精品解析：陕西省西安中学2025-2026学年高三上学期摸底考试数学试卷

陕西省西安中学高2026届高三摸底考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分 命题人：赵琳） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解集合中函数定义域和集合中函数的值域，得到这两个集合，再由定义进行补集和交集的运算. 【详解】函数有意义，则有，解得，则； ，有，得，则，， 所以. 故选：C. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，取判断A；对于B，D取特殊值进行验证判断BD；对于C，利用不等式性质进行判断. 【详解】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误， 故选：C. 3. 从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型的计算方法和分步乘法概率计算公式，求出事件的概率和积事件的概率，依据条件概率公式求出条件概率即可. 【详解】由题意，在1~10这10个数字中，5的倍数有5、10，共2个， 所以事件A发生的概率， 记事件AB表示“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数且第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”， 若第一次抽到5，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法； 若第一次抽到10，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法； 所以. 根据条件概率公式，. 故选：B. 4. 近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周的汽油价格分别为m元/升，n元/升()，甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买40元的汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. ，的大小无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出，关于，的表达式，再根据基本不等式即可求解． 【详解】由题意得，，， 则， ， 所以． 故选：C． 5. 某校安排高一年级（1）~（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 60 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】根据只有高一（1）班被安排到A基地与还有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地两种情况，结合排列组合知识求解即可. 【详解】由题得，若只有高一（1）班被安排到A基地，则有（种）安排方法， 若还有1个班和高一（1）班一起被安排到A基地，则有（种）安排方法， 故高一（1）班被安排到A基地的安排方法种数为种. 故选：C. 6. 已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为不等式的解集是空集， 所以不等式的解集是，  当即 时， 若 ，则 ， 舍； 若 ，则 ， ； 当时，则 ，解得 ， 综上所述 ， 所以条件是条件的充分不必要条件． 故选：A． 7. 英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，由二项分布的性质计算概率即可. 【详解】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍. 所以向左下落的概率为，向右下落的概率为， 则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置， 故此时概率为：. 故选：A 8. 已知变量的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下： 16 17 18 19 50 34 41 31 由上表可得线性回归方程，则（ ） A. －5 B. C. 126.5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格数据求,，代入回归方程求参数，结合得，由方程的形式可知，即可求c. 【详解】由表格数据知：,, 由可得到； 由得，， 所以，即. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在经验回归方程中，若样本相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 B. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10 C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 D. 样本甲中有m件样品，其方差为，样本乙中有n件样品，其方差为，则由甲乙组成的总样本的方差为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，根据相关系数的含义判断；对B，由百分位数求法可判断；对C，根据独立性检验的思想判断；对D，由分层抽样的方差公式求解即可判断. 【详解】对于A，相关系数，且越接近于1，相关程度越大，反之两个变量的线性相关性越弱，故A错误； 对于B，数据是从小到大排列的，由， 则第75百分位数为第6项数据与第7项数据的平均数为，故B正确； 对于C，因为，所以有的把握可判断分类变量与有关联，此推断犯错误的概率不大于，故C正确； 对于D，设样本甲的平均数为，样本乙的平均数为，甲乙组成的总样本的平均数为， 所以甲乙组成的总样本的方差为，故D错误. 故选：BC. 10. 设正实数，满足，则（） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用“常数代换法”结合基本不等式即可求解；对于B，平方后再利用基本不等式求解，再开方即可；对于C，直接利用基本不等式即可；对于D，由平方平均数大于等于算术平均数即可求解. 【详解】对于A，因为正实数，满足，所以， 当且仅当且，即时等号成立，故A错误； 对于B，，则， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 11. 某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B. 顾客最终获得6张优惠券的概率是 C. 第二次抽到红球的概率是 D. 若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 【答案】AD 【解析】 【分析】在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，利用古典概率可对A判断；顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，从而可对B判断；利用全概率公式可对C判断求解；结合C项利用贝叶斯公式即可对D判断求解. 