2.1圆（基础篇）讲义2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学“圆”的核心知识点，系统梳理半径、直径、弦、弧等基本概念，通过概念辨析题夯实基础，衔接圆的周长面积计算、点与圆位置关系、圆心角及圆弧度数等内容，构建从概念理解到综合应用的学习支架。 资料设计融入思维导图辅助概念体系构建，题型分层覆盖基础辨析（如墨子“一中同长”辨圆）、生活情境应用（如绿化园地喷水池面积计算）等。通过几何直观呈现图形关系，培养抽象能力与推理意识，课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

2.1圆 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧：小于半圆周的弧。 (2)优弧：大于半圆周的弧。 型 习 练 题 圆的基本概念辨析 1．下列说法正确的是（    ） A．所有半径都相等 B．过圆心的直线是圆的直径 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的基本概念（半径、直径、对称性、等弧），熟练掌握这些概念的定义及限制条件是解题的关键． 根据圆的基本概念（半径、直径、对称性、等弧）的定义，逐一分析每个选项的正误． 【详解】解：半径相等仅在同圆或等圆中成立，否则不一定相等，A选项错误； 直径是通过圆心且两端点在圆上的线段，而过圆心的直线是无限延伸的，不是直径，B选项错误； 圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且绕圆心旋转180度后与自身重合，故 圆既是轴对称图形又是中心对称图形，C选项正确； 等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，仅长度相等不一定是等弧，D选项错误． 故选：C． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．长度相等的两条弧一定是等弧 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．半圆是弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、等弧和对称轴的定义，掌握知识点是解题的关键．正确理解弦、直径、弧、等弧和对称轴的定义是解题关键，注意细节区别． 根据圆的基本概念，包括弦、弧、等弧和对称轴的定义，逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：∵ 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦，但并非所有弦都是直径，∴ A错误； ∵ 等弧要求长度相等且在同圆或等圆中，仅长度相等不一定构成等弧，∴ B错误； ∵ 圆的对称轴是直径所在的直线，而直径是线段，不是直线，∴ C错误； ∵ 半圆是圆的一条弧，其度数为180°，∴ D正确． 故选D． 3．墨子在《墨经》中对某个几何图形的描述是“一中同长”，这个图形是（   ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的定义，解题的关键是掌握圆的定义．利用圆的定义进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，“一中”指的是定点（圆心），“同长”指的是到定点的距离相等（半径）， 所以该图形是圆． 故选：A． 4．下列命题中正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C．直径是一个圆中最长的弦 D．同圆中两条等弦所对的弧相等 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质． 根据圆的基本性质逐一分析即可． 【详解】解：A．平分弦（直径除外）的直径垂直于这条弦，原命题错误； B．同圆或等圆中，两个相等的圆心角所对的弧一定相等，原命题错误； C．直径是一个圆中最长的弦，正确； D．若一条是劣弧，另一条是优弧，则弧长不等，原命题错误； 故选：C． 5．已知的直径为，是中最长的弦，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，直径的定义，解题的关键是熟记圆的相关定义并灵活运用．根据直径的定义直接求解即可． 【详解】解：是中最长的弦， 是中的直径， 的直径为， ． 故选：B ． 圆的周长和面积问题 6．如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 7．把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆、长方形的周长、圆的面积，解决本题的关键是拼成的长方形的周长比圆的周长增加了 2 条半径长． 拼成的长方形的周长比圆的周长增加了2条半径长，从而求出半径长，代入计算即可． 【详解】解：∵圆的周长比长方形少， 半径是（厘米）， 长方形的长是（厘米）， 长方形的面积是（平方厘米）． 故选：C． 8．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为―（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是掌握相关的圆的面积公式． 根据四边形的内角和为得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为的圆的面积． 【详解】解：∵四边形内角和为， ∴四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为的圆的面积， 即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为． 故选：B． 9．如图中圆环的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆的面积的计算，利用大圆的面积减去小圆的面积即可得到答案． 【详解】解：图中圆环的面积为：． 故选：D 10．【圆的周长】小圆的直径是，大圆的半径是，小圆周长是大圆周长的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的面积的计算，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键． 根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解：∵小圆的直径是，大圆的半径是，， ∴小圆的周长是，大圆的周长是， ∴小圆周长是大圆周长的， 故选：A． 判断点与圆的位置关系 11．已知的半径为2，点到点的距离为3，则点与的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握其判断方法是解题的关键． 根据点与圆的位置关系解题即可． 【详解】解：∵的半径为，点到点的距离为， ∴， ∴点在外． 故选：C． 12．已知的半径为5，若点在内，则的长可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，注意：点P和圆O有三种位置关系：当的半径是R，点P到圆心O的距离是d，①当时，点P在上，②当时，点P在内，③当时，点P在外．根据以上内容判断即可． 【详解】解：的半径为，点在内， ∴， ∴的长可为， 故选：． 13．已知的半径为5，点P到圆心O的距离为，则点P在（   ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心的距离d和圆的半径r． 【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在外． 故选：A． 14．如图，的半径为4，以圆外一点为圆心，半径为画弧，将截成弧长相等的两部分，已知两点之间的距离为，则的值为（   ） A． B．16 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的有关概念，垂直平分线的定义，勾股定理．