精品解析：四川省绵阳市涪城区2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025-2026学年度绵阳市涪城区九年级（上）开学测试试卷 （数学） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 已知实数满足，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的意义，得出是解决此题的关键． 先由算术平方根的非负性得出，根据绝对值的意义得出，从而得出，进而求解即可． 【详解】因为实数满足，， 所以，解得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B． 2. 下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（ ） A. 1，1，2 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理判断三角形是否是直角三角形，是解题的关键． 3. 如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质和三角形中位线定理证明四边形是菱形，四边形和四边形是矩形，再根据菱形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 矩形， ，，，，，， 分别为矩形四条边的中点， 分别是的中位线， ，， ， 四边形是菱形， ，，， 四边形是矩形， 同理可证，四边形是矩形， ，， 菱形的面积． 4. 已知小婷的家、书店、学校在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小婷从家跑步去书店，在书店购买书和文具又走到学校取东西，然后再走回家，图中x表示时间，y表示小婷离家的距离，依据图中信息，下列说法错误的是（　　） A. 书店离小婷家2.5km B. 书店离学校1km C. 小婷从学校回家的平均速度是60m/min D. 小婷从书店出发到学校的平均速度是50m/min 【答案】D 【解析】 【分析】根据图可知可得书店离小婷家2.5km，学校离小婷家1.5km，即书店离学校的距离为1km，再分别计算出回家的平均速度，以及从书店到学校的平均速度． 【详解】解：由图可得书店离小婷家2.5km，故A选项正确； 由图可得学校离小婷家1.5km，即书店离学校的距离为2.5﹣1.5＝1km，故B选项正确； 由图可得从学校回家所花时间为90﹣65＝25（min），从学校回家的平均速度为1500÷25＝60m/min，故C选项正确； 由图可得从书店到学校所花时间为45﹣30＝15min，从书店到学校的平均速度为1000÷15＝m/min，故D选项错误； 故选：D． 【点睛】本题考查用图像表示变量间的关系，能够根据图像分析出有用的信息是解决本题的关键． 5. 某公司名员工年薪如下表所示，则该公司全体员工年薪的中位数是（ ） 年薪(万元) 员工数(人) A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的计算，一组数据从小到大排序，该组数据的个数为奇数个时，中位数为最中间的那个数；该组数据的个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数；由此即可求解，掌握中位数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵有20名员工， ∴中位数为第10，11名员工的平均数， ∴（万元），   故选：C ． 6. 同一坐标系中，正比例函数，，，的图象如图所示，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，根据时，图象经过一、三象限；时，图象经过二、四象限，由此得出，，，，然后根据直线越陡，越大，即可判断． 【详解】解：∵正比例函数，图象经过二、四象限， ∴，， ∵比的图象陡些， ∴， ∴， ∵正比例函数，图象经过一、三象限， ∴，， ∵比的图象陡些， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 下列选项中，菱形不具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是本题的关键．根据菱形的性质可判断． 【详解】解：∵菱形四边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角， ∴A、B、D选项不符合题意， ∵菱形的对角线不一定相等， ∴菱形不具有的性质是对角线相等， ∴选项C符合题意， 故选：C 8. 已知一组数据4，5，5，6，，要使这组数据的方差最小，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，先求出平均数为，再根据方差计算公式表示出方差，利用偶次方的非负性求解即可． 【详解】解：∵原数据为4、5、5、6、， ∴平均数为． ∴方差为 ， ∵， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，□AOBC的顶点B在x轴上，OA=2，∠AOB =60°， OP平分∠AOB交AC边于点P，则点P的坐标是是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作，构造平行四边形和直角三角形，利用平行四边形的性质和直角三角形的性质及勾股定理求解. 【详解】解：如图，过点P作， ，， OP平分∠AOB， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，， 点P的坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形和直角三角形的知识，涉及知识点：平行四边形的性质与判定，三角形外角的性质，直角三角形中所对直角边等于斜边的一半，勾股定理，解题关键构造平行四边形和直角三角形． 10. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，则正方形D的面积是（ ） A. 8 B. 14 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理得：，解得即可． 【详解】解：根据勾股定理得：， ∵正方形A、B、C的面积依次为5、9、6， ∴， ∴正方形D的面积是20． 故选：C 11. 如图，在菱形中，，E是上一点，连接，将沿AE翻折，使点B落在点F处，连接．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与的交点为，，根据折叠的性质，可得，根据，可得为等腰直角三角形，从而得到，利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：设与的交点为，设，则 由菱形的性质可得，， 由折叠的性质可得，， 则， ∴为等腰直角三角形，， ∴，即， 在中，，， ∴， ， ， 故选：D 【点睛】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，确定． 12. 如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，然后求出和是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到； 然后利用角角边证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而进一步判断出正确； 求出，然后根据等角对等边可得，判断出正确； 连接，利用全等三角形的性质证明，再证明，可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 平分，于点H， ，， 和是等腰直角三角形， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ， 故正确， ， ， ，， ，， ∴平分； 故正确； ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； 连接． ， ， ， ， ， ， ， ，故正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质；熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分共18分） 13. 如图，矩形OABC中，D为对角线AC，OB的交点，直线AC的解析式为，点P是y轴上一动点，当的周长最小时，线段OP的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以得到点A、B、C的坐标和点D的坐标，然后最短路径问题可以求得点P的坐标，从而可以求得OP的长． 【详解】 解：作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求， 直线AC的解析式为， 当时，，当时，， 点A的坐标为，点C的坐标为， 点D的坐标为，点B的坐标为， 点的坐标为， 设过点B和点的直线解析式为， ， 解得，， 过点B和点的直线解析式为， 当时，， 即点P的坐标为， . 故答案为． 【点睛】本题考查一次函数的性质、矩形的性质、最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 14. 一次函数的图象经过，，则，的大小关系是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得该一次函数的y随x的增大而减小，然后问题可求解． 【详解】解：由一次函数可知：， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数的图象经过，，且， ∴； 故答案为． 15. 如图，在中，分别以、为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】图中阴影部分的面积为两个半圆的面积-三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可． 【详解】解： 设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示， ∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4， ∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积． 即阴影部分的面积=π×4+π×1-4×2÷2=． 故答案为：． 16. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线都在直线的上方，当时，直线在轴上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：设点坐标为， 把代入， 得，解得， 则点坐标为， 所以当时，， 函数的图象经过点， 时，， 不等式的解集为． 故答案为：． 17. 将直线向上平移3个单位，得到直线_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据“一次函数平移规律：左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位，得到直线， 故答案为：． 18. 如图，点E是正方形的边延长线一点，连接交于F，作，交的延长线于G，连接，当时，作于H，连接，则：①点F是的中点；②；③；④．其中正确的结论有__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；，推出，，长①正确；过点作于点，根据证明和，推出是等腰直角三角形，由勾股定理计算得出，得出③正确；证明，推出，得到是的平分线，，得出④正确；推出，再由，得出，即可判定②错误． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，，即点F是的中点，故①正确； 过点作于点，如图所示： 四边形是正方形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 延长交于点，作，， ，， ，， 在中，， ． ∵， ， ， ，即是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 在与中， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线， ∴，故④正确； 在等腰与等腰中， ， ， ， 四边形是正方形，，， ，， ， ，故②错误， 综上分析可知，①③④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（共46分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再进行减法运算即可 ． （2）先运用平方差公式计算，再进行减法运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 2025年，随着“体重管理年”三年行动的实施，“全民减重”“全民健康”“全民运动”备受关注，成为全年龄段关注热点．我校强调落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．为了解学生一周的课后运动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课后运动时间，将数据进行整理并制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）求图1中的________，本次调查数据的中位数是________，本次调查数据的众数是________； （2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课后运动时间是多少？ （3）若该校共有3000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课后运动时间不小于的人数． 【答案】（1）25，3，3 （2） （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出的值，根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解； （2）根据平均数的定义结合条形统计图即可求解； （3）用2000乘以3小时及以上的人数的占比即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， 将调查数据从小到大顺序排列，则中位数为第位与第位数据的平均数， ∴中位数为， 由条形统计图可知，课后运动时间为的人数最多，则众数为； 故答案为：25，3，3； 【小问2详解】 解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是， 答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人． 21. 如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． （1）求证：． （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质等； （1）根据等腰三角形的“三线合一”可知，结合已知可推出为的中位线，根据三角形中位线的性质即可证得结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，是边上的中线， ， 是的中点， 为的中位线， ∴； 【小问2详解】 解：∵，是边上的中线， ∴，即， ∵在中，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴． 22. 对于三个数、、，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数． （1）若，则的值为______． （2）若．则_______． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，解二元一次方程组． （1）根据题意可得，或，求出的值，进行验证即可； （2）根据题意可知这三个数相等，列二元一次方程组，整理可得的值． 