线 在点 处的切线方程为 ，再与已知切线方程比较可得 ，求解即可； 求导得 ，对a 分类讨论可求得 的单调区间. 17.【答案】解：当时，，纸盒的底面是正方形，边长为，周长为  所以纸盒的侧面积，其中  令，得，  所以当时，，可知在区间上单调递增，  当时，，可知在区间上都单调递减，   的最大值为，  所以当时，纸盒侧面积的最大值为3200平方厘米． 纸盒的体积，其中，，且  因为，  当且仅当以时取等号，  所以，  记，，  则，  令，得，列表如下： x + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 由上表可知，的极大值是，也是最大值．  所以当，且时，纸盒的体积最大，最大值为立方厘米．  【解析】本题主要考查的是函数模型的实际应用，是中档题. 纸盒侧面积是关于x的函数，即求 先猜想并证明时，底面积取最大，这样问题变为求体积关于x的函数的最大值． 18.【答案】解：函数的定义域是 由已知得， ①当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增; ②当时，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，当时，，单调递增; ③当时，当时，，单调递增; ④当时，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 综上，①当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 ②当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 ③当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间; ④当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 当时， 由知，函数在单调递增且 令 ，， 令，从而 所以恒成立， 设， 证明：由知：时 即 故在时恒成立; 所以 相加得：  【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式证明与不等式恒成立问题，属于困难题. 求出，对a进行分类讨论，由与得出函数的单调区间即可； 由得出，再由，求证即可； 由时，得出在时恒成立，利用累加法得出证明即可. 19.【答案】证明：设  ，则  . 当  时，  ：当  时，  .所以  在  上单调递减，在  上单调递增. 因此，  ，即  . 证明：由泰勒公式知  ，① 于是  ，② 由①②得 所以 即  . 解：  ，则 令 由基本不等式知，  ，当且仅当  时等号成立. 所以当  时，  ，所以  在 R上单调递增. 又因为  是奇函数，且  ， 所以当  时，  ；当  时，  . 所以  在  上单调递减，在  上单调递增. 因此，  是  的极小值点. 下面证明：当  时，  不是  的极小值点. 当  时，  ， 又因为  是 R 上的偶函数，且  在  上单调递增这是因为当  时，令，  所以当  时，  . 因此，  在  上单调递减. 又因为  是奇函数，且  ， 所以当  时，  ；当  时，  . 所以  在  上单调递增，在  上单调递减. 因此，  是  的极大值点，不是  的极小值点. 综上，实数 a 的取值范围是  .   【解析】本题主要考查函数与导数的知识，利用导数证明不等式以及利用导数根据极值或极值点求参，考查学生解决问题的综合能力，转化思想，属于较难题． 构造 ，求函数的单调性以及最值即可； 利用泰勒公式得，放缩得，即可； 构造 ， 求函数的单调性得  是  的极小值点，并证明当  时，  不是  的极小值点，从而得到答案. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$