（篇三）第一单元圆·圆的面积篇【二十一大考点】-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第一单元圆·圆的面积篇【二十一大考点】 专题名称 第一单元圆·圆的面积篇 专题内容 本专题以圆的面积为主，其中包括圆的面积计算、半圆和圆环的面积、圆面积的实际应用问题以及其他相关问题等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题是圆单元的重点和难点内容，考点划分众多、内容丰富，考查难度较大，题型以填空、选择、计算、应用等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 二十一大考点 【考点一】圆的面积计算公式的推导（圆与长方形的拼切转化问题） 4 【考点二】圆的面积计算 6 【考点三】已知周长，求圆的面积 7 【考点四】半圆的面积 8 【考点五】半圆的面积与生活实际应用 8 【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题 9 【考点七】周长相等时，面积大小的比较 11 【考点八】含圆的阴影图形，面积大小的比较 12 【考点九】三种关系之半径、直径和周长、面积的倍数关系 14 【考点十】三种关系之半径、直径和周长、面积的比例关系 15 【考点十一】三种关系之半径、直径和周长、面积的增减变化关系 17 【考点十二】圆环的认识和面积 18 【考点十三】半圆环的面积 20 【考点十四】利用整体代换法求圆环的面积 21 【考点十五】长方形中的最圆问题 22 【考点十六】外方内圆（方中圆） 23 【考点十七】外圆内方（圆中方） 24 【考点十八】外方内圆与外圆内方综合 25 【考点十九】圆面积的应用问题其一：钟表指针问题 26 【考点二十】圆面积的应用问题其二：相遇问题 27 【考点二十一】圆面积的应用问题其三：组合图形的面积问题 29 【考点一】圆的面积计算公式的推导（圆与长方形的拼切转化问题） 方法点拨 1. 圆的面积的意义。 圆所占平面的大小就是圆的面积。 2. 圆的面积公式的推导。 把一个圆切拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母πr表示，宽相当于圆的半径，用字母r表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积S=πr2。 3. 两种数学思想。 （1）把圆剪拼成近似的长方形，根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积计算公式，体现了转化的思想。 （2）将圆平均分成的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形，这里应用了极限思想。 4. 古代数学文化。 我国古代的数学专著《九章算术》“方田章”中记载了这样一种求圆的面积的方法：“周径相乘，四而一。”意思就是用圆的周长和直径相乘，再除以4，就可以得到这个圆的面积。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题1】基础问题 把圆按下图所示的顺序逐步细分，拼成长方形的样子。这样细分下去，圆的面积就是a和b的积。从图中可以看出：    (1)a是圆的( )。 (2)b是圆的( )。 (3)如果a＝2厘米，这个圆的面积为( )。 【对应练习1】 把一个圆平均分成若干份，正好可以拼成宽为4cm的长方形，这个长方形的长是( )cm，原来圆的面积是( )cm2。 【对应练习2】 将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形（如下图），圆的面积是( )cm2。    【典型例题2】进阶问题 如图，将一个圆形纸片等分成若干份，拼成一个近似的长方形，周长比原来圆周长多8厘米，圆形纸片的半径是( )厘米，这张圆形纸片的面积是( )平方厘米。    【对应练习1】 如图，把一个圆平均分成若干份，剪开拼成一个近似的平行四边形，结果周长多了6cm。这个平行四边形的周长是( )cm；原来圆的面积是( )cm2。 【对应练习2】 把一个圆分成若干等份后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长比圆的周长多了10cm，这个圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。 【典型例题3】拓展问题 把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的周长为41.4cm，这个圆的面积是( )。 【对应练习1】 把一个圆切割后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长为24.84厘米，原来这个圆的面积是( )平方厘米。 【对应练习2】 把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形（如右图）。已知这个近似长方形的周长是24.84厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【考点二】圆的面积计算 方法点拨 圆的面积S=πr2。 考察形式 填空、计算 动态评价 【典型例题】 一个圆的直径是，它的周长是( )，面积是( )。 【对应练习1】 半径是5米的圆形鼓楼中心盘，它的周长是( )米，面积是( )平方米。 【对应练习2】 一个圆的直径是6厘米，半径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【对应练习3】 一个圆的半径是2厘米，它的直径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【考点三】已知周长，求圆的面积 方法点拨 已知圆的直径或周长求圆的面积，一般要先求出半径，再代入公式求面积。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 如果要画一个周长是6.28dm的圆，圆规两脚间的距离是( )dm，所画圆的面积是( )dm2。 【对应练习1】 用一根长12.56cm的铁丝围成一个最大的圆，圆的周长是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【对应练习2】 刘师傅有一根长15.7cm的铁丝，将它弯成一个最大的圆形铁环，它的半径是( )cm，圆的面积是( )cm2。 【对应练习3】 用圆规画一个周长为25.12厘米的圆，圆规两脚间的距离应取( )厘米，所画圆的面积是( )平方厘米。 【考点四】半圆的面积 方法点拨 半圆的面积：S半圆=πr2÷2。 考察形式 填空、计算 动态评价 【典型例题】 一个半圆半径为3厘米，它的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 【对应练习1】 直径是4厘米的半圆，它的周长是( )，面积是( )。 【对应练习2】 把一张周长是18.84dm的圆形纸片对折成半圆，这个半圆的周长是( )dm，面积是( )dm2。 【对应练习3】 一个周长为20.56 cm的半圆，它半径是( )cm，面积是( )cm²。 【考点五】半圆的面积与生活实际应用 方法点拨 半圆的面积：S半圆=πr2÷2。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 小红家想靠墙建一个鸡舍，已知每只鸡占地面积相同。小红和妈妈分别设计了一个半圆和一个正方形（如下图），请你通过计算，判断出谁设计的鸡舍养的鸡多？（取3） 【对应练习1】 李奶奶家的养鸡场（如图），一面靠墙，一面用竹篱笆围成半圆，它的半径是6m。 （1）修这个养鸡场用了多长的竹篱笆？ （2）李奶奶要扩建这个养鸡场，把它的半径增加2m。养鸡场的面积会增加多少？ 【对应练习2】 东东家有一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场，这个半圆的直径是8米，篱笆长多少米？鸡场占地多少平方米？ 【对应练习3】 王奶奶用78.5米长的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场。这个养鸡场的占地面积是多少平方米？ 【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题 方法点拨 用同一根铁丝围成正方形、正方形或圆，周长不变，以此求面积。 考察形式 填空 动态评价 【典型例题1】与正方形的转化 一根铁丝围成了一个边长7.85厘米的正方形（接头不计），如果把这根铁丝围成最大的圆（接头不计），圆的周长是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【对应练习1】 一根铁丝可以围成一个边长为1.57dm的正方形，如果用这根铁丝围成一个圆形，那么这个圆形的面积是( )dm2。 【对应练习2】 两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长是6.28厘米，圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【对应练习3】 用一根长15.7厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是( )平方厘米；如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是( )平方厘米。 【典型例题2】与长方形的转化 一根铁丝刚好能围成一个长8厘米，宽4.56厘米的长方形。如果将这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积有多少平方厘米？ 【对应练习1】 一段铁丝刚好能围成一个长10.5厘米、宽2.06厘米的长方形，用同样长的铁丝围成一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】 一根铁丝围成一个长10cm，宽5.7cm的长方形，用这根铁丝再围成一个最大的圆形，这个圆形的面积是多少? 【考点七】周长相等时，面积大小的比较 方法点拨 在周长相等的圆、正方形、长方形等图形中，圆的面积最大。 考察形式 填空、应用 动态评价 【典型例题】 有一根628厘米长的铁丝，如果用它正好围成一个长方形（长和宽自己确定），面积是多少？要围成一个正方形，面积是多少？围成圆呢？围成的图形中，哪种面积最大？ 【对应练习1】 用三根同样长的铁丝分别围成一个圆、一个长方形和一个正方形，其中( )的面积最大。 【对应练习2】 把一根24分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆，其中，( )面积最大，( )面积最小。 【对应练习3】 把一根24分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆．其中，( )面积最大，( )面积最小。 【考点八】含圆的阴影图形，面积大小的比较 方法点拨 当不同位置的圆半径或直径相等时，面积也相等。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 观察下边两个图形中的阴影部分，它们周长和面积的大小关系是( )。 A．周长和面积都相等 B．周长和面积都不相等 C．周长不相等，面积相等 【对应练习1】 在下图两个边长相等的正方形中，涂色部分比较，( )。      A．周长相等，面积不相等B．周长和面积都相等 C．面积相等，周长不相等 【对应练习2】 如图，比较两个正方形中的阴影部分，周长、面积的大小关系为( )。 A．面积不相等，周长相等 B．周长不相等，面积相等 C．周长和面积都不相等 D．周长和面积都相等 【对应练习3】 如图所示，两个正方形大小相同，关于两个图形阴影部分的说法正确的是( )。 A．周长不相等，面积相等 B．周长和面积都不相等 C．周长相等，面积不相等 D．周长和面积都相等 【典型例题2】问题二 从甲、乙两张完全相同的正方形纸上剪下一些圆形纸片（如下图），两块正方形纸剩余的面积相比，( )。 A．甲剩余的面积大 B．乙剩余的面积大C．甲和乙剩余的面积一样大 【对应练习1】 如图，用甲乙两块完全相同的正方形铁皮切割圆形铁片，两块正方形铁皮剩余的面积相比，( )。 A．甲剩余的面积大 B．乙剩余的面积大 C．一样大 【对应练习2】 从两个相同规格的正方形铁皮上分别剪下不同规格的圆（如图），剩下的铁皮面积相比较( )。 A．图1大 B．图2大 C．相等 D．无法比较 【对应练习3】 从三张同样大小的正方形铁皮中，分别按下面的三种方式剪出不同规格的圆片。剪完圆片后，哪张铁皮剩下的废料多？( ) A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．一样多 【考点九】三种关系之半径、直径和周长、面积的倍数关系 方法点拨 在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，面积扩大倍数的平方倍。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大( )，周长就扩大( )倍。 【对应练习1】 一个圆的半径扩大4倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。 【对应练习2】 一个圆的周长扩大5倍，它的直径扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。 【对应练习3】 一个圆的半径扩大a倍，直径扩大( )倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。 【典型例题2】问题二 大圆的半径是小圆的半径的2倍，则小圆周长是大圆周长的( )，大圆面积是小圆面积的( )倍。 【对应练习1】 有大小两个圆，大圆直径是小圆直径的3倍，那么大圆周长是小圆周长的( )倍；小圆面积是大圆面积的( )。（填几分之几） 【对应练习2】 大圆半径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，小圆面积是大圆面积的( )。 【对应练习3】 大圆半径是小圆半径的5倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，大圆面积是小圆面积的( )倍。 【考点十】三种关系之半径、直径和周长、面积的比例关系 方法点拨 1. 两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。 2. 圆周长和直径的比是π:1，比值是π；圆周长和半径的比是2π:1，比值是2π。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 两圆的半径之比，它们的面积之比是( )，周长之比是( )。 【对应练习1】 两个圆的半径之比是4∶3，它们的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )，如果较大的圆的周长是12.56cm，则较小的圆的周长是( )cm。 【对应练习2】 小圆直径8厘米，大圆半径6厘米，小圆和大圆直径之比是( )；小圆和大圆周长比是( )；小圆和大圆的面积比是( )。 【对应练习3】 已知小圆半径是大圆半径的，则小圆与大圆的周长之比是( )，如果小圆面积是，则大圆面积是( )。 【典型例题2】问题二 如图：大圆半径为8厘米，小圆半径为4厘米，则大圆与小圆的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处，那么小圆的圆心移动的长度是( )厘米。 【对应练习1】 下图是由一个大圆和一个小圆组成的，点O是大圆的圆心。小圆与大圆的半径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。 【对应练习2】 三个同心圆（如图），已知OA：AB：BC的比是1：2：3，那么这三个圆（从小到大）的周长之比是( )，面积之比是( )。 【对应练习3】 （如图）如果大圆的半径和小圆的直径相等，那么大圆面积与小圆面积之比是( )。 A．2∶1 B．4∶1 C． D． 【考点十一】三种关系之半径、直径和周长、面积的增减变化关系 方法点拨 1. 周长的变化。 算出增加后圆的周长和原来的周长进行相减得到周长增加的部分。 当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 2.面积的变化。 算出增加后圆的面积和原来的面积进行相减得到面积增加的部分。 考察形式 填空 动态评价 【典型例题】 一个半径是3dm的圆，如果半径增加1dm，那么周长增加( )dm，面积增加( )dm2。 【对应练习1】 圆的半径由4cm增加到5cm，它的周长增加( )cm，它的面积增加( )cm2。（π取3.14） 【对应练习2】 一个圆的半径是6m，周长是( )m，面积是( )m2；如果这个圆的半径增加1m，则周长增加( )m，面积增加( )m2。 【对应练习3】 用篱笆围一个半圆形养鸡场，一面靠墙，篱笆长15.7米。如果将养鸡场半径增加1米，需要增加围栏( )米，则面积增加( )平方米。 【考点十二】圆环的认识和面积 方法点拨 1. 认识圆环。 以同一点为圆心画出两个半径不相等的圆，两圆之间的部分叫圆环。 2. 圆环的特征。 圆环是轴对称图形，它有无数条对称轴，通过圆心的直线都是它的对称轴。 3. 圆环各部分的名称。 4. 圆环的面积计算公式。 S圆环=πR²－πr²=π(R²－r²) 5. 古代数学文化。 我国古代数学专著《九章算术》“方田章”中记载了这样一种求圆环面积的方法：“并中外周而半之，以径乘之为积步。”意思是将外圆和内圆的周长的平均数乘环的宽度可以得到圆环的面积。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 这是西周圆形圆孔钱平面图（如图）的面积大约是多少平方厘米？（得数保留一位小数） 【对应练习1】 一个圆形花坛的直径是50米，中间是一个直径为30米的圆形水湖，其余地方是草坪，草坪的面积是多少平方米？如果每平方米草坪需要肥料0.8千克，给这块草坪施肥需要肥料多少千克？ 【对应练习2】 公园要修建一个圆形花坛，花坛的直径是40米，在花坛周边铺10米宽的草坪。 （1）花坛和草坪整个场地的占地面积是多少？ （2）如果铺1平方米草坪需要10元，那么铺草坪需要多少元？ 【对应练习3】 圆形池塘的周长是25.12米（如图），在池塘的周围修一条2米宽的水泥路，水泥路的面积是多少平方米？ 【考点十三】半圆环的面积 方法点拨 半圆环的面积：S=(πR2－πr2)÷2。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 在一个半径为10米的圆形喷泉周围修一条宽3米的小路，小路一半面积铺鹅卵石，一半面积铺水泥。小路铺水泥（如下图）的面积是多少平方米？ 【对应练习1】 如图所示。李爷爷靠墙用篱笆围了一块半圆形的苗圃，半径是4米。如果要扩建这个苗圃，把这块苗圃的半径增加2米，这块半圆形苗圃的面积增加了多少平方米？ 【对应练习2】 一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。 （1）这个花坛的面积有多大？ （2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？ 【对应练习3】 一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。 （1）这个花坛的面积有多大？ （2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？ 【考点十四】利用整体代换法求圆环的面积 方法点拨 整体代换法，即通过平面图形之间的等量关系，将图形面积整体代换，再根据相应面积公式求出面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图所示，阴影部分的面积是100平方厘米，求圆环的面积。 【对应练习1】 下图中阴影部分的面积是5平方厘米，求圆环的面积。 【对应练习2】 图中阴影部分的面积是400平方厘米，环形的面积是多少？（取3.14） 【对应练习3】 如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【考点十五】长方形中的最圆问题 方法点拨 在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 考察形式 填空、计算 动态评价 【典型例题】 在一张长6cm，宽4cm的长方体纸上画一个最大的圆，那么圆规两脚间的距离是( )厘米；所画圆的面积是( )平方厘米。 【对应练习1】 在一块长8分米、宽6分米的长方形铁板上，剪掉一个最大的圆，剩下部分的面积是( )平方分米。 【对应练习2】 在长8cm，宽0.6dm的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【对应练习3】 在一张长8cm、宽6cm的长方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm，面积是( )cm2。 【考点十六】外方内圆（方中圆） 方法点拨 1. 外方内圆的意义。 “外方内圆”就是在正方形内画一个最大的圆。 2. 外方内圆的解题方法。 正方形的边长a=圆的直径d，圆的面积与正方形面积比为π:4，若圆的半径为r，则方圆之间的面积为0.86r²。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，在一张边长10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )，剩余部分的面积是( )。 【对应练习1】 在一个面积为40平方厘米的正方形里，剪下一个最大的圆，圆的面积是( )平方厘米。 【对应练习2】 在一张周长20分米的正方形上剪下一个最大的圆，则剩余部分的面积是( )平方分米。 【对应练习3】 数学课上，小明用边长8cm的正方形纸，小华用边长10cm的正方形纸，各剪了一个最大的圆，小明和小华所剪的圆的周长之比是( )，面积之比是( )。 【考点十七】外圆内方（圆中方） 方法点拨 1. 外圆内方的意义。 “外圆内方”就是圆内画一个最大的正方形。 2. 外圆内方的解题方法。 作辅助线后发现：圆的直径等于正方形的对角线的长，正方形的面积等于两个底是圆的直径、高是圆的半径的三角形面积之和，圆的面积与正方形的面积比为π:2，若圆的半径为r，则方圆之间的面积为1.14r²。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 在一个圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是72平方厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 【对应练习1】 把一个圆形纸片折成一个最大的正方形，这个正方形的对角线长8cm，那么这个圆形纸片的面积是( )平方厘米，折起来的部分的面积是( )平方厘米。 【对应练习2】 在一个周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是( )平方厘米，这个正方形的面积与这个圆的面积最简单整数比是( )∶( )。 【对应练习3】 如图，在周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，阴影部分的面积是( )平方厘米。 【考点十八】外方内圆与外圆内方综合 方法点拨 外方内圆，正方形和圆的面积之比是4:π;外圆内方，圆和正方形的面积之比是π:2。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图中，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，再在圆里画一个最大的正方形，那么阴影部分的面积是( )cm2。 【对应练习1】 大圆内有一个最大的正方形，正方形内有一个最大的圆，大圆面积和小圆面积的比是( )。 A．4∶1 B．200∶157 C．2∶1 D．200∶43 【对应练习2】 如图，大圆内画一个最大的正方形，正方形内画一个最大的圆…，如此画下去，共画了4个圆．那么，最大的圆的面积是最小的圆的( )倍。 A．2 B．4 C．8 D．16 【考点十九】圆面积的应用问题其一：钟表指针问题 方法点拨 时针和分针可看作圆的半径，求周长或面积时，应先分析出时针或分针走的 圈数。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一个钟表的分针长10厘米，时针长8厘米。从1时到2时，分针针尖走过了多少厘米？这时时针扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留两位小数） 【对应练习1】 一个挂钟的分针长12厘米，经过15分钟，分针尖端走过的路程是多少厘米？分针扫过内面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】 某钟表的分针长10厘米，从1时到4时，分针针尖走过了多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？ 