第一单元应用专项06：图示法与羊吃草问题-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

第 1 页 共 9 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第一单元应用专项 06：图示法与羊吃草问题 1．有一座房子，长 10米，宽 6米，在房子外面一个房角用一根长 8米的绳子系着一条狗，这 条狗活动的最大可能范围的面积是多少平方米？ 【答案】153.86平方米 【详解】试题分析：由图意可知：狗活动的范围可以分为绿色和桔色两部分，其中绿色部分是 半径为 8米的 个圆，桔色部分是半径为 2米的 个圆．分别求出两部分的面积，即可求得狗 的活动范围． 解：如图所示，狗的活动面积是： 3.14×82× +3.14×22× ， =3.14×64× +3.14×4× ， =3.14×48+3.14， =150.72+3.14， =153.86（平方米）； 答：这条狗活动的最大可能范围的面积是 153.86平方米． 点评：解答此题的关键是：将狗的活动范围分割，分别求出各部分的面积，问题即可得解． 2．一座房子的地面长 8米，宽 6米．主人在房角拴着一只狗，拴狗的绳子长 4米，狗能活动 的面积最大是多少平方米？ 第 2 页 共 9 页 【答案】37.68平方米 【详解】3.14×42× 3 4 =37.68（平方米） 3．一个边长是 10米的正方形草地，对角线的两个端点有两根木桩拴着两头牛，绳长都和正方 形的边长相等．两头牛都能吃到草的草地面积是多少？ 【答案】57平方米 【详解】试题分析：如图所示，两头牛都能吃到的草的面积为红色部分的面积，即用半径为 10米的圆的面积的一半，减去边长为 10米的正方形的面积即可． 解：3.14×102÷2﹣10×10， =157﹣100， =57（平方米）； 答；两头牛都能吃到草的草地面积是 57平方米． 点评：解答此题的关键是利用直观画图，得出：半径为 10米的圆的面积的一半，减去边长为 10米的正方形的面积，问题即可轻松得解． 4．有一块边长 6米的正方形草地，在这块地的相邻两边中点各有一棵树，每棵树上各用 3米 长的绳子拴一只羊，请算一算这两只羊都不能吃到草的面积是多少平方米？（精确到 0.1） 【答案】这两只羊都不能吃到草的面积是 12.9平方米 【详解】试题分析：根据题意作图如下：用大正方形的面积减去 2个以 3米为半径的 圆的面 第 3 页 共 9 页 积再减去小正方形 OEPB的面积就是两只羊都不能吃到草的面积． 解：6×6﹣ ×2×3.14×32﹣3×3， =36﹣14.13﹣9， =36﹣23.13， =12.87（平方米）， ≈12.9平方米； 答：这两只羊都不能吃到草的面积是 12.9平方米． 点评：解答此题的关键是根据题意画出图，容易得出两只羊都不能吃到草的面积是大正方形的 面积减去 2个以 3米为半径的 圆的面积和小正方形 OEPB的面积． 5．如图，长方形 ABCD是一个羊圈，长 AD＝4米，宽 AB＝3米，拴羊的绳子长 6米，现在 羊被拴在如图的 A点，问羊在圈外能活动的范围有多大？ 【答案】94.985平方米 第 4 页 共 9 页 【分析】 根据题意，可知羊在圈外能活动的范围是： 3 4 个以绳长 6米 为半径的圆的面积＋ 1 4 个的以超出宽 3米部分为半径的圆的面积＋ 1 4 个以超出长 4米的部分为 半径的圆的面积，列出算式进一步求得面积即可。 【详解】 3 4 ×3.14×62＋ 14 ×3.14×（6﹣3） 2＋ 1 4 ×3.14×（6﹣4） 2， ＝3.14×（27＋ 94＋1）， ＝3.14×30.25， ＝94.985（平方米）。 答：羊在圈外能活动的范围是 94.985平方米。 【点睛】解决此题关键是弄明白羊在圈外能活动的范围包括哪些地方的面积。 6．一块长方形草地的一个角上有一个木桩（如图），一只羊被拴在木桩上，如果拴羊的绳长 6米，画出这只羊所能吃到草的地方（涂上阴影）。这只羊能吃到的草地面积是（ ）平方 米，长方形草地中无法吃到的面积是（ ）平方米。（π取 3.14） 【答案】28.26；31.74 【分析】根据题意，这只羊所能吃到草的面积是半径为 6米的 14 圆的面积，这只羊无法吃到草 的面积＝长方形的面积－ 1 4 圆的面积；根据圆的面积公式 S＝πr 2，长方形的面积公式 S＝ab， 代入数据计算即可。 【详解】如图： 第 5 页 共 9 页 这只羊能吃到的草地面积是： 3.14×62× 14 ＝3.14×36× 14 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 长方形草地中无法吃到的面积是： 10×6－28.26 ＝60－28.26 ＝31.74（平方米） 【点睛】本题考查长方形的面积、圆的面积公式的应用，关键是确定这只羊所能吃到草的面积 的形状。 