1.4 用一元二次方程解决问题（预习讲义）2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2025-2026学年数学苏科版九年级上册 第一章 一元二次方程 1.4 用一元二次方程解决问题 （预习讲义） 学习目标 1. 会分析实际问题中的数量关系，能列出一元二次方程解决一些简单的实际问题。 2. 经历“问题情境——建立数学模型——求解——检验——得出结论”的过程，体会数学建模思想和一元二次方程的应用价值。 3. 培养运用数学知识解决实际问题的能力，提高分析问题和解决问题的能力。 知识点梳理 （一）用一元二次方程解决实际问题的一般步骤 与用一元一次方程解决实际问题类似，用一元二次方程解决实际问题也需要遵循一定的步骤： 1. 审清题意： 仔细阅读题目，理解问题的背景和具体内容，明确已知条件和所求的未知量。 2. 设未知数： 选择一个适当的未知量用字母（如 ）表示，有时为了方便，也可以设间接未知数。设未知数时要写清楚单位。 3. 找出等量关系： 分析题目中的数量之间的关系，找出能够表示题目全部含义的一个（或几个）等量关系。这是列方程的关键。 4. 列出方程： 根据找出的等量关系，把题目中的已知量和未知量代入，列出一元二次方程。 5. 解方程： 运用已学的一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）求出方程的解。 6. 检验： · 数学检验： 检验所求的解是否是所列方程的解。 · 实际意义检验： 检验所求的解是否符合实际问题的意义，即是否为合理的解（如长度不能为负，人数不能为小数等）。 7. 写出答案： 根据检验的结果，写出符合实际问题的答案，并注明单位。 二、知识点梳理 （一）用一元二次方程解决实际问题的一般步骤 （详细内容同上“学习目标”中梳理的步骤，此处略，实际书写时可合并或择一详细） （二）常见的实际问题类型及等量关系举例 1. 几何图形问题（以面积、体积相关问题为主）： · 核心： 根据图形的面积公式、体积公式或题目中给出的面积（体积）关系列出等量关系。 · 例如： · 长方形面积 = 长 × 宽。若长和宽发生变化（如增加或减少），根据变化后的面积关系列方程。 · 正方形面积 = 边长 × 边长。 · 圆的面积 = (本节主要涉及平面图形，尤其是矩形、正方形)。 · 有时会涉及“边框”、“小路”等问题，注意此时总面积与阴影部分面积的关系。 2. 增长率（降低率）问题： · 核心公式： 若基数为 ，平均增长率为 （降低率为 ），经过 次增长（降低）后，结果为 ，则： · 注意： 此类问题中， 通常为 2（即经过两次增长或降低），因为是“一元二次”方程。 3. 利润问题（简单）： · 核心： 总利润 = 单件利润 × 销售量。 · 常用关系： · 单件利润 = 售价 - 进价（或成本）。 · 销售量可能会随着售价的变化而变化，题目中通常会给出两者之间的关系（如售价每上涨多少，销售量相应减少多少）。 4. 传播问题/比赛问题： · 核心： 这类问题通常涉及一个事物通过某种方式传播给若干个，这些若干个再分别传播给同样多的若干个，已知传播后的总数，求每轮传播的平均数量。 · 例如： 有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ · 等量关系： 初始人数 + 第一轮新增加人数 + 第二轮新增加人数 = 最终总人数。 （三）列方程解应用题的关键 · 找准等量关系： 这是列方程的前提和核心，要仔细审题，找出题目中不变的量或相等的关系。 · 设好未知数： 可以直接设未知数，也可以间接设未知数，设未知数时要明确所设未知数的含义。 · 规范书写： 解方程步骤可以适当简写，但“设、列、解、验、答”五个环节（验包含在解后）缺一不可，尤其要注意“验”和“答”的规范性。 知识点总结 1. 用一元二次方程解决实际问题的基本流程： 审、设、找（等量关系）、列（方程）、解（方程）、验（双重检验）、答。 2. 核心思想： 数学建模思想，即将实际问题转化为数学问题（一元二次方程）。 3. 关键步骤： · 分析题意，找出等量关系： 这是列方程的依据。 · 正确设元，列出方程： 将文字语言转化为数学符号语言。 · 解方程并检验： 不仅要检验方程的解是否正确，更要检验解是否符合实际意义。 4. 常见题型： 面积问题、增长率（降低率）问题、利润问题、传播问题等，注意每种题型的典型等量关系。 5. 注意事项： · 单位要统一。 · 解方程后，对不符合实际意义的解要舍去。 · 对于所得的一元二次方程的两个解，要根据具体问题情境判断取舍。 巩固练习 一、选择题 1．红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（　　） A． B． C． D． 2．某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有几支球队参加？设共有x支球队参加比赛，可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．