【对应练习3】 一个钟表的时针长8厘米，分针长10厘米，从中午12时到下午6时，时针扫过的面积是多少？一昼夜分针尖端走过的路程是多少？ 【考点二十】圆面积的应用问题其二：相遇问题 方法点拨 相遇时间=路程÷速度和。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一天，小军和小芳到一个近似于圆的公园游玩，两人突然想到一个数学问题：“这个公园的面积大约是多少平方米？”经过探究，两人想出了一个好办法：两人沿着公园的A点处同时出发，背向而跑，如图。小军的速度是164米/分钟，小芳的速度是150米/分钟，经过2分钟两人相遇。你能按他们的办法算出这个公园的面积吗？试一试。 【对应练习1】 小明和小芳从圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，小明每分钟走83米，小芳每分钟走74米。    （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）它的占地面积是多少平方米？ 【对应练习2】 小明和小红经常到公园里的圆形露天舞台散步。一天，他们从圆形露天舞台边沿同一地点同时出发，沿着圆形露天舞台的边沿背向而行，2分钟后，两人相遇，小明每分钟走75米，小红每分钟走82米。 （1）这个圆形露天舞台的周长是多少米？ （2）这个圆形露天舞台占地多少平方米？ 【对应练习3】 王芳和张浩从圆形牧场的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，王芳每分钟走69米，张浩每分钟走88米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）它的占地面积是多少平方米？ 【考点二十一】圆面积的应用问题其三：组合图形的面积问题 方法点拨 组合图形的面积问题，先求出组合图形的面积，再解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形。 （1）沿着这个运动场跑一圈的路程是多少米？ （2）这个运动场的占地面积是多少平方米？ 【对应练习1】 六（1）班的同学们在学习园地中用彩色卡纸设计一个如图的“荣誉栏”，把每周表现突出的同学照片张贴在“荣誉栏”里，算一算这样的“荣誉栏”需要彩色卡纸多少平方分米？ 【对应练习2】 有一个街心花坛（如下图）。图中正方形的边长为15米，正方形的顶点正好是四个圆的圆心，圆的半径是5米。这个花坛的面积是多少平方米？ 【对应练习3】 一个冰球比赛场地（如下示意图），四角为半径8米、圆心角90度的扇形圆弧。请你借助示意图画一画，标一标，并计算出这个冰球比赛场地的使用面积。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 71 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 71 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第一单元圆·圆的面积篇【二十一大考点】 专题名称 第一单元圆·圆的面积篇 专题内容 本专题以圆的面积为主，其中包括圆的面积计算、半圆和圆环的面积、圆面积 的实际应用问题以及其他相关问题等内容。 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 本专题是圆单元的重点和难点内容，考点划分众多、内容丰富，考查难度较大， 题型以填空、选择、计算、应用等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 二十一大考点 【考点一】圆的面积计算公式的推导（圆与长方形的拼切转化问题） ...........................................4 【考点二】圆的面积计算 ................................................................................................................................... 10 【考点三】已知周长，求圆的面积 ................................................................................................................... 12 【考点四】半圆的面积 ........................................................................................................................................13 【考点五】半圆的面积与生活实际应用 ........................................................................................................... 16 【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题 ........................................................................................... 18 【考点七】周长相等时，面积大小的比较 ....................................................................................................... 21 【考点八】含圆的阴影图形，面积大小的比较 ........................................................................ 23 【考点九】三种关系之半径、直径和周长、面积的倍数关系 .......................................................................31 【考点十】三种关系之半径、直径和周长、面积的比例关系 .......................................................................34 第 3 页 共 71 页 【考点十一】三种关系之半径、直径和周长、面积的增减变化关系 ...........................................................38 【考点十二】圆环的认识和面积 .............................................................................................................. 42 【考点十三】半圆环的面积 ............................................................................................................................... 45 【考点十四】利用整体代换法求圆环的面积 ................................................................................................... 49 【考点十五】长方形中的最圆问题 ................................................................................................................... 52 【考点十六】外方内圆（方中圆） ............................................................................................ 54 【考点十七】外圆内方（圆中方） ............................................................................................ 56 【考点十八】外方内圆与外圆内方综合 ........................................................................................................... 59 【考点十九】圆面积的应用问题其一：钟表指针问题 ................................................................................... 62 【考点二十】圆面积的应用问题其二：相遇问题 ........................................................................................... 65 【考点二十一】圆面积的应用问题其三：组合图形的面积问题 ............................................68 第 4 页 共 71 页 【考点一】圆的面积计算公式的推导（圆与长方形的拼切转化问题） 方法点拨 1. 圆的面积的意义。 圆所占平面的大小就是圆的面积。 2. 圆的面积公式的推导。 把一个圆切拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长相当于圆周长的一半， 用字母πr表示，宽相当于圆的半径，用字母 r表示，因为长方形的面积=长× 宽，所以圆的面积 S=πr2。 3. 两种数学思想。 （1）把圆剪拼成近似的长方形，根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积 计算公式，体现了转化的思想。 （2）将圆平均分成的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形，这里应用了 极限思想。 4. 古代数学文化。 我国古代的数学专著《九章算术》“方田章”中记载了这样一种求圆的面积 的方法：“周径相乘，四而一。”意思就是用圆的周长和直径相乘，再除以 4，就可以得到这个圆的面积。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题 1】基础问题 把圆按下图所示的顺序逐步细分，拼成长方形的样子。这样细分下去，圆的面积就是 a和 b的 积。从图中可以看出： 第 5 页 共 71 页 (1)a是圆的( )。 (2)b是圆的( )。 (3)如果 a＝2厘米，这个圆的面积为( )。 【答案】(1)半径 (2)周长的一半 (3)12.56平方厘米 【分析】根据题图可知，一个圆被平均分成的份数越多，拼成的图形越接近长方形。长方形的 宽 a就是圆的半径，长方形的长 b就是圆周长的一半。根据“S＝πr2”求出圆的面积即可。 【详解】（1）a是圆的半径。 （2）b是圆的周长的一半。 （3）3.14×42＝12.56（平方厘米） 【点睛】熟练掌握圆面积的推导过程是解答本题的关键。 【对应练习 1】 把一个圆平均分成若干份，正好可以拼成宽为 4cm的长方形，这个长方形的长是( )cm， 原来圆的面积是( )cm2。 【答案】 12.56 50.24 【分析】已知把一个圆剪拼成一个近似的长方形，那么长方形的长等于圆的周长的一半，宽等 于圆的半径；根据圆的周长公式 C＝2πr，圆的面积公式 S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】2×3.14×4÷2＝12.56（cm） 3.14×42 第 6 页 共 71 页 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 这个长方形的长是 12.56cm，原来圆的面积是 50.24cm2。 【点睛】本题考查圆的面积公式推导过程的应用，明确把一个圆剪拼成一个近似长方形时，长 方形的长、宽与圆的周长、半径的关系是解题的关键。 【对应练习 2】 将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形（如下图），圆的面积是( )cm2。 【答案】12.56 【分析】将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长相当于圆的周长的一 半，根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计 算即可。 【详解】6.28÷3.14＝2（cm） 3.14×22＝3.14×4＝12.56（cm2） 则圆的面积是 12.56cm2。 【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。 【典型例题 2】进阶问题 如图，将一个圆形纸片等分成若干份，拼成一个近似的长方形，周长比原来圆周长多 8厘米， 圆形纸片的半径是( )厘米，这张圆形纸片的面积是( )平方厘米。 【答案】 4 50.24 【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成若干份，沿半径剪开，再拼成一 个近似长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，拼成的长方形的周长比 第 7 页 共 71 页 圆的周长增加了两条半径的长度，据此可以求出圆的半径，再根据圆的面积公式： 2S r ； 把数据代入公式解答。 【详解】8÷2＝4（厘米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 圆形纸片的半径是 4厘米，这张圆形纸片的面积是 50.24平方厘米。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用，圆的周长的意义及应用。 【对应练习 1】 如图，把一个圆平均分成若干份，剪开拼成一个近似的平行四边形，结果周长多了 6cm。这个 平行四边形的周长是( )cm；原来圆的面积是( )cm2。 【答案】 24.84 28.86 【分析】把一个圆平均分成若干份，剪开拼成一个近似的平行四边形，结果周长多了 6cm，多 的 6cm是圆的两个半径，用 6÷2求出圆的半径，再根据圆的周长＝2 π r，求出圆的周长，再用 圆的周长加上半径的 2倍就是平行四边形的周长；根据圆的面积＝ π×半径的平方，求出原来 圆的面积。 【详解】6÷2＝3（cm） 2×3.14×3＋3×2 ＝6.28×3＋6 ＝18.84＋6 ＝24.84（cm） 3.14× 23 ＝3.14×9 ＝28.26（ 2cm ） 所以这个平行四边形的周长是 24.84cm，原来圆的面积是 28.26 2cm 。 【对应练习 2】 第 8 页 共 71 页 把一个圆分成若干等份后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长比圆的周长多了 10cm， 这个圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 5 78.5 【分析】由题意可知，长方形周长比圆的周长多的部分是两个圆的半径，据此用 10cm除以 2， 求出圆的半径。再根据圆的面积公式 2πS r ，列式计算出它的面积即可。 【详解】10 2 5  （cm） 23.14 5 3.14 25  78.5 （cm2） 这个圆的半径是 5cm，面积是 78.5cm2。 【典型例题 3】拓展问题 把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的周长为 41.4cm，这个圆的面积是( )。 【答案】78.5平方厘米/78.5cm2 【分析】将圆剪开拼接成一个近似的长方形， ，如图所示，长方形的周长 ＝圆的周长＋两个半径，据此等量关系列方程求出圆的半径，再代入圆的面积公式即可。 【详解】解：设圆的半径为 r厘米。 2×3.14×r＋2r＝41.4 6.28r＋2r＝41.4 8.28r＝41.4 8.28r÷8.28＝41.4÷8.28 r＝5 圆的面积： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 这个圆的面积是 78.5平方厘米。 【点睛】此题考查圆的面积公式，明确圆拼接成长方形周长会多两个半径是解题的关键。 【对应练习 1】 第 9 页 共 71 页 把一个圆切割后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长为 24.84厘米，原来这个圆的面积 是( )平方厘米。 【答案】28.26 【分析】把一个圆剪开后拼成一个近似的长方形，这个长方形的长就等于这个圆的周长的一半， 宽相当于圆的半径，据此先求出圆的半径，再根据圆的面积公式计算即可 【详解】解：设圆的半径为 r，则长方形的长是πr，宽是 r。 πr＋r＝24.84÷2 4.14r＝12.42 r＝3 3.14×32＝28.26（平方厘米） 则原来这个圆的面积是 28.26平方厘米。 【点睛】考查了圆的周长和圆的面积公式的推导，注意圆的周长是拼成近似的长方形的长的 2 倍。 【对应练习 2】 把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形（如右图）。已知这个近似长方形的周长是 24.84厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。（π取 3.14） 【答案】28.26 【分析】把一个圆形纸片剪开后，拼成一个宽等于半径，面积相等的近似长方形。这个近似长 方形的周长就比圆的周长多了圆半径的 2倍，可求出圆的半径，然后根据圆面积公式求出面积 即可。 【详解】圆的半径是： 24.84÷（2＋3.14×2） ＝24.84÷（2＋6.28） ＝24.84÷8.28 ＝3（厘米） 圆的面积是： 3.14×3² 第 10 页 共 71 页 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 【点睛】本题考查了根据圆面积公式求圆面积以及把一个圆形剪开，拼成一个近似长方形，解 答此题应注意这个近似长方形的周长，就比圆的周长多了圆半径的 2倍的知识。 【考点二】圆的面积计算 方法点拨 圆的面积 S=πr2。 考察形式 填空、计算 动态评价 【典型例题】 一个圆的直径是2cm，它的周长是( )cm，面积是( ) 2cm 。 【答案】 6.28 3.14 【分析】圆的周长＝πd，圆的面积＝πr2，据此解答。 【详解】3.14×2＝6.28（cm） 3.14×（2÷2）2 ＝3.14×1 ＝3.14（cm2） 则它的周长是 6.28cm，面积是 3.14cm2。 【对应练习 1】 半径是 5米的圆形鼓楼中心盘，它的周长是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 31.4 78.5 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，圆的面积公式：面积＝π×半径 2，代入数据， 即可求出周长和面积。 【详解】3.14×5×2 ＝15.7×2 ＝31.4（米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 第 11 页 共 71 页 半径是 5米的圆形鼓楼中心盘，它的周长是 31.4米，面积是 78.5平方米。 【对应练习 2】 一个圆的直径是 6厘米，半径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( ) 平方厘米。 【答案】 3 18.84 28.26 【分析】根据半径＝直径÷2，圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，据此代入数值 进行计算即可。 【详解】6÷2＝3（厘米） 3.14×6＝18.84（厘米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 则一个圆的直径是 6厘米，半径是 3厘米，周长是 18.84厘米，面积是 28.26平方厘米。 【对应练习 3】 一个圆的半径是 2厘米，它的直径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( ) 平方厘米。 【答案】 4 12.56 12.56 【分析】在同一个圆内，直径是半径的 2倍，如果圆的半径是 2厘米，则直径是（2×2）厘米， 根据圆周长公式：C＝2πr＝πd，用 3.14×2×2即可求出圆周长，根据圆面积公式：S＝πr2，用 3.14×22即可求出圆面积。 【详解】2×2＝4（厘米） 3.14×2×2＝12.56（厘米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 一个圆的半径是 2厘米，它的直径是 4厘米，周长是 12.56厘米，面积是 12.56平方厘米。 第 12 页 共 71 页 【考点三】已知周长，求圆的面积 方法点拨 已知圆的直径或周长求圆的面积，一般要先求出半径，再代入公式求面积。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 如果要画一个周长是 6.28dm的圆，圆规两脚间的距离是( )dm，所画圆的面积是 ( )dm2。 【答案】 1 3.14 【分析】 圆规两脚间的距离即为圆的半径，根据 C＝2πr，则 r＝C÷2÷π，再根据圆的面积 S＝πr2，代入 数据即可算出圆的面积。 【详解】6.28÷2÷3.14 ＝3.14÷3.14 ＝1（dm） 3.14×12＝3.14（dm2） 圆规两脚间的距离是 1dm，所画圆的面积是 3.14dm2。 【对应练习 1】 用一根长 12.56cm 的铁丝围成一个最大的圆，圆的周长是( )厘米，圆的面积是 ( )平方厘米。 【答案】 12.56 12.56 【分析】 这根铁丝的长度就是圆的周长；根据圆的周长 C＝2πr，那么 r＝C÷π÷2，圆的面积公式：S＝ πr2，把数据代入公式即可解答。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 3.14×22 ＝3.14×4 第 13 页 共 71 页 ＝12.56（平方厘米） 所以，用一根长 12.56cm的铁丝围成一个最大的圆，圆的周长是 12.56厘米，圆的面积是 12.56 平方厘米。 【对应练习 2】 刘师傅有一根长 15.7cm的铁丝，将它弯成一个最大的圆形铁环，它的半径是( )cm， 圆的面积是( )cm2。 【答案】 2.5 19.625 【分析】铁丝长度相当于圆的周长，根据圆的半径＝周长÷圆周率÷2，圆的面积＝圆周率×半 径的平方，列式计算即可。 【详解】15.7÷3.14÷2＝2.5（cm） 3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（cm2） 它的半径是 2.5cm，圆的面积是 19.625cm2。 【对应练习 3】 用圆规画一个周长为 25.12厘米的圆，圆规两脚间的距离应取( )厘米，所画圆的面积 是( )平方厘米。 【答案】 4 50.24 【分析】圆周长＝2πr，那么将圆周长除以 2再除以 3.14，即可求出半径，即圆规两脚间的距 离。圆面积＝πr2，将半径的值代入圆面积公式中，即可求出它的面积。 【详解】25.12÷2÷3.14＝4（厘米） 3.14×42＝50.24（平方厘米） 所以，圆规两脚间的距离应取 4厘米，所画圆的面积是 50.24平方厘米。 【考点四】半圆的面积 方法点拨 半圆的面积：S 半圆=πr2÷2。 考察形式 填空、计算 动态评价 【典型例题】 第 14 页 共 71 页 一个半圆半径为 3厘米，它的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 【答案】 14.13 15.42 【分析】根据半圆的面积、半圆周长的意义，半圆的面积等于该圆面积的一半，半圆的周长等 于该圆周长的一半加上一条直径的长度，根据半圆的面积公式：S＝πr2÷2，半圆的周长公式： C＝πr＋2r，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方厘米） 3.14×3＋3×2 ＝9.42＋6 ＝15.42（厘米） 则它的面积是 14.13平方厘米，周长是 15.42厘米。 【点睛】此题主要考查半圆的面积公式、半圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习 1】 直径是 4厘米的半圆，它的周长是( )，面积是( )。 【答案】 10.28厘米/10.28cm 6.28平方厘米/6.28cm2 【分析】周长是指封闭图形一周的长度，据此得出半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，根据圆 的周长公式 C＝πd求解； 半圆的面积＝圆的面积÷2，根据圆的面积公式 S＝πr2求解。 【详解】半圆的周长： 3.14×4÷2＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（厘米） 半圆的面积： 3.14×（4÷2）2÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（平方厘米） 直径是 4厘米的半圆，它的周长是 10.28厘米，面积是 6.28平方厘米。 