2.1.1倾斜角与斜率课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 2.1.1 倾斜角与斜率 章节概述 确定直线位置的几何要素：点、方向 直线的倾斜角和斜率 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 直线的一般式方程 点到直线、两平行直线间的距离 两条直线间的位置关系 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 确定圆的几何要素：圆心、半经 圆的标准方程 圆的一般方程 两点间的距离公式 两条直线平行和垂直的判定 章节概述 17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立了解析几何.其基本内涵和方法： 点 数 坐标法 曲线 方程 把几何问题转化为代数问题, 用代数方法研究几何图形的性质. 传说1619年的一天，笛卡尔看到墙上有一只蜘蛛。 他突然想到，要是把墙角看作三条数轴，蜘蛛的位置不就确定了吗？ 于是，直角坐标系就此诞生了。 章节概述 笛卡尔于1596年出生在法国，欧洲大陆爆发黑死病时他流浪到瑞典，认识了瑞典一个18岁的公主克里斯汀，后成为她的数学老师，日日相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道了后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，后因女儿求情将其流放回法国，克里斯汀公主也被父亲软禁起来。笛卡尔回法国后不久便染上重病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里斯汀一直没收到笛卡尔的信。笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短短的一个公式：r=a(1-sinθ）。国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说情话的，便请了全城的数学家来皇宫，但无人能解，便大发慈悲就把这封信交给一直闷闷不乐的克里斯汀。 公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来，看到图形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。这也就是著名的“心形线”。 　　 国王死后，克里斯汀登基，立即派人在欧洲四处寻找心上人，无奈斯人已故，先她走一步了，徒留她孤零零在人间... 　　现在这封享誉世界的另类情书还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。 章节概述 简单来说，解析几何是用代数方程研究几何问题的一门科学。 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素 2.能理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握倾斜角和斜率之间的关系，提升数学抽象、逻辑推理的核心素养 3.掌握过两点的直线斜率的计算公式 学习目标 新课探究 回顾：我们学过函数 y=kx+b ，它的图象是什么？ 思考：确定一条直线的几何要素是什么？ 一条直线 O y x l1 B . A . 直线的确定 两点确定一条直线； 一个点和一个方向确定一条直线. 归结 新课探究 思考：①经过一点P有多少条直线？ ②它们组成一个直线束，这些直线的区别是什么？ 直线方向不同 直线的倾斜程度不同 无数条 也就是直线与x轴所成的角不同 思考：怎样描述这种“倾斜程度”的不同? l1 O P x y l2 l3 新知讲解——直线的倾斜角 直线的倾斜角 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. x y O α l 图中直线l1的倾斜角α1为锐角 直线l′的倾斜角α′为钝角 直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°. 巩固练习 1.下列图中表示直线倾斜角为(　　) C 2.直线x=1的倾斜角α= . 90° 新知讲解 1. 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线(平行或重合)，其倾斜程度相同，倾斜角相等； O y x l1 α1 l2 l3 α2 α3 2. 方向不同的直线(相交)，其倾斜程度不同，倾斜角不相等. O P x y l1 l2 l3 追问：在平面直角坐标系中，每一条直线都有唯一确定的倾斜角吗？ 直线 倾斜角 方向相同的直线 倾斜程度相同 倾斜角相同 思考：直线的倾斜角刻画了它的倾斜程度， 是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢? 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，由两点确定一条直线可知，直线l由点P1，P2唯一确定.设直线l的倾斜角为α，那么α与P1, P2的坐标会有内在联系 我们利用尝试利用 向量法探究 探究：(1) 已知直线l经过O(0, 0), P( , 1), α与O, P的坐标有什么关系? O y x α 新课探究 (2) 如果直线l经过P1(-1, 1), P2( , 0), α与P1, P2的坐标又有什么关系? x y O 新课探究 (3) 一般地，如果直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2, 那么α与P1, P2的坐标有怎样的关系? O x y P1 P2 O x y P2 P1 P P 新课探究 (3) 一般地，如果直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2, 那么α与P1, P2的坐标有怎样的关系? P O x y P2 P1 O x y P1 P2 P 新课探究 新知讲解——直线斜率 我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母k表示，即 直线的斜率 铅 直 高 度 水平宽度 新课探究 直线的斜率公式 追问 直线的斜率与P1和P2的顺序有关系吗？ 无关 但应用公式求斜率时要注意上下坐标的对应 追问1 当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 新课探究 新课探究 追问2 当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 中分母为0 倾斜角为90°的直线是没有斜率的， 倾斜角不是90°的直线都有斜率. 结论 所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率. 巩固练习 P57习题2.1T1 新课探究 问题4 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时, 其斜率k如何变化? 为什么? ① 当0°≤<90°时, k≥0, 且k随的增大而增大. k由0变化到+∞ ② 当90°<<180°时, k<0, 且k随的增大而增大. k由-∞变化到0 ④ 刻画直线倾斜程度： 从形的角度：倾斜角不同，倾斜程度不同 从数的角度：斜率不同，倾斜程度不同， ③ 倾斜角不同，斜率不同，从而斜率可以表示不 等于90°的直线的倾斜程度。 新课探究 90° 0 (0，＋∞) (－∞，0) 斜率与倾斜角的对应关系 巩固练习 P55 2. 已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角: 1. 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率: 新课探究 下面我们来了解一下直线的方向向量与斜率的关系。 x y O l 新知讲解——直线的方向向量与斜率之间的关系 ①若直线l的斜率为k，它的一个方向向量坐标为（x,y），则k= ②若直线l的斜率为k，则它的一个方向向量为（1,k） 典例分析 例1 如图示, 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. O y x A(3,2) B(-4,1) C(0,-1) 1 -1 -2 巩固练习 P55 3.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角: (1) C(18, 8)，D(4, -4); (2) P(0, 0)，Q(-1, 3). 巩固练习 P55 4. 已知a, b, c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角: (1) A(a, c), B(b, c); (2) C(a, b), D(a, c); (3) P(b, b+c), Q(a, c+a). 巩固练习 P55 5. 经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(1, k)，求k的值. 课堂总结 1.直线的倾斜角定义及其范围： 2.直线的斜率定义： 3.斜率公式： 4.直线的方向向量与斜率之间的关系 随堂检测 1.已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为 ,则直线l的倾斜角为_____ [解析] 如图（1）,直线向上的方向与轴正向所成的角为,即直线 的倾斜角为 如图（2）,直线向上的方向与 轴正向所成的角为,即直线的倾斜角为 或 随堂检测 2. 下列说法中，正确的是 (　　). A. 直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα B. 直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α C. 若直线的倾斜角为α，则sinα＞0 D. 任意直线都有倾斜角α，且α ≠ 90°时，斜率为tanα D 随堂检测 3.（1）经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(2, k)，求k的值. （2）已知直线l的一个方向向量为 求直线l的倾斜角和斜率. 解: 是直线l的一个方向向量, 即 又 ∴直线l的倾斜角为 ，斜率为 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝_____ 90°＜α＜180° 斜率(范围) _____ _________ 不存在 _________ $$