随着重庆动物园熊猫新馆的建成和使用，以熊猫为主题的文创物品更受大众喜爱，国庆期间，某店熊猫玩偶平均每天可售出80个，每件盈利10元，经调查发现，售价每涨1元则销量减少4个，为了某天盈利900元，设熊猫玩偶售价上涨元，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 4．秋冬季节是流感高发期，有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．学校要组织足球比赛.赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）.计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛.根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 7．扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，三层停车库共开了380盏灯，则x 的值为　 　． 9．2023年，某省新能源汽车产能达到万辆．到了2025年，该省新能源汽车产能将达到万辆，设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为x．则根据题意可列方程为　 　． 10．一种药品原价每盒100元，经过两次降价后售价为每盒64元，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为． 11．如图，小康的爸爸借助一段墙(墙长16米)，用长21米的篱笆围成的矩形鸡舍，并在边上留一个1米宽的门．当鸡舍的长和宽分别为多少米时，鸡舍的面积为36平方米？设宽为x米，则可列方程为　 　． 12．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯105次，则参加酒会的人数为　 　． 13．某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染，设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则　 　． 14．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元.设平均每次降价的百分率为x，则可列方程是　 　. 15．如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过　 　落回地面．（结果保留小数后两位） 三、解答题 16．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 17．某水果商店销售一种进价为30元/千克的优质水果，若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）当售价为45元/千克时，每月销售水果______千克； （2）当每月利润为5250元时，这种水果的售价为多少？ （3）当这种水果的售价定为多少时，获得的月利润最大？最大利润是多少元？ 18．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 19．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为18m），另外三边用32m的篱笆围成． （1）若苗圃园的面积为96m2，求垂直于墙的一边长为多少米？ （2）苗圃园的面积能否达到150m2？请说明理由． 参考答案 1．A 2．B 3．A 4．D 5．B 6．D 7．D 8． 9． 10． 11．或 12．15． 13．6 14．55(1-x)2=35 15． 16．每轮传染中平均一个人传染了个人 17．（1）350 （2）解：设这种水果的售价为x元/千克， 则由题意，得：， 解得， 故这种水果的售价为45元/千克或65元/千克 （3）解：设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，则由题意，得： 又由可知抛物线的开口向下， ∴当时， 故水果的售价为55元/千克时，获得的月利润最大，最大利润为6250元 18．（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 根据题意，得， 解得：，（舍去）， ∴该市参加健身运动人数的年均增长率为25%； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 根据题意，得， 整理得：， 解得：， 当时，售价为， ∴， ∴购买的这种健身器材的套数为200套． 19．（1）解：设垂直于墙的一边长为x米，则有x(32−2x)＝96 解得：x1＝4，x2＝12 当x＝4时，30−2x＝22＞18，不符合题意舍去 ∴取x＝12 答：垂直于墙的一边长为12m. （2）解：苗圃园的面积不能达到150m2.理由如下： 假设面积能达到150m2列方程得：x(32−2x)＝150 化简得：x2-16x+75=0 ∵△=（-16）2-4×1×75＜0 ∴方程无实数根. 故这个苗圃园的面积不能达到150m2． 学科网（北京）股份有限公司 $$