第 15 页 共 71 页 【点睛】本题考查圆的周长、圆的面积公式的运用，掌握半圆的周长、半圆的面积的计算方法 是解题的关键。 【对应练习 2】 把一张周长是 18.84dm的圆形纸片对折成半圆，这个半圆的周长是( )dm，面积是 ( )dm2。 【答案】 15.42 14.13 【分析】由圆的周长 2C r 可知： 2r C    ，据此用 18.84÷3.14÷2求出圆的半径；再根据半 圆的周长 2C r r 半 求出这个半圆的周长，即 3.14×3＋2×3；根据圆的面积 2rS  求出圆的面 积，再用圆的面积÷2求出半圆的面积，即 3.14×32÷2。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（dm） 3.14×3＋2×3 ＝9.42＋6 ＝15.42（dm） 3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（dm2） 所以这个半圆的周长是 15.42dm，面积是 14.13dm2。 【点睛】解决此题时应注意半圆的周长并不等于圆周长的一半。 【对应练习 3】 一个周长为 20.56 cm的半圆，它半径是( )cm，面积是( )cm²。 【答案】 4 25.12 【分析】半圆周长＝πr＋2r，所以半圆的半径＝半圆的周长÷（π＋2）；半圆的面积＝πr2÷2， 据此列式计算。 【详解】20.56÷（3.14＋2） ＝20.56÷5.14 第 16 页 共 71 页 ＝4（cm） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（cm²） 一个周长为 20.56 cm的半圆，它半径是 4cm，面积是 25.12cm²。 【点睛】关键是掌握并灵活运用半圆的周长和面积公式。 【考点五】半圆的面积与生活实际应用 方法点拨 半圆的面积：S 半圆=πr2÷2。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 小红家想靠墙建一个鸡舍，已知每只鸡占地面积相同。小红和妈妈分别设计了一个半圆和一个 正方形（如下图），请你通过计算，判断出谁设计的鸡舍养的鸡多？（ 取 3） 【答案】小红 【分析】半径＝圆周长的一半÷π，分别确定半圆的半径和正方形边长，根据半圆面积＝πr2÷2， 正方形面积＝边长×边长，分别求出鸡舍面积，比较即可。 【详解】27÷3＝9（米） 3.14×92÷2 ＝3.14×81÷2 ＝127.17（平方米） 9×9＝81（平方米） 127.17＞81 答：小红设计的鸡舍养的鸡多。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式，以及正方形面积公式。 【对应练习 1】 第 17 页 共 71 页 李奶奶家的养鸡场（如图），一面靠墙，一面用竹篱笆围成半圆，它的半径是 6m。 （1）修这个养鸡场用了多长的竹篱笆？ （2）李奶奶要扩建这个养鸡场，把它的半径增加 2m。养鸡场的面积会增加多少？ 解析： （1）3.14×6×2÷2 ＝18.84×2÷2 ＝18.84（米） 答：修这个养鸡场用了 18.84米的竹篱笆。 （2）3.14×（6＋2）2÷2－3.14×62÷2 ＝3.14×32－3.14×18 ＝3.14×14 ＝43.96（平方米） 答：养鸡场的面积会增加 43.96平方米。 【对应练习 2】 东东家有一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场，这个半圆的直径是 8米，篱笆长 多少米？鸡场占地多少平方米？ 解析：篱笆长 12.56米，鸡场占地 50.24平方米。 【对应练习 3】 王奶奶用 78.5米长的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场。这个养鸡场的占地面积是多少平 方米？ 解析： r＝78.5÷3.14＝25（米） 3.14×252÷2＝981.25（平方米） 第 18 页 共 71 页 答：这个养鸡场的占地面积是 981.25平方米。 【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题 方法点拨 用同一根铁丝围成正方形、正方形或圆，周长不变，以此求面积。 考察形式 填空 动态评价 【典型例题 1】与正方形的转化 一根铁丝围成了一个边长 7.85厘米的正方形（接头不计），如果把这根铁丝围成最大的圆（接 头不计），圆的周长是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 31.4 78.5 【分析】用一根铁丝围成了一个正方形，那么铁丝的长度等于正方形的周长；根据正方形的周 长＝边长×4，求出这根铁丝的长度； 又用这根铁丝围成最大的圆，那么圆的周长等于这根铁丝的长度，根据 r＝C÷π÷2，求出圆的 半径，再根据圆的面积 S＝πr2，即可求出圆的面积。 【详解】正方形的周长（圆的周长）： 7.85×4＝31.4（厘米） 圆的半径： 31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 圆的面积： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 圆的周长是 31.4厘米，面积是 78.5平方厘米。 【点睛】本题考查正方形的周长、圆的周长、圆的面积公式的灵活运用，明确用一根铁丝围成 一个图形，铁丝长度等于这个图形的周长。 【对应练习 1】 一根铁丝可以围成一个边长为 1.57dm的正方形，如果用这根铁丝围成一个圆形，那么这个圆 形的面积是( )dm2。 【答案】0.19625 第 19 页 共 71 页 【分析】根据题意，围成正方形的周长即是围成圆的周长，可根据圆的周长公式：C＝2πr，进 行计算即可得到围成圆的半径的长度，然后根据圆的面积公式，列式解答即可得到答案。 【详解】1.57÷3.14÷2 ＝0.5÷2 ＝0.25（dm） 3.14×0.252 ＝3.14×0.0625 ＝0.19625（平方分米） 【点睛】此题主要考查的是圆的周长和面积公式的应用。 【对应练习 2】 两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长是 6.28厘米，圆的半径 是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 4 50.24 【分析】用 6.28×4求出正方形的周长，也是圆的周长，再根据“r＝c÷π÷2”、“s＝πr²”求出圆的 半径和面积即可。 【详解】6.28×4÷3.14÷2 ＝25.12÷3.14÷2 ＝4（厘米）； 3.14×4²＝50.24（平方厘米） 【点睛】明确正方形和圆的周长相等是解答本题的关键，熟练掌握的圆的周长和面积公式。 【对应练习 3】 用一根长 15.7厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是( )平方厘米；如果用这根 铁丝围成一个圆，这个圆的面积是( )平方厘米。 【答案】15.405625，19.625 【详解】试题分析：（1）用一根长 15.7厘米的铁丝围成一个正方形，这个正方形的周长就是 15.7厘米，用它除以 4，求出这个正方形的边长，再根据正方形的面积公式，求出它面积， （2）用一根长 15.7厘米的铁丝围成一个圆，这个圆的周长就是 15.7，用它除以 2，再除以π， 求出这个圆的半径，再根据圆的面积公式求出圆的面积． 解：（1）15.7÷4=3.925（厘米）， 第 20 页 共 71 页 3.925×3.925=15.405625（平方厘米）． （2）15.7÷2÷3.14=2.5（厘米）， 3.14×2.52=3.14×6.25=19.625（平方厘米）． 故答案为 15.405625，19.625． 点评：本题的关键是求出这个正方形的边长和圆的半径，再根据正方形和圆的面积公式进行解 答． 【典型例题 2】与长方形的转化 一根铁丝刚好能围成一个长 8厘米，宽 4.56厘米的长方形。如果将这根铁丝围成一个圆，这 个圆的面积有多少平方厘米？ 【答案】50.24平方厘米 【分析】长方形周长＝（长＋宽）×2，据此先求出长方形的周长，即围成圆的周长。将圆的周 长除以 2再除以圆周率 3.14，求出圆的半径。圆的面积 S＝πr2，将数据代入其中，求出围成圆 的面积。 【详解】（8＋4.56）×2 ＝12.56×2 ＝25.12（厘米） 25.12÷2÷3.14 ＝12.56÷3.14 ＝4（厘米） 3.14×42＝50.24（平方厘米） 答：这个圆的面积有 50.24平方厘米。 【点睛】本题考查了圆的周长和面积，熟记圆的周长和面积公式是解题的关键。 【对应练习 1】 一段铁丝刚好能围成一个长 10.5厘米、宽 2.06厘米的长方形，用同样长的铁丝围成一个最大 的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？ 【答案】50.24平方厘米 【分析】通过长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入长和宽的数据，求出铁丝的长度，再根据圆 的周长公式：C＝2πr，可得 r＝C÷2÷ π，代入数据，求出圆的半径之后，根据圆的面积公式： S＝ 2πr 即可求出这个圆的面积。 第 21 页 共 71 页 【详解】（10.5＋2.06）×2 ＝12.56×2 ＝25.12（厘米） 25.12÷2÷3.14＝4（厘米） 3.14×4×4＝50.24（平方厘米） 答：这个圆的面积是 50.24平方厘米。 【点睛】此题的解题关键是抓住铁丝的长度不变，灵活运用长方形和圆的周长公式，最后再利 用圆的面积公式求出结果。 【对应练习 2】 一根铁丝围成一个长 10cm，宽 5.7cm的长方形，用这根铁丝再围成一个最大的圆形，这个圆 形的面积是多少? 【答案】78.5cm2 【详解】(10+5.7)×2÷2÷3.14=5(cm) 3.14× 25 =78.5(cm2) 【考点七】周长相等时，面积大小的比较 方法点拨 在周长相等的圆、正方形、长方形等图形中，圆的面积最大。 考察形式 填空、应用 动态评价 【典型例题】 有一根 628厘米长的铁丝，如果用它正好围成一个长方形（长和宽自己确定），面积是多少？ 要围成一个正方形，面积是多少？围成圆呢？围成的图形中，哪种面积最大？ 【答案】22800平方厘米，24649平方厘米，31400平方厘米，圆的面积最大 【详解】试题分析：周长一定，分别依据长方形、正方形和圆的周长公式求出长方形的长和宽， 正方形的边长，圆的半径，进而分别求出其面积． 解：长方形：628÷2=314（厘米）， 假设长为 200厘米，则宽为 114厘米，其面积是 200×114=22800（平方厘米）， 正方形：628÷4=157（厘米），其面积为 157×157=24649平方厘米）， 圆：628÷2π=100（厘米），其面积为 3.14×1002=31400（平方厘米）， 第 22 页 共 71 页 答：长方形的面积是 22800平方厘米，正方形的面积是 24649平方厘米，圆的面积是 31400 平方厘米；由以上可知圆的面积最大． 点评：此题主要考查长方形、正方形及圆的面积公式，将数据代入公式即可． 【对应练习 1】 用三根同样长的铁丝分别围成一个圆、一个长方形和一个正方形，其中( )的面积最大。 【答案】圆 【分析】根据题意可知，铁丝的长度是围成图形的周长，此题用举例法解答，先假设正方形、 长方形和圆形的周长都是 16米，分别求出圆、正方形、长方形的面积，然后比较大小即可。 【详解】假设正方形、长方形和圆形的周长都是 16米， 则圆的面积为：π×（ 162 3.14 ） 2≈20.38（平方米）； 正方形的边长为：16÷4＝4（米），面积为：4×4＝16（平方米）； 长方形长、宽越接近，面积越大，就取长为 5米、宽为 3米，面积为：5×3＝15（平方米）， 当长方形的长和宽最接近时面积也小于 16平方米； 所以周长相等的正方形、长方形和圆形，圆面积最大。 【点睛】所以周长相等，圆面积＞正方形面积＞长方形面积。 【对应练习 2】 把一根 24分米长的铁丝平均截成 3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个 圆，其中，( )面积最大，( )面积最小。 【答案】圆；长方形 【详解】试题分析：由题意得：三种图形的周长相等，是 24÷3=8（分米），分别计算出面积， 再比较大小． 解：①正方形面积为：（8÷4）×（8÷4）=4（平方分米）； ②长方形长与宽的和是：8÷2=4（分米），面积最大为：1×3=3（平方分米）； ③圆的半径为：8÷2÷3.14≈1.3（分米），圆的面积为：3.14×1.32=5.3066（平方分米）； 所以：3＜4＜5.3066，即圆的面积最大，长方形的面积最小． 故答案为圆；长方形． 点评：此题主要考查正方体、长方形、圆的面积计算，明确它们的周长相等时，圆的面积最大， 长方形面积最小． 第 23 页 共 71 页 【对应练习 3】 把一根 24分米长的铁丝平均截成 3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个 圆．其中，( )面积最大，( )面积最小。 【答案】圆；长方形 【详解】试题分析：由题意得：三种图形的周长相等，是 24÷3=8（分米），分别计算出面积， 再比较大小． 解：①正方形面积为：（8÷4）×（8÷4）=4（平方分米）； ②长方形长与宽的和是：8÷2=4（分米），面积最大为：1×3=3（平方分米）； ③圆的半径为：8÷2÷3.14≈1.3（分米），圆的面积为：3.14×1.32=5.3066（平方分米）； 所以：3＜4＜5.3066，即圆的面积最大，长方形的面积最小． 故答案为圆；长方形． 点评：此题主要考查正方体、长方形、圆的面积计算，明确它们的周长相等时，圆的面积最大， 长方形面积最小． 【考点八】含圆的阴影图形，面积大小的比较 方法点拨 当不同位置的圆半径或直径相等时，面积也相等。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题 1】问题一 观察下边两个图形中的阴影部分，它们周长和面积的大小关系是( )。 A．周长和面积都相等 B．周长和面积都不相等 C．周长不相等，面积相等 【答案】C 【分析】观察图形可知，左图中两个完全一样的半圆可以组成一个圆；左图阴影部分的周长＝ 圆的周长＋正方形的两条边长，左图阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积； 右图中 4个完全一样的 14 圆可以组成一个圆；右图阴影部分的周长＝圆的周长，右图阴影部分 第 24 页 共 71 页 的面积＝正方形的面积－圆的面积；通过观察可知，左右正方形的边长相等，圆直径相等，所 以左右两边的阴影部分面积相等，左边阴影部分的周长大于右边阴影部分的周长。 【详解】通过分析可知，两个图形中阴影部分图形的面积相等，周长不相等，第一个图形中阴 影部分的周长多出两条边长。 故答案为：C 【点睛】本题采用转化的方法，把不规则图形转化为规则图形就可以找到解答的方法。 【对应练习 1】 在下图两个边长相等的正方形中，涂色部分比较，( )。 A．周长相等，面积不相等 B．周长和面积都相等 C．面积相等，周长不相等 【答案】C 【分析】假设正方形的边长为 2厘米，通过观察可知，第一个阴影部分的周长＝2厘米的边长 ×2＋直径是 2厘米的圆周长的 1 2 ×2，第二个阴影部分的周长＝直径是 2厘米的圆周长的 1 4 ×4， 第一个阴影部分的面积＝一个边长是 2厘米的正方形的面积－直径是 2厘米的圆面积的 1 2 ×2， 第二个阴影部分的面积＝一个边长是 2厘米的正方形的面积－直径是 2厘米的圆面拥的 14 ×4， 根据正方形的面积＝边长×边长、圆的周长＝πd和圆的面积＝πr2求解，再比较即可。 【详解】假设正方形的边长为 2厘米， 第一个阴影部分的周长：2×2＋3.14×2× 1 2 ×2 ＝4＋6.28× 1 2 ×2 ＝4＋6.28 ＝10.28（厘米） 第二个阴影部分的周长：3.14×2× 14 ×4 ＝3.14×2 ＝6.28（厘米） 10.28＞6.28 第 25 页 共 71 页 第一个阴影部分的面积：2×2－3.14×（2÷2）2× 1 2 ×2 ＝4－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（平方厘米） 第二个阴影部分的面积：2×2－3.14×（2÷2）2× 14 ×4 ＝4－3.14×1× 14 ×4 ＝4－3.14 ＝0.86（平方厘米） 0.86＝0.86 所以两个边长相等的正方形中，阴影部分的周长不相等，面积相等。 故答案为：C 【对应练习 2】 如图，比较两个正方形中的阴影部分，周长、面积的大小关系为( )。 A．面积不相等，周长相等 B．周长不相等，面积相等 C．周长和面积都不相等 D．周长和面积都相等 【答案】B 【分析】观察图形可知，两个图形的空白部分都可以组成一个圆，且圆的直径等于正方形的边 长。 左图阴影部分的周长＝圆的周长，右图阴影部分的周长＝圆的周长＋正方形的 4条边长；因为 两个图形圆的周长相等，那么左图阴影部分的周长小于右图阴影部分的周长。 两个图形的阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，因为两个图形的正方形面积相等，圆 的面积也相等，所以两个图形阴影部分的面积相等。 可以设两个正方形的边长为 2cm，根据圆的周长公式 C＝πd，圆的面积公式 S＝πr2，正方形的 面积公式 S＝a2，代入数据计算解答。 【详解】设两个正方形的边长都是 2cm。 左图阴影部分的周长： 第 26 页 共 71 页 3.14×2＝6.28（cm） 右图阴影部分的周长： 3.14×2＋2×4 ＝6.28＋8 ＝14.28（cm） 6.28≠14.28，阴影部分的周长不相等。 左图阴影部分的面积： 2×2－3.14×（2÷2）2× 14 ×4 ＝4－3.14×12× 14 ×4 ＝4－3.14 ＝0.86（cm2） 右图阴影部分的面积： 2×2－3.14×（2÷2）2× 1 2 ×2 ＝4－3.14×12× 1 2 ×2 ＝4－3.14 ＝0.86（cm2） 0.86＝0.86，阴影部分的面积相等。 综上所述，两个正方形中的阴影部分周长、面积的大小关系为：周长不相等，面积相等。 故答案为：B 【对应练习 3】 如图所示，两个正方形大小相同，关于两个图形阴影部分的说法正确的是( )。 A．周长不相等，面积相等 B．周长和面积都不相等 C．周长相等，面积不相等 D．周长和面积都相等 【答案】B 第 27 页 共 71 页 【分析】左图阴影部分的周长等于 4个 14圆的周长（即一个圆的周长），右图阴影部分的周长 等于 2个半圆的周长加 2条直径的长度，所以两个图形阴影部分的周长不相等；左图阴影部分 的面积＝正方形的面积－4个 14圆的面积（即一个圆的面积），右图阴影部分的面积＝两个半 圆的面积（即一个圆的面积），所以两个图形阴影部分的面积也不相等。 【详解】由分析可知，两个图形阴影部分的周长和面积都不相等； 故答案为：B 【典型例题 2】问题二 从甲、乙两张完全相同的正方形纸上剪下一些圆形纸片（如下图），两块正方形纸剩余的面积 相比，( )。 A．甲剩余的面积大 B．乙剩余的面积大 C．甲和乙剩余的面积一样大 【答案】C 【分析】观察图形可知，甲剩余的面积＝正方形的面积－空白圆的面积，乙剩余的面积＝正方 形的面积－4个空白小圆的面积之和。正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2。设正方形 的边长是 a，用含有字母的式子分别表示正方形和圆的面积，继而求出两块正方形纸剩下的面 积。据此解答。 【详解】设正方形的边长是 a。 甲剩下的面积：a2－π×（ a2） 2 ＝a2－π× 2a 4 ＝a2－ 14 πa 2 乙剩下的面积：a2－π×（ a 4 ）2×4 ＝a2－π× 2a 16 ×4 第 28 页 共 71 页 ＝a2－ 14 πa 2 甲和乙剩下的面积都是 a2－ 14 πa 2，则两块正方形纸剩余的面积相比，甲和乙剩余的面积一样 大。 故答案为：C 【对应练习 1】 如图，用甲乙两块完全相同的正方形铁皮切割圆形铁片，两块正方形铁皮剩余的面积相比， ( )。 A．甲剩余的面积大 B．乙剩余的面积大 C．一样大 【答案】C 【分析】通过观察图形可知，甲图中每个圆的直径等于正方形边长的 1 3，乙图中每个圆的直径 等于正方形边长的 1 4 ，设正方形的边长为 a，根据正方形的面积公式：S＝a 2，圆的面积公式： S＝πr2，正方形面积减去所有切割圆的面积等于剩余铁皮面积，把数据分别代入公式求出甲、 乙剩余铁皮的面积，然后进行比较即可。 【详解】设正方形的边长为 a，则甲图中每个圆的直径为 13 a，半径为 1 3 a÷2＝ 1 6 a。 乙图中每个圆的直径为 1 4 a，半径为 1 8 a。 甲图剩余铁皮的面积： a2－π×（ 1 6 a）2×9 ＝a2－π× 1 36 a2×9 ＝a2－ 14 πa 2 乙图剩余铁皮的面积： a2－π×（ 18 a） 2×16 第 29 页 共 71 页 ＝a2－π× 164 a 2×16 ＝a2－ 14 πa 2 甲、乙正方形剩余铁皮面积都是 a²－ 2 1 4 a ，所以甲、乙剩余铁皮的面积一样大。 故答案为：C。 【对应练习 2】 从两个相同规格的正方形铁皮上分别剪下不同规格的圆（如图），剩下的铁皮面积相比较 ( )。 A．图 1大 B．图 2大 C．相等 D．无法比较 【答案】C 【分析】根据题意，可以设两个正方形的边长都是 4cm； 图 1：圆的直径等于正方形的边长，剩下的铁皮面积＝正方形的面积－圆的面积； 图 2：圆的直径等于正方形的边长÷2，剩下的铁皮面积＝正方形的面积－4个圆的面积； 根据正方形的面积公式 S＝a2，圆的面积公式 S＝πr2，代入数据计算，分别求出两个图形剩下 的铁皮的面积，再比较，得出结论。 【详解】设两个正方形的边长都是 4cm； 图 1剩下铁皮的面积： 4×4－3.14×（4÷2）2 ＝16－3.14×22 ＝16－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 图 2剩下铁皮的面积： 4×4－3.14×（4÷2÷2）2×4 ＝16－3.14×12×4 第 30 页 共 71 页 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 3.44＝3.44，所以两个图形剩下的铁皮面积相等。 故答案为：C 【对应练习 3】 从三张同样大小的正方形铁皮中，分别按下面的三种方式剪出不同规格的圆片。剪完圆片后， 哪张铁皮剩下的废料多？( ) A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．一样多 【答案】D 【分析】假设正方形的边长是 12厘米，第一张图圆的直径等于正方形的边长，第二张图每个 小圆的直径等于正方形边长的 1 3，第三张图中每个小圆的直径等于正方形边长的 1 4；据此用 12÷2即可求出第一张图圆的半径，把正方形边长看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用 12× 13 ÷2即可求出第二张图每个小圆的半径，用 12× 1 4 ÷2即可求出第三张图每个小圆的半径， 再根据圆面积公式：S＝πr2，最后分别计算每个图所有圆的面积或面积和，比较大小即可。 【详解】假设正方形的边长是 12厘米， 第一张图：12÷2＝6（厘米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 第二张图：12× 13 ÷2＝2（厘米） 3.14×22×9 ＝3.14×4×9 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第一单元圆·圆的面积篇【二十一大考点】 专题名称 第一单元圆·圆的面积篇 专题内容 本专题以圆的面积为主，其中包括圆的面积计算、半圆和圆环的面积、圆面积的实际应用问题以及其他相关问题等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题是圆单元的重点和难点内容，考点划分众多、内容丰富，考查难度较大，题型以填空、选择、计算、应用等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 二十一大考点 【考点一】圆的面积计算公式的推导（圆与长方形的拼切转化问题） 4 【考点二】圆的面积计算 10 【考点三】已知周长，求圆的面积 12 【考点四】半圆的面积 13 【考点五】半圆的面积与生活实际应用 16 【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题 18 【考点七】周长相等时，面积大小的比较 21 【考点八】含圆的阴影图形，面积大小的比较 23 【考点九】三种关系之半径、直径和周长、面积的倍数关系 31 【考点十】三种关系之半径、直径和周长、面积的比例关系 34 【考点十一】三种关系之半径、直径和周长、面积的增减变化关系 38 【考点十二】圆环的认识和面积 42 【考点十三】半圆环的面积 45 【考点十四】利用整体代换法求圆环的面积 49 【考点十五】长方形中的最圆问题 52 【考点十六】外方内圆（方中圆） 54 【考点十七】外圆内方（圆中方） 56 【考点十八】外方内圆与外圆内方综合 59 【考点十九】圆面积的应用问题其一：钟表指针问题 62 【考点二十】圆面积的应用问题其二：相遇问题 65 【考点二十一】圆面积的应用问题其三：组合图形的面积问题 68 【考点一】圆的面积计算公式的推导（圆与长方形的拼切转化问题） 方法点拨 1. 圆的面积的意义。 圆所占平面的大小就是圆的面积。 2. 圆的面积公式的推导。 把一个圆切拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母πr表示，宽相当于圆的半径，用字母r表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积S=πr2。 3. 两种数学思想。 （1）把圆剪拼成近似的长方形，根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积计算公式，体现了转化的思想。 （2）将圆平均分成的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形，这里应用了极限思想。 4. 古代数学文化。 我国古代的数学专著《九章算术》“方田章”中记载了这样一种求圆的面积的方法：“周径相乘，四而一。”意思就是用圆的周长和直径相乘，再除以4，就可以得到这个圆的面积。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题1】基础问题 把圆按下图所示的顺序逐步细分，拼成长方形的样子。这样细分下去，圆的面积就是a和b的积。从图中可以看出：    (1)a是圆的( )。 (2)b是圆的( )。 (3)如果a＝2厘米，这个圆的面积为( )。 【答案】(1)半径 (2)周长的一半 (3)12.56平方厘米 【分析】根据题图可知，一个圆被平均分成的份数越多，拼成的图形越接近长方形。长方形的宽a就是圆的半径，长方形的长b就是圆周长的一半。根据“S＝πr2”求出圆的面积即可。 【详解】（1）a是圆的半径。 （2）b是圆的周长的一半。 （3）3.14×42＝12.56（平方厘米） 【点睛】熟练掌握圆面积的推导过程是解答本题的关键。 【对应练习1】 把一个圆平均分成若干份，正好可以拼成宽为4cm的长方形，这个长方形的长是( )cm，原来圆的面积是( )cm2。 【答案】 12.56 50.24 【分析】已知把一个圆剪拼成一个近似的长方形，那么长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径；根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】2×3.14×4÷2＝12.56（cm） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 这个长方形的长是12.56cm，原来圆的面积是50.24cm2。 【点睛】本题考查圆的面积公式推导过程的应用，明确把一个圆剪拼成一个近似长方形时，长方形的长、宽与圆的周长、半径的关系是解题的关键。 【对应练习2】 将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形（如下图），圆的面积是( )cm2。    【答案】12.56 【分析】将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长相当于圆的周长的一半，根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。 【详解】6.28÷3.14＝2（cm） 3.14×22＝3.14×4＝12.56（cm2） 则圆的面积是12.56cm2。 【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。 【典型例题2】进阶问题 如图，将一个圆形纸片等分成若干份，拼成一个近似的长方形，周长比原来圆周长多8厘米，圆形纸片的半径是( )厘米，这张圆形纸片的面积是( )平方厘米。    【答案】 4 50.24 【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成若干份，沿半径剪开，再拼成一个近似长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，拼成的长方形的周长比圆的周长增加了两条半径的长度，据此可以求出圆的半径，再根据圆的面积公式： ；把数据代入公式解答。 【详解】8÷2＝4（厘米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 圆形纸片的半径是4厘米，这张圆形纸片的面积是50.24平方厘米。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用，圆的周长的意义及应用。 【对应练习1】 如图，把一个圆平均分成若干份，剪开拼成一个近似的平行四边形，结果周长多了6cm。这个平行四边形的周长是( )cm；原来圆的面积是( )cm2。 【答案】 24.84 28.86 【分析】把一个圆平均分成若干份，剪开拼成一个近似的平行四边形，结果周长多了6cm，多的6cm是圆的两个半径，用6÷2求出圆的半径，再根据圆的周长＝2r，求出圆的周长，再用圆的周长加上半径的2倍就是平行四边形的周长；根据圆的面积＝×半径的平方，求出原来圆的面积。 【详解】6÷2＝3（cm） 2×3.14×3＋3×2 ＝6.28×3＋6 ＝18.84＋6 ＝24.84（cm） 3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（） 所以这个平行四边形的周长是24.84cm，原来圆的面积是28.26。 【对应练习2】 把一个圆分成若干等份后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长比圆的周长多了10cm，这个圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 5 78.5 【分析】由题意可知，长方形周长比圆的周长多的部分是两个圆的半径，据此用10cm除以2，求出圆的半径。再根据圆的面积公式，列式计算出它的面积即可。 【详解】（cm） （cm2） 这个圆的半径是5cm，面积是78.5cm2。 【典型例题3】拓展问题 把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的周长为41.4cm，这个圆的面积是( )。 【答案】78.5平方厘米/78.5cm2 【分析】将圆剪开拼接成一个近似的长方形，，如图所示，长方形的周长＝圆的周长＋两个半径，据此等量关系列方程求出圆的半径，再代入圆的面积公式即可。 【详解】解：设圆的半径为r厘米。 2×3.14×r＋2r＝41.4 6.28r＋2r＝41.4 8.28r＝41.4 8.28r÷8.28＝41.4÷8.28 r＝5 圆的面积： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 这个圆的面积是78.5平方厘米。 【点睛】此题考查圆的面积公式，明确圆拼接成长方形周长会多两个半径是解题的关键。 【对应练习1】 把一个圆切割后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长为24.84厘米，原来这个圆的面积是( )平方厘米。 【答案】28.26 【分析】把一个圆剪开后拼成一个近似的长方形，这个长方形的长就等于这个圆的周长的一半，宽相当于圆的半径，据此先求出圆的半径，再根据圆的面积公式计算即可 【详解】解：设圆的半径为r，则长方形的长是πr，宽是r。 πr＋r＝24.84÷2 4.14r＝12.42 r＝3 3.14×32＝28.26（平方厘米） 则原来这个圆的面积是28.26平方厘米。 【点睛】考查了圆的周长和圆的面积公式的推导，注意圆的周长是拼成近似的长方形的长的2倍。 【对应练习2】 把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形（如右图）。已知这个近似长方形的周长是24.84厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【答案】28.26 【分析】把一个圆形纸片剪开后，拼成一个宽等于半径，面积相等的近似长方形。这个近似长方形的周长就比圆的周长多了圆半径的2倍，可求出圆的半径，然后根据圆面积公式求出面积即可。 【详解】圆的半径是： 24.84÷（2＋3.14×2） ＝24.84÷（2＋6.28） ＝24.84÷8.28 ＝3（厘米） 圆的面积是： 3.14×3² ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 【点睛】本题考查了根据圆面积公式求圆面积以及把一个圆形剪开，拼成一个近似长方形，解答此题应注意这个近似长方形的周长，就比圆的周长多了圆半径的2倍的知识。 【考点二】圆的面积计算 方法点拨 圆的面积S=πr2。 考察形式 填空、计算 动态评价 【典型例题】 一个圆的直径是，它的周长是( )，面积是( )。 【答案】 6.28 3.14 【分析】圆的周长＝πd，圆的面积＝πr2，据此解答。 【详解】3.14×2＝6.28（cm） 3.14×（2÷2）2 ＝3.14×1 ＝3.14（cm2） 则它的周长是6.28cm，面积是3.14cm2。 【对应练习1】 半径是5米的圆形鼓楼中心盘，它的周长是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 31.4 78.5 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可求出周长和面积。 【详解】3.14×5×2 ＝15.7×2 ＝31.4（米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 半径是5米的圆形鼓楼中心盘，它的周长是31.4米，面积是78.5平方米。 【对应练习2】 一个圆的直径是6厘米，半径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 3 18.84 28.26 【分析】根据半径＝直径÷2，圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】6÷2＝3（厘米） 3.14×6＝18.84（厘米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 则一个圆的直径是6厘米，半径是3厘米，周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米。 【对应练习3】 一个圆的半径是2厘米，它的直径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 4 12.56 12.56 【分析】在同一个圆内，直径是半径的2倍，如果圆的半径是2厘米，则直径是（2×2）厘米，根据圆周长公式：C＝2πr＝πd，用3.14×2×2即可求出圆周长，根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×22即可求出圆面积。 【详解】2×2＝4（厘米） 3.14×2×2＝12.56（厘米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 一个圆的半径是2厘米，它的直径是4厘米，周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米。 【考点三】已知周长，求圆的面积 方法点拨 已知圆的直径或周长求圆的面积，一般要先求出半径，再代入公式求面积。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 如果要画一个周长是6.28dm的圆，圆规两脚间的距离是( )dm，所画圆的面积是( )dm2。 【答案】 1 3.14 【分析】 圆规两脚间的距离即为圆的半径，根据C＝2πr，则r＝C÷2÷π，再根据圆的面积S＝πr2，代入数据即可算出圆的面积。 【详解】6.28÷2÷3.14 ＝3.14÷3.14 ＝1（dm） 3.14×12＝3.14（dm2） 圆规两脚间的距离是1dm，所画圆的面积是3.14dm2。 【对应练习1】 用一根长12.56cm的铁丝围成一个最大的圆，圆的周长是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 12.56 12.56 【分析】 这根铁丝的长度就是圆的周长；根据圆的周长C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式即可解答。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 所以，用一根长12.56cm的铁丝围成一个最大的圆，圆的周长是12.56厘米，圆的面积是12.56平方厘米。 【对应练习2】 刘师傅有一根长15.7cm的铁丝，将它弯成一个最大的圆形铁环，它的半径是( )cm，圆的面积是( )cm2。 【答案】 2.5 19.625 【分析】铁丝长度相当于圆的周长，根据圆的半径＝周长÷圆周率÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【详解】15.7÷3.14÷2＝2.5（cm） 3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（cm2）     它的半径是2.5cm，圆的面积是19.625cm2。 【对应练习3】 用圆规画一个周长为25.12厘米的圆，圆规两脚间的距离应取( )厘米，所画圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 4 50.24 【分析】圆周长＝2πr，那么将圆周长除以2再除以3.14，即可求出半径，即圆规两脚间的距离。圆面积＝πr2，将半径的值代入圆面积公式中，即可求出它的面积。 【详解】25.12÷2÷3.14＝4（厘米） 3.14×42＝50.24（平方厘米） 所以，圆规两脚间的距离应取4厘米，所画圆的面积是50.24平方厘米。 【考点四】半圆的面积 方法点拨 半圆的面积：S半圆=πr2÷2。 考察形式 填空、计算 动态评价 【典型例题】 一个半圆半径为3厘米，它的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 【答案】 14.13 15.42 【分析】根据半圆的面积、半圆周长的意义，半圆的面积等于该圆面积的一半，半圆的周长等于该圆周长的一半加上一条直径的长度，根据半圆的面积公式：S＝πr2÷2，半圆的周长公式：C＝πr＋2r，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方厘米） 3.14×3＋3×2 ＝9.42＋6 ＝15.42（厘米） 则它的面积是14.13平方厘米，周长是15.42厘米。 【点睛】此题主要考查半圆的面积公式、半圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习1】 直径是4厘米的半圆，它的周长是( )，面积是( )。 【答案】 10.28厘米/10.28cm 6.28平方厘米/6.28cm2 【分析】周长是指封闭图形一周的长度，据此得出半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，根据圆的周长公式C＝πd求解； 半圆的面积＝圆的面积÷2，根据圆的面积公式S＝πr2求解。 【详解】半圆的周长： 3.14×4÷2＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（厘米） 半圆的面积： 3.14×（4÷2）2÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（平方厘米） 直径是4厘米的半圆，它的周长是10.28厘米，面积是6.28平方厘米。 【点睛】本题考查圆的周长、圆的面积公式的运用，掌握半圆的周长、半圆的面积的计算方法是解题的关键。 【对应练习2】 把一张周长是18.84dm的圆形纸片对折成半圆，这个半圆的周长是( )dm，面积是( )dm2。 【答案】 15.42 14.13 【分析】由圆的周长可知：，据此用18.84÷3.14÷2求出圆的半径；再根据半圆的周长求出这个半圆的周长，即3.14×3＋2×3；根据圆的面积求出圆的面积，再用圆的面积÷2求出半圆的面积，即3.14×32÷2。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（dm） 3.14×3＋2×3 ＝9.42＋6 ＝15.42（dm） 3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（dm2） 所以这个半圆的周长是15.42dm，面积是14.13dm2。 【点睛】解决此题时应注意半圆的周长并不等于圆周长的一半。 【对应练习3】 一个周长为20.56 cm的半圆，它半径是( )cm，面积是( )cm²。 【答案】 4 25.12 【分析】半圆周长＝πr＋2r，所以半圆的半径＝半圆的周长÷（π＋2）；半圆的面积＝πr2÷2，据此列式计算。 【详解】20.56÷（3.14＋2） ＝20.56÷5.14 ＝4（cm） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（cm²） 一个周长为20.56 cm的半圆，它半径是4cm，面积是25.12cm²。 【点睛】关键是掌握并灵活运用半圆的周长和面积公式。 【考点五】半圆的面积与生活实际应用 方法点拨 半圆的面积：S半圆=πr2÷2。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 小红家想靠墙建一个鸡舍，已知每只鸡占地面积相同。小红和妈妈分别设计了一个半圆和一个正方形（如下图），请你通过计算，判断出谁设计的鸡舍养的鸡多？（取3） 【答案】小红 【分析】半径＝圆周长的一半÷π，分别确定半圆的半径和正方形边长，根据半圆面积＝πr2÷2，正方形面积＝边长×边长，分别求出鸡舍面积，比较即可。 【详解】27÷3＝9（米） 3.14×92÷2 ＝3.14×81÷2 ＝127.17（平方米） 9×9＝81（平方米） 127.17＞81 答：小红设计的鸡舍养的鸡多。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式，以及正方形面积公式。 【对应练习1】 李奶奶家的养鸡场（如图），一面靠墙，一面用竹篱笆围成半圆，它的半径是6m。 （1）修这个养鸡场用了多长的竹篱笆？ （2）李奶奶要扩建这个养鸡场，把它的半径增加2m。养鸡场的面积会增加多少？ 解析： （1）3.14×6×2÷2 ＝18.84×2÷2 ＝18.84（米） 答：修这个养鸡场用了18.84米的竹篱笆。 （2）3.14×（6＋2）2÷2－3.14×62÷2 ＝3.14×32－3.14×18 ＝3.14×14 ＝43.96（平方米） 答：养鸡场的面积会增加43.96平方米。 【对应练习2】 东东家有一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场，这个半圆的直径是8米，篱笆长多少米？鸡场占地多少平方米？ 解析：篱笆长12.56米，鸡场占地50.24平方米。 【对应练习3】 王奶奶用78.5米长的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场。这个养鸡场的占地面积是多少平方米？ 解析： r＝78.5÷3.14＝25（米） 3.14×252÷2＝981.25（平方米） 答：这个养鸡场的占地面积是981.25平方米。 【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题 方法点拨 用同一根铁丝围成正方形、正方形或圆，周长不变，以此求面积。 考察形式 填空 动态评价 【典型例题1】与正方形的转化 一根铁丝围成了一个边长7.85厘米的正方形（接头不计），如果把这根铁丝围成最大的圆（接头不计），圆的周长是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 31.4 78.5 【分析】用一根铁丝围成了一个正方形，那么铁丝的长度等于正方形的周长；根据正方形的周长＝边长×4，求出这根铁丝的长度； 又用这根铁丝围成最大的圆，那么圆的周长等于这根铁丝的长度，根据r＝C÷π÷2，求出圆的半径，再根据圆的面积S＝πr2，即可求出圆的面积。 【详解】正方形的周长（圆的周长）： 7.85×4＝31.4（厘米） 圆的半径： 31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 圆的面积： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 圆的周长是31.4厘米，面积是78.5平方厘米。 【点睛】本题考查正方形的周长、圆的周长、圆的面积公式的灵活运用，明确用一根铁丝围成一个图形，铁丝长度等于这个图形的周长。 【对应练习1】 一根铁丝可以围成一个边长为1.57dm的正方形，如果用这根铁丝围成一个圆形，那么这个圆形的面积是( )dm2。 【答案】0.19625 【分析】根据题意，围成正方形的周长即是围成圆的周长，可根据圆的周长公式：C＝2πr，进行计算即可得到围成圆的半径的长度，然后根据圆的面积公式，列式解答即可得到答案。 【详解】1.57÷3.14÷2 ＝0.5÷2 ＝0.25（dm） 3.14×0.252 ＝3.14×0.0625 ＝0.19625（平方分米） 【点睛】此题主要考查的是圆的周长和面积公式的应用。 【对应练习2】 两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长是6.28厘米，圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 4 50.24 【分析】用6.28×4求出正方形的周长，也是圆的周长，再根据“r＝c÷π÷2”、“s＝πr²”求出圆的半径和面积即可。 【详解】6.28×4÷3.14÷2 ＝25.12÷3.14÷2 ＝4（厘米）； 3.14×4²＝50.24（平方厘米） 【点睛】明确正方形和圆的周长相等是解答本题的关键，熟练掌握的圆的周长和面积公式。 【对应练习3】 用一根长15.7厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是( )平方厘米；如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是( )平方厘米。 【答案】15.405625，19.625 【详解】试题分析：（1）用一根长15.7厘米的铁丝围成一个正方形，这个正方形的周长就是15.7厘米，用它除以4，求出这个正方形的边长，再根据正方形的面积公式，求出它面积， （2）用一根长15.7厘米的铁丝围成一个圆，这个圆的周长就是15.7，用它除以2，再除以π，求出这个圆的半径，再根据圆的面积公式求出圆的面积． 解：（1）15.7÷4=3.925（厘米）， 3.925×3.925=15.405625（平方厘米）． （2）15.7÷2÷3.14=2.5（厘米）， 3.14×2.52=3.14×6.25=19.625（平方厘米）． 故答案为15.405625，19.625． 点评：本题的关键是求出这个正方形的边长和圆的半径，再根据正方形和圆的面积公式进行解答． 【典型例题2】与长方形的转化 一根铁丝刚好能围成一个长8厘米，宽4.56厘米的长方形。如果将这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积有多少平方厘米？ 【答案】50.24平方厘米 【分析】长方形周长＝（长＋宽）×2，据此先求出长方形的周长，即围成圆的周长。将圆的周长除以2再除以圆周率3.14，求出圆的半径。圆的面积S＝πr2，将数据代入其中，求出围成圆的面积。 【详解】（8＋4.56）×2 ＝12.56×2 ＝25.12（厘米） 25.12÷2÷3.14 ＝12.56÷3.14 ＝4（厘米） 3.14×42＝50.24（平方厘米） 答：这个圆的面积有50.24平方厘米。 【点睛】本题考查了圆的周长和面积，熟记圆的周长和面积公式是解题的关键。 【对应练习1】 一段铁丝刚好能围成一个长10.5厘米、宽2.06厘米的长方形，用同样长的铁丝围成一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？ 【答案】50.24平方厘米 【分析】通过长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入长和宽的数据，求出铁丝的长度，再根据圆的周长公式：C＝，可得r＝C÷2÷，代入数据，求出圆的半径之后，根据圆的面积公式：S＝即可求出这个圆的面积。 【详解】（10.5＋2.06）×2 ＝12.56×2 ＝25.12（厘米） 25.12÷2÷3.14＝4（厘米） 3.14×4×4＝50.24（平方厘米） 答：这个圆的面积是50.24平方厘米。 【点睛】此题的解题关键是抓住铁丝的长度不变，灵活运用长方形和圆的周长公式，最后再利用圆的面积公式求出结果。 【对应练习2】 一根铁丝围成一个长10cm，宽5.7cm的长方形，用这根铁丝再围成一个最大的圆形，这个圆形的面积是多少? 【答案】78.5cm2 【详解】(10+5.7)×2÷2÷3.14=5(cm) 3.14×=78.5(cm2) 【考点七】周长相等时，面积大小的比较 方法点拨 在周长相等的圆、正方形、长方形等图形中，圆的面积最大。 考察形式 填空、应用 动态评价 【典型例题】 有一根628厘米长的铁丝，如果用它正好围成一个长方形（长和宽自己确定），面积是多少？要围成一个正方形，面积是多少？围成圆呢？围成的图形中，哪种面积最大？ 【答案】22800平方厘米，24649平方厘米，31400平方厘米，圆的面积最大 【详解】试题分析：周长一定，分别依据长方形、正方形和圆的周长公式求出长方形的长和宽，正方形的边长，圆的半径，进而分别求出其面积． 解：长方形：628÷2=314（厘米）， 假设长为200厘米，则宽为114厘米，其面积是200×114=22800（平方厘米）， 正方形：628÷4=157（厘米），其面积为157×157=24649平方厘米）， 圆：628÷2π=100（厘米），其面积为3.14×1002=31400（平方厘米）， 答：长方形的面积是22800平方厘米，正方形的面积是24649平方厘米，圆的面积是31400平方厘米；由以上可知圆的面积最大． 点评：此题主要考查长方形、正方形及圆的面积公式，将数据代入公式即可． 【对应练习1】 用三根同样长的铁丝分别围成一个圆、一个长方形和一个正方形，其中( )的面积最大。 【答案】圆 【分析】根据题意可知，铁丝的长度是围成图形的周长，此题用举例法解答，先假设正方形、长方形和圆形的周长都是16米，分别求出圆、正方形、长方形的面积，然后比较大小即可。 【详解】假设正方形、长方形和圆形的周长都是16米， 则圆的面积为：π×（）2≈20.38（平方米）； 正方形的边长为：16÷4＝4（米），面积为：4×4＝16（平方米）； 长方形长、宽越接近，面积越大，就取长为5米、宽为3米，面积为：5×3＝15（平方米）， 当长方形的长和宽最接近时面积也小于16平方米； 所以周长相等的正方形、长方形和圆形，圆面积最大。 【点睛】所以周长相等，圆面积＞正方形面积＞长方形面积。 【对应练习2】 把一根24分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆，其中，( )面积最大，( )面积最小。 【答案】圆；长方形 【详解】试题分析：由题意得：三种图形的周长相等，是24÷3=8（分米），分别计算出面积，再比较大小． 解：①正方形面积为：（8÷4）×（8÷4）=4（平方分米）； ②长方形长与宽的和是：8÷2=4（分米），面积最大为：1×3=3（平方分米）； ③圆的半径为：8÷2÷3.14≈1.3（分米），圆的面积为：3.14×1.32=5.3066（平方分米）； 所以：3＜4＜5.3066，即圆的面积最大，长方形的面积最小． 故答案为圆；长方形． 点评：此题主要考查正方体、长方形、圆的面积计算，明确它们的周长相等时，圆的面积最大，长方形面积最小． 【对应练习3】 把一根24分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆．其中，( )面积最大，( )面积最小。 【答案】圆；长方形 【详解】试题分析：由题意得：三种图形的周长相等，是24÷3=8（分米），分别计算出面积，再比较大小． 解：①正方形面积为：（8÷4）×（8÷4）=4（平方分米）； ②长方形长与宽的和是：8÷2=4（分米），面积最大为：1×3=3（平方分米）； ③圆的半径为：8÷2÷3.14≈1.3（分米），圆的面积为：3.14×1.32=5.3066（平方分米）； 所以：3＜4＜5.3066，即圆的面积最大，长方形的面积最小． 故答案为圆；长方形． 点评：此题主要考查正方体、长方形、圆的面积计算，明确它们的周长相等时，圆的面积最大，长方形面积最小． 【考点八】含圆的阴影图形，面积大小的比较 方法点拨 当不同位置的圆半径或直径相等时，面积也相等。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 观察下边两个图形中的阴影部分，它们周长和面积的大小关系是( )。 A．周长和面积都相等 B．周长和面积都不相等 C．周长不相等，面积相等 【答案】C 【分析】观察图形可知，左图中两个完全一样的半圆可以组成一个圆；左图阴影部分的周长＝圆的周长＋正方形的两条边长，左图阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积； 右图中4个完全一样的圆可以组成一个圆；右图阴影部分的周长＝圆的周长，右图阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积；通过观察可知，左右正方形的边长相等，圆直径相等，所以左右两边的阴影部分面积相等，左边阴影部分的周长大于右边阴影部分的周长。 【详解】通过分析可知，两个图形中阴影部分图形的面积相等，周长不相等，第一个图形中阴影部分的周长多出两条边长。 故答案为：C 【点睛】本题采用转化的方法，把不规则图形转化为规则图形就可以找到解答的方法。 【对应练习1】 在下图两个边长相等的正方形中，涂色部分比较，( )。      A．周长相等，面积不相等B．周长和面积都相等 C．面积相等，周长不相等 【答案】C 【分析】假设正方形的边长为2厘米，通过观察可知，第一个阴影部分的周长＝2厘米的边长×2＋直径是2厘米的圆周长的×2，第二个阴影部分的周长＝直径是2厘米的圆周长的×4，第一个阴影部分的面积＝一个边长是2厘米的正方形的面积－直径是2厘米的圆面积的×2，第二个阴影部分的面积＝一个边长是2厘米的正方形的面积－直径是2厘米的圆面拥的×4，根据正方形的面积＝边长×边长、圆的周长＝πd和圆的面积＝πr2求解，再比较即可。 【详解】假设正方形的边长为2厘米， 第一个阴影部分的周长：2×2＋3.14×2××2 ＝4＋6.28××2 ＝4＋6.28 ＝10.28（厘米） 第二个阴影部分的周长：3.14×2××4 ＝3.14×2 ＝6.28（厘米） 10.28＞6.28 第一个阴影部分的面积：2×2－3.14×（2÷2）2××2 ＝4－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（平方厘米） 第二个阴影部分的面积：2×2－3.14×（2÷2）2××4 ＝4－3.14×1××4 ＝4－3.14 ＝0.86（平方厘米） 0.86＝0.86 所以两个边长相等的正方形中，阴影部分的周长不相等，面积相等。 故答案为：C 【对应练习2】 如图，比较两个正方形中的阴影部分，周长、面积的大小关系为( )。 A．面积不相等，周长相等 B．周长不相等，面积相等 C．周长和面积都不相等 D．周长和面积都相等 【答案】B 【分析】观察图形可知，两个图形的空白部分都可以组成一个圆，且圆的直径等于正方形的边长。 左图阴影部分的周长＝圆的周长，右图阴影部分的周长＝圆的周长＋正方形的4条边长；因为两个图形圆的周长相等，那么左图阴影部分的周长小于右图阴影部分的周长。 两个图形的阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，因为两个图形的正方形面积相等，圆的面积也相等，所以两个图形阴影部分的面积相等。 可以设两个正方形的边长为2cm，根据圆的周长公式C＝πd，圆的面积公式S＝πr2，正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算解答。 【详解】设两个正方形的边长都是2cm。 左图阴影部分的周长： 3.14×2＝6.28（cm） 右图阴影部分的周长： 3.14×2＋2×4 ＝6.28＋8 ＝14.28（cm） 6.28≠14.28，阴影部分的周长不相等。 左图阴影部分的面积： 2×2－3.14×（2÷2）2××4 ＝4－3.14×12××4 ＝4－3.14 ＝0.86（cm2） 右图阴影部分的面积： 2×2－3.14×（2÷2）2××2 ＝4－3.14×12××2 ＝4－3.14 ＝0.86（cm2） 0.86＝0.86，阴影部分的面积相等。 综上所述，两个正方形中的阴影部分周长、面积的大小关系为：周长不相等，面积相等。 故答案为：B 【对应练习3】 如图所示，两个正方形大小相同，关于两个图形阴影部分的说法正确的是( )。 A．周长不相等，面积相等 B．周长和面积都不相等 C．周长相等，面积不相等 D．周长和面积都相等 【答案】B 【分析】左图阴影部分的周长等于4个圆的周长（即一个圆的周长），右图阴影部分的周长等于2个半圆的周长加2条直径的长度，所以两个图形阴影部分的周长不相等；左图阴影部分的面积＝正方形的面积－4个圆的面积（即一个圆的面积），右图阴影部分的面积＝两个半圆的面积（即一个圆的面积），所以两个图形阴影部分的面积也不相等。 【详解】由分析可知，两个图形阴影部分的周长和面积都不相等； 故答案为：B 【典型例题2】问题二 从甲、乙两张完全相同的正方形纸上剪下一些圆形纸片（如下图），两块正方形纸剩余的面积相比，( )。 A．甲剩余的面积大 B．乙剩余的面积大C．甲和乙剩余的面积一样大 【答案】C 【分析】观察图形可知，甲剩余的面积＝正方形的面积－空白圆的面积，乙剩余的面积＝正方形的面积－4个空白小圆的面积之和。正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2。设正方形的边长是a，用含有字母的式子分别表示正方形和圆的面积，继而求出两块正方形纸剩下的面积。据此解答。 【详解】设正方形的边长是a。 甲剩下的面积：a2－π×（）2 ＝a2－π× ＝a2－πa2 乙剩下的面积：a2－π×（）2×4 ＝a2－π××4 ＝a2－πa2 甲和乙剩下的面积都是a2－πa2，则两块正方形纸剩余的面积相比，甲和乙剩余的面积一样大。 故答案为：C 【对应练习1】 如图，用甲乙两块完全相同的正方形铁皮切割圆形铁片，两块正方形铁皮剩余的面积相比，( )。 A．甲剩余的面积大 B．乙剩余的面积大 C．一样大 【答案】C 【分析】通过观察图形可知，甲图中每个圆的直径等于正方形边长的，乙图中每个圆的直径等于正方形边长的，设正方形的边长为a，根据正方形的面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，正方形面积减去所有切割圆的面积等于剩余铁皮面积，把数据分别代入公式求出甲、乙剩余铁皮的面积，然后进行比较即可。 【详解】设正方形的边长为a，则甲图中每个圆的直径为a，半径为a÷2＝a。 乙图中每个圆的直径为a，半径为a。 甲图剩余铁皮的面积： a2－π×（a）2×9 ＝a2－π×a2×9 ＝a2－πa2 乙图剩余铁皮的面积： a2－π×（a）2×16 ＝a2－π×a2×16 ＝a2－πa2 甲、乙正方形剩余铁皮面积都是a²－，所以甲、乙剩余铁皮的面积一样大。 故答案为：C。 【对应练习2】 从两个相同规格的正方形铁皮上分别剪下不同规格的圆（如图），剩下的铁皮面积相比较( )。 A．图1大 B．图2大 C．相等 D．无法比较 【答案】C 【分析】根据题意，可以设两个正方形的边长都是4cm； 图1：圆的直径等于正方形的边长，剩下的铁皮面积＝正方形的面积－圆的面积； 图2：圆的直径等于正方形的边长÷2，剩下的铁皮面积＝正方形的面积－4个圆的面积； 根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，分别求出两个图形剩下的铁皮的面积，再比较，得出结论。 【详解】设两个正方形的边长都是4cm； 图1剩下铁皮的面积： 4×4－3.14×（4÷2）2 ＝16－3.14×22 ＝16－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 图2剩下铁皮的面积： 4×4－3.14×（4÷2÷2）2×4 ＝16－3.14×12×4 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 3.44＝3.44，所以两个图形剩下的铁皮面积相等。 故答案为：C 【对应练习3】 从三张同样大小的正方形铁皮中，分别按下面的三种方式剪出不同规格的圆片。剪完圆片后，哪张铁皮剩下的废料多？( ) A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．一样多 【答案】D 【分析】假设正方形的边长是12厘米，第一张图圆的直径等于正方形的边长，第二张图每个小圆的直径等于正方形边长的，第三张图中每个小圆的直径等于正方形边长的；据此用12÷2即可求出第一张图圆的半径，把正方形边长看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用12×÷2即可求出第二张图每个小圆的半径，用12×÷2即可求出第三张图每个小圆的半径，再根据圆面积公式：S＝πr2，最后分别计算每个图所有圆的面积或面积和，比较大小即可。 【详解】假设正方形的边长是12厘米， 第一张图：12÷2＝6（厘米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 第二张图：12×÷2＝2（厘米） 3.14×22×9 ＝3.14×4×9 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 第三张图：12×÷2＝1.5（厘米） 3.14×1.52×16 ＝3.14×2.25×16 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 剪去的面积相等，所以剩下的废料的面积也相等。 三张铁皮剩下的废料一样多。 故答案为：D 【点睛】解答本题的关键是准确分析出每个圆的直径与正方形边长之间的关系。 【考点九】三种关系之半径、直径和周长、面积的倍数关系 方法点拨 在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，面积扩大倍数的平方倍。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大( )，周长就扩大( )倍。 【答案】 9倍 3 【详解】略 【对应练习1】 一个圆的半径扩大4倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。 【答案】 4 16 【分析】一个圆的半径扩大到原来的几倍，周长也扩大到原来的几倍；面积扩大倍数是半径扩大倍数的平方，据此解答即可。 【详解】一个圆的半径扩大到原来的4倍，周长也扩大到原来的4倍，面积扩大到原来的16倍。 【点睛】明确半径、周长和面积之间扩大倍数之间的关系是解答本题的关键。 【对应练习2】 一个圆的周长扩大5倍，它的直径扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。 【答案】 5 25 【解析】略 【对应练习3】 一个圆的半径扩大a倍，直径扩大( )倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。 【答案】 a a a² 【分析】假设圆原来的半径为2，则扩大后圆的半径为2a，直径由原来的4变为4a，周长由原来的4π变为4aπ，面积由π×2²＝4π变为π×（2a）²＝4πa²，由此解答即可。 【详解】一个圆的半径扩大a倍，直径扩大a倍，周长扩大a倍，面积扩大a²倍。 【点睛】本题采用了假设法，假设法使题目变得具体化，简单化。 【典型例题2】问题二 大圆的半径是小圆的半径的2倍，则小圆周长是大圆周长的( )，大圆面积是小圆面积的( )倍。 【答案】 4 【分析】根据半径的倍数等于周长的倍数，倍数×倍数是面积之间的倍数，据此分析。 【详解】2×2＝4，大圆的半径是小圆的半径的2倍，则小圆周长是大圆周长的，大圆面积是小圆面积的4倍。 【点睛】圆的周长＝πd＝2πr，圆的面积＝πr²。 【对应练习1】 有大小两个圆，大圆直径是小圆直径的3倍，那么大圆周长是小圆周长的( )倍；小圆面积是大圆面积的( )。（填几分之几） 【答案】 3 【分析】根据大圆的直径是小圆直径的3倍，可知大圆的半径是小圆半径的3倍，进而代入周长和面积公式，先分别求出它们的周长和面积，进而得解。 【详解】（1）大圆周长： 小圆周长： 大圆周长小圆周长 （2）大圆面积： 小圆面积： 小圆面积是大圆面积的： 【点睛】考查了圆的周长公式或，圆的面积公式运用。 【对应练习2】 大圆半径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，小圆面积是大圆面积的( )。 【答案】 4 【详解】小圆的周长C=2πr，大圆半径是小圆半径的4倍，大圆的周长=2π×4r，小圆的面积S=πr²，大圆半径是小圆半径的4倍，大圆的面积S=π×4r×4r=16πr²，由此可知答案． 【对应练习3】 大圆半径是小圆半径的5倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，大圆面积是小圆面积的( )倍。 【答案】 5 25 【分析】由题意可知，假设小圆的半径是1，则大圆的半径是5，根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，据此解答即可。 【详解】假设小圆的半径是1，则大圆的半径是5， （2π×5）÷2π ＝10π÷2π ＝5 π×52÷π×12 ＝25π÷π ＝25 则大圆周长是小圆周长的5倍，大圆面积是小圆面积的25倍。 【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。 【考点十】三种关系之半径、直径和周长、面积的比例关系 方法点拨 1. 两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。 2. 圆周长和直径的比是π:1，比值是π；圆周长和半径的比是2π:1，比值是2π。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 两圆的半径之比，它们的面积之比是( )，周长之比是( )。 【答案】 9∶25 3∶5 【分析】圆的周长，圆的面积，根据圆的周长和面积公式可知，两圆的面积之比等于半径的平方之比，两圆的周长之比等于半径之比，据此解答即可。 【详解】两圆的半径之比 3:5 ，它们的面积之比是9∶25，周长之比是3∶5。 【点睛】本题考查比、圆的周长和面积，解答本题的关键是掌握圆的周长和面积计算公式。 【对应练习1】 两个圆的半径之比是4∶3，它们的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )，如果较大的圆的周长是12.56cm，则较小的圆的周长是( )cm。 【答案】 4∶3 4∶3 16∶9 9.42 【分析】由题意可知，两个圆的半径之比是4∶3，则假设两个圆的半径分别为4和3，根据直径＝半径×2，圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，据此求出它们的直径之比、周长之比和面积之比；根据圆的周长公式求出较大的圆的直径，进而求出较小的圆的直径，最后求出较小的圆的周长。 【详解】假设两个圆的半径分别为4和3 （4×2）∶（3×2） ＝8∶6 ＝（8÷2）∶（6÷2） ＝4∶3 4π∶3π＝4∶3 42π∶32π ＝16π∶9π ＝16∶9 12.56÷3.14＝4（cm） 4÷4×3 ＝1×3 ＝3（cm） 3.14×3＝9.42（cm） 则两个圆的半径之比是4∶3，它们的直径之比是4∶3，周长之比是4∶3，面积之比是16∶9，如果较大的圆的周长是12.56cm，则较小的圆的周长是9.42cm。 【点睛】本题考查比的意义，结合圆的周长和面积的计算方法是解题的关键。 【对应练习2】 小圆直径8厘米，大圆半径6厘米，小圆和大圆直径之比是( )；小圆和大圆周长比是( )；小圆和大圆的面积比是( )。 【答案】 2∶3 2∶3 4∶9 【分析】根据d＝2r，先求出大圆的直径，然后写出比，化简比即可；根据两个圆的直径比＝周长比，面积比＝直径比的平方，据此直接写出比即可。 【详解】根据分析： 直径比和周长比：8∶（6×2）＝8∶12＝2∶3 面积比：（2×2）∶（3×3）＝4∶9 所以，小圆直径8厘米，大圆半径6厘米，小圆和大圆直径之比是（2∶3）；小圆和大圆周长比是（2∶3）；小圆和大圆的面积比是（4∶9）。 【点睛】此题考查了圆的周长以及面积计算，关键熟记：两个圆的直径比＝周长比，面积比＝直径平方的比。 【对应练习3】 已知小圆半径是大圆半径的，则小圆与大圆的周长之比是( )，如果小圆面积是，则大圆面积是( )。 【答案】 1∶3 28.26 【分析】已知小圆半径是大圆半径的，利用比与分数之间的关系，可得小圆和大圆的半径之比是1∶3，根据圆的周长＝×2×半径，因此两个圆的周长比等于这两个圆的半径比，即可求出小圆与大圆的周长之比。再根据圆的面积＝，因此两个圆的面积比等于这两个圆的半径的平方比，可求得小圆和大圆的面积之比是1∶9，把小圆的面积看作1份，大圆的面积看作9份，用小圆的面积除以1，求出1份量是多少，再乘9即可求出大圆的面积。 【详解】根据分析得，小圆和大圆的半径之比是1∶3， 所以小圆与大圆的周长之比是1∶3。 小圆与大圆的面积之比是12∶32＝1∶9。 3.14÷1×9＝28.26（cm2） 即大圆面积是28.26cm2。 【点睛】此题主要考查比的应用以及圆的周长、面积公式的熟练运用。 【典型例题2】问题二 如图：大圆半径为8厘米，小圆半径为4厘米，则大圆与小圆的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处，那么小圆的圆心移动的长度是( )厘米。 【答案】 2∶1 2∶1 4∶1 75.36 【分析】根据圆的直径d＝2r，圆的周长C＝2πr，圆的面积S＝πr2，可知两个圆的直径之比、周长之比等于它们的半径之比，两个圆的面积之比等于它们的半径的平方比。 从图中可知，小圆的圆心移动的长度是以（8＋4）厘米为半径的圆的周长，根据圆的周长C＝2πr，代入数据计算即可求解。 【详解】大圆与小圆的直径之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1； 大圆与小圆的周长之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1； 大圆与小圆的面积之比是82∶42＝64∶16＝（64÷16）∶（16÷16）＝4∶1； 2×3.14×（8＋4） ＝2×3.14×12 ＝75.36（厘米） 小圆的圆心移动的长度是75.36厘米。 【点睛】本题考查圆的直径、周长、面积公式的运用以及比的意义、比的化简。 【对应练习1】 下图是由一个大圆和一个小圆组成的，点O是大圆的圆心。小圆与大圆的半径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。 【答案】 1∶2 1∶2 1∶4 【分析】可以假设小圆的半径为r，大圆的半径为2r，分别求出大小圆的半径、大小圆的周长、大小圆的面积，再写出比并化简即可。 【详解】根据题意，设小圆的半径为r，则大圆的半径为2r， 小圆与大圆的半径之比：r∶2r＝1∶2 周长之比：2πr∶2π（2r）＝1∶2 面积之比：πr2∶π（2r）2＝πr2∶4πr2＝1∶4 已知小圆的直径等于大圆的半径，那么小圆与大圆的半径之比是1∶2，周长之比是1∶2，面积之比是1∶4。 【点睛】本题考查圆的周长、面积公式及比的意义与化简比。 【对应练习2】 三个同心圆（如图），已知OA：AB：BC的比是1：2：3，那么这三个圆（从小到大）的周长之比是( )，面积之比是( )。 【答案】 1：3：6 1：9：36 【详解】由分析得：这三个圆的周长的比等于半径的比，面积的比等于半径平方的比，所以，这三个圆（从小到大）的周长之比是1：3：6，面积的比是1：9：36． 故答案为1：3：6，1：9：36． 【对应练习3】 （如图）如果大圆的半径和小圆的直径相等，那么大圆面积与小圆面积之比是( )。 A．2∶1 B．4∶1 C． D． 【答案】B 【分析】假设出小圆的半径，大圆的半径＝小圆的半径×2，利用“”表示出大圆的面积和小圆的面积，最后根据比的意义求出大圆和小圆的面积比，据此解答。 【详解】假设小圆的半径为r厘米，则大圆的半径为2r厘米。 小圆的面积：（平方厘米） 大圆的面积： ＝（平方厘米） 大圆的面积∶小圆的面积＝∶＝4∶1 所以，大圆面积与小圆面积之比是4∶1。 故答案为：B 【点睛】掌握圆的面积计算公式和比的意义是解答题目的关键。 【考点十一】三种关系之半径、直径和周长、面积的增减变化关系 方法点拨 1. 周长的变化。 算出增加后圆的周长和原来的周长进行相减得到周长增加的部分。 当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 2.面积的变化。 算出增加后圆的面积和原来的面积进行相减得到面积增加的部分。 考察形式 填空 动态评价 【典型例题】 一个半径是3dm的圆，如果半径增加1dm，那么周长增加( )dm，面积增加( )dm2。 【答案】 6.28 21.98 【分析】由于半径增加1dm，那么此时的半径是4dm，根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，把数代入公式求出半径增加前的周长和面积，再求出半径增加后的周长和面积，之后作差即可。 【详解】当半径是3dm的时候 周长：3.14×3×2 ＝9.42×2 ＝18.84（dm） 面积：3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（dm2） 半径增加1dm后： 3＋1＝4（dm） 周长：3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（dm） 面积：3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（dm2） 则周长增加：25.12－18.84＝6.28（dm） 面积增加：50.24－28.26＝21.98（dm2） 所以一个半径为3dm的圆，如果半径增加1dm，那么周长增加6.28dm，面积增加21.98dm2。 