由将截成弧长相等的两部分得为直径，根据题意可得，，，则垂直平分，然后根据勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵将截成弧长相等的两部分， ∴为直径， ∴，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故选：． 15．已知的半径为，若点在圆内，则到圆心的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．因为点A在圆内，则点A到圆心的距离小于圆的半径，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵点在圆内，的半径为， ∴， 观察四个选项，只有， 故选：A． 圆心角概念及其简单运算 16．下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【答案】B 【分析】本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可． 【详解】解：A、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意； B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意； C、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意； D、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 17．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 18．下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 19．如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，圆心角的相关知识，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．过作于，则，对运用勾股定理即可求解． 【详解】解：过作于，由题意得， ， ∴， ∵， ， ， ∴， 故选：C． 20．下列说法中，错误的是（    ） A．顶点在圆心的角叫做圆心角 B．等于 C．各边相等的多边形叫做正多边形 D．在数轴上，与表示的点的距离为3的数有2和． 【答案】C 【分析】分别利用圆心角的定义以及正多边形的定义和角度的换算、数轴上的点的特征，分别分析得出答案． 【详解】解：A、顶点在圆心上的角叫圆心角，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，故不正确，符合题意； D、在数轴上，与表示的点的距离为3的数有2和，正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正多边形的定义和圆周角定义等知识，正确把握相关定义是解题关键． 求圆弧的度数 21．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 22．如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 23．如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，根据三角形外角的性质可得，根据等边对等角可得，进而可得． 【详解】 由题意知 ∴ ∵量角器为半圆 ∴ ∴ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查量角器的使用、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、圆的性质等知识点，难度较小，解题的关键是读懂题意，得出小量角器上对应的度数为的度数． 24．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B． 【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键． 25．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】C 【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1圆 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧：小于半圆周的弧。 (2)优弧：大于半圆周的弧。 型 习 练 题 圆的基本概念辨析 1．下列说法正确的是（    ） A．所有半径都相等 B．过圆心的直线是圆的直径 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 2．下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．长度相等的两条弧一定是等弧 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．半圆是弧 3．墨子在《墨经》中对某个几何图形的描述是“一中同长”，这个图形是（   ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．三角形 4．下列命题中正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C．直径是一个圆中最长的弦 D．同圆中两条等弦所对的弧相等 5．已知的直径为，是中最长的弦，则的长为（   ） A． B． C． D． 圆的周长和面积问题 6．如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 8．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为―（    ） A． B． C． D．不能确定 9．如图中圆环的面积为（     ） A． B． C． D． 10．【圆的周长】小圆的直径是，大圆的半径是，小圆周长是大圆周长的（     ） A． B． C． D． 判断点与圆的位置关系 11．已知的半径为2，点到点的距离为3，则点与的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不确定 12．已知的半径为5，若点在内，则的长可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．以上都有可能 13．已知的半径为5，点P到圆心O的距离为，则点P在（   ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定 14．如图，的半径为4，以圆外一点为圆心，半径为画弧，将截成弧长相等的两部分，已知两点之间的距离为，则的值为（   ） A． B．16 C．8 D． 15．已知的半径为，若点在圆内，则到圆心的距离可以是（    ） A． B． C． D． 圆心角概念及其简单运算 16．下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 17．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 18．下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 19．如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 20．下列说法中，错误的是（    ） A．顶点在圆心的角叫做圆心角 B．等于 C．各边相等的多边形叫做正多边形 D．在数轴上，与表示的点的距离为3的数有2和． 求圆弧的度数 21．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 22．如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（    ） A． B． C． D． 24．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 25．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 学科网（北京）股份有限公司 $