7．有一栋底面呈长方形的建筑物，墙角有一根木桩，木桩上拴着一条狗。拴狗的绳子长 8米， 这条狗活动区域的面积有多大？ 【答案】153.86平方米 【分析】根据题意可知，小狗活动的最大范围是半径为 8米的圆面积的 3 4 ，再加上半径为 2米 的圆面积的 1 4 ，根据圆的面积公式：S＝πr 2，把数据代入公式解答即可。 【详解】3.14×82× 3 4 ＋3.14×（8－6）2× 14 ＝3.14×64× 3 4 ＋3.14×22× 14 第 6 页 共 9 页 ＝200.96× 3 4 ＋3.14×4× 14 ＝150.72＋12.56× 14 ＝150.72＋3.14 ＝153.86（平方米） 答：这条狗活动区域的面积有 153.86平方米。 8．如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角 O处，这个建筑物是边长 600厘米的正方形，缚狗的 绳子长 20米．现在狗从 A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少米？ 【答案】69.08米 【详解】600厘米=6米 20×2=40（米） 20-6=14（米） 14×2=28（米） 20-6-6=8（米） 8×2=16（米） 20-6-6-6=2（米） 2×2=4（米） ×3.14×(40＋28＋16＋4)＝ ×3.14×88＝69.08(米) 9．草场上有一个长 20米、宽 10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30米的绳子拴着一只 羊（如图）．问：这只羊能够活动的范围有多大？ 【答案】2512平方米 【分析】由图意可知：羊活动的范围可以分为 A，B，C三部分，其中 A是半径为 30米的 3 4 个 圆，B、C分别是半径为 20米和 10米的 14个圆．分别求出三部分的面积，即可求得羊的活动 范围． 【详解】π×302× 3 4 +π×202× 14 +π×10 2× 14， 第 7 页 共 9 页 =π×（302× 3 4 +202× 14 +10 2× 14）， =3.14×（675+100+25）， =3.14×800， =2512（平方米）； 答：这只羊能够活动的范围有 2512平方米． 【点睛】解答此题的关键是：将羊的活动范围分割，分别求出各部分的面积，问题即可得解． 10．一块正方形的草地，边长 4米，一对角线的两个顶点各有一颗树，树上各栓着一只羊，栓 羊的绳子长都是 4米，两只羊都能吃到草的草地的面积是多少平方米？ 【答案】9.12平方米 【分析】观察图可知，两只羊吃草的面积之和是正方形的面积与两只羊都能吃到草的草地的面 积之和，则两只羊都能吃到草的草地的面积＝两只羊吃草的面积之和－正方形的面积，据此解 答即可。 【详解】3.14×4×4÷2－4×4 ＝25.12－16 ＝9.12（平方米） 答：两只羊都能吃到草的草地的面积是 9.12平方米。 【点睛】本题考查阴影部分的面积、圆的面积，解答本题的关键是掌握圆的面积公式。 11．一块正方形的草地，边长是 3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一只羊，拴 羊的绳子都是 3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？ 【答案】5.13平方米 第 8 页 共 9 页 【分析】 根据所画图形可知，两只羊都能吃到的草的面积＝（圆的面积的 1 4 －正方形面积的一半）×2， 其中圆的半径是 3米，据此解答。 【详解】（3.14×32× 14 －3×3÷2）×2 ＝（7.065－4.5）×2 ＝2.565×2 ＝5.13（平方米） 答：这两只羊都能吃到的草的面积有 5.13平方米。 【点睛】此题考查了组合图形的面积计算，明确问题所求，找准面积之间的关系是解题关键。 12．如图所示，一只羊被木桩拴在院外靠墙的木桩上，木桩距离墙角拐弯处 4米，院子外面的 周围都是草地。绳子长度是 6米，这只羊能吃到的草的面积最大为多少平方米？ 【答案】59.66平方米 【分析】如下图所示，绳子长度是 6米，则羊在下半部分能吃到的草的面积是一个半径为 6 米的半圆，而木桩木桩距离墙角拐弯处 4米，这时绳子会沿墙角拐弯，这部分羊能吃到草的面 积是半径为（6－4）米的圆面积的 14 ，那么根据圆的面积＝πr 2分别求出两部分的面积，再把 它们相加即可解答。 第 9 页 共 9 页 【详解】 2 23.14 6 2 3.14 (6 4) 4      ＝3.14×36÷2＋3.14×22÷4 ＝3.14×18＋3.14×4÷4 ＝56.52＋3.14 ＝59.66（平方米） 答：这只羊能吃到的草的面积最大为 59.66平方米。 