【点睛】本题主要考查圆的周长和面积公式，应熟练掌握它们的公式并灵活运用。 【对应练习1】 圆的半径由4cm增加到5cm，它的周长增加( )cm，它的面积增加( )cm2。（π取3.14） 【答案】 6.28 28.26 【分析】根据圆的周长公式：C＝，和圆的面积公式：S＝，代入前后半径的数据，分别求出增加前和增加后的圆的周长及圆的面积，再相减即可求出增加的圆的周长和增加的圆的面积。 【详解】2×3.14×5－2×3.14×4 ＝31.4－25.12 ＝6.28（cm） 3.14×52－3.14×42 ＝3.14×25－3.14×16 ＝78.5－50.24 ＝28.26（cm2） 即圆的周长增加6.28cm，它的面积增加28.26cm2。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆的周长和圆的面积公式解决实际的问题。 【对应练习2】 一个圆的半径是6m，周长是( )m，面积是( )m2；如果这个圆的半径增加1m，则周长增加( )m，面积增加( )m2。 【答案】 37.68 113.04 6.28 40.82 【分析】根据“”“”分别求出这个圆的周长和面积，以及半径增加后圆的周长和面积，最后求出它们的差，据此解答。 【详解】2×3.14×6 ＝6.28×6 ＝37.68（m） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（m2） 6＋1＝7（m） 2×3.14×7－37.68 ＝6.28×7－37.68 ＝43.96－37.68 ＝6.28（m） 3.14×72－113.04 ＝3.14×49－113.04 ＝153.86－113.04 ＝40.82（m2） 所以，一个圆的半径是6m，周长是37.68m，面积是113.04m2；如果这个圆的半径增加1m，则周长增加6.28m，面积增加40.82m2。 【点睛】熟练掌握并灵活运用圆的周长和面积的计算公式是解答题目的关键。 【对应练习3】 用篱笆围一个半圆形养鸡场，一面靠墙，篱笆长15.7米。如果将养鸡场半径增加1米，需要增加围栏( )米，则面积增加( )平方米。 【答案】 3.14 17.27 【分析】先用15.7×2求出整圆的周长，然后算出养鸡场原来的半径，再算出增加1米后的半径以及篱笆长度，和之前的篱笆长相减，求出增加的围栏长度；分别根据增加前后的半径求出半圆的面积，最后把它们相减求出增加的面积即可。 【详解】原来半径： 15.7×2÷2÷3.14 ＝15.7÷3.14 ＝5（米） 后来半径： 5＋1＝6（米） 后来篱笆长： 6×2×3.14÷2 ＝6×3.14 ＝18.84（米） 增加的围栏长度： 18.84－15.7＝3.14（米） 增加的面积： 3.14×6×6÷2－3.14×5×5÷2 ＝3.14×18－3.14×12.5 ＝56.52－39.25 ＝17.27（平方米） 如果将养鸡场半径增加1米，需要增加围栏3.14米，则面积增加17.27平方米。 【点睛】灵活运用圆的周长和面积公式是解题的关键。 【考点十二】圆环的认识和面积 方法点拨 1. 认识圆环。 以同一点为圆心画出两个半径不相等的圆，两圆之间的部分叫圆环。 2. 圆环的特征。 圆环是轴对称图形，它有无数条对称轴，通过圆心的直线都是它的对称轴。 3. 圆环各部分的名称。 4. 圆环的面积计算公式。 S圆环=πR²－πr²=π(R²－r²) 5. 古代数学文化。 我国古代数学专著《九章算术》“方田章”中记载了这样一种求圆环面积的方法：“并中外周而半之，以径乘之为积步。”意思是将外圆和内圆的周长的平均数乘环的宽度可以得到圆环的面积。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 这是西周圆形圆孔钱平面图（如图）的面积大约是多少平方厘米？（得数保留一位小数） 【答案】5.2平方厘米 【分析】根据图意可知，求这枚西周圆形圆孔钱（如图）的面积大约是多少平方厘米，实际上求的就是环形的面积，根据环形面积公式：环形面积＝外圆面积－内圆面积，把数据代入公式进行解答。 【详解】2.7÷2＝1.35（厘米） 0.8÷2＝0.4（厘米） 3.14×（1.352－0.42） ＝3.14×（1.8225－0.16） ＝3.14×1.6625 ＝5.22025 ≈5.2（平方厘米） 答：这枚西周圆形圆孔钱（如图）的面积大约是5.2平方厘米。 【点睛】此题属于环形面积的实际应用，直接根据环形面积公式解答即可。 【对应练习1】 一个圆形花坛的直径是50米，中间是一个直径为30米的圆形水湖，其余地方是草坪，草坪的面积是多少平方米？如果每平方米草坪需要肥料0.8千克，给这块草坪施肥需要肥料多少千克？ 【答案】1256平方米；1004.8千克 【分析】根据圆的半径r＝d÷2，分别求出圆形花坛的半径R和圆形水湖的半径r； 求草坪的面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算即可求解； 用每平方米草坪需要肥料的质量乘草坪的面积，即可求出给这块草坪施肥需要肥料的总质量。 【详解】50÷2＝25（米） 30÷2＝15（米） 3.14×（252－152） ＝3.14×（625－225） ＝3.14×400 ＝1256（平方米） 0.8×1256＝1004.8（千克） 答：草坪的面积是1256平方米，给这块草坪施肥需要肥料1004.8多少千克。 【对应练习2】 公园要修建一个圆形花坛，花坛的直径是40米，在花坛周边铺10米宽的草坪。 （1）花坛和草坪整个场地的占地面积是多少？ （2）如果铺1平方米草坪需要10元，那么铺草坪需要多少元？ 【答案】（1）2826平方米 （2）15700元 【分析】（1）花坛和草坪整个场地是个圆，花坛直径÷2＋草坪宽＝整个圆的半径，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可； （2）草坪形状是个圆环，花坛直径÷2＝小圆半径，整个圆的半径是大圆半径，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），求出草坪面积，草坪面积×每平方米费用＝需要的总钱数，据此列式解答。 【详解】（1）40÷2＋10 ＝20＋10 ＝30（米） 3.14×302 ＝3.14×900 ＝2826（平方米） 答：花坛和草坪整个场地的占地面积是2826平方米。 （2）40÷2＝20（米） 3.14×（302－202） ＝3.14×（900－400） ＝3.14×500 ＝1570（平方米） 1570×10＝15700（元） 答：铺草坪需要15700元。 【对应练习3】 圆形池塘的周长是25.12米（如图），在池塘的周围修一条2米宽的水泥路，水泥路的面积是多少平方米？ 【答案】62.8平方米 【分析】由题意知：圆形池塘的半径:：米，再利用圆环的面积公式：，将数值代入即可求得水泥路的面积。据此解答。 【详解】 ＝ ＝4（米） 大圆的半径： （米） ＝ ＝ ＝62.8（平方米） 答：水泥路的面积是62.8平方米。 【考点十三】半圆环的面积 方法点拨 半圆环的面积：S=(πR2－πr2)÷2。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 在一个半径为10米的圆形喷泉周围修一条宽3米的小路，小路一半面积铺鹅卵石，一半面积铺水泥。小路铺水泥（如下图）的面积是多少平方米？ 【答案】108.33平方米 【分析】由题意可知，小圆的半径为10米，大圆的半径＝小圆的半径＋环宽，利用“”表示出小路的面积，最后除以2求出小路铺水泥的面积，据此解答。 【详解】10＋3＝13（米） 3.14×（132－102）÷2 ＝3.14×（169－100）÷2 ＝3.14×69÷2 ＝216.66÷2 ＝108.33（平方米） 答：小路铺水泥的面积是108.33平方米。 【点睛】本题主要考查环形面积公式的应用，熟记公式是解答题目的关键。 【对应练习1】 如图所示。李爷爷靠墙用篱笆围了一块半圆形的苗圃，半径是4米。如果要扩建这个苗圃，把这块苗圃的半径增加2米，这块半圆形苗圃的面积增加了多少平方米？ 【答案】31.4平方米 【分析】增加的面积为圆环的一半，已知现在的半径为4米，半径增加2米，则现在的半径为4＋2＝6米，再根据圆环的面积公式S＝π（R2－r2），代入公式，最后除以2即可解题。 【详解】4＋2＝6（米） 3.14×（62－42）÷2 ＝3.14×（36－16）÷2 ＝3.14×20÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（平方米） 答：这块半圆形苗圃的面积增加了31.4平方米。 【点睛】解读出增加的面积为圆环的一半，并掌握圆环的面积公式是解题的关键。 【对应练习2】 一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。 （1）这个花坛的面积有多大？ （2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？ 【答案】（1）76.93平方米 （2）23.55平方米 【分析】（1）根据题意，已知半圆形花坛一周的长是35.98米，也就是半圆周长为35.98米；根据半圆周长＝圆周长的一半＋直径，即C半圆＝πr＋2r，可知：圆的半径r＝C半圆÷（π＋2），由此求出半圆形花坛的半径；然后根据圆的面积公式S＝πr2，求出一个圆的面积，再除以2，即是这个的花坛的面积。 （2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，求花坛面积增大多少，就是求半圆环的面积；由上一题可知内圆的半径是7米，则外圆的半径是（7＋1）米；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出一个圆环的面积，再除以2，即可得解。 【详解】（1）半圆的半径： 35.98÷（3.14＋2） ＝35.98÷5.14 ＝7（米） 半圆的面积： 3.14×72÷2 ＝3.14×49÷2 ＝153.86÷2 ＝76.93（平方米） 答：这个花坛的面积是76.93平方米。 （2）7＋1＝8（米） 3.14×（82－72）÷2 ＝3.14×（64－49）÷2 ＝3.14×15÷2 ＝47.1÷2 ＝23.55（平方米） 答：花坛的面积增大23.55平方米。 【点睛】本题考查半圆周长计算方法的灵活运用以及圆环面积公式的应用。 【对应练习3】 一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。 （1）这个花坛的面积有多大？ （2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？ 【答案】（1）76.93平方米 （2）23.55平方米 【分析】（1）半圆周长＝πr＋2r，半径＝半圆周长÷（π＋2），半圆面积＝πr2÷2，据此列式解答即可。 （2）增大的面积是圆环面积的一半，圆环面积的一半＝π（R2－r2）÷2，据此列式解答。 【详解】（1）35.98÷（3.14＋2） ＝35.98÷5.14 ＝7（米） 3.14×72÷2 ＝3.14×49÷2 ＝76.93（平方米） 答：这个花坛的面积有76.93平方米。 （2）7＋1＝8（米） 3.14×（82－72）÷2 ＝3.14×（64－49）÷2 ＝3.14×15÷2 ＝23.55（平方米） 答：花坛的面积增大23.55平方米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长、面积和圆环面积公式。 【考点十四】利用整体代换法求圆环的面积 方法点拨 整体代换法，即通过平面图形之间的等量关系，将图形面积整体代换，再根据相应面积公式求出面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图所示，阴影部分的面积是100平方厘米，求圆环的面积。 【答案】314平方厘米 【分析】设大圆的半径为R，小圆的半径为r，那么阴影部分的面积＝R2－r2，即R2－r2＝100。因为圆环的面积公式：S＝π×（R2－r2）。所以用100平方厘米乘3.14，可求出圆环的面积。 【详解】3.14×100＝314（平方厘米） 圆环的面积是314平方厘米。 【对应练习1】 下图中阴影部分的面积是5平方厘米，求圆环的面积。 【答案】31.4平方厘米 【分析】设小圆、大圆的半径分别为 r 厘米、R 厘米。阴影部分是大三角形面积减小三角形面积，大三角形底和高是大圆半径 R，小三角形底和高是小圆半径 r，那么阴影部分面积可表示为×R×R－×r×r＝（R2－r2），已知阴影部分面积是 5 平方厘米，所以可得×（R2－r2）＝5 ，进一步得出R2－r2＝5÷。而圆环面积公式是3.14×（R2－r2），所以解题思路就是先通过阴影部分面积求出半径平方差，再利用这个结果和圆环面积公式求出圆环面积，据此解答。 【详解】设小圆、大圆的半径分别为r厘米、R厘米。 阴影部分的面积可以表示为×R×R－×r×r＝（R2－r2），已知阴影部分面积是5平方厘米，所以×（R2－r2）＝5，即R2－r2＝5÷＝10。而圆环的面积公式为3.14×（R2－r2），所以圆环的面积是3.14×10＝31.4（平方厘米）。 【对应练习2】 图中阴影部分的面积是400平方厘米，环形的面积是多少？（取3.14） 【答案】1256平方厘米 【分析】如图所示，设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则图中大正方形的边长为R，小正方形的边长为r，则阴影部分的面积＝ ，而阴影部分的面积已知，则可以求出的值；又因圆环的面积＝大圆的面积﹣圆的面积，即：“”，的值已求出，从而求得环形的面积。 【详解】设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则图中大正方形的边长为R，小正方形的边长为r， 因为阴影部分的面积： ＝400（平方厘米） 圆环的面积＝大圆的面积－圆的面积： π（R2﹣r2） ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 圆环的面积是1256平方厘米。 【对应练习3】 如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】45平方厘米 【分析】如图：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，大正方形的面积=大圆的半径×大圆的半径＝大圆半径的平方，小圆的面积=小圆的半径×小圆的半径＝小圆半径的平方，设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积为π（R2－r2）＝141.3（平方厘米），据此用圆环的面积除以π即可解答。 【详解】设大圆半径为R，小圆半径为r。 则圆环面积为：π（R2－r2）＝141.3（平方厘米） R2－r2 ＝141.3÷3.14 ＝45（平方厘米） 答：阴影部分的面积是45平方厘米。 【点睛】本题关键是将阴影部分的面积转化为两个正方形的面积差。再结合圆环的面积公式解答。 【考点十五】长方形中的最圆问题 方法点拨 在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 考察形式 填空、计算 动态评价 【典型例题】 在一张长6cm，宽4cm的长方体纸上画一个最大的圆，那么圆规两脚间的距离是( )厘米；所画圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 2 12.56 【分析】根据题意可知，在这张长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，所以圆规两脚间的距离是（4÷2）厘米，根据圆的面积公式：S＝r2，把数据代入公式解答。 【详解】4÷2＝2（厘米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 圆规两脚间的距离是2厘米，所画圆的面积是12.56平方厘米。 【点睛】考查圆的特点以及圆的面积计算，重点是能够熟练掌握圆的面积计算方法。 【对应练习1】 在一块长8分米、宽6分米的长方形铁板上，剪掉一个最大的圆，剩下部分的面积是( )平方分米。 【答案】19.74 【分析】长方形里剪掉一个最大的圆，圆的直径＝长方形的宽，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，长方形面积－圆的面积＝剩下部分的面积，据此列式计算。 【详解】8×6－3.14×（6÷2）2 ＝48－3.14×32 ＝48－3.14×9 ＝48－28.26 ＝19.74（平方分米） 剩下部分的面积是19.74平方分米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方形和圆的面积公式，理解长方形和圆之间的关系。 【对应练习2】 在长8cm，宽0.6dm的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 18.84 28.26 【分析】在长方形中画一个最大的圆，则这个圆的直径相当于长方形的宽，根据圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可。 【详解】0.6dm＝6cm 3.14×6＝18.84（cm） 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 则这个圆的周长是18.84cm，面积是28.26cm2。 【点睛】本题考查圆的周长和面积，明确这个圆的直径相当于长方形的宽是解题的关键。 【对应练习3】 在一张长8cm、宽6cm的长方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 3 18.84 28.26 【分析】以长方形的宽为直径的圆是长方形中最大的圆，在同圆或等圆中，半径是直径的，直径是半径的2倍，利用“”求出圆的周长，利用“”求出圆的面积，据此解答。 【详解】半径：6÷2＝3（cm） 周长：2×3.14×3 ＝6.28×3 ＝18.84（cm） 面积：3.14×32＝28.26（cm2） 所以，这个圆的半径是3cm，周长是18.84cm，面积是28.26cm2。 【点睛】理解最大圆的直径等于长方形的宽，并掌握圆的周长和面积计算公式是解答题目的关键。 【考点十六】外方内圆（方中圆） 方法点拨 1. 外方内圆的意义。 “外方内圆”就是在正方形内画一个最大的圆。 2. 外方内圆的解题方法。 正方形的边长a=圆的直径d，圆的面积与正方形面积比为π:4，若圆的半径为r，则方圆之间的面积为0.86r²。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，在一张边长10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )，剩余部分的面积是( )。 【答案】 78.5 21.5 【分析】由题意可知：这个最大圆的直径应该等于正方形的边长，正方形的边长已知，于是利用圆的面积＝πr2，即可求出圆的面积；再用正方形的面积减去圆的面积，即可求出剩余部分的面积。 【详解】3.14×（10÷2）2 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 这个圆的面积是78.5平方厘米。 10×10－78.5 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 余下部分的面积是21.5平方厘米。 【点睛】此题主要考查学生正方形与圆面积的计算能力，解答此题的关键是明白：正方形中最大圆的直径应该等于正方形的边长，即可求得圆面积和余下的面积。 【对应练习1】 在一个面积为40平方厘米的正方形里，剪下一个最大的圆，圆的面积是( )平方厘米。 【答案】31.4 【分析】由题意可知，从正方形中剪下一个最大的圆，则该圆的直径相当于正方形的边长，圆的半径的平方等于正方形的面积的，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。 【详解】40×＝10（平方厘米） 3.14×10＝31.4（平方厘米） 则圆的面积是31.4平方厘米。 【点睛】本题考查圆的面积，明确圆的半径的平方等于正方形的面积的是解题的关键。 【对应练习2】 在一张周长20分米的正方形上剪下一个最大的圆，则剩余部分的面积是( )平方分米。 【答案】5.375 【分析】周长20分米的正方形的边长是5分米，则这个最大的圆的直径就是5分米，据此利用圆的面积公式求出这个最大的圆的面积，再用正方形的面积减去圆的面积即可。 【详解】20÷4＝5（分米） 5×5－3.14×（5÷2）2 ＝25－3.14×6.25 ＝25－19.625 ＝5.375（平方分米） 剩余部分的面积是5.375平方分米。 【点睛】解答此题的关键是：弄清楚阴影部分的面积可以由哪些图形的面积的和或差求得，再利用面积公式计算即可解答问题。 【对应练习3】 数学课上，小明用边长8cm的正方形纸，小华用边长10cm的正方形纸，各剪了一个最大的圆，小明和小华所剪的圆的周长之比是( )，面积之比是( )。 【答案】 4∶5 16∶25 【分析】正方形的边长为圆的直径，根据圆的周长公式：可知，圆的周长之比等于半径之比；根据圆的面积公式：可知，圆的面积之比等于半径的平方之比。 【详解】小明剪的圆的半径为：8÷2＝4（cm），小华剪的圆的半径为：10÷2＝5（cm）； 所以小明和小华所剪的圆的周长之比为：4∶5；小明和小华所剪的圆的面积之比为：＝16∶25 【点睛】此题考查的是圆的面积公式和圆的周长公式。 【考点十七】外圆内方（圆中方） 方法点拨 1. 外圆内方的意义。 “外圆内方”就是圆内画一个最大的正方形。 2. 外圆内方的解题方法。 作辅助线后发现：圆的直径等于正方形的对角线的长，正方形的面积等于两个底是圆的直径、高是圆的半径的三角形面积之和，圆的面积与正方形的面积比为π:2，若圆的半径为r，则方圆之间的面积为1.14r²。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 在一个圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是72平方厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 【答案】 113.04 37.68 【分析】在一个圆内画一个最大的正方形，如图，正方形的对角线＝圆的直径，设圆的半径是r厘米，根据2r×r×2÷2＝正方形面积，确定r，再根据圆的面积＝πr2，圆的周长＝2πr，求出圆的面积和周长。 【详解】解：设圆的半径是r厘米。 2r×r×2÷2＝72 2r×r＝72 2r×r÷2＝72÷2 r×r＝36 r＝6 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 2×3.14×6＝37.68（厘米） 这个圆的面积是113.04平方厘米，周长是37.68厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。 【对应练习1】 把一个圆形纸片折成一个最大的正方形，这个正方形的对角线长8cm，那么这个圆形纸片的面积是( )平方厘米，折起来的部分的面积是( )平方厘米。 【答案】 50.24 18.24 【分析】把一个圆形纸片折成一个最大的正方形，这个正方形的对角线＝圆的直径，根据圆的面积＝πr2，求出圆形纸片的面积；圆的面积－正方形面积＝折起来的面积，正方形的面积＝两个三角形面积和，据此列式计算。 【详解】3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 50.24－8×（8÷2）÷2×2 ＝50.24－8×4÷2×2 ＝50.24－32 ＝18.24（平方厘米） 这个圆形纸片的面积是50.24平方厘米，折起来的部分的面积是18.24平方厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的面积公式，灵活计算正方形面积。 【对应练习2】 在一个周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是( )平方厘米，这个正方形的面积与这个圆的面积最简单整数比是( )∶( )。 【答案】 18 100 157 【分析】圆内画一个最大的正方形，正方形对角线＝圆的直径，根据圆的直径＝周长÷π，求出圆的直径，即正方形对角线，将正方形平均分成2个等腰直角三角形，根据三角形面积＝底×高÷2，求出正方形面积；圆的面积＝πr2，根据比的意义，写出正方形与圆的面积比，化简即可。 【详解】18.84÷3.14＝6（厘米） 6×（6÷2）÷2×2 ＝6×3÷2×2 ＝18（平方厘米） 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 18∶28.26＝1800∶2826＝300∶471＝100∶157 在一个周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是18平方厘米，这个正方形的面积与这个圆的面积最简单整数比是100∶157。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式以及正方形面积公式，理解比的意义，掌握化简比的方法。 【对应练习3】 如图，在周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】10.26 【分析】以圆的直径为对角线的正方形是圆内面积最大的正方形，连接正方形的两条对角线，正方形被分成4个形状相同的等腰直角三角形，先根据圆的周长求出圆的半径，再利用“”表示出圆的面积，并根据“”表示出正方形的面积，阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，据此解答。 【详解】 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 3.14×32－×3×3×4 ＝3.14×9－×4 ＝28.26－18 ＝10.26（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是10.26平方厘米。 【点睛】把正方形的面积转化为三角形的面积，并掌握圆的周长和面积计算公式是解答题目的关键。 【考点十八】外方内圆与外圆内方综合 方法点拨 外方内圆，正方形和圆的面积之比是4:π;外圆内方，圆和正方形的面积之比是π:2。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图中，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，再在圆里画一个最大的正方形，那么阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】1.14 【分析】根据题意，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长，根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆的面积； 在圆里画一个最大的正方形，如下图，用正方形的一条对角线把这个正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，根据三角形的面积S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是这个最大正方形的面积； 最后用圆的面积减去最大正方形的面积，即是阴影部分的面积。 【详解】圆的半径：2÷2＝1（cm） 圆的面积：3.14×1×1＝3.14（cm2） 圆内最大正方形的面积：2×1÷2×2＝2（cm2） 阴影部分的面积：3.14－2＝1.14（cm2） 阴影部分的面积是1.14cm2。 【点睛】本题考查圆的面积、三角形面积公式的运用，关键是把圆内最大正方形的面积转化成两个完全一样的三角形的面积求解。 【对应练习1】 大圆内有一个最大的正方形，正方形内有一个最大的圆，大圆面积和小圆面积的比是( )。 A．4∶1 B．200∶157 C．2∶1 D．200∶43 【答案】C 【分析】观察图形可知，设小圆的半径是1，正方形的边长为2，利用圆的面积公式即可表示出小圆的面积为π；假设大圆的半径为r，根据大圆和正方形的关系，正方形的面积等于2r2，据此求出r2，进而得出大圆的面积，然后写出大圆面积和小圆面积的比，再化简即可。 【详解】设小圆的半径为1，则： 小圆的面积是：π×1×1＝π 正方形的面积是：（1＋1）2 ＝22 ＝4 设大圆的半径是r，则： 2r2＝4 2r2÷2＝4÷2 r2＝2 大圆的面积是：π×r2＝2π 所以大圆面积和小圆面积的比是： 2π∶π ＝（2π÷2）∶（π÷2） ＝2∶1 故答案为：C 【点睛】本题主要考查了组合图形面积的计算，根据圆中取面积最大正方形的画法，推导出大圆半径和正方形边长的关系，是本题解题的关键。 【对应练习2】 如图，大圆内画一个最大的正方形，正方形内画一个最大的圆…，如此画下去，共画了4个圆．那么，最大的圆的面积是最小的圆的( )倍。 A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】首先设最小圆的半径（最小正方形的边心距）为x，然后利用构造的等腰直角三角形表示出最大的正方形的半径，然后根据面积的比等于半径比的平方即可得到答案。 【详解】如图：设同心圆的圆心为O， 连接OA，作OC垂直于最大正方形的边于点C， 设最小圆的半径（最小正方形的边心距）为x， ∵∠AOC=45°， 所以 ∴最大圆与最小圆的面积比为：（2x）2：x2=8：1， 即最大圆的面积是最小圆的面积的8倍。 故选C。 【点睛】本题考查了正多边形的有关计算，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形并找到两圆的半径比。 【考点十九】圆面积的应用问题其一：钟表指针问题 方法点拨 时针和分针可看作圆的半径，求周长或面积时，应先分析出时针或分针走的 圈数。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一个钟表的分针长10厘米，时针长8厘米。从1时到2时，分针针尖走过了多少厘米？这时时针扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留两位小数） 【答案】62.8厘米；16.75平方厘米 【分析】从1时到2时，分针走了1圈，时针走了1大格，一共有12格；根据圆周长公式：C＝2πr，用3.14×2×10即可求出分针针尖走过了多少厘米；根据题意可知，时针扫过的面积是圆面积的；根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×82×即可求出时针扫过的面积。 【详解】3.14×2×10＝62.8（厘米） 3.14×82× ＝3.14×64× ≈16.75（平方厘米） 答：分针针尖走过了62.8厘米；时针扫过的面积是16.75平方厘米。 【点睛】本题主要考查了圆周长公式和圆面积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 【对应练习1】 一个挂钟的分针长12厘米，经过15分钟，分针尖端走过的路程是多少厘米？分针扫过内面积是多少平方厘米？ 【答案】18.84厘米；113.04平方厘米 【分析】根据生活经验可知，分针1小时（60分钟）转一圈，经过15分钟，分针转了四分之一圈，根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】2×3.14×12÷4 ＝6.28×12÷4 ＝75.36÷4 ＝18.84（厘米） 3.14×122÷4 ＝3.14×144÷4 ＝452.16÷4 ＝113.04（平方厘米） 答：分针尖端走过的路程是18.84厘米，分针扫过内面积是113.04平方厘米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习2】 某钟表的分针长10厘米，从1时到4时，分针针尖走过了多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？ 【答案】188.4厘米；942平方厘米 【分析】根据题意可知，从1时到4时，分针正好转动了三圈，分针走一圈，它的尖端走过的路程是一个圆，分针的长度就是这个圆的半径，根据圆的周长公式走一圈所走的路程，再乘3即可求出分针走过的路程；分针转过一圈的面积，就是这个圆的面积，利用圆的面积公式求出扫一圈的面积，再乘3即可解答。 【详解】2×3.14×10×3 ＝6.28×10×3 ＝188.4（厘米） 3.14×102×3 ＝3.14×100×3 ＝942（平方厘米） 答：分针针尖走过了188.4厘米，分针扫过的面积是942平方厘米。 【点睛】此题主要考查的是圆的周长、面积公式的应用。 【对应练习3】 一个钟表的时针长8厘米，分针长10厘米，从中午12时到下午6时，时针扫过的面积是多少？一昼夜分针尖端走过的路程是多少？ 【答案】100.48平方厘米；1507.2厘米 【分析】时针和分针的长度相当于圆的半径，从中午12时到下午6时，时针扫过钟面的一半，根据半圆面积＝πr2÷2，求出时针扫过的面积；一昼夜分针转24圈，根据圆的周长C＝2πr，求出转一圈的路程，乘24即可。 【详解】3.14×82÷2 ＝3.14×64÷2 ＝100.48（平方厘米） 2×3.14×10×24 ＝62.8×24 ＝1507.2（厘米） 答：从中午12时到下午6时，时针扫过的面积是100.48平方厘米，一昼夜分针尖端走过的路程是1507.2厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。 【考点二十】圆面积的应用问题其二：相遇问题 方法点拨 相遇时间=路程÷速度和。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一天，小军和小芳到一个近似于圆的公园游玩，两人突然想到一个数学问题：“这个公园的面积大约是多少平方米？”经过探究，两人想出了一个好办法：两人沿着公园的A点处同时出发，背向而跑，如图。小军的速度是164米/分钟，小芳的速度是150米/分钟，经过2分钟两人相遇。你能按他们的办法算出这个公园的面积吗？试一试。 【答案】31400平方米 【分析】两人相遇时，路程和就是圆的周长。路程和＝速度和×相遇时间，据此求出路程和，即圆的周长。将圆周长除以2再除以3.14，求出圆的半径。圆面积＝3.14×半径2，据此列式求出圆的直径，即这个公园的面积。 【详解】（164＋150）×2 ＝314×2 ＝628（米） 628÷2÷3.14＝100（米） 3.14×1002＝31400（平方米） 答：这个公园的面积是31400平方米。 【点睛】本题考查了圆的周长和面积，熟记并灵活运用圆的周长和面积公式是解题关键。 【对应练习1】 小明和小芳从圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，小明每分钟走83米，小芳每分钟走74米。    （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）它的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）200米 （2）31400平方米 【分析】（1）已知小明、小芳的速度和两人的相遇时间，根据“路程＝速度和×相遇时间”，即可求出这个圆形场地的周长； 再根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出圆形场地的直径。 （2）求它的占地面积，就是求这个圆形场地的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，以及半径r＝d÷2，代入数据计算求解。 【详解】（1）圆的周长： （83＋74）×4 ＝157×4 ＝628（米） 直径：628÷3.14＝200（米） 答：这个圆形场地的直径是200米。 （2）3.14×（200÷2）2 ＝3.14×10000 ＝31400（平方米） 答：它的占地面积是31400平方米。 【点睛】（1）本题考查圆的周长公式的灵活运用，根据速度、时间、路程之间的关系求出圆的周长是解题的关键。 （2）本题考查圆的面积公式的运用。 【对应练习2】 小明和小红经常到公园里的圆形露天舞台散步。一天，他们从圆形露天舞台边沿同一地点同时出发，沿着圆形露天舞台的边沿背向而行，2分钟后，两人相遇，小明每分钟走75米，小红每分钟走82米。 （1）这个圆形露天舞台的周长是多少米？ （2）这个圆形露天舞台占地多少平方米？ 【答案】（1）314米 （2）7850平方米 【分析】（1）根据题意，圆形露天舞台的周长＝两人速度和×相遇时间，据此解答即可； （2）根据圆形舞台的周长C＝2πr，据此求出其半径，面积S＝πr2，代入数据解答即可。 【详解】（1）（75＋82）×2 ＝157×2 ＝314（米） 答：这个圆形露天舞台的周长是314米。 （2）314÷2÷3.14 ＝157÷3.14 ＝50（米） 3.14×502 ＝3.14×2500 ＝7850（平方米） 答：这个圆形舞台的占地面积是7850平方米。 【对应练习3】 王芳和张浩从圆形牧场的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，王芳每分钟走69米，张浩每分钟走88米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）它的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）200米； （2）31400平方米 【分析】（1）根据“总路程＝速度和×相遇时间”求出圆形场地一周的长度，再利用“”求出圆形场地的直径； （2）根据直径求出半径，再利用“”求出圆形场地的占地面积，据此解答。 【详解】（1）（69＋88）×4 ＝157×4 ＝628（米） 628÷3.14＝200（米） 答：这个圆形场地的直径是200米。 （2）半径：200÷2＝100（米） 3.14×1002＝31400（平方米） 答：它的占地面积是31400平方米。 【点睛】掌握圆的周长和面积计算公式是解答题目的关键。 【考点二十一】圆面积的应用问题其三：组合图形的面积问题 方法点拨 组合图形的面积问题，先求出组合图形的面积，再解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形。 （1）沿着这个运动场跑一圈的路程是多少米？ （2）这个运动场的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）388.4米 （2）8826平方米 【分析】（1）求沿着这个运动场跑一圈的路程，就是求这个运动场的周长，观察图可知，运动场的周长＝半径是30米的圆的周长＋长方形的长×2；根据圆的周长＝π×半径×2，据此求出运动场的周长。 （2）根据图可知，运动场的面积＝半径是30米的圆的面积＋长是100米，宽是30×2＝60米的长方形面积，根据圆的面积＝π×半径2，长方形面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】（1）3.14×30×2＋100×2 ＝94.2×2＋200 ＝188.4＋200 ＝388.4（米） 答：沿着这个运动场跑一圈的路程是388.4米。 （2）3.14×302＋100×（30×2） ＝3.14×900＋100×60 ＝2826＋6000 ＝8826（平方米） 答：这个运动场的占地面积是8826平方米。 【对应练习1】 六（1）班的同学们在学习园地中用彩色卡纸设计一个如图的“荣誉栏”，把每周表现突出的同学照片张贴在“荣誉栏”里，算一算这样的“荣誉栏”需要彩色卡纸多少平方分米？ 【答案】 41.12平方分米 【分析】观察图形可知，“荣誉栏”由一个正方形和4个半圆组成，4个半圆可拼成2个完整的圆；已知正方形的边长为4分米，根据“正方形面积＝边长×边长”计算出正方形的面积；已知圆的直径是4分米，用直径除以2计算出圆的半径，根据圆的面积公式计算出圆的面积，再乘2计算出两个圆的面积；最后将正方形面积与2个圆的面积相加即为“荣誉栏”所需彩色卡纸的面积。 【详解】4×4＝16（平方分米） 4÷2＝2（分米） 3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（平方分米） 16＋25.12＝41.12（平方分米） 答：这样的“荣誉栏”需要彩色卡纸41.12平方分米。 【对应练习2】 有一个街心花坛（如下图）。图中正方形的边长为15米，正方形的顶点正好是四个圆的圆心，圆的半径是5米。这个花坛的面积是多少平方米？ 【答案】460.5平方米 【分析】花坛的面积等于正方形的面积加上3个半径是5米的圆的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝，代入数据计算即可解答。 【详解】15×15＋3.14××3 ＝15×15＋3.14×25×3 ＝225＋235.5 ＝460.5（平方米） 答：这个花坛的面积是460.5平方米。 【对应练习3】 一个冰球比赛场地（如下示意图），四角为半径8米、圆心角90度的扇形圆弧。请你借助示意图画一画，标一标，并计算出这个冰球比赛场地的使用面积。 【答案】图见详解；1774.96平方米 【分析】如下图，把这个冰球场地分成4个半径为8米的圆、中间是一个长61米、宽（30－8－8）米的长方形、上下是两个完全一样的长为（61－8－8）米、宽为8米的长方形；根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算求解。 【详解】如图： 3.14×82××4 ＝3.14×64××4 ＝200.96（平方米） 61×（30－8－8） ＝61×14 ＝854（平方米） （61－8－8）×8×2 ＝45×8×2 ＝720（平方米） 200.96＋854＋720 ＝1054.96＋720 ＝1774.96（平方米） 答：这个冰球比赛场地的使用面积是1774.96平方米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 30 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 30 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第一单元圆·圆的面积篇【二十一大考点】 专题名称 第一单元圆·圆的面积篇 专题内容 本专题以圆的面积为主，其中包括圆的面积计算、半圆和圆环的面积、圆面积 的实际应用问题以及其他相关问题等内容。 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 本专题是圆单元的重点和难点内容，考点划分众多、内容丰富，考查难度较大， 题型以填空、选择、计算、应用等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 二十一大考点 【考点一】圆的面积计算公式的推导（圆与长方形的拼切转化问题） ...........................................4 【考点二】圆的面积计算 ......................................................................................................................................6 【考点三】已知周长，求圆的面积 ..................................................................................................................... 7 【考点四】半圆的面积 ..........................................................................................................................................8 【考点五】半圆的面积与生活实际应用 ............................................................................................................. 8 【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题 ............................................................................................. 9 【考点七】周长相等时，面积大小的比较 ....................................................................................................... 11 【考点八】含圆的阴影图形，面积大小的比较 ........................................................................ 12 【考点九】三种关系之半径、直径和周长、面积的倍数关系 .......................................................................14 【考点十】三种关系之半径、直径和周长、面积的比例关系 .......................................................................15 第 3 页 共 30 页 【考点十一】三种关系之半径、直径和周长、面积的增减变化关系 ...........................................................17 【考点十二】圆环的认识和面积 .............................................................................................................. 18 【考点十三】半圆环的面积 ............................................................................................................................... 20 【考点十四】利用整体代换法求圆环的面积 ................................................................................................... 21 【考点十五】长方形中的最圆问题 ................................................................................................................... 22 【考点十六】外方内圆（方中圆） ............................................................................................ 23 【考点十七】外圆内方（圆中方） ............................................................................................ 24 【考点十八】外方内圆与外圆内方综合 ........................................................................................................... 25 【考点十九】圆面积的应用问题其一：钟表指针问题 ................................................................................... 26 【考点二十】圆面积的应用问题其二：相遇问题 ........................................................................................... 27 【考点二十一】圆面积的应用问题其三：组合图形的面积问题 ............................................29 第 4 页 共 30 页 【考点一】圆的面积计算公式的推导（圆与长方形的拼切转化问题） 方法点拨 1. 圆的面积的意义。 圆所占平面的大小就是圆的面积。 2. 圆的面积公式的推导。 把一个圆切拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长相当于圆周长的一半， 用字母πr表示，宽相当于圆的半径，用字母 r表示，因为长方形的面积=长× 宽，所以圆的面积 S=πr2。 3. 两种数学思想。 （1）把圆剪拼成近似的长方形，根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积 计算公式，体现了转化的思想。 （2）将圆平均分成的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形，这里应用了 极限思想。 4. 古代数学文化。 我国古代的数学专著《九章算术》“方田章”中记载了这样一种求圆的面积 的方法：“周径相乘，四而一。”意思就是用圆的周长和直径相乘，再除以 4，就可以得到这个圆的面积。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题 1】基础问题 把圆按下图所示的顺序逐步细分，拼成长方形的样子。这样细分下去，圆的面积就是 a和 b的 积。从图中可以看出： 第 5 页 共 30 页 (1)a是圆的( )。 (2)b是圆的( )。 (3)如果 a＝2厘米，这个圆的面积为( )。 【对应练习 1】 把一个圆平均分成若干份，正好可以拼成宽为 4cm的长方形，这个长方形的长是( )cm， 原来圆的面积是( )cm2。 【对应练习 2】 将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形（如下图），圆的面积是( )cm2。 【典型例题 2】进阶问题 如图，将一个圆形纸片等分成若干份，拼成一个近似的长方形，周长比原来圆周长多 8厘米， 圆形纸片的半径是( )厘米，这张圆形纸片的面积是( )平方厘米。 第 6 页 共 30 页 【对应练习 1】 如图，把一个圆平均分成若干份，剪开拼成一个近似的平行四边形，结果周长多了 6cm。这个 平行四边形的周长是( )cm；原来圆的面积是( )cm2。 【对应练习 2】 把一个圆分成若干等份后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长比圆的周长多了 10cm， 这个圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。 【典型例题 3】拓展问题 把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的周长为 41.4cm，这个圆的面积是( )。 【对应练习 1】 把一个圆切割后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长为 24.84厘米，原来这个圆的面积 是( )平方厘米。 【对应练习 2】 把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形（如右图）。已知这个近似长方形的周长是 24.84厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。（π取 3.14） 【考点二】圆的面积计算 方法点拨 圆的面积 S=πr2。 考察形式 填空、计算 动态评价 【典型例题】 一个圆的直径是2cm，它的周长是( )cm，面积是( ) 2cm 。 第 7 页 共 30 页 【对应练习 1】 半径是 5米的圆形鼓楼中心盘，它的周长是( )米，面积是( )平方米。 【对应练习 2】 一个圆的直径是 6厘米，半径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( ) 平方厘米。 【对应练习 3】 一个圆的半径是 2厘米，它的直径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( ) 平方厘米。 【考点三】已知周长，求圆的面积 方法点拨 已知圆的直径或周长求圆的面积，一般要先求出半径，再代入公式求面积。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 如果要画一个周长是 6.28dm的圆，圆规两脚间的距离是( )dm，所画圆的面积是 ( )dm2。 【对应练习 1】 用一根长 12.56cm 的铁丝围成一个最大的圆，圆的周长是( )厘米，圆的面积是 ( )平方厘米。 【对应练习 2】 刘师傅有一根长 15.7cm的铁丝，将它弯成一个最大的圆形铁环，它的半径是( )cm， 圆的面积是( )cm2。 【对应练习 3】 用圆规画一个周长为 25.12厘米的圆，圆规两脚间的距离应取( )厘米，所画圆的面积 是( )平方厘米。 第 8 页 共 30 页 【考点四】半圆的面积 方法点拨 半圆的面积：S 半圆=πr2÷2。 考察形式 填空、计算 动态评价 【典型例题】 一个半圆半径为 3厘米，它的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 【对应练习 1】 直径是 4厘米的半圆，它的周长是( )，面积是( )。 【对应练习 2】 把一张周长是 18.84dm的圆形纸片对折成半圆，这个半圆的周长是( )dm，面积是 ( )dm2。 【对应练习 3】 一个周长为 20.56 cm的半圆，它半径是( )cm，面积是( )cm²。 【考点五】半圆的面积与生活实际应用 方法点拨 半圆的面积：S 半圆=πr2÷2。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 小红家想靠墙建一个鸡舍，已知每只鸡占地面积相同。小红和妈妈分别设计了一个半圆和一个 正方形（如下图），请你通过计算，判断出谁设计的鸡舍养的鸡多？（ 取 3） 第 9 页 共 30 页 【对应练习 1】 李奶奶家的养鸡场（如图），一面靠墙，一面用竹篱笆围成半圆，它的半径是 6m。 （1）修这个养鸡场用了多长的竹篱笆？ （2）李奶奶要扩建这个养鸡场，把它的半径增加 2m。养鸡场的面积会增加多少？ 【对应练习 2】 东东家有一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场，这个半圆的直径是 8米，篱笆长 多少米？鸡场占地多少平方米？ 【对应练习 3】 王奶奶用 78.5米长的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场。这个养鸡场的占地面积是多少平 方米？ 【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题 方法点拨 用同一根铁丝围成正方形、正方形或圆，周长不变，以此求面积。 考察形式 填空 动态评价 第 10 页 共 30 页 【典型例题 1】与正方形的转化 一根铁丝围成了一个边长 7.85厘米的正方形（接头不计），如果把这根铁丝围成最大的圆（接 头不计），圆的周长是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【对应练习 1】 一根铁丝可以围成一个边长为 1.57dm的正方形，如果用这根铁丝围成一个圆形，那么这个圆 形的面积是( )dm2。 【对应练习 2】 两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长是 6.28厘米，圆的半径 是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【对应练习 3】 用一根长 15.7厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是( )平方厘米；如果用这根 铁丝围成一个圆，这个圆的面积是( )平方厘米。 【典型例题 2】与长方形的转化 一根铁丝刚好能围成一个长 8厘米，宽 4.56厘米的长方形。如果将这根铁丝围成一个圆，这 个圆的面积有多少平方厘米？ 【对应练习 1】 一段铁丝刚好能围成一个长 10.5厘米、宽 2.06厘米的长方形，用同样长的铁丝围成一个最大 的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？ 【对应练习 2】 一根铁丝围成一个长 10cm，宽 5.7cm的长方形，用这根铁丝再围成一个最大的圆形，这个圆 形的面积是多少? 第 11 页 共 30 页 【考点七】周长相等时，面积大小的比较 方法点拨 在周长相等的圆、正方形、长方形等图形中，圆的面积最大。 考察形式 填空、应用 动态评价 【典型例题】 有一根 628厘米长的铁丝，如果用它正好围成一个长方形（长和宽自己确定），面积是多少？ 要围成一个正方形，面积是多少？围成圆呢？围成的图形中，哪种面积最大？ 【对应练习 1】 用三根同样长的铁丝分别围成一个圆、一个长方形和一个正方形，其中( )的面积最大。 【对应练习 2】 把一根 24分米长的铁丝平均截成 3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个 圆，其中，( )面积最大，( )面积最小。 【对应练习 3】 把一根 24分米长的铁丝平均截成 3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个 圆．其中，( )面积最大，( )面积最小。 第 12 页 共 30 页 【考点八】含圆的阴影图形，面积大小的比较 方法点拨 当不同位置的圆半径或直径相等时，面积也相等。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题 1】问题一 观察下边两个图形中的阴影部分，它们周长和面积的大小关系是( )。 A．周长和面积都相等 B．周长和面积都不相等 C．周长不相等，面积相等 【对应练习 1】 在下图两个边长相等的正方形中，涂色部分比较，( )。 A．周长相等，面积不相等 B．周长和面积都相等 C．面积相等，周长不相等 【对应练习 2】 如图，比较两个正方形中的阴影部分，周长、面积的大小关系为( )。 A．面积不相等，周长相等 B．周长不相等，面积相等 C．周长和面积都不相等 D．周长和面积都相等 【对应练习 3】 如图所示，两个正方形大小相同，关于两个图形阴影部分的说法正确的是( )。 第 13 页 共 30 页 A．周长不相等，面积相等 B．周长和面积都不相等 C．周长相等，面积不相等 D．周长和面积都相等 【典型例题 2】问题二 从甲、乙两张完全相同的正方形纸上剪下一些圆形纸片（如下图），两块正方形纸剩余的面积 相比，( )。 A．甲剩余的面积大 B．乙剩余的面积大 C．甲和乙剩余的面积一样大 【对应练习 1】 如图，用甲乙两块完全相同的正方形铁皮切割圆形铁片，两块正方形铁皮剩余的面积相比， ( )。 A．甲剩余的面积大 B．乙剩余的面积大 C．一样大 【对应练习 2】 从两个相同规格的正方形铁皮上分别剪下不同规格的圆（如图），剩下的铁皮面积相比较 ( )。 A．图 1大 B．图 2大 C．相等 D．无法比较 第 14 页 共 30 页 【对应练习 3】 从三张同样大小的正方形铁皮中，分别按下面的三种方式剪出不同规格的圆片。剪完圆片后， 哪张铁皮剩下的废料多？( ) A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．一样多 【考点九】三种关系之半径、直径和周长、面积的倍数关系 方法点拨 在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍 数，面积扩大倍数的平方倍。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题 1】问题一 圆的半径扩大 3倍，它的面积就扩大( )，周长就扩大( )倍。 【对应练习 1】 一个圆的半径扩大 4倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。 【对应练习 2】 一个圆的周长扩大 5倍，它的直径扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( ) 倍。 【对应练习 3】 一个圆的半径扩大 a倍，直径扩大( )倍，周长扩大( )倍，面积扩大( ) 倍。 【典型例题 2】问题二 大圆的半径是小圆的半径的 2倍，则小圆周长是大圆周长的( )，大圆面积是小圆面积 的( )倍。 第 15 页 共 30 页 【对应练习 1】 有大小两个圆，大圆直径是小圆直径的 3倍，那么大圆周长是小圆周长的( )倍；小圆 面积是大圆面积的( )。（填几分之几） 【对应练习 2】 大圆半径是小圆半径的 4倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，小圆面积是大圆面积的 ( )。 【对应练习 3】 大圆半径是小圆半径的 5倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，大圆面积是小圆面积的 ( )倍。 【考点十】三种关系之半径、直径和周长、面积的比例关系 方法点拨 1. 两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。 2. 圆周长和直径的比是π:1，比值是π；圆周长和半径的比是 2π:1，比值是 2π。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题 1】问题一 两圆的半径之比3:5，它们的面积之比是( )，周长之比是( )。 【对应练习 1】 两个圆的半径之比是 4∶3，它们的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比 是( )，如果较大的圆的周长是 12.56cm，则较小的圆的周长是( )cm。 【对应练习 2】 小圆直径 8厘米，大圆半径 6厘米，小圆和大圆直径之比是( )；小圆和大圆周长比是 ( )；小圆和大圆的面积比是( )。 【对应练习 3】 已知小圆半径是大圆半径的 1 3，则小圆与大圆的周长之比是( )，如果小圆面积是 23.14cm ，则大圆面积是( ) 2cm 。 第 16 页 共 30 页 【典型例题 2】问题二 如图：大圆半径为 8厘米，小圆半径为 4厘米，则大圆与小圆的直径之比是( )，周长 之比是( )，面积之比是( )。现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处， 那么小圆的圆心移动的长度是( )厘米。 【对应练习 1】 下图是由一个大圆和一个小圆组成的，点 O是大圆的圆心。小圆与大圆的半径之比是 ( )，周长之比是( )，面积之比是( )。 【对应练习 2】 三个同心圆（如图），已知 OA：AB：BC的比是 1：2：3，那么这三个圆（从小到大）的周 长之比是( )，面积之比是( )。 【对应练习 3】 （如图）如果大圆的半径和小圆的直径相等，那么大圆面积与小圆面积之比是( )。 A．2∶1 B．4∶1 C． 1 4 D． 12 第 17 页 共 30 页 【考点十一】三种关系之半径、直径和周长、面积的增减变化关系 方法点拨 1. 周长的变化。 算出增加后圆的周长和原来的周长进行相减得到周长增加的部分。 当一个圆的半径增加 a厘米时，它的周长就增加 2πa厘米； 当一个圆的直径增加 a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 2.面积的变化。 算出增加后圆的面积和原来的面积进行相减得到面积增加的部分。 考察形式 填空 动态评价 【典型例题】 一个半径是 3dm的圆，如果半径增加 1dm，那么周长增加( )dm，面积增加 ( )dm2。 【对应练习 1】 圆的半径由 4cm增加到 5cm，它的周长增加( )cm，它的面积增加( )cm2。（π 取 3.14） 【对应练习 2】 一个圆的半径是 6m，周长是( )m，面积是( )m2；如果这个圆的半径增加 1m， 则周长增加( )m，面积增加( )m2。 【对应练习 3】 用篱笆围一个半圆形养鸡场，一面靠墙，篱笆长 15.7米。如果将养鸡场半径增加 1米，需要 增加围栏( )米，则面积增加( )平方米。 第 18 页 共 30 页 【考点十二】圆环的认识和面积 方法点拨 1. 认识圆环。 以同一点为圆心画出两个半径不相等的圆，两圆之间的部分叫圆环。 2. 圆环的特征。 圆环是轴对称图形，它有无数条对称轴，通过圆心的直线都是它的对称轴。 3. 圆环各部分的名称。 4. 圆环的面积计算公式。 S 圆环=πR²－πr²=π(R²－r²) 5. 古代数学文化。 我国古代数学专著《九章算术》“方田章”中记载了这样一种求圆环面积的 方法：“并中外周而半之，以径乘之为积步。”意思是将外圆和内圆的周长 的平均数乘环的宽度可以得到圆环的面积。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 这是西周圆形圆孔钱平面图（如图）的面积大约是多少平方厘米？（得数保留一位小数） 第 19 页 共 30 页 【对应练习 1】 一个圆形花坛的直径是 50米，中间是一个直径为 30米的圆形水湖，其余地方是草坪，草坪的 面积是多少平方米？如果每平方米草坪需要肥料 0.8千克，给这块草坪施肥需要肥料多少千 克？ 【对应练习 2】 公园要修建一个圆形花坛，花坛的直径是 40米，在花坛周边铺 10米宽的草坪。 （1）花坛和草坪整个场地的占地面积是多少？ （2）如果铺 1平方米草坪需要 10元，那么铺草坪需要多少元？ 【对应练习 3】 圆形池塘的周长是 25.12米（如图），在池塘的周围修一条 2米宽的水泥路，水泥路的面积是 多少平方米？ 第 20 页 共 30 页 【考点十三】半圆环的面积 方法点拨 半圆环的面积：S=(πR2－πr2)÷2。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 在一个半径为 10米的圆形喷泉周围修一条宽 3米的小路，小路一半面积铺鹅卵石，一半面积 铺水泥。小路铺水泥（如下图）的面积是多少平方米？ 【对应练习 1】 如图所示。李爷爷靠墙用篱笆围了一块半圆形的苗圃，半径是 4米。如果要扩建这个苗圃，把 这块苗圃的半径增加 2米，这块半圆形苗圃的面积增加了多少平方米？ 【对应练习 2】 一个半圆形花坛，一周的长是 35.98米。 （1）这个花坛的面积有多大？ （2）如果扩建这个花坛，把半径增加 1米，花坛的面积增大多少？ 第 21 页 共 30 页 【对应练习 3】 一个半圆形花坛，一周的长是 35.98米。 （1）这个花坛的面积有多大？ （2）如果扩建这个花坛，把半径增加 1米，花坛的面积增大多少？ 【考点十四】利用整体代换法求圆环的面积 方法点拨 整体代换法，即通过平面图形之间的等量关系，将图形面积整体代换，再根 据相应面积公式求出面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图所示，阴影部分的面积是 100平方厘米，求圆环的面积。 【对应练习 1】 下图中阴影部分的面积是 5平方厘米，求圆环的面积。 第 22 页 共 30 页 【对应练习 2】 图中阴影部分的面积是 400平方厘米，环形的面积是多少？（ 取 3.14） 【对应练习 3】 如图，圆环的面积是 141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【考点十五】长方形中的最圆问题 方法点拨 在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 考察形式 填空、计算 动态评价 【典型例题】 在一张长 6cm，宽 4cm的长方体纸上画一个最大的圆，那么圆规两脚间的距离是( ) 厘米；所画圆的面积是( )平方厘米。 【对应练习 1】 在一块长 8分米、宽 6分米的长方形铁板上，剪掉一个最大的圆，剩下部分的面积是( ) 平方分米。 【对应练习 2】 在长 8cm，宽 0.6dm的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是 第 23 页 共 30 页 ( )cm2。 【对应练习 3】 在一张长 8cm、宽 6cm的长方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm，周 长是( )cm，面积是( )cm2。 【考点十六】外方内圆（方中圆） 方法点拨 1. 外方内圆的意义。 “外方内圆”就是在正方形内画一个最大的圆。 2. 外方内圆的解题方法。 正方形的边长 a=圆的直径 d，圆的面积与正方形面积比为π:4，若圆的半径 为 r，则方圆之间的面积为 0.86r²。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，在一张边长 10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( ) 2cm ，剩 余部分的面积是( ) 2cm 。 【对应练习 1】 在一个面积为 40平方厘米的正方形里，剪下一个最大的圆，圆的面积是( )平方厘米。 【对应练习 2】 在一张周长 20分米的正方形上剪下一个最大的圆，则剩余部分的面积是( )平方分米。 【对应练习 3】 数学课上，小明用边长 8cm的正方形纸，小华用边长 10cm的正方形纸，各剪了一个最大的圆， 第 24 页 共 30 页 小明和小华所剪的圆的周长之比是( )，面积之比是( )。 【考点十七】外圆内方（圆中方） 方法点拨 1. 外圆内方的意义。 “外圆内方”就是圆内画一个最大的正方形。 2. 外圆内方的解题方法。 作辅助线后发现：圆的直径等于正方形的对角线的长，正方形的面积等于两 个底是圆的直径、高是圆的半径的三角形面积之和，圆的面积与正方形的面 积比为π:2，若圆的半径为 r，则方圆之间的面积为 1.14r²。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 在一个圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是 72平方厘米，那么这个圆的面积是 ( )平方厘米，周长是( )厘米。 【对应练习 1】 把一个圆形纸片折成一个最大的正方形，这个正方形的对角线长 8cm，那么这个圆形纸片的面 积是( )平方厘米，折起来的部分的面积是( )平方厘米。 【对应练习 2】 在一个周长是 18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是( )平方厘 米，这个正方形的面积与这个圆的面积最简单整数比是( )∶( )。 【对应练习 3】 如图，在周长是 18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，阴影部分的面积是( )平方厘 米。 第 25 页 共 30 页 【考点十八】外方内圆与外圆内方综合 方法点拨 外方内圆，正方形和圆的面积之比是 4:π;外圆内方，圆和正方形的面积之比 是π:2。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图中，在边长是 2cm的正方形内画一个最大的圆，再在圆里画一个最大的正方形，那么阴 影部分的面积是( )cm2。 【对应练习 1】 大圆内有一个最大的正方形，正方形内有一个最大的圆，大圆面积和小圆面积的比 是( )。 A．4∶1 B．200∶157 C．2∶1 D．200∶43 【对应练习 2】 如图，大圆内画一个最大的正方形，正方形内画一个最大的圆…，如此画下去，共画了 4个圆．那 么，最大的圆的面积是最小的圆的( )倍。 第 26 页 共 30 页 A．2 B．4 C．8 D．16 【考点十九】圆面积的应用问题其一：钟表指针问题 方法点拨 时针和分针可看作圆的半径，求周长或面积时，应先分析出时针或分针走的 圈数。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一个钟表的分针长 10厘米，时针长 8厘米。从 1时到 2时，分针针尖走过了多少厘米？这时 时针扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留两位小数） 【对应练习 1】 一个挂钟的分针长 12厘米，经过 15分钟，分针尖端走过的路程是多少厘米？分针扫过内面积 是多少平方厘米？ 【对应练习 2】 某钟表的分针长 10厘米，从 1时到 4时，分针针尖走过了多少厘米？分针扫过的面积是多少 平方厘米？ 第 27 页 共 30 页 【对应练习 3】 一个钟表的时针长 8厘米，分针长 10厘米，从中午 12时到下午 6时，时针扫过的面积是多少？ 一昼夜分针尖端走过的路程是多少？ 【考点二十】圆面积的应用问题其二：相遇问题 方法点拨 相遇时间=路程÷速度和。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一天，小军和小芳到一个近似于圆的公园游玩，两人突然想到一个数学问题：“这个公园的面 积大约是多少平方米？”经过探究，两人想出了一个好办法：两人沿着公园的 A点处同时出发， 背向而跑，如图。小军的速度是 164米/分钟，小芳的速度是 150米/分钟，经过 2分钟两人相 遇。你能按他们的办法算出这个公园的面积吗？试一试。 【对应练习 1】 小明和小芳从圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，小明每 分钟走 83米，小芳每分钟走 74米。 第 28 页 共 30 页 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）它的占地面积是多少平方米？ 【对应练习 2】 小明和小红经常到公园里的圆形露天舞台散步。一天，他们从圆形露天舞台边沿同一地点同时 出发，沿着圆形露天舞台的边沿背向而行，2分钟后，两人相遇，小明每分钟走 75米，小红 每分钟走 82米。 （1）这个圆形露天舞台的周长是多少米？ （2）这个圆形露天舞台占地多少平方米？ 【对应练习 3】 王芳和张浩从圆形牧场的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，王芳每 分钟走 69米，张浩每分钟走 88米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）它的占地面积是多少平方米？ 第 29 页 共 30 页 【考点二十一】圆面积的应用问题其三：组合图形的面积问题 方法点拨 组合图形的面积问题，先求出组合图形的面积，再解决问题。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形。 （1）沿着这个运动场跑一圈的路程是多少米？ （2）这个运动场的占地面积是多少平方米？ 【对应练习 1】 六（1）班的同学们在学习园地中用彩色卡纸设计一个如图的“荣誉栏”，把每周表现突出的同 学照片张贴在“荣誉栏”里，算一算这样的“荣誉栏”需要彩色卡纸多少平方分米？ 第 30 页 共 30 页 【对应练习 2】 有一个街心花坛（如下图）。图中正方形的边长为 15米，正方形的顶点正好是四个圆的圆心， 圆的半径是 5米。这个花坛的面积是多少平方米？ 【对应练习 3】 一个冰球比赛场地（如下示意图），四角为半径 8米、圆心角 90度的扇形圆弧。请你借助示 意图画一画，标一标，并计算出这个冰球比赛场地的使用面积。