【详解】A：在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，所以抽到黄球的概率为，故A正确； B：顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，则第一次抽到绿球的概率为，第二次在绿盒中抽到绿球的概率为，所以顾客最终获得6张优惠券的概率为，故B错误； C：设第一次从红盒中抽到红球为事件，第一次从红盒中抽到黄球为事件，第一次从红盒中抽到绿球为事件， 第二次从红盒抽到红球为事件，第二次从黄盒抽到红球为事件，第二次从绿盒抽到红球为事件，设第二次抽到红球为事件， 则，，，，，， 所以，故C错误； D：第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知二项式的展开式中，二项式系数之和为64，则含的项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据求出值，再利用二项式展开式的通项公式即可得到答案. 【详解】因为二项式系数之和为64，则，则. 则二项展开式通项为， 令，解得，则含的项的系数为. 故答案为：. 13. 七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲、乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法种数为______． 【答案】192 【解析】 【分析】先将甲乙捆绑成一个单元，再讨论其所排位置，运算求解. 【详解】由题意可知，丙排在第4位，则甲乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位， 故不同的排法有种. 故答案为：192. 14. 设集合，集合. 若中恰含有2个整数，则实数a的取值范围是________ 【答案】## 【解析】 【分析】求出中不等式的解集确定出，由与交集中恰有两个整数，得到（2）且（3）且，解不等式即得解． 【详解】解：由中不等式变形得：， 解得或，即或， 函数的对称轴为， ，，， 由对称性可得，要使恰有个整数， 即这个整数解为2，3, （2）且（3）且 即， 解得， 则的取值范围为，． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合、集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解二次不等式化简集合，再利用集合交集的结论，分类讨论与两种情况，得到关于的不等式，解之即可得解； （2）利用充分不必要条件得到集合是集合的真子集，分类讨论与两种情况，得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【小问1详解】 因为， 又，， 当时，，解得， 当时，，则或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 因为命题是命题的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不同时成立），解得， 综上，，即实数的取值范围为. 16. 晨跑是指在早晨以跑步为主的进行身体锻炼的一种运动方式．某机构采用有放回简单随机抽样的方法对某高中学生的运动爱好者进行问答调查．得到成对样本观测数据的分类统计结果，已知被调查的运动爱好者中男生有40人，其中不喜欢晨跑的男生有10人；被调查的运动爱好者中女生有60人，其中不喜欢晨跑的女生有30人． （1）填表：将所给数据进行整理，填到如下2×2列联表中 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男生 10 40 女生 60 合计 100 （2）计算，并依据小概率值的独立性检验推断喜欢晨跑与性别有关？ （3）若从该校的运动爱好者中，采用分层随机抽样的方法随机抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式及数据： ，其中n=a+b+c+d． α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表为： 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男生 30 10 40 女生 30 30 60 合计 60 40 100 （2）喜欢晨跑与性别无关； （3）的分布列如下： 0 1 2 3 4 期望为.【解析】 【分析】（1）先根据条件概率求得人数完善列联表； （2）再代入公式求出，将该值与临界值比较即可求解； （3）先根据分层抽样确定抽取的男生人数和女生人数，再写出的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案. 【小问1详解】 填列联表为： 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男生 30 10 40 女生 30 30 60 合计 60 40 100 【小问2详解】 ， 因此，依据小概率值的独立性检验推断喜欢晨跑与性别无关； 【小问3详解】 由（1）知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生， 其中男生人数为，女生人数为． 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4. ， . 故随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 4 则. 17. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 【答案】（1） （2） （3） 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）将代入，根据图象的开口方向，以及，即可求得不等式的解集； （2）根据题意，转化为恒成立，分与，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解； （3）将原式化为，分，，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可得到结果． 【小问1详解】 由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. 【小问2详解】 由对一切实数恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当时，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 18. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减;(2) 【解析】 【分析】（1）的定义域为，， 对实数分情况讨论，得出单调性；（2） ，令，所以 令， ，再分情况讨论，求出实数的取值范围． 【详解】（1）的定义域为，， 若，则恒成立，∴在上单调递增； 若，则由， 当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减． 综上可知：若，在上单调递增； 若，在上单调递增，在上单调递减． （2）， 令，， ，令， ①若，，在上单调递增， ， ∴在上单调递增,， 从而不符合题意． ②若，当，， ∴在上单调递增， 从而， ∴在上单调递增,， 从而不符合题意． ③若，在上恒成立， ∴在上单调递减，， ∴在上单调递减,， 综上所述，a的取值范围是． 【点睛】本题主要考查函数单调性的求法，满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时应注意导数性质的合理利用． 19. 