【点睛】理解题意，明确羊能吃到草的面积包括一个半径为 6米的半圆和半径为 2米的圆面积 的 1 4 ，是解题的关键。 第 1 页 共 4 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第一单元应用专项 06：图示法与羊吃草问题 1．有一座房子，长 10米，宽 6米，在房子外面一个房角用一根长 8米的绳子系着一条狗，这 条狗活动的最大可能范围的面积是多少平方米？ 2．一座房子的地面长 8米，宽 6米．主人在房角拴着一只狗，拴狗的绳子长 4米，狗能活动 的面积最大是多少平方米？ 3．一个边长是 10米的正方形草地，对角线的两个端点有两根木桩拴着两头牛，绳长都和正方 形的边长相等．两头牛都能吃到草的草地面积是多少？ 第 2 页 共 4 页 4．有一块边长 6米的正方形草地，在这块地的相邻两边中点各有一棵树，每棵树上各用 3米 长的绳子拴一只羊，请算一算这两只羊都不能吃到草的面积是多少平方米？（精确到 0.1） 5．如图，长方形 ABCD是一个羊圈，长 AD＝4米，宽 AB＝3米，拴羊的绳子长 6米，现在 羊被拴在如图的 A点，问羊在圈外能活动的范围有多大？ 6．一块长方形草地的一个角上有一个木桩（如图），一只羊被拴在木桩上，如果拴羊的绳长 6米，画出这只羊所能吃到草的地方（涂上阴影）。这只羊能吃到的草地面积是（ ） 平方米，长方形草地中无法吃到的面积是（ ）平方米。（π取 3.14） 第 3 页 共 4 页 7．有一栋底面呈长方形的建筑物，墙角有一根木桩，木桩上拴着一条狗。拴狗的绳子长 8米， 这条狗活动区域的面积有多大？ 8．如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角 O处，这个建筑物是边长 600厘米的正方形，缚狗的 绳子长 20米．现在狗从 A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少米？ 9．草场上有一个长 20米、宽 10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30米的绳子拴着一只 羊（如图）．问：这只羊能够活动的范围有多大？ 第 4 页 共 4 页 10．一块正方形的草地，边长 4米，一对角线的两个顶点各有一颗树，树上各栓着一只羊，栓 羊的绳子长都是 4米，两只羊都能吃到草的草地的面积是多少平方米？ 11．一块正方形的草地，边长是 3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一只羊，拴 羊的绳子都是 3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？ 12．如图所示，一只羊被木桩拴在院外靠墙的木桩上，木桩距离墙角拐弯处 4米，院子外面的 周围都是草地。绳子长度是 6米，这只羊能吃到的草的面积最大为多少平方米？ 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第一单元应用专项06：图示法与羊吃草问题 1．有一座房子，长10米，宽6米，在房子外面一个房角用一根长8米的绳子系着一条狗，这条狗活动的最大可能范围的面积是多少平方米？ 2．一座房子的地面长8米，宽6米．主人在房角拴着一只狗，拴狗的绳子长4米，狗能活动的面积最大是多少平方米？ 3．一个边长是10米的正方形草地，对角线的两个端点有两根木桩拴着两头牛，绳长都和正方形的边长相等．两头牛都能吃到草的草地面积是多少？ 4．有一块边长6米的正方形草地，在这块地的相邻两边中点各有一棵树，每棵树上各用3米长的绳子拴一只羊，请算一算这两只羊都不能吃到草的面积是多少平方米？（精确到0.1） 5．如图，长方形ABCD是一个羊圈，长AD＝4米，宽AB＝3米，拴羊的绳子长6米，现在羊被拴在如图的A点，问羊在圈外能活动的范围有多大？ 6．一块长方形草地的一个角上有一个木桩（如图），一只羊被拴在木桩上，如果拴羊的绳长6米，画出这只羊所能吃到草的地方（涂上阴影）。这只羊能吃到的草地面积是（         ）平方米，长方形草地中无法吃到的面积是（         ）平方米。（π取3.14） 7．有一栋底面呈长方形的建筑物，墙角有一根木桩，木桩上拴着一条狗。拴狗的绳子长8米，这条狗活动区域的面积有多大？ 8．如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角O处，这个建筑物是边长600厘米的正方形，缚狗的绳子长20米．现在狗从A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少米？ 9．草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（如图）．问：这只羊能够活动的范围有多大？ 10．一块正方形的草地，边长4米，一对角线的两个顶点各有一颗树，树上各栓着一只羊，栓羊的绳子长都是4米，两只羊都能吃到草的草地的面积是多少平方米？ 11．一块正方形的草地，边长是3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一只羊，拴羊的绳子都是3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？ 12．如图所示，一只羊被木桩拴在院外靠墙的木桩上，木桩距离墙角拐弯处4米，院子外面的周围都是草地。绳子长度是6米，这只羊能吃到的草的面积最大为多少平方米？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第一单元应用专项06：图示法与羊吃草问题 1．有一座房子，长10米，宽6米，在房子外面一个房角用一根长8米的绳子系着一条狗，这条狗活动的最大可能范围的面积是多少平方米？ 【答案】153.86平方米 【详解】试题分析：由图意可知：狗活动的范围可以分为绿色和桔色两部分，其中绿色部分是半径为8米的个圆，桔色部分是半径为2米的个圆．分别求出两部分的面积，即可求得狗的活动范围． 解：如图所示，狗的活动面积是： 3.14×82×+3.14×22×， =3.14×64×+3.14×4×， =3.14×48+3.14， =150.72+3.14， =153.86（平方米）； 答：这条狗活动的最大可能范围的面积是153.86平方米． 点评：解答此题的关键是：将狗的活动范围分割，分别求出各部分的面积，问题即可得解． 2．一座房子的地面长8米，宽6米．主人在房角拴着一只狗，拴狗的绳子长4米，狗能活动的面积最大是多少平方米？ 【答案】37.68平方米 【详解】3.14×42× =37.68（平方米） 3．一个边长是10米的正方形草地，对角线的两个端点有两根木桩拴着两头牛，绳长都和正方形的边长相等．两头牛都能吃到草的草地面积是多少？ 【答案】57平方米 【详解】试题分析：如图所示，两头牛都能吃到的草的面积为红色部分的面积，即用半径为10米的圆的面积的一半，减去边长为10米的正方形的面积即可． 解：3.14×102÷2﹣10×10， =157﹣100， =57（平方米）； 答；两头牛都能吃到草的草地面积是57平方米． 点评：解答此题的关键是利用直观画图，得出：半径为10米的圆的面积的一半，减去边长为10米的正方形的面积，问题即可轻松得解． 4．有一块边长6米的正方形草地，在这块地的相邻两边中点各有一棵树，每棵树上各用3米长的绳子拴一只羊，请算一算这两只羊都不能吃到草的面积是多少平方米？（精确到0.1） 【答案】这两只羊都不能吃到草的面积是12.9平方米 【详解】试题分析：根据题意作图如下：用大正方形的面积减去2个以3米为半径的圆的面积再减去小正方形OEPB的面积就是两只羊都不能吃到草的面积． 解：6×6﹣×2×3.14×32﹣3×3， =36﹣14.13﹣9， =36﹣23.13， =12.87（平方米）， ≈12.9平方米； 答：这两只羊都不能吃到草的面积是12.9平方米． 点评：解答此题的关键是根据题意画出图，容易得出两只羊都不能吃到草的面积是大正方形的面积减去2个以3米为半径的圆的面积和小正方形OEPB的面积． 5．如图，长方形ABCD是一个羊圈，长AD＝4米，宽AB＝3米，拴羊的绳子长6米，现在羊被拴在如图的A点，问羊在圈外能活动的范围有多大？ 【答案】94.985平方米 【分析】根据题意，可知羊在圈外能活动的范围是：个以绳长6米为半径的圆的面积＋个的以超出宽3米部分为半径的圆的面积＋个以超出长4米的部分为半径的圆的面积，列出算式进一步求得面积即可。 【详解】×3.14×62＋×3.14×（6﹣3）2＋×3.14×（6﹣4）2， ＝3.14×（27＋＋1）， ＝3.14×30.25， ＝94.985（平方米）。 答：羊在圈外能活动的范围是94.985平方米。 【点睛】解决此题关键是弄明白羊在圈外能活动的范围包括哪些地方的面积。 6．一块长方形草地的一个角上有一个木桩（如图），一只羊被拴在木桩上，如果拴羊的绳长6米，画出这只羊所能吃到草的地方（涂上阴影）。这只羊能吃到的草地面积是（        ）平方米，长方形草地中无法吃到的面积是（        ）平方米。（π取3.14） 【答案】28.26；31.74 【分析】根据题意，这只羊所能吃到草的面积是半径为6米的圆的面积，这只羊无法吃到草的面积＝长方形的面积－圆的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算即可。 【详解】如图： 这只羊能吃到的草地面积是： 3.14×62× ＝3.14×36× ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 长方形草地中无法吃到的面积是： 10×6－28.26 ＝60－28.26 ＝31.74（平方米） 【点睛】本题考查长方形的面积、圆的面积公式的应用，关键是确定这只羊所能吃到草的面积的形状。 7．有一栋底面呈长方形的建筑物，墙角有一根木桩，木桩上拴着一条狗。拴狗的绳子长8米，这条狗活动区域的面积有多大？ 【答案】153.86平方米 【分析】根据题意可知，小狗活动的最大范围是半径为8米的圆面积的，再加上半径为2米的圆面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答即可。 【详解】3.14×82×＋3.14×（8－6）2× ＝3.14×64×＋3.14×22× ＝200.96×＋3.14×4× ＝150.72＋12.56× ＝150.72＋3.14 ＝153.86（平方米） 答：这条狗活动区域的面积有153.86平方米。 8．如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角O处，这个建筑物是边长600厘米的正方形，缚狗的绳子长20米．现在狗从A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少米？ 【答案】69.08米 【详解】600厘米=6米 20×2=40（米） 20-6=14（米） 14×2=28（米） 20-6-6=8（米） 8×2=16（米） 20-6-6-6=2（米） 2×2=4（米） ×3.14×(40＋28＋16＋4)＝×3.14×88＝69.08(米) 9．草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（如图）．问：这只羊能够活动的范围有多大？ 【答案】2512平方米 【分析】由图意可知：羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径为30米的 个圆，B、C分别是半径为20米和10米的个圆．分别求出三部分的面积，即可求得羊的活动范围． 【详解】π×302×+π×202×+π×102×， =π×（302×+202×+102×）， =3.14×（675+100+25）， =3.14×800， =2512（平方米）； 答：这只羊能够活动的范围有2512平方米． 【点睛】解答此题的关键是：将羊的活动范围分割，分别求出各部分的面积，问题即可得解． 10．一块正方形的草地，边长4米，一对角线的两个顶点各有一颗树，树上各栓着一只羊，栓羊的绳子长都是4米，两只羊都能吃到草的草地的面积是多少平方米？ 【答案】9.12平方米 【分析】观察图可知，两只羊吃草的面积之和是正方形的面积与两只羊都能吃到草的草地的面积之和，则两只羊都能吃到草的草地的面积＝两只羊吃草的面积之和－正方形的面积，据此解答即可。 【详解】3.14×4×4÷2－4×4 ＝25.12－16 ＝9.12（平方米） 答：两只羊都能吃到草的草地的面积是9.12平方米。 【点睛】本题考查阴影部分的面积、圆的面积，解答本题的关键是掌握圆的面积公式。 11．一块正方形的草地，边长是3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一只羊，拴羊的绳子都是3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？ 【答案】5.13平方米 【分析】 根据所画图形可知，两只羊都能吃到的草的面积＝（圆的面积的 －正方形面积的一半）×2，其中圆的半径是3米，据此解答。 【详解】（3.14×32×－3×3÷2）×2 ＝（7.065－4.5）×2 ＝2.565×2 ＝5.13（平方米） 答：这两只羊都能吃到的草的面积有5.13平方米。 【点睛】此题考查了组合图形的面积计算，明确问题所求，找准面积之间的关系是解题关键。 12．如图所示，一只羊被木桩拴在院外靠墙的木桩上，木桩距离墙角拐弯处4米，院子外面的周围都是草地。绳子长度是6米，这只羊能吃到的草的面积最大为多少平方米？ 【答案】59.66平方米 【分析】如下图所示，绳子长度是6米，则羊在下半部分能吃到的草的面积是一个半径为6米的半圆，而木桩木桩距离墙角拐弯处4米，这时绳子会沿墙角拐弯，这部分羊能吃到草的面积是半径为（6－4）米的圆面积的，那么根据圆的面积＝πr2分别求出两部分的面积，再把它们相加即可解答。 【详解】 ＝3.14×36÷2＋3.14×22÷4 ＝3.14×18＋3.14×4÷4 ＝56.52＋3.14 ＝59.66（平方米） 答：这只羊能吃到的草的面积最大为59.66平方米。 【点睛】理解题意，明确羊能吃到草的面积包括一个半径为6米的半圆和半径为2米的圆面积的，是解题的关键。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$