【小问1详解】 解：若，则，符合题意， 若，则，，不符合题意 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， 整理得， 得， 即， 故答案为：． 23. 已知四边形是一张矩形纸片，将四边形沿翻折，使点和点重合，点落在点处，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形，将四边形沿翻折，使点和点重合，点落在点处， ，，， ； （2） 证明：∵四边形是矩形，由（1）得 ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的证明，解题关键是正确推理． （1）由四边形是矩形，将四边形沿翻折，使点和点重合，点落在点处，得，，，即可得； （2）由，，得四边形是平行四边形．由，即可得四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 数学实践课上，老师带领同学们探究与折叠相关的计算，如图①，四边形ABCD是矩形，是的中点，将沿折叠，得到，点的对应点为，延长交边于点，若，求线段的长．经过小组讨论，有以下两种作辅助线的方案： 方案一：如图②，连接； 方案二：如图③，将绕点旋转至． （1）请你按照方案一计算线段的长； （2）请你按照方案二计算线段的长； （3）在方案二的条件下，连接并延长，交于点，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据可证明，得出，求出，在中，由勾股定理，得，即可求解； （2）由旋转的性质，得A，E，H三点共线，．由折叠的性质，得，则可求，中，由勾股定理，得，即可求解； （3）由（2）可知，，则可证，得出，证明四边形是平行四边形，得出，在中，由勾股定理，求出，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ． 是的中点， ． 由折叠的性质，得， 在和中， ， ， ． 在中， 由勾股定理，得， ， 解得； 【小问2详解】 解：由旋转的性质，得A，E，H三点共线，． 由折叠的性质，得， ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， 解得； 【小问3详解】 接：如图． 由（2）可知，， ． 又， ， ， ． 又， 四边形是平行四边形， ， 在中，由勾股定理，得， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，旋转，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度绵阳市涪城区九年级（上）开学测试试卷 （数学） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 已知实数满足，那么的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（ ） A. 1，1，2 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3. 如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 4. 已知小婷的家、书店、学校在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小婷从家跑步去书店，在书店购买书和文具又走到学校取东西，然后再走回家，图中x表示时间，y表示小婷离家的距离，依据图中信息，下列说法错误的是（　　） A. 书店离小婷家2.5km B. 书店离学校1km C. 小婷从学校回家的平均速度是60m/min D. 小婷从书店出发到学校的平均速度是50m/min 5. 某公司名员工年薪如下表所示，则该公司全体员工年薪的中位数是（ ） 年薪(万元) 员工数(人) A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 6. 同一坐标系中，正比例函数，，，的图象如图所示，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列选项中，菱形不具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角 8. 已知一组数据4，5，5，6，，要使这组数据的方差最小，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，在平面直角坐标系中，□AOBC的顶点B在x轴上，OA=2，∠AOB =60°， OP平分∠AOB交AC边于点P，则点P的坐标是是（ ） A. B. C. D. 10. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，则正方形D的面积是（ ） A. 8 B. 14 C. 20 D. 25 11. 如图，在菱形中，，E是上一点，连接，将沿AE翻折，使点B落在点F处，连接．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分共18分） 13. 如图，矩形OABC中，D为对角线AC，OB的交点，直线AC的解析式为，点P是y轴上一动点，当的周长最小时，线段OP的长为______． 14. 一次函数的图象经过，，则，的大小关系是________． 15. 如图，在中，分别以、为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留） 16. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为___________． 17. 将直线向上平移3个单位，得到直线_________． 18. 如图，点E是正方形的边延长线一点，连接交于F，作，交的延长线于G，连接，当时，作于H，连接，则：①点F是的中点；②；③；④．其中正确的结论有__________． 三、解答题（共46分） 19. 计算： （1） （2） 20. 2025年，随着“体重管理年”三年行动的实施，“全民减重”“全民健康”“全民运动”备受关注，成为全年龄段关注热点．我校强调落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．为了解学生一周的课后运动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课后运动时间，将数据进行整理并制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）求图1中的________，本次调查数据的中位数是________，本次调查数据的众数是________； （2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课后运动时间是多少？ （3）若该校共有3000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课后运动时间不小于的人数． 21. 如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． （1）求证：． （2）若，，求的面积． 22. 对于三个数、、，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数． （1）若，则的值为______． （2）若．则_______． 23. 已知四边形是一张矩形纸片，将四边形沿翻折，使点和点重合，点落在点处，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 24. 数学实践课上，老师带领同学们探究与折叠相关的计算，如图①，四边形ABCD是矩形，是的中点，将沿折叠，得到，点的对应点为，延长交边于点，若，求线段的长．经过小组讨论，有以下两种作辅助线的方案： 方案一：如图②，连接； 方案二：如图③，将绕点旋转至． （1）请你按照方案一计算线段的长； （2）请你按照方案二计算线段的长； （3）在方案二的条件下，连接并延长，交于点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $