精品解析：上海市市北中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市市北中学2024-2025学年高二（上）期中数学试卷 一、填空题（本大题满分54分） 1. 直线上所有点都在平面α内，可以用符号表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面位置关系的符号表示，可得答案. 【详解】由题意直线上所有点都在平面α内，则直线l在平面α内， 故用符号表示为， 故答案为： 2. 平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是______ ． 【答案】直线 【解析】 【分析】根据已知得R、C既在平面上又在平面上，从而得答案． 【详解】根据题意，因为直线AB与直线l相交于点R，， 又平面与平面相交于直线l，所以平面β， 又点C在平面上，所以平面β， 因为平面γ，R点在直线AB上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线． 故答案为：直线． 3. 已知圆锥的底面周长为，母线长为3，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆锥的底面半径，根据圆锥的侧面积公式，即可求得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，则由圆锥的底面周长为， 可得， 而母线长为3，则该圆锥的侧面积为， 故答案为： 4. 已知向量平行于向量，则m+n＝_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用向量的坐标运算，向量共线的充要条件求出结果． 【详解】由于向量平行于向量， 故，解得，n， 故m+n＝， 故答案为：． 5. 从平面外一点向该平面引垂线段及斜线段、，已知的长为，，．则的长为_____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由题设可得， ，进而在中，由勾股定理可求解斜边． 【详解】如图，设平面为，由题意得平面，因为平面，所以， 在中，，， 所以，同理， 在中，，， 所以． 故答案为： 6. 若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】棱长为的正方体的八个顶点在同一个球面上， 则球的直径等于正方体的对角线长，即， 则该球的体积 7. 在长方体中，若长方体的体对角线与过点的相邻三个面所成的角分别为，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由已知得，由此即可求出答案． 【详解】连接， 在长方体中，面 与面所成的角为， 同理与面所成的角为， 与面所成的角为， ． 故答案为：1． 8. 已知空间中三点，，，则以向量、为一组邻边的平行四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间中两点间的距离公式，判断出三角形为等边三角形即可进一步求解. 【详解】， ， ， 所以为等边三角形， 所以， 平行四边形的面积为. 故答案为：. 9. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答. 【详解】设的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h， 侧面水平放置时，水的体积为 当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得， 所以当底面水平放置时，液面高为12. 故答案为：12 10. 一张A4纸的规格为：，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为_________．（结果精确到） 【答案】或 【解析】 【分析】分以的边为高，和以的边为高，两种情况讨论，分别求出对应底面圆的半径，代入圆柱的体积公式即可得解. 【详解】①如果以的边为高，，， 此时圆柱体的体积为. ②如果以的边为高，，， 此时圆柱体的体积为. 故答案为：或. 11. 如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为_____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由题设，应用向量数量积定义、运算律求线段长． 【详解】由题设，，， 所以 ， 所以. 故答案为： 12. 如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】将三角形和三角形展开在同一个平面，然后利用余弦定理求得正确答案. 【详解】连接，依题意平面，而平面， 所以，，是的中点，则， 由于，所以， 则三角形是等边三角形，三角形是等腰直角三角形， 将三角形和三角形展开在同一个平面，如下图所示， 连接，交于，在三角形中， 由余弦定理得 ， 所以的周长最小值为. 故答案为： 二、选择题（本大题满分18分） 13. 空间两条互相平行的直线指的是(　　) A. 在空间没有公共点的两条直线 B. 分别在两个平面内的两条直线 C. 在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D. 在同一平面内且没有公共点的两条直线 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查空间两直线位置关系和空间想象能力. 空间两直线的位置关系是：相交，平行和异面；其中相交或平行的直线是共面直线；即在同一平面内且有公共点的两直线是相交直线；在同一平面内且没有公共点的两直线是平行直线.异面直线是不在任何一个平面内的两条直线.故选D 14. 下列命题中，正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 垂直于同一直线的两条直线平行 C. 若直线与平面上的无数条直线都垂直，则 D. 若a、b、c是三条直线，且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间点、线、面位置关系直接判断. 【详解】A.不共线的三点确定一个平面，故A错误； B.由墙角模型，显然B错误； C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不一定垂直，故C错误； D.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D正确； 故选：D. 15. 已知两条不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题： ①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β． 其中正确命题的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】①若α∥β，则由若m⊥α，n⊥β，推出m∥n与m⊥n矛盾，因此α与β不平行，所以一定相交，由α与β的法向量垂直，则可以得出α⊥β．②若α∩β＝l，也满足条件，③由条件也可能α∥β．④由条件也可能α与β相交． 【详解】①若α∥β，由m⊥α，得m⊥β，再由n⊥β，可得m∥n，这与m⊥n矛盾； 若α与β相交，由已知m⊥α，n⊥β，且m⊥n，可知α与β的法向量垂直，则可以得出α⊥β，因此①正确． ②若α∩β＝l，且m∥n∥l，则可满足m∥α，n∥β，故满足已知条件的α与β不一定平行，因此②不正确． ③若α∥β，又n∥β，m⊥α，于是m⊥n，也满足条件，故③不正确． ④若α⊥β，又m⊥α，n∥β，则可能有m∥n，故④不正确．综上可知只有①正确． 故选：B． 16. 已知三角形ABC中AB＝3，BC＝4，AC＝5，点P在△ABC内部．假设对于任意点P，满足PQ≤1的点Q都在几何体T内，且对于几何体T内任意一点Q，都存在点P，满足PQ≤1，则几何体T的体积为（　　） A. 12+7π B. C. 14+7π D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：T是由三个半圆柱，三个球体的一部分和一个直三棱柱构成，根据圆柱、球和棱柱的体积公式分别求得各个部分几何体的体积即可加和得到结果． 【详解】空间中，T在垂直于平面ABC的角度看，如下图所示： 其中：BCDF，ACEI和ABGH区域内的几何体为底面半径为1的半圆柱； CDE，BFG，AHI区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为C，B，A； ABC区域内的几何体是高为2的直三棱柱，因为四边形BCDF和ACEI为矩形， 则， 可得∠DCE＝2π﹣π﹣∠ACB＝π﹣∠ACB， 同理可得：∠FBG＝π﹣∠ABC，∠HAI＝π﹣∠CAB， 所以∠DCE+∠FBG+∠HAI＝3π﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝3π﹣π＝2π， 可得CDE，BFG，AHI区域内的几何体合成一个完整的，半径为1的球， 则CDE，BFG，AHI区域内的几何体的体积之和； 又因为BCDF，ACEI和ABGH区域内的几何体的体积之和； ABC区域内的直三棱柱体积， 所以T的体积为． 故选：B． 三、解答题（本大题满分78分） 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直线PB与平面所成的角的正切值． 【答案】（1）取AD中点O，连接， 在四棱锥中，，则， 由，则，有， 又平面底面，平面底面，平面， ∴平面，平面，则， 又分别为的中点，底面是边长为a的正方形， 则， 所以两两垂直，以O为原点，分别以所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，平面，所以平面 所以平面PAD的法向量为， 因为，且平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直接坐标系，求出平面的法向量为，由即可证明； （2）由线面角的空间向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，因为平面， 所以是平面的法向量， 设直线PB与平面所成的角为θ， 则， ∴，故， ∴直线PB与平面所成的角的正切值为． 18. 如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，． （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的表面积求出，再求出、，最后由锥体的体积公式计算可得； （2）延长交圆于，连接，从而得到四边形为平行四边形，根据，则（或补角）为异面直线与所成角，然后利用余弦定理计算可得； 【小问1详解】 根据题意，圆柱的底面半径，它的表面积， 即，解得，即三棱锥的高为， 在底面中，，，， 则 所以，，， 可得； 所以三棱锥的体积； 【小问2详解】 延长交圆于，连接，，， 因为四边形的对角线互相平行，所以为平行四边形， 则，，，异面直线与所成角即与所成角， 即（或补角）为异面直线与所成角， 在中，，，； 所以， 所以， 所以异面直线与所成角为. 19. 中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 （1）宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数； （2）假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 【答案】（1） （2）矩形截面的梁的截面形状最好，理由： 假设截面面积均为正常数S，则，，，因， ，又因为，所以，即， 综上， ，故矩形截面的梁的截面形状最好． 【解析】 【分析】（1）通过设矩形长、宽与外接圆直径的关系，结合比例求出长和宽，代入矩形抗弯截面系数公式，得出当时，其抗弯截面系数为； （2）根据题意，得到，，，结合题意，推理得出 即得结论． 【小问1详解】 矩形截面外接圆直径为D，由勾股定理，矩形长h、宽b满足 ， 因，设, 代入 ，得，即，解得（舍负根）， 因此，，，因矩形抗弯截面系数公式为， 将b、h代入，可得 ， 综上，当时，矩形截面抗弯截面系数为； 【小问2详解】 略 20. 如图1所示的是等腰梯形，，，，DE⊥AB于E点，现将沿直线DE折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示． （1）若，求证：PE⊥平面； （2）在（1）的条件下，若点P，E，C，D四点在一个球的球面上，求此球的表面积与体积； （3）若直线PE与平面所成的角为，且为锐角，求二面角的大小． 【答案】（1）证明:如图所示，连接CE， 因为等腰梯形ABCD，AB∥DC，AB＝2DC＝4，，DE⊥AB， 可得，，且， 即PE＝1，因为，则， 所以PE⊥EC，又因为PE⊥ED，且，CE，DE⊂平面EBCD， 所以PE⊥平面； （2）表面积为，体积为； （3） 【解析】 【分析】（1）连接CE，由证得PE⊥EC，再由PE⊥ED，利用线面垂直的判定定理证得PE⊥平面； （2）利用勾股定理求出球半径即可求解； （3）以E为原点，建立空间直角坐标系，根据题意证得平面PEB⊥平面EBCD，作出辅助线，证得PF⊥平面EBCD，得到，分别求得平面PBC和平面EBCD的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由题意知，为直角三角形，设外接圆半径为r，则r， 设四面体P﹣ECD的外接球半径为R，则， 所以四面体P﹣ECD的外接球表面积为； 四面体P﹣ECD的外接球体积为． 【小问3详解】 以E为原点，以，ED所在的直线分别为x，y轴，以过点E垂直于平面EBCD的数轴为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为DE⊥EB，DE⊥PE，且，平面， 所以DE⊥平面， 又因为平面，所以平面⊥平面， 过点P作PF⊥BE于点F，因为平面PEB∩平面＝BE，所以PF⊥平面， 所以为PE与平面所成的角，所以， 可得，，，则，， 设平面PBC的法向量为，则, 取，可得，所以, 又由z轴垂直平面，可得面的一个法向量为， 则 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的大小． 21. 已知四棱柱中，底面为梯形，，⊥平面，，其中，．是上的一动点，是上的一动点． （1）当的长是多少时，平面⊥平面，请说明理由； （2）当是的中点时，求点到平面的距离； （3）若是的中点，且平面时，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 当时，平面⊥平面，理由如下： 由题意知，两两垂直，故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设，则， 设平面的法向量为， 则， 取，则，所以， 易知平面的一个法向量为， 因为平面⊥平面，所以， 即， 所以当时，平面⊥平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设，分别求出平面和平面的法向量，结合平面的垂直关系得到方程，求出的值即可； （2）求出平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离即可； （3）先根据平面，确定点是的中点，再利用向量法求得点到平面的距离，然后由棱锥的体积公式，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当是的中点时，，即， 所以平面的法向量为，而， 所以点B到平面的距离为. 【小问3详解】 当是的中点时，，平面的法向量为， 设，，所以， 因为平面，所以， 解得，即点N是的中点， 所以，， 所以点到平面的距离， 因为，所以，，， 所以的面积， 所以三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市市北中学2024-2025学年高二（上）期中数学试卷 一、填空题（本大题满分54分） 1. 直线上所有点都在平面α内，可以用符号表示为______． 2. 平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是______ ． 3. 已知圆锥的底面周长为，母线长为3，则该圆锥的侧面积为________． 4. 已知向量平行于向量，则m+n＝_____________． 5. 从平面外一点向该平面引垂线段及斜线段、，已知的长为，，．则的长为_____________ ． 6. 若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________． 7. 在长方体中，若长方体的体对角线与过点的相邻三个面所成的角分别为，则__________． 8. 已知空间中三点，，，则以向量、为一组邻边的平行四边形的面积为______． 9. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________． 10. 一张A4纸的规格为：，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为_________．（结果精确到） 11. 如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为_____________ ． 12. 如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为________ 二、选择题（本大题满分18分） 13. 空间两条互相平行的直线指的是(　　) A. 在空间没有公共点的两条直线 B. 分别在两个平面内的两条直线 C. 在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D. 在同一平面内且没有公共点的两条直线 14. 下列命题中，正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 垂直于同一直线的两条直线平行 C. 若直线与平面上的无数条直线都垂直，则 D. 若a、b、c是三条直线，且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上 15. 已知两条不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题： ①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β． 其中正确命题的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 已知三角形ABC中AB＝3，BC＝4，AC＝5，点P在△ABC内部．假设对于任意点P，满足PQ≤1的点Q都在几何体T内，且对于几何体T内任意一点Q，都存在点P，满足PQ≤1，则几何体T的体积为（　　） A. 12+7π B. C. 14+7π D. 三、解答题（本大题满分78分） 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直线PB与平面所成的角的正切值． 18. 如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，． （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的大小． 19. 中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 （1）宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数； （2）假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 20. 如图1所示的是等腰梯形，，，，DE⊥AB于E点，现将沿直线DE折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示． （1）若，求证：PE⊥平面； （2）在（1）的条件下，若点P，E，C，D四点在一个球的球面上，求此球的表面积与体积； （3）若直线PE与平面所成的角为，且为锐角，求二面角的大小． 21. 已知四棱柱中，底面为梯形，，⊥平面，，其中，．是上的一动点，是上的一动点． （1）当的长是多少时，平面⊥平面，请说明理由； （2）当是的中点时，求点到平面的距离； （3）若是的中点，且平面时，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $