1.2.3 直线与平面的夹角讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

本讲义聚焦“直线与平面的夹角”核心知识点，系统梳理从定义（斜线与射影所成角）、性质（最小角、射影长与斜线长关系）到向量法（方向向量与法向量关系）的递进知识脉络，搭建从几何直观到代数运算的学习支架。 资料亮点在于例题采用几何推理与向量运算双解法，培养数学思维的逻辑推理和运算能力，课堂与课后练习分层设计，答案解析详尽，助力学生用数学语言精准表达，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化空间观念与创新意识。

1.2.3直线与平面的夹角 一、知识梳理 1.平面的斜线与它在平面内的射影所成的角，称为_______________. 2.如图所示，如果直线 AB 是平面 的一条斜线， B 为斜足， 是直线 AB 在平面 内的射影，则________就是直线 AB 与平面 所成的角． 3.平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中_________. 4.经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应____. 5.如图所示，如果 v 是直线 的一个方向向量，n 是平面 的一个法向量，设直线 与平面 所成角的大小为 ，则 与 的关系是：________，特别的， 或 ______. 2、 例题讲解 例 1 如图所示，已知 在平面 内，过该角的顶点 引平面 的斜线 ，且使 ，求证：斜线 在平面 内的射影平分 ． 证明：设点 在平面 内的射影为点 ，则 为 在平面 内的射影．根据前面的结论有 c 因此 ，即 平分 ． 例2 已知 是正方体，求 与平面 所成角的大小． 解：（方法一）以 为原点， ， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系. 则 所以 设平面 的一个法向量为 ，则 取 ，可得 又因为 所以 ，从而可知 与平面 所成角的大小为 （方法二）设 的中点为 ，连接 ，如图所示．因为 是正方形，所以 ．又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ．再根据 可知 平面 ．因此， 在平面 内的射影为 ，所以 就是 与平面 所成角．因为正方体中有 ，所以在 Rt 中， ， 又因为 是一个锐角，所以 即 与平面 所成角的大小为 三、课堂练习 1.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为( ) A. B. C.或 D.或 2.若平面的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是( ) A. B. C. D. 3.若直线a的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则直线a与平面所成的角为( ) A. B. C. D. 4.在空间直角坐标系中，已知向量是平面ABC的一个法向量，且.则直线CD与平面ABC所成角的正弦值是( ) A. B. C. D. 5.若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α所成的角为( ) A． B． C． D． 6.已知平面的一个法向量为，则y轴与平面所成的角的大小为( ) A. B. C. D. 7.已知平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则直线l与平面所成角的正弦值的最大值为__________. 8.如图，在四棱柱中，平面平面ABCD，且四边形和四边形ABCD都是正方形，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 9.已知直线l的方向向量是，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角是__________. 10.已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则__________. 四、课后练习 1.在正方体中，直线与平面所成的角为( ). A. B. C. D. 2.在正方体中，E是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 3.在三棱锥中，，，，，则与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 4.已知正四棱柱中，，则CD与平面所成角的正弦值等于( ) A. B. C. D. 5.如图，正方体中，直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 6.设平面的一个法向量为，点，，，则AB与所成角的正弦值为_______. 7.设直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的正弦值为________. 8.若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为__________. 9.在正方体中，F是BC的中点，点E在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 10.如图，正四棱柱中，设，，点P在线段上，且，则直线与平面PBD所成角的正弦值是________. 答案及解析 1、 知识梳理 1. 这条斜线与平面所成的角 2. 3. 最小的角 4. 相等 5. 三、课堂练习 1.答案：B 解析：由题意可知l与夹角的正弦值为， 且夹角的取值范围为， 则夹角为. 故选：B. 2.答案：D 解析：由题意得， 故选：D 3.答案：A 解析：已知直线a的方向向量是，平面的一个法向量是， 设直线a与平面所成角为，则， 所以， 所以，故直线a与平面所成角为. 故选：A. 4.答案：C 解析：直线CD与平面ABC所成角的正弦值等于. 5.答案：A 解析:由已知，，所以l与α所成的角为， 故选：A. 6.答案：B 解析：易知y轴的一个方向向量为，则y轴与平面所成的角满足，又，所以， 故选：B. 7.答案： 解析：直线l与平面所成的角为， 则， 当时，取得最大值，最大值为. 故答案为：. 8.答案： 解析：由和平面平面ABCD，可知平面ABCD，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建系， 则，平面的法向量， 所以. 9.答案： 解析：设直线l与平面所成的角为，则，故. 10.答案：3 解析：∵平面的法向量为.又与平面平行，∴，解得. 四、课后练习 1.答案：B 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 直线与平面所成的角为， 则，令，，即， 所以， 所以. 故选：B. 2.答案：D 解析：如图，以D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，， 设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则. 故选：D 3.答案：C 解析：，，，， 故，， 设平面的一个法向量， 则，令，则，， 故， 设与平面所成角为， 则. 故选：C. 4.答案：A 解析：建立如图所示空间直角坐标系，不妨设， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以. 设CD与平面所成角为， 则. 故选：A. 5.答案：D 解析：设棱长为1，如图建立空间直角坐标系，，，，，，设平面的法向量， 则，所以，则，所以， ，则 故选：D 6.答案： 解析：AB与平面所成角的正弦值为 7.答案： 解析：设l与所成角为，设向量与的夹角为， ， 所以直线l与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 8.答案： 解析：由题设， 且平面OMQ的一个法向量， 令直线OP与平面OMQ所成角为， 则， 所以. 故答案为： 9.答案： 解析：以D为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的边长为4， 则，，， ，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以， 所以， 解得， 设直线与平面所成角为， 因为， ， 所以. 10.答案：/ 解析：以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面PBD的法向量为， 则， 令，则，故， 设直线与平面PBD所成角大小为， 则， 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$