据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过的高速年均增长，针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k，并分成以下组，其统计结果及产品等级划分如下表所示： 质量指标 产品等级 级 级 级 级 废品 频数 试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）. （1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.记表示某天从生产线上随机抽取的个包装胶带中质量指标值在区间之外的包装胶带个数，求及的数学期望（精确到）； （2）已知每个包装胶带的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表所示：. 质量指标 利润 假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由. 参考数据：若随机变量，则，，，，. 【答案】（1），； （2）不能，理由如下： 由题意可得该包装胶带的质量指标值与对应的概率如下表所述 质量指标 利润 故每个包装胶带的利润， 则，令，可得， 故当时，则，当时，. 所以当时，取得最大值， （元）, 由已知可得改生产线的年产量为万个， 故该生产线的年盈利的最大值为（万元）， 而万元万元，故该化工厂不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资. 【解析】 【分析】（1）计算出样本的平均数，可得出，利用原则可求得的值，利用独立重复试验的概率公式可求得的值，利用二项分布的期望公式可求得的值； （2）求得每个包装胶带的利润关于的函数关系式，利用导数求得的最大值，由此可求得该生产线的年盈利的最大值，进而可得出结论. 【详解】（1）由题意可得 中间值 概率 则样本平均数， ， 而， 从而质量指标值在区间之外的概率为， 则， X的数学期望为； （2）该化工厂不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资，理由略. 【点睛】式计算随机变量的数学期望，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于中等题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安中学高2026届高三摸底考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分 命题人：赵琳） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（ ） A. B. C. D. 4. 近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周的汽油价格分别为m元/升，n元/升()，甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买40元的汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. ，的大小无法确定 5. 某校安排高一年级（1）~（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 60 D. 240 6. 已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知变量的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下： 16 17 18 19 50 34 41 31 由上表可得线性回归方程，则（ ） A. －5 B. C. 126.5 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在经验回归方程中，若样本相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 B. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10 C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 D. 样本甲中有m件样品，其方差为，样本乙中有n件样品，其方差为，则由甲乙组成的总样本的方差为 10. 设正实数，满足，则（） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B. 顾客最终获得6张优惠券的概率是 C. 第二次抽到红球的概率是 D. 若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知二项式的展开式中，二项式系数之和为64，则含的项的系数为______． 13. 七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲、乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法种数为______． 14. 设集合，集合. 若中恰含有2个整数，则实数a的取值范围是________ 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合、集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 晨跑是指在早晨以跑步为主的进行身体锻炼的一种运动方式．某机构采用有放回简单随机抽样的方法对某高中学生的运动爱好者进行问答调查．得到成对样本观测数据的分类统计结果，已知被调查的运动爱好者中男生有40人，其中不喜欢晨跑的男生有10人；被调查的运动爱好者中女生有60人，其中不喜欢晨跑的女生有30人． （1）填表：将所给数据进行整理，填到如下2×2列联表中 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男生 10 40 女生 60 合计 100 （2）计算，并依据小概率值的独立性检验推断喜欢晨跑与性别有关？ （3）若从该校的运动爱好者中，采用分层随机抽样的方法随机抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式及数据： ，其中n=a+b+c+d． α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 18. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 19. 据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过的高速年均增长，针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k，并分成以下组，其统计结果及产品等级划分如下表所示： 质量指标 产品等级 级 级 级 级 废品 频数 试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）. （1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.记表示某天从生产线上随机抽取的个包装胶带中质量指标值在区间之外的包装胶带个数，求及的数学期望（精确到）； （2）已知每个包装胶带的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表所示：. 质量指标 利润 假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由. 参考数据：若随机变量，则，，，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $